2023年12月22日发(作者：奔驰sl500敞篷跑车多少钱)
天天向上独家原创
一．选择题（共10小题）
1．下列各数中，是无理数的一项是（ ）
A．0B．﹣1C．0.101001D．
2．由5个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xyB．5x2?x3＝5x5
C．4x8÷2x2＝2x4D．（﹣x3）2＝x5
4．如图由正三角形和正方形拼成的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．5．以方程组D．
的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（ ）
1 / 34
天天向上独家原创
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．如图，直线l1、l2被直线l3所截，下列选项中哪个不能得到l1∥l2？（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠5D．∠3+∠4＝180°
7．甲、乙、丙三个游客团的年龄的方差分别是S甲2＝1.4，S乙2＝18.8，S丙2＝2.5，导游小方最喜欢带游客年龄相近的团队，若在这三个游客团中选择一个，则他应选（ ）
A．甲队B．乙队
C．丙队D．哪一个都可以
8．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝（ ）
A．54°B．72°C．108°D．144°
9．若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
2 / 34
天天向上独家原创
A．B．C．D．
10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长于点Q，下列结论正确的有（ ）个
①AE⊥BF；②QB＝QF；③；④SECPG＝3S△BGE
A．1B．4C．3D．2
二．填空题（共7小题）
11．4是的算术平方根．
12．我国首部国产科幻灾难大片《流浪地球》于2019年2月5日在我国内地上映，自上映以来票房累计突破46.7亿元，将46.7亿元用科学记数法表示为．
13．因式分解：m3n﹣9mn＝．
14．若标是．
15．如图，在正六边形ABCDEF的外侧，作正方形EFGH，则∠DFH的度数为．
+（b+4）2＝0，那么点（a，b）关于原点对称点的坐3 / 34
天天向上独家原创
16．如图，两个直角三角板ABC与CDE按如图所示的方式摆放，其中∠B＝∠D＝30°，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝CE＝，且A、C、D共线，将△DCE沿DC方向平移得到△D\'C\'E\'，若点E\'落在AB上，则平移的距离为．
17．如图，AC⊥BC，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，圆心为O，以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是．
三．解答题（共8小题）
18．19．先化简，再求值：．
，其中x＝．
4 / 34
天天向上独家原创
20．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）用直尺和圆规作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，连接BD，求证：DE＝CD．
21．为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
分数段
74.5～79.5
频数 频率
2 0.05
0.2
0.3
n
0.1
79.5～84.5 m
84.5～89.5 12
89.5～94.5 14
94.5～99.5 4
（1）表中m＝，n＝；
（2）请在图中补全频数直方图；
（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在分数段内；
5 / 34
天天向上独家原创
（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
22．如图所示，要在某东西走向的A、B两地之间修一条笔直的公路，在公路起点A处测得某农户C在A的北偏东68°方向上．在公路终点B处测得该农户c在点B的北偏西45°方向上．已知A、B两地相距2400米．
（1）求农户C到公路AB的距离；（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）
（2）现在由于任务紧急，要使该修路工程比原计划提前4天完成，需将该工程原定的工作效率提高20%，求原计划该工程队毎天修路多少米？
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC．BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于6 / 34
天天向上独家原创
点E．连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝．OE＝2，求线段CE的长．
24．如图，在ABC中，AB＝BC，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，
①求证：ED是⊙O的切线；
②求证：DE2＝BF?AE；
③若DF＝3，cosA＝，求⊙O的直径．
25．如图，抛物线y＝﹣x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，﹣2），连接BC、AD．
