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2023年11月21日发(作者：丰田suv小型车新款)
2023年新高考地区数学选填压轴题汇编(三)
一、单选题
y
x
2
1.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知双曲线C-=1a>0,b>0与抛物线C=
12
：：y
22
??
2
ab
2pxp>0有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线C
??
2
相交于点
2
B，若点A为线段FB的中点，双曲线C=( )
1
的离心率为e，则e
2
A.B.C.D.
3+15+15+15+2
2233
2.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的x∈
12
，x
xfx-xfx
1122
????
+∞)，且x≠x<0成立，则不等式mfm-2m-1f2m-1>0的解集0，
12
，都有
??????
?
x-x
12
为( )
A.B.(-∞，1)C.1,∞D.-∞,∪1,+∞
1，
????
33
11
????
xxx
357
3.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式sinx=x-+-+
3!5!7!
x1
2n-1
n-1
?+-1+?，(其中x∈R，n∈N
??
*
，n!=1×2×3×?×n?0!=1)，现用上述公式求1-
2!
??
2n-1!
111
+-+?+-1+?的值，下列选项中与该值最接近的是( )
??
n-1
4!6!
??
2n-2!
A.sin30B.sin33C.sin36D.sin39
????
4.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2
辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为( )
A.288B.336C.576D.1680
5.(2022·山东·模拟预测)已知函数f(x)=xe-2a(lnx+x)有两个零点，则a的最小整数值为( )
x
A.0B.1C.2D.3
π
单调递减，且
3
?
6.(2022·山东·模拟预测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，在0,
?
?
?
在该区间上没有零点，则ω的取值范围为( )
33353
???????
A.,2B.1,C.,D.0,
???
???????
22222
????
?
y
2
x
2
7.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)直线x-y+1=0经过椭圆+=1a>b>0的左焦点
22
??
ab
???
??
F，交椭圆于A、B两点，交y轴于C点，若FC=2AC
，则该椭圆的离心率是( )
A.B.C.22-2D.2-1
10-23-1
22
???
??
8.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知△OAB，OA=1，OB=2，OA?OB=-1，过点O作OD垂
1
????
1
??
??
直AB于点D，点E满足OE，则EO的值为( )
=ED?EA
2
3122
A.-B.-C.-D.-
2821921
9.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)若函数fx=e-2x图象在点x,fx处的切线方程为y=
??????
x
00
kx+b，则k-b的最小值为( )
A.-2B.-2+C.-D.-2-
111
eee
10.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知定义域是R的函数fx满足：?x∈R，f4+x+f-x=
??????
0，f1+x为偶函数，f1=1，则f2023=( )
??????
A.1B.-1C.2D.-3
11.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形
的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109，这样
??
28
的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的
数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF-A的三个顶点
??????
BCDEF
A,C,E处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的三棱锥M-ABF,O-BCD,N-
DEF，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于点P，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面PBOD与正六边
形底面所成的二面角的大小为θ，则( )
33
tan5444A.tanθ=tan5444B.sinθ=
????
33
33
C.cosθ=tan5444D.tanθ=
??
3
tan5444
??
12.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知2021lna=a+m，2021lnb=b+m，其中a≠b，若ab<λ
恒成立，则实数λ的取值范围为( )
A.2021e,+∞B.2021,+∞C.2021,+∞D.2021e,+∞
???
???????
22
22
?
?
试卷第1页，共3页
2
y
2
x
2
13.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)己知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别
22
ab
?????
??????
为F、F，过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F，F
121112
A=ABB?FB=0，则C的离心
率为( )
A.2B.5C.3+1D.5+1
ωx31
+sinωx-ω>0,x∈R.若14.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知函数fx=cos
????
222
2
函数fx在区间π,2π内没有零点，则ω的取值范围是
????
55511
???
??
1212612
???
55511
C.0,D.0,∪,
??
????
???
612612
????
A.0,∪,B.0,
???
1
3
?
?
1
15.(2022·湖南·高三开学考试)已知a=2,b=5,c=(2+e)
e
，则a,b,c的大小关系为( )
A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b
16.(2022·湖北·高三开学考试)已知a,b,c均为不等于1的正实数，且lnc=alnb,lna=blnc，则a,b,c的大小
关系是( )
A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b
17.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)设fx是定义在R上的连续的函数fx的导函数，fx-fx+
??
????????
2e<0(e为自然对数的底数)，且f2=4e
x2x
??
，则不等式fx>2xe的解集为( )
??
A.-2,0∪2,+∞B.e,+∞C.2,+∞D.-∞,-2∪2,+∞
????????????
18.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)已知实数α，β满足αe=1，βlnβ-1=e
α-34
??
，其中e是自然对数的
底数，则αβ的值为( )
A.eB.2eC.2eD.e
3344
2
y
x
2
19.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知Fc,0(其中c>0)是双曲线-=
??
22
ab
1a>0,b>0的焦点.圆x+y-2cx+b=0与双曲线的一条渐近线l交于A、B两点.已知l的倾斜角
??
222
为30°.则tan∠AFB=( )
A.-2B.-3C.-22D.-23
20.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)设函数fx=sinx-1+e-e-x+3，则满足
????
x-11-x
fx+f3-2x<6的x的取值范围是( )
????
A.3,+∞B.1,+∞C.-∞,3D.-∞,1
????????
二、多选题
??
logx,(0<x<2)
2
2
??
x≥2x-8x+13,
21.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数fx=
??
?
?
?
，若fx=a有四个不
??
同的实数解x，x，x，x，且满足x，则下列命题正确的是( )
12341234
<x<x<x
A.0<a<1B.x+2x∈22,
C.x+x+x+x∈10,D.2x+x∈22,3
123412
??
21
2
12
?
?
?
9
2
?
?
?
3
22.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-ABCD
1111
的表面上一个
动点，则( )
A.当P在平面BCCBDD的体积不变
1111
上运动时，四棱锥P-AA
ππ
??
B.当P在线段AC上运动时，DP与AC
111
所成角的取值范围是，
?
?
??
32
C.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π+42
D.若F是AB
11
的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF?平面
BCD
11
时，PF长度的最小值是5
23.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知正数x，y，z满足3=4=12
xyz
，则( )
A.+=B.6z<3x<4yC.xy<4zD.x+y>4z
111
xyz
2
24.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，
他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，
例如[-2.1]=-3，[2.1]=2.则下列说法正确的是( )
A.函数y=x-[x]在区间[k,k+1)(k∈Z)上单调递增
sinx
B.若函数f(x)=
x-x
，则y=[f(x)]的值域为{0}
e-e
C.若函数f(x)=|1+sin2x-1-sin2x|，则y=[f(x)]的值域为{0,1}
D.x∈R，x≥[x]+1
25.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发
展的混沌理论在生物学?经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概
念，定义如下：设f(x)是定义在R上的函数，对于x∈R，令x
nn-1
=f(x)(n=1，2，3，?)，若存在正整数k
使得x，且当0<j<k时，x，则称x是f(x)的一个周期为k的周期点.若f(x)=
k0j00
=x≠x
2x，x<
1
2
，下列各值是f(x)周期为1的周期点的有( )
1
2(1-x)，x≥
2
12
A.0B.C.D.1
33
?
