理科数学

2023年11月21日发(作者：马自达3二手车值得买吗)

2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）

理科数学

本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1,.

．答卷前考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上

2,,.,

．回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净

后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

1,,

．已知全集则（）

U?1,2,3,4,5,6,A?1,4,5,6B?1,2,3,5

??????

5?

ADBC

．．．．

??

?B?A

U

【答案】A

【解析】由题设

?B?

U

{4,6}

,故,,

??

?BIA??BUA?

UU

{4,6}{1,4,5,6}

,,

??

A?B?{1,2,3,4,5,6}

A?B?{1,5}

所以

5?

??

?B?A

U

,A.

故选

2

．复数

z

?

A．1B．2C．D．

【答案】

B

【解析】,解得.故

z

????

选B.

3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季

度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的

是（）

????

2i22

aaa

????

???

2i1i

a

a?

2

i

,因为复数z对应点在虚轴上,所以

?

0

a?2

1i221i1i

???

????

2

A?BA?B

??

?B?A

U

??

2i

a

在复平面上对应的点位于虚轴上则实数的值为（）

,a

1i

?

?1

?2

A．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%

B．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%

C659

．经营净收入比转移净收入大约多元

D173

．财产净收入约为元

【答案】D

【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为,工资性收入占农村居民人均可支配收入的

4391?0.76?5778

2543?5778?44%

,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为,故错、B

1?0.44?0.32?0.21?3%

A

??

经营净收入与转移净收入差为元,故错误；财产净收入为错；

5778?0.32?0.21?636

??

C5778?0.03?173

元,故D正确.故选D.

??

??

?

?

?

?

?

?0

4”“,”

．已知是存在使得的（）

ab

，

是平面内两个非零向量那么

,“

a∥b

|a?b|?|a|?|b|

??

AB

．充分而不必要条件．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

????

?

?

?

?

?

【详解】若

a∥b

,,,,

则存在唯一的实数使得故而

?

?0

a?b

?

a?bbbb

?????

=+=+

??

??

?

?

?

|a|?|b||b|?|b|b

?????

==+

??

,存在使得成立,所以“”是“存在,使得

?

????

???

a∥b

?

?0

????

????

?

?

?

?

|a?b|?|a|?|b||a?b|?|a|?|b|

????

”的充分条件,若且,则,所以

?

?0

a

与方向相同,故此时

?

ba∥b

??

??

??

??

“”“,”,“”“,

a∥ba∥b

是存在使得的必要条件故是存在使得

??

?0?0

|a?b|?|a|?|b|

??

??

??

|a?b|?|a|?|b|

??

”的充要条件,故选C.

5．已知

sin37

??

ABDC

．．．．

3

4

3

2sin8cos53

???

,则的近似值为（）

5

2cos8sin53

???

4

3

32

4

42

3

【答案】B

2

cos53sin8

???

2sin8cos53

???

3

4

2

2

?

【解析】因为,所以,所以

sin37

??

cos371sin37

?????

5

5

2cos8sin532

???

cos8sin53

???

2

4

sin5345sin45cos53

??

??????

sin53cos45

??

sin9037

??

???

cos374

?

5

?

????

.故选B.

?

cos5345sin45sin53

??

??????

cos53cos45

??

cos9037sin373

??

????

3

5

6,

．某个函数的大致图象如图所示则该函数可能是（）

1

xx

cos

AB

．．

y

?

2

4

x

?

1

2(ee)sin

xx

???

?

C．D．

yy

??

xx

22

??

11

【答案】

B

y

?

2sin

x

x

2

?

1

xx

3

【解析】4个选项中的函数定义域均为R,设该函数为

fx

??

,对于A,

1

11

xx

cos

xxxx

coscos

?

44

,y,

fxfxfxfx

????????

??????

,故,对于B,

?

4

为奇函数,且

f4?0

??

22

xx

??

11

x

2

?

1

fxfxfxf??

??????

?????

2sin2sin2sin4

xx

?

fx

,,40

,对于C,

??

故为奇函数,

??

xx

22

??

1117

2(ee)2(ee)

xxxx

??

??

fxfxfxfx

????????

?????

,,

,

故

fx

??

为偶函数

,

22

xx

??

11

??

64sin4

???

xxxx

33

sinsin

fx

??

f

41

???

,D,,

对于故为奇函数

fxfxfx

??????

?????，

,

??

17

xx

22

??