（1）将矩形OBHC绕点B按逆时针旋转90°后，再沿x轴对折到矩形GBFE（点C与点E对应，点O与点G对应），求点E的坐标；
（2）设过点E的直线交AB于点P，交CD于点Q．
7 / 34
天天向上独家原创
①当四边形PQCB为平行四边形时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使直线PQ分梯形ADCB的面积为1：3两部分？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各数中，是无理数的一项是（ ）
A．0B．﹣1C．0.101001D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：故选：D．
是无理数，
8 / 34
天天向上独家原创
2．由5个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】从正面看到的图叫做主视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可．
【解答】解：左面可看见一个小正方形，中间可以看见上下各一个，右面只有一个．
故选：A．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xyB．5x2?x3＝5x5
C．4x8÷2x2＝2x4D．（﹣x3）2＝x5
【分析】根据单项式的乘法和除法法则，以及幂的乘方法则即可作出判断．
【解答】解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；
B、正确；
C、4x8÷2x2＝2x6，选项错误；
D、（﹣x3）2＝x6，选项错误．
故选：B．
9 / 34
天天向上独家原创
4．如图由正三角形和正方形拼成的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念进行逐项分析，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，运用排除法即可确定答案．
【解答】解：根据中心对称图形的概念可确定A、B、D三项属于中心对称图形，
C项为轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：C．
5．以方程组位置是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】此题可解出的x、y的值，然后根据x、y的值可以判断出该点在何象限内．
【解答】解：根据题意可知﹣x+2＝x﹣1，
∴x＝，
10 / 34
的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的，
天天向上独家原创
∴y＝．
∵x＞0，y＞0，
∴该点坐标在第一象限．
故选：A．
6．如图，直线l1、l2被直线l3所截，下列选项中哪个不能得到l1∥l2？（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠5D．∠3+∠4＝180°
【分析】分别根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，∴l1∥l2，故本选项不合题意；
B、∵∠2＝∠3，∴l1∥l2，故本选项不合题意；
C、∠3＝∠5不能判定l1∥l2，故本选项符合题意；
D、∵∠3+∠4＝180°，∴l1∥l2，故本选项不合题意．
故选：C．
7．甲、乙、丙三个游客团的年龄的方差分别是S甲2＝1.4，S乙2＝18.8，S丙2＝2.5，导游小方最喜欢带游客年龄相近的团队，若在这三个游客团中选择一个，则他应选（ ）
A．甲队B．乙队
C．丙队D．哪一个都可以
11 / 34
天天向上独家原创
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵S甲2＝1.4，S乙2＝18.8，S丙2＝2.5，
∴S甲2最小，
∴他应选甲队；
故选：A．
8．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝（ ）
A．54°B．72°C．108°D．144°
【分析】由PA与PB都为圆的切线，利用切线的性质得到两个角为直角，根据∠P的度数，利用四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠ACB的度数即可．
【解答】解：如图所示，连接OA、OB．
∵PA、PB都为圆O的切线，
12 / 34
天天向上独家原创
∴∠PAO＝∠PBO＝90°．
∵∠P＝36°，
∴∠AOB＝144°．
∴∠C＝∠AOB＝＝72°．
故选：B．
9．若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．
【解答】解：∵ab＜0，∴分两种情况：
（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；
（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合．
故选：B．
10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长于点Q，下列结论正确的有（ ）个
①AE⊥BF；②QB＝QF；③；④SECPG＝3S△BGE
13 / 34
天天向上独家原创
A．1B．4C．3D．2
【分析】①首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE＝90°，即可得到AE⊥BF；
②①△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF＝QB；