?
?
26.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)在数列a中，对于任意的n∈N>0，且a-a=a
??
nnn+1n+1n
*2
都有a则下列，
结论正确的是( )
A.对于任意的n≥2，都有a>1B.对于任意的a>0，数列a不可能为常数列
n1n
C.若0<a<2，则数列a为递增数列D.若a>2，则当n≥2时，2<a<a
1n1n1
??
??
27.(2022·山东·模拟预测)已知点P在棱长为2的正方体ABCD-ABCD
1111
的表面上运动，点Q是CD的中
点，点P满足PQ⊥AC，下列结论正确的是( )
1
A.点P的轨迹的周长为32B.点P的轨迹的周长为62
C.三棱锥P-BCQ的体积的最大值为D.三棱锥P-BCQ的体积的最大值为
42
33
28.(2022·山东·模拟预测)正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形是数学上的正弦曲
线而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型信号或
试卷第1页，共3页
4
测试信号而获得广泛应用已知某个声音信号的波形可表示为f(x)=2sinx+sin2x，则下列叙述不正确的
是( )
A.f(x)在[0,2π)内有5个零点B.f(x)的最大值为3
C.(2π,0)是f(x)的一个对称中心D.当x∈0,
29.(2022·山东·模拟预测)已知函数f(x)=(x)-t?f(x)=0有四个实数根x,x,x,
?
π
??
时，f(x)单调递增
2
?
?
-x-4x,x<0
2
e,x≥0
x
，方程f
2
123
x<x<x<x
41234
，且满足x，下列说法正确的是( )
A.xx∈(-6ln2,0]
14
B.x+x+x+x
1234
的取值范围为[-8,-8+2ln2)
C.t的取值范围为[1,4)
D.xx
23
的最大值为4
30.阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中
(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)
教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两
条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C：y=x上两个不同点A,B横坐标分别为
2
x
12
，x，以A,B为切点的切线交于P点.则关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有( )
A.若AB过抛物线的焦点，则P点一定在抛物线的准线上
33
B.若阿基米德三角形PAB为正三角形，则其面积为
4
C.若阿基米德三角形PAB为直角三角形，则其面积有最小值
|x-x|
12
2
D.一般情况下，阿基米德三角形PAB的面积S=
4
31.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知函数f(x)=xlnx，若0<x<x
12
，则下列结论正确的是( )
A.xfx<xfx
2112
????
B.x+fx<x+fx
1122
????
fx-fx
????
12
C.<0
x-x
12
D.当lnx>-1时，xfx+xfx>2xfx
112221
??????
32.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知a，b为正实数，且ab=32a+b-42，则2a+b的取值可
以为( )
A.1B.4C.9D.32
1
4
33.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)下列不等式正确的是( )
A.log3<log9B.log3<lg15C.log12>log15D.log12>log36
24281286
34.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数f(x)=xln(1+x)，则( )
A.f(x)在(0,+∞)单调递增
B.f(x)有两个零点
11
C.曲线y=f(x)在点-,f-
????
处切线的斜率为-1-ln2
22
D.f(x)是偶函数
5
xlnx,x>0
?
?
?
x=00,
，则下列说法正确的有( )
35.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数fx=
??
?
1
fx+1,x<0
?
?
??
?
2
1
???????
x+3lnx+3A.当x∈-3,-2时，fx=
8
B.若不等式fx-mx-m<0至少有3个正整数解，则m>ln3
??
?
C.过点A-e,0作函数y=fxx>0图象的切线有且只有一条
??????
-2
a
a
D.设实数a>0，若对任意的x≥e，不等式fx≥e
??
x
恒成立，则a的最大值是e
x
36.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射
后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物
线的焦点．已知抛物线C:y从点M(5,2)射入，经
2
=2px(p>0)，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l
1
过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线l射出，经过点N．下列说法正确的是( )
2
A.若p=2，则|AB|=4
B.若p=2，则MB平分∠ABN
C.若p=4，则|AB|=8
D.若p=4，延长AO交直线x=-2于点D，则D，B，N三点共线
37.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知a>1，x-x<x<
12312
，x，x为函数f(x)=a的零点，x
x2
x
3
，下列结论中正确的是( )
A.x>-1B.x+x<0
112
C.若2x=x+x=2+1D.a的取值范围是1,e
213
，则
x
3
x
2
??
e
2
38.(2022·湖北·高三开学考试)关于函数fx=ae+sinx,x∈-π,π，下列结论中正确的有( )
????
x
A.当a=-1时，fx的图象与x轴相切
??
B.若fx在-π,π上有且只有一个零点，则满足条件的a的值有3个
????
C.存在a，使得fx存在三个极值点
??
D.当a=1时，fx存在唯一极小值点x<0
????
00
，且-1<fx
x
?
?
x-1
,x<1
39.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)已知函数fx=
??
?
，下列选项正确的是( )
5lnx
?
?
x
,x≥1
A.函数fx的单调减区间为-∞,1、e,+∞
??????
B.函数fx的值域为-∞,1
????
5
,+∞C.若关于x的方程fx-afx=0有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
??
e
5
D.若关于x的方程fx-afx=0有5个不相等的实数根，则实数a的取值范围是1,
2
????
??
?
?
?
e
?
2
????
??
试卷第1页，共3页
6
40.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知函数f(x)=sin4x++cos4x-
????
论正确的是( )
ππ
，则下列结
36
A.f(x)的最大值为2
ππ
??
B.f(x)在-,上单调递增
?
??
812
?
C.f(x)在[0,π]上有4个零点
ππ
D.把f(x)的图象向右平移
个单位长度，得到的图象关于直线x=-对称
128
41.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知函数f2x+1的图像关于直线x=1对称，函数y=
??
fx+1关于点1,0对称，则下列说法正确的是( )
????
A.f1-x=f1+xB.fx的周期为4
??????
C.f1=0D.fx=f-x
????
3
??
2
三、填空题
42.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=x-2ae
????
x
+2a-4.若f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则实数a的值为___________.
2
43.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)空间四面体ABCD中，∠ACD=60
??
，二面角A-CD-B的大小为45，
在平面ABC内过点B作AC的垂线l，则l与平面BCD所成的最大角的正弦值
___________.
44.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)函数f(x)=a+2bx+e
x2
，其中a，b为实数，且a∈(0,1).已知对任意b>
4e
2
，函数f(x)有两个不同零点，a的取值范围为___________________.
????????????
??
?
45.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知平面向量a=-e-e+e=
，b和单位向量e，e满足e，a
121212
??
