2022-2023学年北京市对外经贸大学附属中学高二年级上册学期期中质量监

2023年12月14日发(作者：依维柯4米2厢式货车报价)

2022-2023学年北京市对外经贸大学附属中学高二上学期期中质量监测数学试题一、单选题ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?AA1?（

）1．在平行六面体A．AC1【答案】A【分析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．【详解】解：连接AC，可得AB?AD?AC，又CC1?AA1，?????????B．CA1?C．BD1?D．DB1?AB?AD?AA1?AC?CC1?AC1．所以故选：A??????2．若直线过两点1,?2,0?，?πB．33?，则此直线的倾斜角是（

）2πC．3πA．6【答案】C5π6D．【分析】先求出直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系可求前者，故可得正确的选项.【详解】直线的斜率为k?3?0??31?2，故倾斜角的正切值为?3，2π0,π??3而倾斜角的范围为，故其大小为，故选：??1423．直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（

）22A．x?y?4x?2y?022x?y?4x?2y?1?0C．22B．x?y?4x?2y?1?022x?y?2x?4y?0D．【答案】A【分析】由已知得A，B的坐标，进而得圆心坐标和半径，写出圆的标准方程，然后化为一般方程即可.【详解】由直线截距式方程知：A?4,0?，B?0,2?，2,1?AB?42?22?25?AB所以中点坐标为，且，所以以AB为直径的圆的圆心为?2,1?，半径为5，22所以以线段AB为直径的圆的方程为(x?2)?(y?1)?5，22x?y?4x?2y?0.化为一般方程为故选：A.22224．圆(x?5)?(y?3)?9与圆x?y?4x?2y?4?0的位置关系是（

）A．内含【答案】DB．相交C．外切D．外离【分析】求出两圆圆心和半径，求出圆心距，和半径之和、半径之差比较可得.22(x?5)?(y?3)?9的圆心为?5,3?，半径为r1?3，【详解】圆22x?y?4x?2y?4?0化为?x?2???y?1??1，则圆心为?2,?1?，半径为r2?1，圆22则圆心距故选：D.5．数列A．14d??5?2???3?1?22?5?r1?r2，所以两圆外离.?an?中，an?1?2an?1，a1?1，则a4?（

）B．15C．16D．17【答案】B【分析】根据递推关系可求a4.a1?1，故a2?2a1?1?3，【详解】因为an?1?2an?1，a3?2a2?1?7，a4?2a3?1?15，故选：B.x2y2??110?tt?46．已知方程表示的曲线是椭圆，则t的取值范围（

）A．?4,7?B．?4,7???7,10?C．?7,10?D．?4,10?【答案】B【分析】椭圆方程的分母均大于0且不相等，进而解出t.【详解】由题意，故选：B.?10?t?0??t?4?0?t??4,7???7,10??10?t?t?4?.x2y2C:2?2?1ab7．若双曲线离心率为2，过点y2x??13B．2?2,3?，则该双曲线的方程为（

）22C．5x?3y?122A．2x?y?1x2y2??126D．【答案】B【分析】分析可得b?3a，再将点标准方程.?2,3?代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的x2y2c?2?1?e??2222b?c?a?3ac?2aa3aa【详解】，则，，则双曲线的方程为，将点?2,3?231?2?2?12的坐标代入双曲线的方程可得a3aa，解得a?1，故b?23，y2x??13因此，双曲线的方程为.故选：B8．若数列?an?的前n项和Sn?2n2?1，则下列结论正确的是（