③证明△BEG∽△ABG∽△AEB，得出，设GE＝x，则BG＝2x，AG＝4x，∴BF＝AE＝AG+GE＝5x，∴FG＝BF﹣BG＝3x，得出，即可得出结论；
④可证△BGE与△BMC相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质和三角形的面积关系即可求解．
【解答】解：①∵四边形BCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，
∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，
14 / 34
天天向上独家原创
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF，故①正确；
由折叠的性质得：FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠PFB，
∴QB＝QF，故②正确；
③∵AE⊥BF，∠ABE＝90°，
∴△BEG∽△ABG∽△AEB，
∴，
设GE＝x，则BG＝2x，AG＝4x，
∴BF＝AE＝AG+GE＝5x，
∴FG＝BF﹣BG＝3x，
∴，故③正确；
④如图所示：连接CG，
∵PC⊥BF，AE⊥BF，
15 / 34
天天向上独家原创
∴PC∥AE，△BGE∽△BMC，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴△BGE的面积：△BMC的面积＝1：4，
∴△BGE的面积：四边形ECMG的面积＝1：3，
连接CG，则△PGM的面积＝△CGM的面积＝2△CGE的面积＝2△BGE的面积，
∴四边形ECPG的面积：△BGE的面积＝5：1，
∴S四边形ECPG＝5S△BGE，故④错误．
综上所述，共有3个结论正确，
故选：C．
二．填空题（共7小题）
11．4是 16 的算术平方根．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴4是16的算术平方根．
故答案为：16．
12．我国首部国产科幻灾难大片《流浪地球》于2019年2月5日在我国内地上映，自上映以来票房累计突破46.7亿元，将46.7亿元用科学记数法表示为 4.67×109．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜16 / 34
天天向上独家原创
10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：46.7亿＝4670000000＝4.67×109，
故答案为：4.67×109．
13．因式分解：m3n﹣9mn＝mn（m+3）（m﹣3） ．
【分析】原式提取mn后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝mn（m2﹣9）＝mn（m+3）（m﹣3）．
故答案为：mn（m+3）（m﹣3）
14．若+（b+4）2＝0，那么点（a，b）关于原点对称点的坐标是 （﹣3，4） ．
【分析】首先根据非负数的性质可得a﹣3＝0，b+4＝0，再解出a、b的值．进而得到点的坐标，然后再根据关于原点对称点的坐标特点可得答案．
【解答】解：∵+（b+4）2＝0，
∴a﹣3＝0，b+4＝0，
解得：a＝3，b＝﹣4，
∴点（a，b）的坐标为（3，﹣4），
∴关于原点对称点的坐标是（﹣3，4），
故答案为：（﹣3，4）；
15．如图，在正六边形ABCDEF的外侧，作正方形EFGH，则∠DFH的度数为 75°．
17 / 34
天天向上独家原创
【分析】△EFH是等腰直角三角形，可求∠EFH的度数，△DEF是等腰三角形，只要求出顶角∠DEF的度数就可以求出∠EFD的度数，再把两个角的度数相加即可求解．
【解答】解：观察图形可知，
△EFH是等腰直角三角形，
则∠EFH＝45°，
△DEF是等腰三角形，
∵∠DEF＝120°，
∴∠EFD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∴∠DFH＝45°+30°＝75°．
故答案为：75°．
16．如图，两个直角三角板ABC与CDE按如图所示的方式摆放，其中∠B＝∠D＝30°，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝CE＝，且A、C、D共线，将△DCE沿DC方向平移得到△D\'C\'E\'，若点E\'落在AB上，则平移的距离为﹣1 ．
18 / 34
天天向上独家原创
【分析】根据三角形的内角和得到∠AE′C′＝30°，设AC′＝x，则AE′＝2x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵将△DCE沿DC方向平移得到△D\'C\'E\'，
∴C′E′＝，
∵∠B＝∠D＝30°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠E′C′A＝90°，∠A＝60°，
∴∠AE′C′＝30°，
设AC′＝x，则AE′＝2x，
∵AE′2＝AC′2+C′E′2，
∴（2x）2＝x2+（∴x＝1，
∴平移的距离CC′＝AC﹣AC′＝故答案为：﹣1．
﹣1，
）2，
17．如图，AC⊥BC，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，圆心为O，以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是π﹣．
19 / 34
天天向上独家原创
【分析】连接CE，如图，利用平行线的性质得∠COE＝∠EOB＝90°，再利用勾股定理计算出OE＝，利用余弦的定义得到∠OCE＝60°，然后根据扇形面积公式，利用S阴影部分＝S扇形BCE﹣S△OCE﹣S扇形BOD进行计算即可．