11

由图知函数为奇函数,故排除C；由,排除A,由,排除D,故选B．

f4?0f4??1

????

7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的YongJunKLSpeedcubing比赛半决赛中,来自中国的9岁魔

方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由

27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了之后,表面积增加了（）

45?

A54BCD

．．．．

【答案】

C

54?36281?722

108?722

【解析】如图转动了后此时魔方相对原来魔方多出了个小三角形的面积显然小三角形为等腰直角三

,,16,

45?

角形,设直角边

x

,则斜边为,则有,得到

2x2x?2x?3

x??

3

32

,由几何关系得：阴影部分的面积为

2

13227922792

2

,所以增加的面积为.故选C.

S?S??S??????

1616((3))108722

11

224242

xy

22

设是椭圆．

M

Cab

:1(0)

22

????

的上顶点是上的一个动点．当运动到下顶点时取得最大

,,

PP

C

|PM|

8

ab

值,则的离心率的取值范围是（）

C

??

2

,10,

?

A．B．C．D．

?

?

2

??

??

2

?

?

2

??

??

1

?

,1

?

??

2

??

1

?

0,

?

??

2

【答案】B

22

xy

00

【解析】设

Px,y

??

00

,,

M0,b

??

因为

22

??

1

,

a?b?c

222

,

所以

ab

2

22

2

??

y

0

cbb

234

??

?????????????

aybyabPMxyb

??

1

2222

????

0000

??

2222

,,由题意知当

?b?y?b

0

y??b

0

bccb

??

??

2

2

1

b

3

2

2

时,,可得

PM

取得最大值,所以．故选B

???

2

b

a?2c

22

,即,则

e?

0

?e?

．

2

c

2

91765,

．瑞士著名数学家欧拉在年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上这条直线被

后人称为三角形的欧拉线在平面直角坐标系中作点

“”.,,

?ABCAB?AC?4

B(?1,3)C(4,?2)

,,“

点且其欧拉

线与圆

”

M:(x?a)?(y?a?3)?r

222

相切则圆上的点到直线的距离的最小值为（）

.

M

x?y?3?0

A．B．C．D．6

2242

【答案】

A

【解析】点为中点在中所以边上的高线、垂直平分线和中线合一则的

DBC,,,,

?ABCAB?AC?4BC?ABC

32

32

?

??

31

??

1

,所以AD斜率“欧拉线”为,因为点,点,所以,因为直线的斜率为

AD

B?1,3

??

C4,?2

??

D

??

,

BC

??

14

??

22

为,方程为

1

y??x?

13

,即

x?y?1?0

,因为“欧拉线”与圆相切

M:(x?a)?(y?a?3)?r

222

22

|31|

aa

???

??

rr

,2

,圆心

(a,a?3)

到直线的距离为所以圆心到“欧拉线”的距离为

x?y?3?0

2

(a,a?3)

|33|

a?a??

?

32

,所以圆上的点到直线,故选A.

M

x?y?3?0

的距离的最小值为

32?2?22

2

10.已知直四棱柱,为,

ABCD?ABCD

1111

的底面为正方形,

AA?2,AB?1

1

P

CC

1

的中点,过三点作平面

A,B,P

?

则该四棱柱的外接球被平面截得的截面圆的周长为（）

?

A．B．C．D．

6π5π

【答案】D

2π

22π

2

16

【解析】由题意知直四棱柱的中点

ABCD?ABCD

1111

的外接球的半径如图取

R?????

112

222

,,

DD

1

E

,

22

连接即为平面,分别取

AE,PE,BP

,易知四边形为矩形,且平面的中点,连接

ABPE

?

ABPE

AA,BB

11

M,N

MN,NP,ME

,,,

则易得四边形为正方形由四棱柱的对称性可知其外接球的球心即为正方形的

MNPEOMNPE

中心取的中点

,

ME

O

1

,,,,,

连接则平面平面所以平面故

OO

11

OO//EP,OO?OO//

11

ABPEEPABPEABPE

?

球心到平面的距离与到平面的距离相等,过点作

O

APEAPE

OO

11

OH?AE

1

,垂足为,

H

易知面面平面

AB

?

AADDAADD

1111

,,,,

OH?AB?OHOH?

11

故又平面所以

1

ABABPE

?

AE?A,AB,AE?

ABPEAPE

,又,所以球心到平面的距离为

OH?

1

OE??