??
??????
???
3a+e-e，b=λa+μe
??
121
，2λ+μ=2，当a变化时，b的最小值为m，则m的最大值为_______
??
___.
y
2
x
2
46.(2022·山东·模拟预测)已知双曲线Ω:-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F,F,P为Ω上一点，M
22
12
ab
2a
为△PF的内心，直线PM与x轴正半轴交于点H，|OH|=，且PF
1212
F=3PF，则Ω的渐近线方程为
????
3
________．
47.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)在平面四边形ABCD中，AB=CD=1，BC=2，AD=2，
∠ABC=90°，将△ABC沿AC折成三棱锥，当三棱锥B-ACD的体积最大时，三棱锥外接球的体积为_
_____．
48.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知数列a中，a==a+
??
n1nn-1
31
，且满足a
22
1λ
**
若对于任意n∈N≥an≥2,n∈N，
，都有成立，则实数λ的最小值是_________.
n
n
??
n
2
7
49.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知函数y=e
-2x+1
的图象与函数y=的图象关于
ln-x-1-3
??
2
某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．
50.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数fx=x+aln2x+1有两个不同的极值点x
????
2
121
、x，且x
<x
2
，则实数a的取值范围是___________.
51.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，O为
????????
23
△ABC的外心，且有AB+BC=AC，sinC(cosA-3)+cosAsinA=0，若AO=xAB+yAC
，x,
3
y∈R，则x-2y=________．
52.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)如图，正方形ABCD的边长为10米，以点A为顶点，引出放射角为
πππ
的阴影部分的区域，其中∠EAB=x，，记AE，AF的长度之和为fx．
≤x≤
??
6124
则fx的最大值为___________．
??
53.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知a=
___________(用>连接).
2ln33
，b=，c=，则a、b、c的大小关系是
ln4ln22
54.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知正方体ABCD-ABCD
1111
的棱长为3，点E为棱
DC-
1111
上一动点，点F为棱BB上一动点，且满足EF=2，则三棱锥B
EFC-EFC
111
的体积取最大值时，三棱锥B外接球的表面积为______
_____.
四、双空题
y
2
5-1x
2
55.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)定义离心率是+
的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆E:
210m
2
y
x
2
=1(10>m>0)是“黄金椭圆”，则m=___________，若“黄金椭圆”C:+=1(a>b>0)两
22
ab
个焦点分别为F的内心，
1212
??
-c,0、F(c,0)(c>0)，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是△PFF
|PM|
连接PM并延长交F于点N，则
12
F=___________．
|MN|
试卷第1页，共3页
8
新高考数学选填压轴题(三)
一、单选题
y
x
2
1.已知双曲线C-=1a>0,b>0与抛物线C=
(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)
12
：：y
22
??
2
ab
2pxp>0有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线C
??
2
相交于点
2
B，若点A为线段FB的中点，双曲线C=( )
1
的离心率为e，则e
2
A.B.C.D.
3+15+15+15+2
2233
【答案】B
【解析】根据题意，作图如下：
p
2
因为双曲线C和抛物线C共焦点，故可得a，
12
+b=
4
bbc
又Fc,0到y=
??
x的距离d==b，即AF=b，又A为
??
a
a+b
22
BF中点，则BF=2b，
??
ppp
2
22
设点Bx,y，则2b=x+，解得x=2b-；由a可得
??
+b=
224
??
OA=a，
114ab
则由等面积可知：，
×BF×OA=×OF×y，解得y=
??????
22p
p
4ab
则B2b-，
??
,
2p
2abbb2ab
2
则x，又点A在渐近线y=，即2a
AA
=b,y=x上，即==pb，
2
paap
bab5-1
222
2224224
又p，联立得a，
=4a+4b-ab-b=0，即-+1=0，解得=
222
2
aba
b5+1
2
2
故e.
=1+=
2
2
a
故选：B.
22
2.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的x∈
12
，x
xfx-xfx
1122
????
+∞)，且x≠x<0成立，则不等式mfm-2m-1f2m-1>0的解集0，
12
，都有
??????
?
x-x
12
为( )
A.B.(-∞，1)C.1,∞D.-∞,∪1,+∞
11
1，
????
33
????
【答案】D
【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数
∴gx=xfx为定义在R上的偶函数
????
xfx-xfx
1122
????
又∵
<0
x-x
12
∴gx=xfx在0，+∞)上递减，则gx在-∞,0上递增
????????
?
mfm-2m-1f2m-1>0即mfm>2m-1f2m-1
????????????
1
则m<2m-1解得：m∈-∞,
????
??
∪1,+∞．
??
3
故选：D．
9
xxx
357
3.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式sinx=x-+-+
3!5!7!
x1
2n-1
n-1
?+-1+?，(其中x∈R，n∈N
??
*
，n!=1×2×3×?×n?0!=1)，现用上述公式求1-
2!
??
2n-1!
111
+-+?+-1+?的值，下列选项中与该值最接近的是( )
??
n-1
4!6!
??
2n-2!
A.sin30B.sin33C.sin36D.sin39
????
【答案】B
xxxx
2462n-2
n-1
【解析】(sinx)
=cosx=1-+-+?+-1+?
??
2!4!6!
??
2n-2!
1111
所以cos1=1-
+-+?+(-1)+?
n-1
2!4!6!
(2n-2)!
?
π180
?
-1=sin90-=sin
??
??
?
，由于
2π
180
?
??
??
90-
π
与33最接近，
故选：B
4.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2
辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为( )
A.288B.336C.576D.1680
【答案】B
【解析】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的
停法有4×3×2=24种,
第二步,排黑车,若白车选AF,则黑车有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7种选择,黑车是不相同的,故
黑车的停法有2×7=14种，
根据分步计数原理,共有24×14=336种,
故选：B
5.(2022·山东·模拟预测)已知函数f(x)=xe-2a(lnx+x)有两个零点，则a的最小整数值为( )
x
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
【解析】f(x)=xe
xx+lnx
-2a(lnx+x)=e-2a(lnx+x)，
1
设t=x+lnx(x>0)，t
?
=1+>0，即函数在0,+∞上单调递增，易得t∈R，于是问题等价于函数
??
x
gt=e-2at在R上有两个零点，gt=e-2a，
????
t?t
若a≤0，则g
?
????
t>0，函数gt在R上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；
若a>0，则x∈-∞,ln2a时，g
??
??
??????????
t<0，gt单调递减，x∈ln2a,+∞时，gt>0，gt单调递增.
e
因为函数gt在R上有两个零点，所以gt，
????
min
=gln2a=2a1-ln2a<0?a>
????
2
而g0=1>0，
??
限定t>1 ，记φt=e
??
t?tt
-t，φt=e-1>0，即φt在1,+∞上单调递增，于是φt=e-t>φ1=
??????????