【解答】解：连接CE，如图，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥OE，
∴∠COE＝∠EOB＝90°，
∵OC＝1，CE＝2，
∴OE＝＝，cos∠OCE＝，
∴∠OCE＝60°，
∴S阴影部分＝S扇形BCE﹣S△OCE﹣S扇形BOD
＝＝π﹣﹣?1?．
π﹣．
﹣
故答案为20 / 34
天天向上独家原创
三．解答题（共8小题）
18．．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝＝＝．
，其中x＝．
19．先化简，再求值：【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝当x＝时，原式＝÷＝＝．
?＝，
20．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）用直尺和圆规作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，连接BD，求证：DE＝CD．
21 / 34
天天向上独家原创
【分析】（1）利用基本作图作AB的垂直平分线；
（2）利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠A＝∠DBA＝30°，所以∠CBA＝60°，接着判断BD平分∠CBA，然后根据角平分线的性质可判断DE＝DC．
【解答】解：（1）如图，DE为所作；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA＝30°，
在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBA＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠CBD＝∠CBA﹣∠DBA＝30°，
即BD平分∠CBA，
又∵DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝DC．
22 / 34
天天向上独家原创
21．为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
分数段
74.5～79.5
频数 频率
2 0.05
0.2
0.3
n
0.1
79.5～84.5 m
84.5～89.5 12
89.5～94.5 14
94.5～99.5 4
（1）表中m＝ 8 ，n＝ 0.35 ；
（2）请在图中补全频数直方图；
（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 84.5～89.5 分数段内；
（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
23 / 34
天天向上独家原创
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解可得；
（2）根据所求结果即可补全图形；
（3）根据中位数的概念求解可得；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由表格即可求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，
故答案为：8，0.35；
（2）补全图形如下：
24 / 34
天天向上独家原创
（3）由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在84.5～89.5，
∴测他的成绩落在分数段84.5～89.5内，
故答案为：84.5～89.5．
（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生．
，
恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．
22．如图所示，要在某东西走向的A、B两地之间修一条笔直的公路，在公路起点A处测得某农户C在A的北偏东68°方向上．在公路终点B处测得该农户c在点B的北偏西45°方向上．已知A、B两地相距2400米．
（1）求农户C到公路AB的距离；（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）
（2）现在由于任务紧急，要使该修路工程比原计划提前4天完成，需将该工程原定的工作效率提高20%，求原计划该工程队毎天修路多少米？
【分析】（1）农户C到公路的距离，也就是求C到AB的距离．要25 / 34
天天向上独家原创
构造直角三角形，再解直角三角形；
（2）设原计划x天完成，则由等量关系“原工作效率×（1+25%）＝提前完成时的工作效率”列方程求解．
【解答】解：（1）如图，过C作CH⊥AB于H．
设CH＝x，
由已知有∠EAC＝68°，∠FBC＝45°，
则∠CAH＝22°，∠CBA＝45°．
在Rt△BCH中，BH＝CH＝x，
在Rt△HAC中，tan∠HAC＝∴AH＝＝，
，
∵AH+HB＝AB，
∴x+x＝2400，
解得x＝（米），
米． ∴农户C到公路的距离（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要（y﹣4）天．
根据题意得：解得：y＝24．
经检验知：y＝24是原方程的根，
2400÷24＝100（米）．
答：原计划该工程队毎天修路100米．
＝（1+20%）×，
26 / 34
天天向上独家原创
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC．BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝．OE＝2，求线段CE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