1

sin45

r?

R?OH???

22

1

2

2

O

,由球的性质知,截面圆的半径

4

4

6222

22

,所以截面圆的周长为.故选D.

2ππ

r?

4164

2

11.若直线与曲线与曲线

y?kx?1?1y?kx?1?1

12

??

y?

e

x

相切,直线

??

y?lnx

相切,则的值为（）

kk

12

AB1CeD

．．．．

2

【答案】

B

1

e

2

【解析】设直线与曲线与曲线相切于点

y?kx?1?1y?kx?1?1

12

??

y?

e

x

相切于点

??

x

1

,e

1

,直线

??

y?lnx

x

ln1

x

2

?

1

e1

x

1

?

x

??

x,lnx

22

,则,所以,且,所以,

k?x?

1

ee1

,且,

k

1

?

1

1

kk

2

??

2

xlnx?1

22

xx

2

2

?

1

x

1

?

1

x

1

????

11

令单调递减当时单调

fx?xlnx>

??

,,,,

fx?1?lnx

?

??

当

xx

????

????

0,,

时

,

fx?0

?

??

fxfx0fx

????

,,

?

(

)

????

ee

xx

递增,且,时,,因为

f1?0fx?0

????

x?0,fx?0

??

,所以当,,即

x?0,1

??

fx?xlnx?1

??

222

f?x?

ee1

11

1

??

x

fx?f??

??

2

e10

x

1

,所以,所以,故选B.

x????

2

????

1,,e1,

??

x

1

x

2

=e

x

1

,故

kk

12

???

e1

1

??

1

x

2

12．已知函数,,则下面

fx

??

与的定义域均为,为偶函数,且

g(x)

R

f(x?1)f(3?x)?g(x)?1f(x)?g(1?x)?1

判断错误的是()

A．

fx

??

的图象关于点中心对称

(2,1)

B4

．与均为周期为的周期函数

fx

??

gx

??

C．

?

fi

()2022

?

i

?

1

2022

D．

?

gi

()0

?

i

?

0

2023

【答案】

C

【解析】因为为偶函数,所以①,所以的图象关于直线轴对称,

fx?1

??

fx?1?f?x?1

????

fx

??

x?1

因为等价于②又③②③得④

fx?g1?x?1f1?x?gx?1f3?x?gx?1f1?x?f3?x?2

????????????????

,,+,

即,即,所以的周期为4,又

f1?x?f3?x?2f2?x?2?fx

????????

f4?x?2?f2?x?fx

??????

,故

fx

??

gx?1?f3?xf1?x?f3?x?2

????????

,所以,故

gx

??

的周期也为4,故选项B正确,①代入④得的图象

fx

??

关于点中心对称,且可得

????

2,1f2?1f0?1,f4?1

,故选项正确,由,,且

A

f2?x?2?fxf2?1

????

??

????

f1?f3?2

????

,故,故,因为

f1?f2?f3?f4?4

????????

?

fifff

()5054(1)(2)2021(1)

??????

f1

??

与

i

?

1

2022

f3f3?x?gx?1

??

值不确定故选项错误因为

,,

C

????

,,

所以

g1?0,g3?0,g0?1?f3,g2?1?f1

????????????

所以

g0?g2?2?f1?f3?0

????????

??

??

,,,D

故故所以选项正

g0?g1?g2?g3?0

????????

?

gi

()50600

???

i

?

0

2023

确故选

,.

C

二、填空题：本题共小题每小题分共分

4,5,20.

3

??

13．

??

x

?

的展开式中

x

3

的系数是__________.

x

??

5

【答案】

-15

【解析】

Txx

r

?

155

????

C(3)C

rrrrr

552

??

??

3

11

,,.

令得所以

5?2r?3

r?1

x

3

的系数为

(?3)C??15

5

??

??

x

r

14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发

现在某一时段内部宣传片的浏览量（万次）服从正态分布

,200X

N1.5,0.09

??

,200

则该时段内这部宣传片中

浏览量在万次的个数约为______.

?

0.9,1.8

?

（参考数据：）

P(??X??)?0.6827P(?2?X??2)?0.9545

????????

,

【答案】

164

【解析】因为浏览量X（万次）服从正态分布,所以浏览量X（万次）的均值,方差

N1.5,0.09?1.5

??

?

?

2

?0.09

,,

?