10
tttte
22
tt
e-1>0?e>t，则t>2时 ，e>?e>-2at=t-8a，因为a>
，此时gt>，所以8a
??
??
24442
>4e>1，于是t>8a时，gt>0.
?
?
e
综上：当a>时，有两个交点，a的最小整数值为2.
2
故选：C.
t
2
6.(2022·山东·模拟预测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，在0,
?
?
?
在该区间上没有零点，则ω的取值范围为( )
33353
???????
A.,2B.1,C.,D.0,
???
???????
22222
????
【答案】D
【解析】因为函数为偶函数，且在0,单调递减，所以φ=，于是f
?
?
?
?
π
单调递减，且
3
?
πππ
+kπk∈Z，而0<φ<π，则φ=
??
?
322
πππ3
(x)=Acosωx(ω>0)，函数在ω≤?ω∈0,.0,
??
且在该区间上没有零点，所以0<单调递减，
??
?
?
??
3322
故选：D.
y
2
x
2
7.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)直线x-y+1=0经过椭圆+=1a>b>0的左焦点
22
??
ab
???
??
F，交椭圆于A、B两点，交y轴于C点，若FC=2AC
，则该椭圆的离心率是( )
A.B.C.22-2D.2-1
10-23-1
22
【答案】A
【解析】由题意可知，点F-c,0在直线x-y+1=0上，即1-c=0，可得c=1，
??
直线x-y+1=0交y轴于点C0,1，
??
???
??
设点Am,n，FC
??
=1,1，AC=-m,1-n，
????
1
m=-
???
??
-2m=1
2
由FC可得，解得，
=2AC
?
1
?
?
21-n=1
??
n=
2
22
y
2
x10
2
椭圆，
22
+=1a>b>0的右焦点为E1,0，则AE=1++0-=
????
??
????
11
22
2
ab
22
210+2
又AF=-1+，∴2a=AE+AF=，
??????
????
11
+0-=
22
22
410-2
??
2c2410-2
因此，该椭圆的离心率为e=.
====
2a82
10+210+2
2
故选：A.
???
??
8.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知△OAB，OA=1，OB=2，OA?OB=-1，过点O作OD垂
????
1
??
??
直AB于点D，点E满足OE，则EO的值为( )
=ED?EA
2
3122
A.-B.-C.-D.-
2821921
?
?
?
【答案】D
【解析】由题意，作出图形，如图，
11
???
??
∵OA=1，OB=2，OA?OB=-1
???
??
1
∴OA?OB=1×2cos∠AOB=2cos∠AOB=-1，∴cos∠AOB=-
，
2
2π
由∠AOB∈0,π可得∠AOB=，
??
3
∴AB=OA+OB-2?OA?OB?cos∠AOB=7，
22
1133
又S，则OD=，
△AOB
=?OA?OB?sin∠AOB=?OD?AB=
222
7
?????
????????
??
22
2232
∴EO?EA=-OE?ED+DA=-2OE=-?OD=-×=-
??
.
99721
故选：D．
9.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)若函数fx=e-2x图象在点x,fx处的切线方程为y=
??????
x
00
kx+b，则k-b的最小值为( )
A.-2B.-2+C.-D.-2-
【答案】D
【解析】由fx=e
??
x?x?x
-2x求导得：f(x)=e-2，于是得f(x)=e-2，
0
0
111
eee
函数f(x)=e
xxx
-2x图象在点(x,f(x))处的切线方程为y-(e-2x)=(e-2)(x-x)，
0000
00
整理得：y=(e，从而得k=e，k-b=x
xxxxx
-2)x+(1-x)e-2,b=(1-x)ee-2，
000
00000
令g(x)=xe，当x<-1时，g
x?x??
-2，则g(x)=(x+1)e(x)<0，当x>-1时，g(x)>0，
于是得g(x)在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,+∞)上单调递增，则g(x)，
min
=g(-1)=-2-
所以k-b的最小值为-2-.
故选：D
10.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知定义域是R的函数fx满足：?x∈R，f4+x+f-x=
??????
0，f1+x为偶函数，f1=1，则f2023=( )
??????
A.1B.-1C.2D.-3
【答案】B
【解析】因为f1+x为偶函数，所以fx的图象关于直线x=1对称，所以f2-x=fx，又由f4+x
??????????
+f-x=0，得f4+x=-f-x，所以f8+x=-f-4-x=-f6+x，所以fx+2=-fx，所
????????????????
以fx+4=fx，故fx的周期为4，所以f2023=f3=-f1=-1．
????????????
故选:B．
11.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形
的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109，这样
??
28
的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的
数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF-A的三个顶点
??????
BCDEF
1
e
1
e
12
A,C,E处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的三棱锥M-ABF,O-BCD,N-
DEF，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于点P，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面PBOD与正六边
形底面所成的二面角的大小为θ，则( )
33
tan5444A.tanθ=tan5444B.sinθ=
????
33
33
C.cosθ=tan5444D.tanθ=
??
3
【答案】C
tan5444
??
【解析】先证明一个结论：如图，△ABC在平面α内的射影为△ABC ，
?
S
π
C-AB-C
?
的平面角为θ,θ∈0, ，则cosθ=.
??
△ABC
2
S
△ABC
证明：如图，在平面β内作CE⊥AB，垂足为E，连接EC，
?
?
因为△ABC在平面α内的射影为△ABC，故CC
??
⊥α，
因为AB?α，故CC
?
⊥AB，
因为CE∩AB=E，
故AB⊥平面ECC.
?
因为EC，
??
?平面ECC
故C为二面角的平面角，
??
E⊥AB，所以∠CEC
所以∠CEC
?
=θ.
在直角三角形CEC中，cos∠CEC.
??
=cosθ==
由题设中的第二图可得：cosθ=.
S
EC
?
△ABC
S
△ABC
EC
?
S
△DBC
S
△DBO
133
22
设正六边形的边长为a，则S，
△DBC
=a×=a
224
如图，在△DBO中，取BD的中点为W，连接OW，则OW⊥BD，
且BD=3a，∠BOD=109，
°?
28
31
故OW=，
a×
2
tan5444
°?
13
13131
×3a×a×=a×=
2
，故S
°?°?
224
tan5444tan5444
3
故cosθ=.
tan5444
°?
3
故选：C.
△DBO
12.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知2021lna=a+m，2021lnb=b+m，其中a≠b，若ab<λ
恒成立，则实数λ的取值范围为( )
A.2021e,+∞B.2021,+∞C.2021,+∞D.2021e,+∞
???
???????
22
【答案】C
【解析】令f(x)=lnx-，
1112021-x
x，则f(x)=-=
?