）B．A．an?4n?2an?4n?2?3,n?1an???4n?2,n?1C．【答案】D【分析】利用Sn与an的关系，可得答案.2a?S?2?1?1?3，11n?1【详解】当时，?3,n?1an???4n?2,n?1D．an?Sn?Sn?1?2n2?1?2?n?1??1?4n?2n?1当时，，2?3,n?1an???4n?2,n?1.经检验，可得故选：D.x2y2?2?1(a?b?0)2FP?F2P，F1,F2分别为椭圆的左右焦点，则椭圆ab9．椭圆上存在一点P满足1的离心率的范围是（ ）1(0,]A．2B．(0,2]21[,1)C．22,1)2D．[【答案】Dx2y2?2?1(a?b?0)2?FPF12ab【分析】当点P位于短轴的端点时，最大，要使椭圆上存在一点P满足F1P?F2P，只要?F1PF2最大时大于等于2即可，从而可得出答案.?【详解】解：当点P位于短轴的端点时，?F1PF2最大，x2y2?2?1(a?b?0)2FP?F2P，ab要使椭圆上存在一点P满足1只要?F1PF2最大时大于等于2即可，?OPF1???4，即当点P位于短轴的端点时，c?2sin?OPF1??sin?a42，所以又椭圆的离心率0?e?1，?2?,1???2??.所以椭圆的离心率的范围是故选：D.10．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，平面A1B1C1D1内的一动点P，满足到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，则线段PA长度的最小值为2A．2【答案】C3B．25C．2D．2【分析】建立空间直角坐标系，由题意得点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上，由此可得点P坐标间的关系，然后根据空间中两点间的距离公式求解可得结果．【详解】如图，以A1D1的中点O1为原点，以A1D1为x轴建立如图所示的空间直角坐标系O1?xyz，1A(,0,1)则2．由于动点P到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，所以点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上．2由题意得，在xOy平面内，抛物线的方程为y?2x，2设点P的坐标为P(x,y,0)，则y?2x，111PA?(x?)2?y2?1?(x?)2?2x?1?(x?)2?1222所以，又x?0，所以当x?0时，|PA|有最小值，且故选C．|PA|min?15?1?42．【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式及最值问题，解题的关键有两个：（1）建立空间直角坐标系，并得到相关点的坐标；（2）根据题意得到点P在抛物线上，进而消去一个参数将所求距离化为二次函数的问题处理．二、填空题2x11．抛物线?2y的准线方程是__________．【答案】y??122【详解】因为x?2py 准线方程是12．空间直角坐标系中，若点___________.【答案】y??p2 ,所以抛物线x?2y的准线方程是B??2,0,0?2y??12A??2,1,4?关于点的对称点为C，则点C的坐标为??2,?1,?4?【分析】设出点C的坐标，列出方程组，求出点C的坐标.【详解】设点C的坐标为?x,y,z?，?x?2?2??2??1?y?0??x??22???y??14?z??z??4?2?0故?，解得：?，故点C的坐标为故答案为：13．过点??2,?1,?4?.??2,?1,?4?22作圆x?y?5圆的切线l，则l的方程是___________.M?1,?2?【答案】x?2y?5?0【分析】根据圆心到直线的距离等于半径即可列方程求解.【详解】当直线l无斜率时，方程为l：x?1 ，显然与圆不相切，故直线l有斜率，设斜率为k，则直线方程为：y?k?x?1??2d?，?k?21?k2由l是圆的切线，所以圆心到直线的距离等于半径，即故直线方程为：y?15x?22?5，解得k?12，故答案为：x?2y?5?0x2y25?1?2?1?a?b?0?2Cab214．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆：，A1，A2分别为左?右顶点，B1，B2分别为上?下顶点，F1，F2分别为左?右焦点，P为椭圆上的一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有___________.2AF?AF?FF112212①，②?F1B1A2?90?，PO∥A2B1，③PF1?x轴，且④四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点【答案】②④5?a?c??a?c??4c，求出离心率为5；【分析】①得到2F1，F2②由勾股定理得到a?2?a?b22?2??a?c?2，求出离心率为e??1?52；?b2?c2P??c,??a?2；③求出?，根据斜率相等列出方程，求出离心率ah?ab22ab22AOBAB④先计算出Rt△21边21上的高为5?12.a?b，从而列出方程a?b?c，求出离心率为22a?ca?c?4c????AF?AF?FF12时，即【详解】当1122，c5?225，①错误；化简得a?5c，离心率aB1F1?a,A2B1?a2?b2,A2F1?a?c?FBA?90?112当时，其中，所以a?2?a?b22?2??a?c?2222，解得：a?b?2ac?c，22222因为b?a?c，所以c?ac?a?0，22方程两边同除以a得：e?e?1?0，解得：e??1?52，因为e??0,1?，所以2e??1?52，②正确；22??bbxyP?c,??y???2?1?a?b?0?2a??x??caab将代入中，解得：，故，2b2a?b?0PO∥A2B1，所以?c0?a，因为c2?222222，③错误；化简得：b?c，即c?a?c，解得：2c?a，离心率为a设Rt△A2OB1边A2B1上的高为h，则h?OA2?OB1ab?A2B1a2?b2，由于四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2，ab所以a?b22?c4224，解得：c?3ac?a?0，424方程两边同除以a得：e?3e?1?0，解得：e2?3?52，因为e??0,1?，所以e??0,1?2，故e2?3?52，e?所以3?56?255?1??222，④正确.故答案为：②④三、双空题22y?3x?3的焦距长为__________，其渐近线方程为________.15．双曲线【答案】

4

y??3x【分析】根据双曲线的性质即可得出答案.y2?x2?12222222a?3,b?1,c?a?b?4，y?3x?33【详解】把双曲线方程化为标准方程为，所以所以焦距长为2c?4；渐近线方程为y??3x.故答案为：4；y??3x.2MF?616．已知抛物线y?4x的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若，则点M的横坐标为_______；