?0.3

故

P(??X??)?P(1.2?X?1.8)?0.6827P(?2?X??2)?P(0.9?X?2.1)?0.9545

????????

,,

1

??

P?X??P?X??P?X??P?X??

(0.92.1)(1.21.8)0.8186(0.91.8)(1.21.8)

.故浏览量在

?

0.9,1.8

?

万故

2

π

,,

AB?3BC?3

则的

sin?DAB

3

次的作品个数约为

200?0.8186?164

.

15,,O,,

．如图四边形中与相交于点平分

ABCDACAC

BDDAB

?

?ABC?

值

_______.

【答案】

53

14

π

,3,1

AB?BC?ABC?

,

由余弦定理得

3

1

???????

731231

,

2

【解析】在中

?ABC

,

?

22

AC?AB?BC?2AB?BC?cosABC

222

?

所以由正弦定理得

AC?7

.

BCAC

?

,

sinsin

??

BACABC

3

BCABC

?

sin21

?

.

即

cos

?

BAC?

57

.

2

sin

?

BAC

???

14

AC

14

7

又因为平分,所以

AC

?

DAB

sin2sincos

???

DAB?BACBAC?

53

.

14

π

,

设弦

PQ

的中点到轴的距离为

My

3

16F,,

．已知抛物线的焦点为点在抛物线上且满足

y?4x

2

P,Q

?PFQ?

d,则

PQ

的最小值为__________．

d?

1

【答案】1

【解析】由抛物线

y?4x

2

可得准线方程为设由余弦定理可得

x=1

?

,,

|PF|?a,|QF|?b,(a?0,b?0)

|PQ|?|PF|?|QF|?2|PF|?|QF|cos?PFQ?a?b?ab

22222

,

由抛物线定义可得P到准线的距离等于,Q到准线的距离等于,

PF

|QF|

11

M,

为

PQ

的中点由梯形的中位线定理可得到准线的距离为

,M

x=1

?

(||||)()

PF?QF?a?b

22

1

||()3

PQabababab

2222

????

????

44

则弦的中点M到y轴的距离

PQ

d?a?b?

()1

,故

,

222

2

(1)()()

dabab

???

3()

ab

?

2

()

ab

??

abab

??

()

2

a?b

时,等号成立,,当且仅当

又,则

ababab

??????

0,0,,

||

PQ

???

41

4

24

22

(1)()

dab

??

2

2

所以的最小值为

PQ

1.

d?

1

三、解答题：共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第题为必考题每个试题考生都必

70..17~21,

须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

（分）．如图四棱锥中底面为等腰梯形．

12,,ABCD,,17

P-ABCD

AB∥CD

AD?DC?AB

面

ABCD,.

PD?AD

1

,

且平面平

PAD?

2

(1)求证：；

BD?PA

(2),.

PB

与平面所成的角为求二面角的正弦值

ABCD

30

?

A-PB-C

【解析】（1）证明：取AB的中点,连接,则由题意知为正三角形,

E

CE

?BCE

所以

?ABC?60

?

,

由等腰梯形知

?BCD?120

?

,设,则,,

AD?CD?BC?2

AB?4

BD?23

故

AD?BD?AB

222

,即得,所以,

?ADB?90

o

ADBD

?

因为平面平面,,平面平面,平面PAD,

PAD?PAD?

ABCDABCD?AD

PD?ADPD?

所以平面,又平面,所以,

PD?

ABCDABCD

BD

?

PD?BD

因为平面所以平面

ADIPD?D

,,,,

ADPADBDPAD

PD?

?

因为平面,所以.

PA?PADBD?PA

（2）由（1）得,,两两垂直,以为坐标原点,,,所在直线分别为轴建立空间直角

DADDA

DBDPDBDP

x

,,

y

z

坐标系,

因为平面所以平面所成的角为

PD?

ABCDABCD

,

PB

?PBD?30

?

,

设则

AD?CD?BC?2

,,,

DB?23

PD?2

0,2P0,

??

,,,,

B0,23,0C?1,3,0

则

A2,0,0

??

????????

????

则

PA?2,0,?2

??

,,,

PB?0,23,?2PC??1,3,?2

????

????

?

设平面的法向量为

PAB

m?x,y,z

??

,

????

?

?

?

?

PAm

??

0

?

220

xz

??

????

?

则

?

,,

即

?

2320

yz

??

?

?

?

?

PBm

??

0

??

m?3,1,3

取,则

z?3

,

??