2021x20212021x
∴当x∈(0,2021)时，f(x)>0，当x∈(2021,+∞)时，f(x)<0，
??
b
∵f(2021)>0，∴设0<a<2021<b，则=t(t>1)，
a
b2021lnt2021tlnt
两式相减，得2021ln，b=at=，
=b-a，则2021lnt=a(t-1)，∴a=
at-1t-1
2021?t(lnt)
2
2
∴ab=
，
(t-1)
2
令g(t)=t(lnt)，∴g
222
-(t-1)(t)=(lnt)+2lnt-2t+2，
?
2
令h(t)=(lnt)
2
+2lnt-2t+2，则h(t)=(lnt+1-t)，
?
t
1
令m(t)=lnt+1-t，则m
?
(t)=-1<0，
t
∴函数m(t)在(1,+∞)上单调递减，∴m(t)<m(1)=0,即h(t)<0,∴h(t)<h1=0，
?
??
∴g(t)<0，∴函数g(t)在(1,+∞)上单调递减，∴g(t)<g1=0，
?
??
t(lnt)
2
22
∴t(lnt)-(t-1)<0，∴∴ab<2021<1，
2
，
2
(t-1)
∴实数λ的取值范围为2021,+∞，
?
2
?
故选：C．
y
2
x
2
13.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)己知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别
22
ab
?????
??????
为F、F，过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F，F
121112
A=ABB?FB=0，则C的离心
率为( )
A.2B.5C.3+1D.5+1
22
?
?
【答案】A
【解析】如下图示，
?????
??????
因为F，F中点，
11212
A=ABB?FB=0，O是FF
所以A是F
11211
B中点且FB⊥FB，则OA⊥FB，OF=OB=c，
y
2
x
2
因为直线OA是双曲线
22
-=1的渐近线，
ab
baa
所以k，k，直线F
OAFB1
=-=B的方程为y=(x+c)，
a
bb
y=(x+c)
a
acabcac
242
b
2
联立，解得B，则|OB|
??
2222
,=+
22
2
b
b-ab-a
b-a
??
y=x
a
1
?
?
?
14
abc
222
222
整理得b，，
=3a=c
22
2
??
b-a
因为c，所以4a，e=
22222
-a=b=c=2.
故选：A
14.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知函数fx=cos+sinωx-ω>0,x∈R.若
????
2
函数fx在区间π,2π内没有零点，则ω的取值范围是
????
55511
???
??
1212612
???
55511
C.0,D.0,∪,
??
????
???
612612
????
A.0,∪,B.0,
???
【答案】D
1π
66
ππ
【解析】 (1)ωπ+ ，则{ ，取k=
??
,2ωπ+?(2kπ,2kπ+π),k∈Z，则{
66
π5
2ωπ+≤2kπ+πω≤k+
612
5
0 ，∵ω>0, ∴0<k≤
；
12
π5
ωπ+≥2kπ+πω≥2k+
66
ππ
(2)ωπ+,2ωπ+?(2kπ+π,2kπ+2π),k∈Z，则{
??
，解得：{ ，取k
66
π11
2ωπ+≤2kπ+2πω≤k+
612
511
=0 ，∴≤k≤
；
612
5511
???
综上可知：k 的取值范围是0,
?
∪,，选D.
??
?
12612
???
ωx+ω≥2k-≥2kπ
15.已知a=2,b=5,c=(2+e)
(2022·湖南·高三开学考试)
3
e
，则a,b,c的大小关系为( )
A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b
【答案】A
【解析】由题意，可得a=(2+2)，
23
,b=(2+3),c=(2+e)
e
x
-ln2+x
??
1
x+2
?
所以令fx=，
??
?ln2+x,(x>0)，则fx=
????
x
x
2
x-x
令gx=
??
-ln2+x,(x>0)，则gx=<0，
????
?
x+2
(x+2)
2
所以gx在0,+∞上单调递减，gx<g0=0，所以f
????????
?
??
x<0恒成立，
所以fx在0,+∞上单调递减，
????
因为2<e<3，所以f2>fe>f3，即
??????
1
23
11
ee
1
1
1
1
1
1
c
a
ωx31
222
?
?
111
ln2+2>ln2+e>ln2+3，
??????
2e3
1
23
1
所以ln(2+2)，所以4，即b<c<a.
>ln(2+e)>ln(2+3)>(2+e)>5
故选：A.
16.(2022·湖北·高三开学考试)已知a,b,c均为不等于1的正实数，且lnc=alnb,lna=blnc，则a,b,c的大小
关系是( )
A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b
【答案】D
【解析】∵lnc=alnb,lna=blnc且a、b、c均为不等于1的正实数，
15
则lnc与lnb同号，lnc与lna同号，从而lna、lnb、lnc同号.
①若a、b、c∈0,1，则lna、lnb、lnc均为负数，
??
lna=blnc>lnc，可得a>c，lnc=alnb>lnb，可得c>b，此时a>c>b；
②若a、b、c∈1,+∞，则lna、lnb、lnc均为正数，
??
lna=blnc>lnc，可得a>c，lnc=alnb>lnb，可得c>b，此时a>c>b.
综上所述，a>c>b.
故选：D.
17.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)设fx是定义在R上的连续的函数fx的导函数，fx-fx+
??
????????
2e<0(e为自然对数的底数)，且f2=4e
x2x
??
，则不等式fx>2xe的解集为( )
??
A.-2,0∪2,+∞B.e,+∞C.2,+∞D.-∞,-2∪2,+∞
????????????
【答案】C
fxfx-fxfx-fx-2e
??????????
??x
?
【解析】设gx=，
??
xxx
-2x，则gx=-2=
??
eee
∵fx-fx+2e<0，
????
?x
∴gx>0，函数gx在R上单调递增，
?
????
又f2=4e，
??
2
f2
??
∴g2=-4=0,
??
2
e
fx
??
由fx>2xe，可得
??
x
x
-2x>0，
e
即gx>0=g2，又函数gx在R上单调递增，
??????
所以x>2，即不等式fx>2xe的解集为2,+∞.
????
x
故选：C．
18.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)已知实数α，β满足αe=1，βlnβ-1=e
α-34
??
，其中e是自然对数的
底数，则αβ的值为( )
A.eB.2eC.2eD.e
3344
【答案】D
【解析】因为αe，所以α+lnα=3．
α-3α3
=1，所以αe=e
因为βlnβ-1=e，所以lnβ+lnlnβ-1=4．
????
4
联立，
?
α+lnα-3=0
?
?
????
lnβ-1+lnlnβ-1-3=0
所以α与lnβ-1是关于x的方程x+lnx-3=0的两根．
构造函数fx=x+lnx-3，该函数的定义域为0,+∞，且该函数为增函数，
????
由于fα=flnβ-1=0，所以α=lnβ-1，又α+lnα-3=0，
????
所以lnβ-1+lnα-3=0，即lnαβ=4，解得αβ=e．
??
4
故选：D．
y
x
2
19.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知Fc,0(其中c>0)是双曲线-=
??
