2023年新高考全国Ⅰ卷 数学试卷(含答案)

2023年11月21日发(作者：雷克萨斯es300h怎么样值得买吗)

2023年新高考Ⅰ卷——数学

2023年普通高等学校招生全国统一考试

数 学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1. 若集，,则：M?N=（ ）

M??2,?1,0,1,2

??

N?x|x?x?6?0

2

??

-101?2120?22

，，，

????????

A. B.C. D.

，，

2. 若，则Z?Z=（ ）

Z?

A.-i B.i C.0 D.1

1?i

2?2i

3. 已知向量，,若，则（ ）

aabab

?1,1b?1,?1???

????????

??

A. B. C. D.

????????

??1???1?1??1

xx?a

4. 设函数fx?2在区间（0，1）上单调递减，则的取值范围（ ）

??

??

a

A. B. C. D

????

??,?20?2，20，??2，

????

x

2

2

x

2

?y?1C:

2

的离心率分别为e，e，若，则=（ ） 5. 设椭圆,

12

e?3

21

e

a

C:?y?1a?1

1

2

??

2

4

a

A. B. C.3 D.6

23

3

2

6. 过（0，-2）与圆相切的两条直线的夹角为，则=（ ）

xyx

22

??4?1?0

a

sina

A.1 B. C. D.

15106

444

??

S

7. 记S为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）

n

????

aa

nn

??

n

??

n

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8. 已知，，则=（ ）

sincossin

??

????

???

A. B. C. D.

7117

9999

11

cos2?2

??

??

36

??

1

2023年新高考Ⅰ卷——数学

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 有一组样本数据x,x,?,x，其中x是最小值，x是最大值，则（ ）

12616

A.x,x,x,x的平均数等于x,x,?,x的平均数

2345126

B. x,x,x,x的中位数等于x,x,?,x的中位数

2345126

C. x,x,x,x的标准差不小于x,x,?,x的标准差

2345126

D. x,x,x,x的极差不大于x,x,?,x的极差

2345126

10. 噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，

L20lg

p

??

其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，下表为不同声源的声压级：

PP

00

??

?0

P

声源 与声源的距离/m 声压级/dB

燃油汽车 10

混合动力汽车 10

电动汽车 10 40

60~90

50~60

P

P

0

已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车10m处测得实际声压分别为P，P，P，

123

则（ ）

A. P?P B. P?10P C.P?100P D.P?100P

12233012

11. 已知函数的定义域为R,,则（ ）

fx

??

fxy?yf(x)?xf(y)

??

22

A. B.

ff

????

0?01?0

C.是偶函数 D.为的极小值点

fxfx

????

x?0

12. 下列物体中，能被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）

内的有

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或

3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_______种（用数字作答）。

2

2023年新高考Ⅰ卷——数学

14.在正四棱台ABCD?ABCD中,,AB?1,,则该棱台的体积为______。

111111

AB?2

AA?2

1

2?cos?1 0?0

???

??

，有且仅有3个零点，则的取值范围是15. 已知函数在区间

?

fxx，

????

________________。

xy

22

16. 已知双曲线C:??1(a?b?0)的左、右焦点分别为F,F,点在C上，点B在y轴

22

12

A

ab

2

A?FBF

上，，，则C的离心率为________________。

??

FAFB

22

12

3

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知在△ABC中，,。

A?B?3C

2sin??sin

??

ACB

（1）求sinA;

（2）设AB=5,求AB边上的高。

18.(12分)

如图，在正四棱柱ABCD?ABCD中，，AA?4，点A，B,C,D分别在

111112222

AB?2

棱AA，BB，CC，DD上，AA?1，BB?DD?2，CC?3。

11112222

（1）证明：BC//AD；

2222

（2）点P在棱BB上，当二面角P?AC?D为150°时，求BP。

12222

19.(12分)

已知函数。

fxaeax

??

???

x

(1)讨论的单调性；

fx

()

3

(2)证明：当时，。

a?0

f(x)2lna

??

2

D

C

D

2

A

2

A

D

1

C

2

C

11

A

1

P

B

2

B

B

??