?

n?a,b,c

设平面的法向量为

PBC

??

,

????

?

?

?

PCnabc

??

??????

0320

????

?

则

??

,即,

PBn

??

0

2320

bc

??

?

?

?

?

?

取,则

c?3

n??3,1,3

,

??

??

mn

?

1

??

所以

cos,

mn

??

??

,

mn

7

431

??

所以二面角的正弦值为

A?PB?C

1

??

??

.

77

??

18.（12分）设正项数列,且

??

a

n

的前.

n

项和为

S

n

a??S?

nn

149

(1)求数列

??

a

n

的通项公式；

(2).,

能否从若能请找出公比最小的

??

a

n

中选出以

a

1

为首项以原次序组成的等比数列

,

aa?a?k?

kkk

12

,,,,1

m

??

1

一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列项和

??

k

n

的前；若不能,请说明理由.

n

T

n

2

【解析】（）

1

a??S?

nn

149

,

428

S?a?a?

nnn

2

2

2

当时

n?1

,

4S?a?2a?8?4a

1111

,,

即

a?2a?8?0a?0

111

??

得或

a?4

1

a??2

1

（舍去）.

2

由

428

S?a?a?

nnn

,……①

得

4282

Saan

nnn

???

111

????

??

,……

②

2

22

????

aaaaa

nnnnn

①?②

得：,

422

??

11

化简得

????

aaaa

nnnn

????

??

11

20

.

因为

a?

n

0

,,,

所以

aa

nn

???

?

1

20

aan

nn

???

?

1

22

??

即数列

??

a

n

是以4为首项,2为公差的等差数列,

?

所以

ann

n

???N

22

??

.

（）存在

2.

当时

a?a?

k

1

1

4

,

a?a?

k

2

3

8

,

会得到数列中原次序的一列等比数列

????

aaa?a?k?

nkkk

12

,,,,,1

m

1

,

此时的公比

q=2

,,,

是最小的此时该等比数列的项均为偶数均在数列

??

a

n

中；

下面证明此时的公比最小：

a?a?a

kk

12

1

4

,假若,公比为

取,

a?6

2

2

63

?

42

??

3

则为奇数不可能在数列

a

k

3

???

49

??

,

??

a

n

中

.

??

2

mm

??

11

所以

a

k

m

???

422

.

m

?

1

n

*

m

又,所以

akk

kmn

m

???

222

k??

m

21

,即的通项公式为

??

k??n?

n

21

??

N

,

212

??

?

n

?

故

Tnn

n

????????????

2121.......2122

nn

112

.

12

?

19.（12分）人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了

A,B

两

个研究性小组,分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的软件每次能正确

AI

识别音乐类别的概率分别为

P,P

12

.为测试软件的识别能力,计划采取两种测试方案.

AI

方案一：将100首音乐随机分配给两个小组识别,每首音乐只被一个软件识别一次,并记录结果；

A,B

AI

方案二：对同一首歌,两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.

A,B

3

2

(1)

若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的

；在正确识别的音乐数中组占；在错

,

A

3

5

误识别的音乐数中,组占

B

2

.

（）请根据以上数据填写下面的列联表并通过独立性检验分析是否有的把握认为识别音乐是否正

i,,

2?2

95%

确与两种软件类型有关？

正确识别错误识别合计

A组软件

B组软件

合计

100

1

（ii）利用（i）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；

(2)研究性小组为了验证软件的有效性,需多次执行方案二,假设

AI

P?P?

12

能使通过次数的期望值为？并求此时

16

P,P

12

的值

.

n(adbc)

?

2

附：

K

?

,其中.

n?a?b?c?d

????????

abcdacbd

????

2

4

,问该测试至少要进行多少次,才

3

PK?x

2

0

x

0

??

0.1000.0500.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【解析】（）（）依题意得列联表如下：

1i

2?2

正确识别错误识别合计

A

组软件

B

组软件

402060

202040

6040100

合计

2

100(40202020)25

???

2

因为

K

????

2.7783.841

,

604060409

???

2

且

PK?3.841?0.05

??

,

所以没有的把握认为软件类型和是否正确识别有关；

95%

21

,

P?P?

21

,

（）由（）得

iii

32

故方案二在一次测试中通过的概率为

221412121

????????????

212221

P

????????????

C1CCC1CC

????????????

222222

；

332292332

????????????