22
ab
1a>0,b>0的焦点.圆x+y-2cx+b=0与双曲线的一条渐近线l交于A、B两点.已知l的倾斜角
??
222
2
为30°.则tan∠AFB=( )
A.-2B.-3C.-22D.-23
16
【答案】C
【解析】如图所示：
x+y-2cx+b=0，
222
化为x-c，
??
2
+y=c-b=a
2222
因为渐近线l的倾斜角为30°，
b3
所以tan30，
?
==
a3
圆心Fc,0到直线y=
??
b
x的距离为：d==b，
a
??
a
2
1+
??
b
a
bc
又AF=BF=a，
1b316
所以cos，
∠AFB==,sin∠AFB=
2a323
1
则tan
∠AFB=2，
2
2tan∠AFB
1
2×2
2
所以tan∠AFB=
==-22，
2
2
1
1-2
??
1-tan∠AFB
2
故选：C
20.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)设函数fx=sinx-1+e-e-x+3，则满足
????
x-11-x
fx+f3-2x<6的x的取值范围是( )
????
A.3,+∞B.1,+∞C.-∞,3D.-∞,1
????????
【答案】B
【解析】假设gx=sinx+e
??
x-x
-e-x,x∈R，
所以g-x=sin-x+e
????
-xx
-e+x，所以gx+g-x=0，
????
所以gx为奇函数，
??
而fx=sinx-1+e
????
x-11-x
-e-x-1+3是gx向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所
????
以fx的对称中心为1,3，所以6=fx+f2-x，
????????
由fx=sinx-1+e
????
x-11-x?x-11-xx-1
-e-x+4求导得fx=cosx-1+e+e-1=e++
????
cosx-1-1
??
11
1
=2，+≥2e?当且仅当e=
x-1x-1x-1
因为e即x=1，取等号，
x-1x-1
x-1
e
ee
所以f
?
????
x≥0,所以fx在R上单调递增，
因为fx+f3-2x<6=fx+f2-x得f3-2x<f2-x
????????????
所以3-2x<2-x，解得x>1，
故选：B
二、多选题
??
logx,(0<x<2)
?
21.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数fx=
??
?
?
x-8x+13,x≥2
2
2
1
e
x-1
??
，若fx=a有四个不
??
同的实数解x，x，x，x，且满足x，则下列命题正确的是( )
12341234
<x<x<x
A.0<a<1B.x+2x∈22,
C.x+x+x+x∈10,D.2x+x∈22,3
123412
??
21
2
12
?
?
?
9
2
?
?
?
17
【答案】ACD
【解析】在同一坐标系中作出函数y=fx,y=a的图象，如图所示：
??
由图象知：若fx=a有四个不同的实数解，则0<a<1，故A正确；
??
1
因为log，则，
????
212221222
x=logx，即-logx=logx=x
x
1
1119
所以x在1,2上递增，所以，故B错
122222
+2x=+2x,1<x<2，因为y=+2x+2x∈3,
??
??
xxx2
222
误；
1115
因为x在1,2上递增，所以，而x
12222234
+x=+x,1<x<2，y=+x+x∈2,+x=8，所以
??
??
xxx2
222
21
x+x+x+x∈10,
1234
??
，故C正确；
2
212
因为2x在1,2上递减，在2,2上递增，则
122222
+x=+x,1<x<2，y=+2x+x∈[22,
????
xxx
222
3)，故D正确；
故选：ACD
22.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-ABCD
1111
的表面上一个
动点，则( )
A.当P在平面BCCBDD的体积不变
1111
上运动时，四棱锥P-AA
ππ
??
B.当P在线段AC上运动时，DP与AC
111
所成角的取值范围是，
?
??
32
?
C.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π+42
D.若F是AB
11
的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF?平面
BCD
11
时，PF长度的最小值是5
【答案】ABC
【解析】A选项，底面正方形AA
1111
DD的面积不变，P到平面AADD的距离
为正方体棱长，故四棱锥P-AA
11
DD的体积不变，A选项正确；
B选项，DP与ACP与AC所成角，当P在端点A，C时，所成角最小，为
1111
所成角即D，当P在AC
中点时，所成角最大，为，故B选项正确；
π
2
π
3
1
圆弧如图，，AD，以及以A为圆心2为半径的
4
C选项，由于P在正方体表面，P的轨迹为对角线AB
111
18
故P的轨迹长度为π+42，C正确；
D选项，FP 所在的平面为如图所示正六边形，故FP的最小值为6，D选项错误.
故选：ABC.
23.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知正数x，y，z满足3=4=12
xyz
，则( )
A.+=B.6z<3x<4yC.xy<4zD.x+y>4z
111
xyz
2
【答案】ABD
【解析】设3
xyz
=4=12=t，t>1，
则x=log
3412
t，y=logt，z=logt，
11111
所以，A正确；
+=+=log3+log4=log12=
ttt
xylogtlogtz
34
2logt2log3
12t
6z
因为
===log9<1，则6z<3x，
12
3xlogtlog12
3t
3logt3log4log64
3tt
3x
因为
====log64<1，则3x<4y，
81
4y4logt4log3log81
4tt
所以6z<3x<4y，B正确；
因为x+y-4z=log
3412
t+logt-4logt=+-=-=
??
log3-log4
tt
2
log3+log4
tt
1144
log3log4log12log3log4log3+log4
ttttttt
>0，
log3log4log3+log4
tttt
??
则x+y>4z，D正确.
x+yxy
111
因为，则，C错误.
=+==x+y>4z，所以xy>4z
2
zxyxyz
故选：ABD.
24.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，
他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，
例如[-2.1]=-3，[2.1]=2.则下列说法正确的是( )
A.函数y=x-[x]在区间[k,k+1)(k∈Z)上单调递增
sinx
B.若函数f(x)=
x-x
，则y=[f(x)]的值域为{0}
e-e
C.若函数f(x)=|1+sin2x-1-sin2x|，则y=[f(x)]的值域为{0,1}
D.x∈R，x≥[x]+1
【答案】AC
【解析】对于A，x∈[k,k+1)，k∈Z，有[x]=k，则函数y=x-[x]=x-k在[k,k+1)上单调递增，A正
确；
19
对于B，f
????
3π13π
??
==-∈(-1,0)，则fB不正确；=-1，
3π3π3π3π
?
?
??
--
2222
22
e-ee-e
sin
3π
2
对于C，f(x)=(1+sin2x-1-sin2x)
2
=2-21-sin2x=2-2|cos2x|，
2
1
当0≤|cos2x|≤时，1≤2-2|cos2x|≤2，1≤f(x)≤2，有[f(x)]=1，
2
1
当
<|cos2x|≤1时，0≤2-2|cos2x|<1，0≤f(x)<1，有[f(x)]=0，y=[f(x)]的值域为{0,1}，C正
2
确；
对于D，当x=2时，[x]+1=3，有2<[2]+1，D不正确.