3

2023年新高考Ⅰ卷——数学

20.(12分)

n?n

2

设等差数列的公差为d,且，令，记S，T分别为数列，

??????

aa

nnn

d?1

b

n

?

nn

b

a

n

的前n项和。

(1)若3a?3a?a，S?T?21，求的通项公式；

21333

??

a

n

(2)若为等差数列，且S?T?99，求d。

??

b

n

9999

21.(12分)

甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则

换为对方投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率

均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5。

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变X服从两点分布，且，,则

i

P?1?1?P?0?

????

XXq

iii

i?n

?1,2,,

??

nn

EX?q,记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y)。

??

??

ii

??

??

ii

?1?1

22. (12分)

??

1

在直角坐标系中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹

xOy

??

0

，

??

2

为W。

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33。

4

2023年新高考Ⅰ卷——数学

数学参考答案

一：选择题：

1.C 2.A 3.D 4.D 5.A

6.B 7.C 8.B

二、选择题：

三、填空题：

13.64 14. 15.16.

四、解答题：

17.解：(1)∵,

A?B?3CA?B?C?

?

∴,B=3C-A

C

?

7635

65

32

?

?

，

?

4

又∵

2sin(?)?sin

ACB

333

???

??

∴

2sinAcosC2cosAsinCsincosAcossinAAsin

?????

??

444

??

代入数据得，即：

2sinA2coscossinsincos

????

AAAAA

∴

tanA?3

22232

2222

又∵sinA?cosA?1， 0

22

?

∴

sinA

?

310

10

25

(2)由题(1)知

5

sinBsinACsinAC

??????

??

??

?

????

由正弦定理得：

BCACAB

??

sinsinsin

ABC

∴，

BC35

???

ABsinA

?

sinC

5

?

310

10

2

2

25

?????

6hBCsinB35

故AB边上的高

5

5

2023年新高考Ⅰ卷——数学

18.(1)证明：过D作DD//DC交于；过作//AB交于

2231322313

CCDAAABBA

由已知正四棱柱知：DC//AB,且DC=AB

∴DD//,DD=;即：四边形DD为平行四边形

232323232332

AAAAAA

由已知得：，=2-1=1，即:,

CD?2?1?1BACD?BACD//BA

132313231323

∴四边形D为平行四边形，即：CB//DA

CAB

23322233

故：D原题得证。

CB//A

2222

（2）如图建立坐标系，设P(0,0,b),则,,

C2,0,3A0,2,1D2,2,2

222

??????

∴，C，Pb

A?(2,0,1)

22

D

A?2,?2,2A?0,?2,?1

222

????

设二面角ACD为

P??

222

??

，即

?150?

∴面D的法向量；面的法向量b

ACn?(1,?1,?2)ACPn?(b?3,?1,2)

2221222

则

cos

?

???

2

nn

?

36

12

nn

12

?

2

63b14

?????

????

b

22

即，解得b=1或3，故

??

b-2?3?4BP?2??1

2

b

∴

BP?1

2

19.(1)解：由题意知，，

fxae

?

()1

??

x

fx?ae

??

??

x

当时，则ae，，所以在R上单调递减。

a?0

x

?0

fx?ae?1?0

?

??

x

fx

??

当时，，得在R上单调递增

a?0

fx?ae?0

??

??

x

fx

?

??

6

2023年新高考Ⅰ卷——数学

令，则

fx?ae?1?0x???a

?

??

x

lnln

1

a

?ln0???

afxfxx，

??

时，，单调递减； ∴当

?

????

?

??0??ln

??

时，，单调递增； 当

fxfxxa，

?

????

?

（2）由（1）知，时，在时取得最小值，

a?0x??lna

fx

??

∴

fx?f?lna?1?a?lna

????

min

2

31

??

令

ga?f?lna?2lna??a?lna?

????

??

2

22

??

∵，a

ga2a

?

??

??

1

1

g2

??

??

??

2

a

a

由,得，单调递增

a?0

ga?0ga

???

??

??

令（负根舍去） ，得a，从而

ga2a0a?

?

??

???

当时，，单调递减；

0?a?

当时，，单调递增。

a?

当时，，取得最小值，

a?

12

2?1?0

2

a2

2

ga?0ga

?

??

??

2

2

ga?0ga

?

????

2

??

22

2

ga?0ga

?

????

gln2ln10ln

??

?????

??

22

2

??

3

∴，则

ga?0

??

fxa

??

min

??

2ln

2

即原题得证。

fxa

??

??

2ln

3

2

20.（1）解：由题意：，aad，aa

3a?3a?a?3a?a?a

213213

??