2222

（2）方案二每次测试通过的概率为

221221

P?C?P1?P?C?P?CP?C?P1?P?CP?CP

21122212222122

????????????

2222

8

2

??

8

416

??

??

PPPP

3

?PP??PP

??

????

3

PP

1212

??

3

1212

??

12

,

3

??

3

927

??

所以当

PP?

12

又

P?P??P?P

1212

4

16

时取到到最大值

,

P

27

,

9

2

42

,,

此时

33

因为每次测试都是独立事件

,

故次实验测试通过的次数

n

X?Bn,P

??

,期望值,

EX?nP?16

??

因为

p?

1627

16

????

2716

,

所以

n

p

16

27

2

.

3

所以测试至少27次,此时

P?P?

12

20.（12分）已知双曲线,A是的左顶点,的离心率为2．设

C:

xb

2

???

y

2

10

??

的左、右焦点分别为

F

1

,

F

2

CC

2

b

过

F

2

的直线交的右支于、两点其中在第一象限．

l

C

PP

Q

,

(1)求的标准方程；

C

(2)若直线、

AP

AQ

分别交直线为定值；

x?

??????????

1

于、两点,证明：

MMF?NF

N

22

2

(3),

是否存在常数使得

?

?PFA??PAF

22

?

恒成立？若存在求出的值；否则说明理由．

,,

?

【解析】（）由题可得故可得则

1,,

a

?1,?2

2

c

c?2

b?c?a?4?1?3

222

,

a

y

2

故的标准方程为

C

x??

1

.

3

（2）由（1）中所求可得点A,的坐标分别为,

F

2

????

?1,0,2,0

又双曲线渐近线为显然直线的斜率不为零

y??3x

,,

PQ

??

3

x?my?2

m

??

故设其方程为

,,

??

??

3

??

y

2

22

联立双曲线方程

x??

1

可得：

??

3m?1y?12my?9?0

,

3

2

设点的坐标分别为

P,Q

????

x,y,x,y

1122

,

则

yyyy

1212

????

129

m

,

,

3131

mm

22

??

4

,

31

m

2

?

xxmyy

1212

??????

??

4

2

??

34

m

2

；

xxmyymyy

121212

?????

24

??

31

m

2

?

又直线方程为：

AP

yxy

????

yy

11

3

??

1

,令,

x?

1

,则

xx

11

??

121

2

??

13

y

故点的坐标为；

M

??

,

?

1

??

221

x

1

?

直线方程为：

AQ

yxy

????

yy

22

3

??

1

,令,

x?

1

,则

xx

22

??

121

2

??

13

y

故点的坐标为；

N

??

,

?

2

??

221

x

2

?

??????????

????

3333

yy

则

MF?NF

22

??????

????

,,

12

????

221221

xx

12

??

9

2

yy

12

9999

31

m

?

??????

2

434

44144

xxxx

1212

???

??

m

??

1

22

3131

mm

??

999

????

0

449

?

??????????

故为定值.

MF?NF

22

0

（3）当直线斜率不存在时,

PQ

y

2

对曲线

Cx??

:1

,,

令解得

x?2

y??3

,

3

2

故点的坐标为

P

??

2,3

,此时,

?PFA?90?

2

在三角形中

PFA

22

,

AF?3,PF?3

22

,,

故可得

?PAF?45?

则存在常数使得成立；

?

?2

,

?PFA?2?PAF

22

当直线斜率存在时

PQ

,

不妨设点的坐标为

P

??

x,y

,,,,

x?2

直线直线的倾斜角为

PF

2

的倾斜角为

?

PA

?

则

?PFA???PAF?

22

???

,,

假设存在常数,使得成立,即

?

?2

?PFA?2?PAF

22

???

??2

,

则一定有；

tantantan2

??

????

?????

2

y

x

?

1

y

22

2

2

k

PA

2tan

?

??

k

,也即

PF

2

2

1

?

k

PA

1tan

?

2

?

21

yx

??

?

又；；

???

k

PF

2

2

k

PA

y

1

?

k

2

??

PA

x

?

2

1

?

??

x

?

1

??

xy

??

1

2

y

2

又点的坐标满足

P

x??

1

,则

y?3x?3

22

,

3

2

2121

yxyx

????

??

2

k

PA

??

故

22

2

1

?

k

PA

????

xyxx

?????

1133

22

????

2121

yxyx

????

??

???????