故选：AC
25.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发
展的混沌理论在生物学?经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概
念，定义如下：设f(x)是定义在R上的函数，对于x∈R，令x
nn-1
=f(x)(n=1，2，3，?)，若存在正整数k
使得x，且当0<j<k时，x，则称x是f(x)的一个周期为k的周期点.若f(x)=
k0j00
=x≠x
2x，x<
1
2
，下列各值是f(x)周期为1的周期点的有( )
1
2(1-x)，x≥
2
12
A.0B.C.D.1
33
?
?
?
【答案】AC
【解析】A：x
01
=0时，x=f0=0，周期为1，故A正确；
??
112222
B：x==f==f==?=x=
0123n
时，x，x，x，
????
333333
1
所以不是fx的周期点.故B错误；
??
3
22
C：x==x=?=x=
012n
时，x，周期为1，故C正确；
33
D：x=1时，x=f1=0，∴1不是fx周期为1的周期点，故D错误.
01
????
故选：AC.
26.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)在数列a中，对于任意的n∈N>0，且a-a=a
??
nnn+1n+1n
*2
都有a则下列，
结论正确的是( )
A.对于任意的n≥2，都有a>1B.对于任意的a>0，数列a不可能为常数列
n1n
C.若0<a<2，则数列a为递增数列D.若a>2，则当n≥2时，2<a<a
1n1n1
??
【答案】ACD
【解析】A：由a有a
n+1nn+1n
=+1，对?n∈N>0，则a=+1>1，即任意n≥2都有a>1，正
确；
B：由a(a-1)=a为常数列且a>0，则a=2满足a>0，错误；
n+1n+1nnnn1
，若a
??
a
C：由=a-1且n∈N
n
n+1
*
，
a
n+1
a
当1<a，数列a
n+112212n
<2时0<<1，此时a=a(a-1)∈(0,2)且a<a递增；
n
??
a
n+1
a
当a
n+11222n
>2时>1，此时a=a(a-1)>a>2，数列a递减；
n
??
a
n+1
所以0<a
1n
<2时数列a为递增数列，正确；
??
aa
nn
*
aa
n+1n+1
??
20
D：由C分析知：a>2时a>2且数列a递减，即n≥2时2<a<a
1n+1nn1
??
，正确.
故选：ACD
27.(2022·山东·模拟预测)已知点P在棱长为2的正方体ABCD-ABCD
1111
的表面上运动，点Q是CD的中
点，点P满足PQ⊥AC，下列结论正确的是( )
1
A.点P的轨迹的周长为32
B.点P的轨迹的周长为62
4
3
2
D.三棱锥P-BCQ的体积的最大值为
3
C.三棱锥P-BCQ的体积的最大值为
【答案】BD
【解析】取BC的中点为E，取BB的中点为F，取A的中点为G，取
111
B
AD
11
的中点为H，
取DD的中点为M，分别连接QE,EF,FG,GH,HM,MQ，
1
由AC
111
⊥QE,AC⊥EF，且QE∩EF=E，所以AC⊥平面EFGHMQ，
由题意可得P的轨迹为正六边形EFGHMQ，其中|QE|=|EF|=2，
所以点P的轨迹的周长为62，所以A不正确，B正确；
当点P在线段HG上运动时，此时点P到平面BCQ的距离取得最大值，
112
此时V有最大值，最大值为V，
P-BCQmax
=××2×1×2=
323
所以C不正确，D正确．
故选：BD
28.(2022·山东·模拟预测)正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形是数学上的正弦曲
线而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型信号或
测试信号而获得广泛应用已知某个声音信号的波形可表示为f(x)=2sinx+sin2x，则下列叙述不正确的
是( )
A.f(x)在[0,2π)内有5个零点B.f(x)的最大值为3
C.(2π,0)是f(x)的一个对称中心D.当x∈0,
【答案】ABD
【解析】对于A，由f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx)，
令f(x)=0，则sinx=0或cosx=-1，易知f(x)在[0,2π)上有2个零点，A错误．
对于B，因为2sinx≤2,sin2x≤1，由于等号不能同时成立，所以f(x)<3，B错误．
对于C，易知f(x)为奇函数，函数关于原点对称，又周期为2π，故(2π,0)是f(x)的一个对称中心．
对于D，f
?
(x)=2cosx+2cos2x=2(2cosx-1)(cosx+1)，因为cosx+1≥0，所以2cosx-1>0时，
ππ
即：x∈2kπ-
??
,2kπ+(k∈Z)时，f(x)单调递增，
33
π5π
x∈2kπ+,2kπ+(k∈Z)时，f(x)单调递减，故D错误．
??
33
故选：ABD
29.(2022·山东·模拟预测)已知函数f(x)=(x)-t?f(x)=0有四个实数根x,x,x,
?
π
??
时，f(x)单调递增
2
?
?
-x-4x,x<0
2
e,x≥0
x
，方程f
2
123
x<x<x<x
41234
，且满足x，下列说法正确的是( )
21
A.xx∈(-6ln2,0]
14
B.x+x+x+x
1234
的取值范围为[-8,-8+2ln2)
C.t的取值范围为[1,4)
D.xx
23
的最大值为4
【答案】BC
【解析】f
2
(x)-t?f(x)=0?f(x)[f(x)-t]=0?f(x)=0或f(x)=t，
作出y=f(x)的图象，
当f(x)=0时，x
1
=-4，有一个实根；
当t=1时，有三个实数根，∴共四个实根，满足题
意；
当t=4时，f(x)=t只有两个实数根，所以共三个
实根，不满足题意，此时与y=e的交点坐标为
x
(2ln2,4).
要使原方程有四个实根，等价于f(x)=t有三个实
根，等价于y=f(x)与y=t图像有三个交点，故t∈
[1,4)，x∈[0,2ln2)，所以xx∈(-8ln2,0]，故A错
414
误，C正确；
又因为x
2312344
+x=-4，所以x+x+x+x=-8+x
的取值范围为[-8,-8+2ln2))，B正确；
??
-x+x
??
23
因为x
23232323
+x=-4,x<x<0，所以xx=-x?-x<=4，故D错误．
????
?
?
??
2
2
?
?
故选：BC.
30.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中
教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两
条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C：y=x上两个不同点A,B横坐标分别为
2
x
12
，x，以A,B为切点的切线交于P点.则关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有( )
A.若AB过抛物线的焦点，则P点一定在抛物线的准线上
33
B.若阿基米德三角形PAB为正三角形，则其面积为
4
C.若阿基米德三角形PAB为直角三角形，则其面积有最小值
|x-x|
12
2
D.一般情况下，阿基米德三角形PAB的面积S=
4
【答案】ABC
【解析】由题意可知：直线AB一定存在斜率，
所以设直线AB的方程为：y=kx+m，
22
由题意可知：点A(x，
112212
,x),B(x,x)，不妨设x<0<x
1
4
由y=x
2?