3121

??2??d

∴adad，即，故

3d??2??

11

a?ndd>1

n

??

b?

n

又∵aaad，

S????6

3123

T??

3

由题意得：，解得d=3或（不合题意舍）

6d212d730

??????

2?3?49

dd

n

?1

d

91

2

d

d

2

∴的通项公式：

????

aa?3nn?N*

nn

7

2023年新高考Ⅰ卷——数学

nn

2

?

???

bnrb

0n

（2）解：设的公差为r,则

??

b

n

and

0

?

∴

nandbnrdrndbranab

22

?n???????

??????

000000

?

dr?1

?

故：，（）

?

db?ra?1

00

d?1?0?r?1

?

ab0

?

?

00

又∵

S?T?a?nd?b?nr?99a?b?d?r?99

99990000

?

????

n1

?

99

99?100

??

2

即：

a?b?50d?r?1

00

??

当时：

a?0db?1,dr?1

00

11

??

50d?r?1?b?50d??1??50d?d?51?0

??

0

??

2

dd

??

解得：(舍)

d??1

51

或

50

当时：

b?0ra?1,dr?1

00

a?50d?r?1??50?r?1?50r?r?51?0

0

??

11

??

??

2

rr

??

解得：,不合题意舍除

r?1?

或

综上所述，

d?

51

50

51

50

11

21.（1）

P?P?P??0.4??0.8?0.6

??????

?乙甲乙乙乙

22

（2）设第i次是甲投球的概率为，则是乙投球的概率为，

P1?P

ii

P?

1

∴

P0.6P0.21

i?iii

1

???P?P?

??

构造等比数列：，解得，

P

ii

?

1

??P???

???

21

55

1

2

21

??

5

3

2

1

??

即数列是以为公比的等比数列。

??

P

i1

?

?

3

??

5

12112

??????

则

P

i

??????

??????

35365

??????

i?i?

11

P

1

8

2023年新高考Ⅰ卷——数学

112

??

∴，

P

i

???

??

365

??

（3）当时，

n?1

i?

1

i?N*

12n52n

????

EYP1,nN*

??

???????

??

i

????

6531853

i?1i?1

????

当时，

n?0

nn

i?1

n

??

??

??

??

520

??

??

EY?0?1??

??

??

??

1853

??

??

??

0

n

??

52n

??

综上所述，

EY?1??,n?N*

??

??

??

1853

??

??

??

22.（1）解：设点

Px,y

??

11

??

由题意得

x?y??y?x?y???y

??

2222

y

24

??

2

1

整理得：，经验证成立。

y?x?

2

4

1

故W的方程为

y?x?

2

4

1

1

??

（2）设A、B、C三点在W上,且AB⊥BC,AB斜率为k,BC斜率为，

?

Bb,b?

??

2

4

??

k

?

2

1

x

y??

?

?

4

联立方程整理得

?

x?kx?kb?b?0

22

?

y?kx?b?b?

??

2

1

?

?

4

由韦达定理得：，

x?x?kx?x?kb?b

ABAB

2

∴

AB?1?kx?x?1?kx?x?4xx?1?kk?2b

222

ABABAB

同理，

BC12b12

???????b

1111

kk

22

??

2

kk

11

?b?BC?????

2AB1kk2b1

2

k

k

2

又∵,即

k??1k??1

11

k

k

9

2023年新高考Ⅰ卷——数学

∴和，不妨设 中必有一个值

k1k?01?0

1

??

??

，，

k

1

k

2

?1?k1?

2

等号在k=1时成立。 则

??

11

??

∴

L?2AB?BC?21?kk?2b??2b?21?kk?

矩形

ABCD

周长

??

22

??

??

kk

??

??

L?2

矩形周长

ABCD

设，

ft??t?3t??3t?k?0,1

??

??

1?k

2

k

2

3

3

1?t

??

1

2

2

tt

?

?

∵

ft?2t?3??

?

??

1

tt

22

2

2t?1t?1

????

??

1

∴在时，，单调递减，

t?0,

??

ft?0ft

?

????

??

2

??

1

在时，，单调递增，

t?1

?

，

?

ft?0ft

?

????

2

??

??

127

ft?f?

??

min

??

??

24

∴

L?2?33

矩形

ABCD

周长

27

4

10