2242212

xxxxx

2

????

y

??k

PF

2

；

故假设成立存在实数常数使得成立；

,,

?

?2

?PFA?2?PAF

22

综上所述存在常数使得恒成立

,,.

?

?2

?PFA?2?PAF

22

111

??

??????

bfxxax

,其中.21.（12分）已知函数

a,b?R

????

??

2

ln

xxx

22

??

(1)讨论函数

fx

??

的单调性；

(2)

若函数存在三个零点（其中

fx

??

x,x,x

123

x?x?x

123

）

.

（i）若,函数,证明：；

a?1

gxxbgaa

????

??????

ln0

11

22

xa

????

11112113811

aa

2

??

（ii）若,证明：

0?a?1

????

?????

2

.

axxxx

????

381

aaa

2

??

1313

??

【解析】（）函数的定义域为

1.

fx

??

????

0,,

???

?

fx

?

①若时

a?1

,

????

xxa

??

1

x

3

0?x?1

1

0+-0-

极小值极大值

1?x?a

???

ax?a

fx

?

??

fx

??

②若时恒成立单调递减

a?1

,,,

fx?0

?

??

fx

??

③若时

0?a?1

0?x?aa?x?1x?1

fx

?

??

fx

??

a

+0--0

???

1

极大值极小值

④若时时单调递减；时单调递增

a?0

,,,.

x?0,1fx?0,fxfx?0,fx

??????????

??

x?1,??

??

综上所述,当时,单调递减,单调递增,单调递减；当

a?1

x?0,1,fxx?1,a,fxx?a,?,fx

????????????

?

a?1

时,单调递减；当时,单调递减,单调递

x?0,?,fxx?0,a,fx

????????

?

0?a?1

x?a,1

??

,

fx

??

增单调递减；当时单调递减单调递增

,,,.

x?1,?,fxx?0,1,fxx?1,?,fx

????????????

??

a?0

（2）（i）由（1）知当时,单调递减,

a?1

x?0,1,fx

????

x?1,a,fxx?a,?,fx

????????

单调递增,单调递减.

?

所以存在三个零点只需和即可

fxfa?0f1?0

??

,,

????

111

111

??

??

??????

baaa

0ln

且所以

??

??????

??

1ln10

ab

,

??

2

??

22

aaa

212

??

??

整理得且

baga

???

ln

1

1

??

b?a

.

2

a

2

11111

???????????

aaaaabgaa

lnln

,此时,

22222

aaa

??

1

令在上单调递减

ha??a?a

??

ln

,易知

ha

??

??

1,??

2

有

ha?h???

????

10

1

,

2

1

.所以

2

a

0

????

bgaa

??

（）由（）知当时单调递减

ii1,,,

0?a?1

x?0,a,fx

????

x?a,1,fx

????

单调递增,

x?1,?,fx

????

?

单调递减

所以

0?x?a?x?1?x

123

.若存在三个零点,只需和即可,

fxf1?0fa?0

??

????

111

??

111

??

??????

baaa

0ln

且所以

??

??????

??

1ln10

ab

,

??

2

??

22

aaa

212

??

??

11

整理得

aba

???

ln

,

22

a

因为,

fxxb

??

??????

1ln

设,即为,则方程

t

?

记

t,t,t

123

???

aa

?

11

2

xxx

22

1

xaa

?

111

??????

2

ln011ln01

xb?a?t?t?x?t?b?

??

2

xxx

2222

x

111

,

xxx

123

a

2

1

t?t?t?b??a?t?

ln011

三个不同的根

,

22

则

t,t,t

123

为方程

??

设

k

????

t

1

x

3

1

1

.

txa

31

????

11112113811

aa

2

??

要证：

????

?????

2

,

axxxx

????

381

aaa

2

??

1313

??

2113811

??

aa

2

??

即证：

??

tttt

1313

?????

??

2

,

a

??

381

aaa

2

??

??

2113811

aa

2

??

即证：

tt

13

????

2

,

a

381

aaatt

2

???

??

13

??

而

11ln011ln0

?a?t?t?t?t?b??a?t?t?t?t?b?

??

11113333

所以

lnln10

t?t?t?t?a?t?t?

131313

所以

tt

13

??????

2

aa

22

11

且

??

,

2222

a

22

????

,

2

??

22

lnln

tt

?

31

,

aatt

13

?

2113811

lnln

tt

13

?

aa

2

??