?MNF的面积为_______．【答案】 5

45【分析】根据焦半径公式可求M的横坐标，求出纵坐标后可求2F?1,0?【详解】因为抛物线的方程为y?4x，故p?2且.S?FMN.因为所以MF?6S?FMN?，xM?p?6x?5，故yM??25，2，解得M1??5?1??25?452，故答案为：5；45.四、解答题17．已知(1)求(2)求?an?是等差数列，a4?a6?8，其前5项和S5?40.?an?的通项an；?an?前n项和Sn的最大值.an??2n?14【答案】(1)(2)42【分析】（1）设公式；?an?的公差为d，结合等差数列通项公式和前n项和的性质可得d，进而求得通项（2）结合等差设数列的函数性质直接求解即可.??an?S?40，?S5?5a3?40，a3?8.又a4?a6?8，即【详解】（1）为等差数列，5a3?d?a3?3d?8，解得d??2，故an?a3??n?3?d?8?2?n?3???2n?14，即an??2n?14（2）因为最大值an??2n?14，随着n的增大而减小，且a7?0，a8??2?0，故当n?6或n?7时，Sn有.S7?7a4?7??2?4?14??4218．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，?BAC?90?，AB?AC?AA1?1，E?F分别是棱C1C?BC的中点.B1F?平面AEF；(1)求证：(2)求直线AB1与平面AEF所成角的正弦值；(3)求点F到平面EAB1的距离.【答案】(1)证明见解析3(2)21(3)2【分析】(1)利用面面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量求空间角即可求解；(3)利用空间向量求解点到平面距离.【详解】（1）因为AB?AC,所以AF?BC,

又因为BB1?平面ABC，AF?平面ABC，所以BB1?AF,且BC,BB1?平面BCC1B1,BCC1B1,EF?平面BCC1B1,所以AF?平面所以AF?B1F,又因为BC?AB?AC?2,22B1F?BF2?BB12?62,B1E?B1C12?C1E2?33EF?CF2?CE2?2,2,222所以B1E?B1F?EF,所以B1F?EF,且AF?EF?F,AF,EF?平面AEF，所以B1F?平面AEF.（2）以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，1??11??A(0,0,0),B1(1,0,1),E?0,1,?,F?,,0?,2??22?

?则?????AB1??1,0,1?,??AB设平面AEF的法向量为m?(a,b,c)，直线1与平面AEF所成角为?，???????11?1????AE??0,1,?,AF??,,0?2???22?,?1?????m?AE?b?c?0??2?????11??m?AF?a?b?022?所以?，令a?1, 则b??1,c?2，??m所以?(1,?1,2)，??????AB1?m??????33sin??cos?AB1,m??????????22?6AB1?m所以.?????111?EF??,?,???222?,（3）EAB1的法向量为n?(x,y,z)， 设平面?????????1?AB1?(1,0,1),B1E???1,1,??2?,????????n?AB1?x?z?0???????1?n?B1E??x?y?z?02所以?，令x?2, 则z??2,y?1，?所以n?(2,1,?2)，所以点F到平面EAB1的距离为?????3EF?n21???32n.19．已知圆心为C的圆经过点A??1，1?和B(?2,?2)，且圆心在直线l:x?y?1?0上，求：(1)求圆心为C的圆的标准方程；(2)设点P在圆C上，点Q在直线x?y?5?0上，求(3)若过点PQ的最小值；5??0，的直线被圆C所截得弦长为8，求该直线的方程．22【答案】(1)(x?3)?(y?2)?25(2)52?5(3)20x?21y?105?0或x?0222【分析】(1)设圆的标准方程为(x?a)?(y?b)?r，利用圆经过的两个点，且圆心在直线l:x?y?1?0上，建立方程组就可以求得.(2)求出圆心到直线x?y?5?0的距离，即可求出PQ最小值.(3)根据直线被圆截得的弦长为8，求出圆心到直线kx?y?5?0的距离，用点到直线的距离公式建立方程，求出k得值，即可写出直线方程.222(x?a)?(y?b)?r【详解】（1）设圆的标准方程为，因为圆经过A(?1,1)和点B(?2,?2)，且圆心在直线l:x?y?1?0上，?(?1?a)2?(1?b)2?r2?222?(?2?a)?(?2?b)?r?a?b?1?0?所以 解得：?a?3??b??2?r?5?

22所以圆的标准方程为(x?3)?(y?2)?25.（2）因为圆C到直线x?y?5?0的距离为d?3?2?52?52?5，

所以直线与圆相离，所以PQ的最小值为d?r?52?5.22（3）当斜率存在时，由条件可知，圆心C到直线kx?y?5?0的距离为d?5?4?33k?2?5根据点到直线的距离公式得：k2?1?3，解得k??2021.当斜率不存在时，直线方程为x?0，符合截圆所得的弦长为8所以直线方程为20x?21y?105?0或x?0.20．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，?PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD上.（I）当M是线段PD的中点时，求证：PB // 平面ACM；（II）求证：PE?AC；PM（III）是否存在点M，使二面角M?EC?D的大小为60°，若存在，求出PD的值；若不存在，请说明理由．PM1?【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；(Ⅲ)当PD3时，二面角M?EC?D的大小为60°.【详解】试题分析：(1) 连接BD交AC于H点，由三角形中位线性质得MH // BP ，再根据线面平行判定定理得结论(2)由面面垂直性质定理得PE⊥平面ABCD，即得PE?AC；（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设列各点坐标，由方程组解得各面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，再PM根据二面角与法向量之间关系列方程，解得PD的值试题解析：（I）证明：连接BD交AC于H点，连接MH，因为四边形ABCD是菱形，所以点H为BD的中点.