27 / 34
天天向上独家原创
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC＝2，
∴OB＝＝1，
∵∠AOB＝∠AEC＝90°，
∠OAB＝∠EAC，
∴△AOB∽△AEC，
∴∴＝，
，
． ∴CE＝
24．如图，在ABC中，AB＝BC，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，
①求证：ED是⊙O的切线；
②求证：DE2＝BF?AE；
③若DF＝3，cosA＝，求⊙O的直径．
28 / 34
天天向上独家原创
【分析】（1）根据圆周角定理由BC为⊙O的直径得到∠BDC＝90°，再根据等腰三角形的性质得AD＝CD，即D点为AC的中点，则可判断OD为△ABC的中位线，所以OD∥AB，而DE⊥AB，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理即可得到DE是⊙O的切线；
（2）根据等腰三角形的性质得BD平分∠ABC，则利用角平分线性质得DE＝DF，再证明Rt△AED∽Rt△DFB，根据相似的性质得DE：BF＝AE：DF，用DE代换DF根据比例的性质即可得到DE2＝BF?AE；
（3）由于∠A＝∠C，则cosA＝cosC＝，在Rt△CDF中，利用余弦的定义得cosC＝理计算得DF＝＝，设CF＝2x，则DC＝3x，根据勾股定x＝3，解得x＝3，于是得到DC＝9，x，所以在Rt△CBD中根据余弦的定义可计算出BC．
【解答】（1）证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，即BD⊥AC，
∵BA＝BC，
∴AD＝CD，即D点为AC的中点，
∵点O为BC的中点，
29 / 34
天天向上独家原创
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
而DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，
∵∠ADE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠BDO＝90°，
∴∠ADE＝∠BDO，
而OB＝OD，
∴∠BDO＝∠OBD，
∴∠ADE＝∠OBD，
∴Rt△AED∽Rt△DFB，
∴DE：BF＝AE：DF，
∴DE：BF＝AE：DE，
∴DE2＝BF?AE；
（3）解：∵∠A＝∠C，
∴cosA＝cosC＝，
在Rt△CDF中，cosC＝＝，
设CF＝2x，则DC＝3x，
∴DF＝＝x，
30 / 34
天天向上独家原创
而DF＝3∴x＝3，
，解得x＝3，
∴DC＝9，
在Rt△CBD中，cosC＝∴BC＝×9＝即⊙O的直径为，
．
＝，
25．如图，抛物线y＝﹣x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，﹣2），连接BC、AD．
（1）将矩形OBHC绕点B按逆时针旋转90°后，再沿x轴对折到矩形GBFE（点C与点E对应，点O与点G对应），求点E的坐标；
（2）设过点E的直线交AB于点P，交CD于点Q．
①当四边形PQCB为平行四边形时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使直线PQ分梯形ADCB的面积为1：3两部分？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
31 / 34
天天向上独家原创
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，由矩形和旋转的性质可求EF＝1，BF＝2，∠EFB＝90°，即可求解；
（2）①由待定系数法可求BC解析式，由平行四边形的性质可得PQ∥BC，可求PQ解析式，即可求解；
②分两种情况讨论，由面积关系列出方程可求解．
【解答】解：（1）令y＝0，得解得x1＝1，x2＝4，
∴A（4，0），B（1，0），
∴OA＝4，OB＝1，
∵四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，﹣2），
∴点C（0，﹣2），CH＝OB＝1，BH＝OC＝2，∠BHC＝90°，
∵将矩形OBHC绕点B按逆时针旋转90°，
∴EF＝1，BF＝2，∠EFB＝90°，
∴E（3，1）；
（2）①如图，
，
32 / 34
天天向上独家原创
∵点C（0，﹣2），点B（1，0），
∴直线BC解析式为：y＝2x﹣2，
∵四边形PQCB为平行四边形，
∴BC∥PQ，
∴设直线PQ解析式为：y＝2x+b，
∵直线PQ过点E，
∴1＝6+b，
∴b＝﹣5，
∴直线PQ解析式为：y＝2x﹣5，
当y＝0时，x＝，
∴点P（，0）；
②存在，
∵点A（4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），点D（5，﹣∴AB＝3，CD＝5，
∴四边形ABCD的面积＝×2×（3+5）＝8，
设直线PQ解析式为：y＝mx+n，且过点E（3，1），
33 / 34
2），
天天向上独家原创
∴1＝3m+n，
∴n＝1﹣3m，
∴直线PQ解析式为：y＝mx+1﹣3m，
当y＝0时，x＝当y＝﹣2时，x＝∴点P（，
，
，0）， ，0），点Q（当四边形BPQC的面积：四边形PQDA的面积＝1：3，
∴四边形BPQC的面积＝×8＝2，
∴×2×（∴m＝，
∴点P（，0）；
当四边形BPQC的面积：四边形PQDA的面积＝3：1，
∴四边形BPQC的面积＝×8＝6，
∴×2×（∴m＝﹣4，
∴点P（，0）；
，0）．
+﹣1）＝6，
+﹣1）＝2，
综上所述，所求点P的坐标为（，0）或（
34 / 34
更多推荐
利用,图形,性质,得到
发布评论