???

即证：

,

att

13

?

381

aaatt

2

???

??

13

??

即证：

??

tt

13

?

ln

tt

13

?

t

1

t

3

113811

aa

2

??

,

??

0

681

aa

2

??

??

即证：

??

kk

?

1ln

k

?

1

??

113811

aa

2

??

681

aa

2

??

??

0

,

记

?

??

kk

??

则

?

?

??

kkk

????

??

kk

?1ln

,1

,

k

?

1

11

??

2ln0

??

,

(1)

kk

?

2

??

所以在为增函数,所以

?

????

k1,??

??

????

k?a

所以

????

kkaa

??

1ln1ln

ka

??

11

????

113811113811

aaaa

22

????

681681

aaaa

22

????

????

0

,

??

aaa

???

1113811

??

2

,01ln

????

aaa

,

设

?

??

6181

??

aaa

???

??

2

则

?

?

??

a

??

aaaaaa

65432

??????

30141256141301

aaaa

(1)81

???

22

??

0

,

所以在上是增函数,

?

????

a0,1

所以

??

????

a?1?0

??

aaa

???

1113811

??

2

??

0ln

,

所以

a

2

6181

??

aaa

???

??

即

??

aa

?

1ln

a

?

1

??

113811

aa

2

??

681

aa

2

??

??

0

????

11112113811

aa

2

??

所以若

0?a?1,x?x?x

123

,则.

????

?????

2

axxxx

????

381

aaa

2

??

1313

??

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

?

x

?

cos

?

在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数）．以

xOy,

C

1

的方程为

x?y?4x?0

22

．曲线

C

2

?

?

y

??

1sin

?

?

坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线

C

1

和曲线

C

2

的极坐标方程；

(2)若射线（,

??

?

?

?0

0

?????R

????

ππ

）交曲线与曲线分别交于点M、

CC

11

于点P,直线和曲线

??

C

2

22

N,且点P、M、N均异于点O,求面积的最大值．

△MPN

【解析】（1）把,代入

x?cosy?sin

????

x?y?4x?0

22

,

得曲线．

C

1

的极坐标方程为

???

2

?4cos

,即

??

?4cos

?

x

?

cos

?

将中的参数消去,得曲线的普通方程为

?

C

2

x?y?2y?0

22

,

?

y

??

1sin

?

把,代入,得曲线的极坐标方程为．

x?cosy?sin

????

C

2

???

2

?2sin

,即

??

?2sin

3ππ

????

（2）由题得,

OP?4cos

?

OMON

??????

4cos4sin2sin2cos

????

????

,,

22

????

NM?OM?ON?4sin?2cos

??

,

因为,所以

OP?MN

S?MN?OP?????

△

MPN

11

??

4sin2cos4cos24sincos2cos

??????

??

2

22

?22sin2?cos2?1?25sin2??2?25?2

????

????

,

其中

tan0

??

???

,,

当,即时,的面积取得最大值．

2

???

????

1π

22

ππ

?

△MPN

25?2

242

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数的最小值为m,的最小值为n．实数a,b,c满足

gx?x?1

??

fx?gx?x

????

a?b?c?mabc?nc?0

,,,．

a?b

(1)求m和n；

(2)证明：

a?b??4

3

．

【解析】（1）函数的最小值为,此时,

g(x)?x?1

m?0

x?1

当时,

x?1

f(x)?x?1?x?2x?1

,

当时

0?x?1

,

f(x)?1?x?x?1

,

当时

x?0

,

f(x)?1?x?x??2x?1

,

?

21,1

xx

??

?

函数

fxxxx

??

??????

11,01

?

,

?

12,0

??

xx

?

函数在上单调递减,在上单调递增,

(??,0][1,??)

当时,

0?x?1

f(x)?1

,

所以函数的最小值为

f(x)

n?1

,

故

m?0,n?1

.

（2）由（1）知,,

a?b?c?0abc?1

因为,,

a?b??c?0

ab0

??

1

c

所以,,,,,

a<

0b?0?a?0?b?0

(a)(b)c

?????

??

??

ab

又因为

ababab

?????

()()()

??

,

2

??

2

1

ab

1

12

??

(a)(b)

????

所以

又

,

,

?

??

ab

abab

??

??

所以．

[(?a)?(?b)]?4

3

,

所以．所以

(?a)?(?b)?4

3

a?b??4

3

2