又因为M为PD的中点，所以MH // BP.又因为 BP

?平面ACM,

MH?平面ACM.所以 PB // 平面ACM.

（II）证明：因为?PAB为正三角形，E为AB的中点，所以PE⊥AB .

因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE?平面PAB，所以PE⊥平面ABCD.又因为AC?平面ABCD，所以PE?AC.

(Ⅲ) 因为ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是AB的中点，所以CE⊥AB .又因为PE⊥平面ABCD，以E为原点，分别以EB,EC,EP为x,y,z轴，建立空间直角坐标系E?xyz，则E?0,0,0?，B?1,0,0?，P0,0,3??，C?0,3,0?，D??2,3,?33,0?．

?x,y,z?，假设棱PD上存在点M，设点M坐标为则?????????PM??PD?0???1?，?x,y,z?3?????2,???，?，????EC?0,3,0所以所以M?2?,3?,3?1????，?????EM??2?,3?,3?1?????，设平面CEM的法向量为n??x,y,z?，则?????y?0??n?EM??2?x?3?y?3?1???z?0????????n?EC?3y?0??2?x?3?1???z．?，解得?令z?2?，则x?3?1???，得n??3?1???,0,2??．，因为PE⊥平面ABCD，所以平面ABCD的法向量m??0,0,1?cos?n,m??所以n?m2?2???2n?m7?2?6??34?2?3?1???．因为二面角M?EC?D的大小为60°，2?2所以7??6??3?12，2即3??2??1?0，解得??13，或???1（舍去）PM1?PD3时，二面角M?EC?D的大小为60°．M所以在棱PD上存在点，当点睛：(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.x2y26??1(a?b?0)2Fb221．已知1是椭圆a的左焦点，上顶点B的坐标是(0,2)，离心率为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)O为坐标原点，直线l过点F1且与椭圆相交于P，Q两点．26①若?OPQ的面积为3，求直线l的方程；②过点F1作EF1?PQ与直线x??3相交于点E，连接OE，与线段PQ相交于点M，求证：点M为线段PQ的中点．x2y2??162【答案】(1)；(2)①x??2或x?3y?2?0或x?3y?2?0；②证明见解析.【分析】（1）利用给定的点B及离心率，求出a，b作答.（2）由（1）求出F1坐标，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，①求出点P，Q纵坐标差的绝对值结合三角形面积求出l方程；②求出直线OE方程并求得M的坐标即可作答.x2y2?2?1(a?b?0)2ab【详解】（1）因椭圆的上顶点B(0,2)，则b?2，令椭圆半焦距为c，b2c226c61?2?2??a3a3，解得a2?6，3由离心率为得，即ax2y2??162所以椭圆的标准方程为.（2）①由（1）知，c=2，F1(?2,0)，显然直线l不垂直于y轴，设直线l:x?ty?2，?x=ty?2?22x+3y=6消去x并整理得：(t2?3)y2?4ty?2?0，设P?x1,y1?,Q?x2,y2?，?由4t284t?226?t2?12|y1?y2|?(y1?y2)?4y1y2?(2)?2y1?y2?2,y1y2?2?t?3t?3t?3t?3t2?3则，，S?OPQ126?t2?126?|OF1|?|y1?y2|??2t2?33，解得t=0或t??3，因此直线l的方程为x??2或x?3y?2?0或x?3y?2?0.②显然直线l不垂直于y轴，因直线EF1过点F1，且EF1?PQ，由①得直线EF1的方程为tx?y?2t?0，?x=?3t?y??x3，由?tx+y+2t=0得点E(?3,t)，直线OE的方程为：6?x=???x=ty?2?t2+3??t?62t?y=2ty=?xM(?2,2)?2?3t+3??t?3t?3，由解得：，因此点y1?y22tx1?x22t662t?2,?t?2?2??2(?2,2)PQ2t?32t?3t?3t?3t?3由①知，，即线段中点坐标为，所以点M为线段PQ的中点.【点睛】结论点睛：过定点A(0,b)的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，则?OMN面积S?OMN?1|OA|?|x1?x2|2；过定点A(a,0)直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，则?OMN面积S?OMN?1|OA|?|y1?y2|2.