?y=2x，所以直线切线PA,PB的方程分别为：
22
y-x=2x(x-x),y-x=2x(x-x)，
111222
2
y-x=2x(x-x)
111
?
两方程联立得：，
2
?
?
y-x=2x(x-x)
222
x+x
21
x+x
12
x=
2
，解得：所以P点坐标为：，
,xx
12
??
2
y=xx
12
?
?
?
22
直线AB的方程与抛物线方程联立得：
y=kx+m
?
?x-kx-m=0?x+x=k,xx=-m.
2
1212
?
?
y=x
2
11
，准线方程为 y=-，的焦点坐标为0,
44
??
11
因为AB过抛物线的焦点，所以m=，而x，
12
x=-m=-
44
显然P点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；
A：抛物线C：y=x
2
B：因为阿基米德三角形PAB为正三角形，所以有|PA|=|PB|，
22
x+xx+x
1212
22
22
-x+(xx-x)=-x+(xx-x)
11212122
????
22
因为 x，所以化简得：x，
1212
≠x=-x
，即
222
此时A(x
11111
,x),B(-x,x)， P点坐标为：(0,-x)，
因为阿基米德三角形PAB为正三角形，所以有|PA|=|AB|，
3
22
22
所以(0-x，
11111
)+(-x-x)=-2x?x=-
2
因此正三角形PAB的边长为3，
11333
所以正三角形PAB的面积为，
×3×3?sin60=×3×3×=
°
2224
故本选项说法正确；
C：阿基米德三角形PAB为直角三角形，当PA⊥PB时，
x+xx+x
1212
-x-x
12
1
22
所以k，
PAPB12
?k=-1??=-1?xx=-
22
4
xx-xxx-x
121122
1
直线AB的方程为：y=kx+
4
k1
所以P点坐标为：点 P到直线AB的距离为：，
??
24
,-
k11
??
244
?k+-×(-1)+
??
1
2
=k+1，
2
k+(-1)
2
2
22
2222
|AB|=(x-x)+(x-x)=(x-x)[1+(x+x)]
12121212
=[(x+x)-4xx][1+(x+x)]，
121212
22
1
因为x，所以 AB=(k，
1212
+x=k,xx=-+1)(1+k)=1+k
222
4
1111
因此直角PAB的面积为：，
×?k+1?(k+1)=(k+1)≥
222
3
2244
1
当且仅当k=0时，取等号，显然其面积有最小值，故本说法正确；
4
D：因为x+x=k,xx=-m，所以
1212
222
2222
|AB|=(x-x)+(x-x)=(x-x)[1+(x+x)]=x-xk+1，
1212121212
??
点P到直线AB的距离为：
x+xx+x
1212
?k+(-1)?x?x+m?(x+x)+(-1)?x?x-(xx)
12121212
2
22
1
(x-x)
12
==?
,
2
k+(-1)k+(-1)k+1
222
22
3
2
??
x-x
12
11
(x-x)
12
2
所以阿基米德三角形PAB的面积S=，
?x-x?k+1??=
??
12
224
k+1
2
故本选项说法不正确.
????
故选：ABC
23
31.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知函数f(x)=xlnx，若0<x<x
12
，则下列结论正确的是( )
A.xfx<xfx
2112
????
B.x+fx<x+fx
1122
????
fx-fx
????
12
C.<0
x-x
12
D.当lnx>-1时，xfx+xfx>2xfx
112221
??????
【答案】AD
【解析】 对于A选项，因为令gx=时，gx
??
gx，所以<fx<xfx．故A选项正确；
??????
22112
f(x)
=lnx，在0,+∞上是增函数，所以当0<x<x<
????
121
x
f(x)f(x)
12
，即x
xx
12
对于B选项，因为令gx=fx+x=xlnx+x，所以g′x=lnx+2，所以x∈e
??????
????
-2
,+∞时，g′x>0,
gx单调递增，x∈0,e时，g′x<0,gx单调递减．所以x+fx与x+fx无法比较大小．故
????????????
-2
1122
B选项错误；
111
时，f′x<0,fx在0,单调递减，x∈时，对于C选项，令f′x=lnx+1，所以x∈0,
??????
??????
eee
,+∞
f(x)-f(x)
12
11
f′x>0,fx在,+∞<x<>fx，故<0成
????????
??
单调递增，所以当0<x时，fx
1212
eex-x
12
f(x)-f(x)
12
1
立，当时，fx
<x<x<fx，>0．故C选项错误；
1212
????
ex-x
12
对于D选项，由C选项知，当lnx>-1时，fx单调递增，又因为A正确，x
??
2112
fx<xfx成立，
????
所以x
11222111222112
?fx+x?fx-2xfx>x?fx+x?fx-xfx-xfx
??????????????
=xfx-fx+xfx-fx=x-xfx-fx>0,故D选项正确.
1122211212
??????
??????????????
故选：AD．
32.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知a，b为正实数，且ab=32a+b-42，则2a+b的取值可
以为( )
A.1B.4C.9D.32
【答案】BD
【解析】因为a，b为正实数，ab=32a+b-42，所以32a+b-42=ab=，当且
仅当2a=b时等号成立，即32a+b-42≤，所以2a+b-622a+b+16≥0，所以
2ab2a+b
≤
222
2a+b
??
22
2a+b≥42或2a+b≤22，因为a，b为正实数，ab=32a+b-42，所以32a+b-42>0，
4232
所以2a+b≥42或
<2a+b≤22．所以2a+b≥32或<2a+b≤8．
39
故选：BD．
33.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)下列不等式正确的是( )
A.log3<log9B.log3<lg15C.log12>log15D.log12>log36
24281286
【答案】CD
【解析】选项A：log
24
3=log3=log9，故不正确；
2
2
2
3ln2x2ln3x
????
-
3x2x
??
ln3x
??
?
设fx=log
??
2x
????
3x(x≥1)，因为x≥1，所以fx===
?
?
?
?
2
??
ln2xln2x
????
?
24
ln2x-ln3x
????
<0，所以fx在[1,+∞)上单调递减，
??
xln2x
2
??
所以选项B：f1=log
??
210
3>log15=lg15=f5，故不正确；
??
选项C：f4=log
??
81012
12>f5=log15>log15，故正确；
??
选项D：f4=log
??
8366
12>f18=log54=log36，故正确，
??
故选:CD．
34.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数f(x)=xln(1+x)，则( )
A.f(x)在(0,+∞)单调递增
B.f(x)有两个零点
11
C.曲线y=f(x)在点-,f-
????
处切线的斜率为-1-ln2
22
D.f(x)是偶函数
【答案】AC
【解析】由f(x)=xln(1+x)知函数的定义域为(-1,+∞)，
x
f(x)=ln(1+x)+
?
，
1+x
x
当x∈(0,+∞)时，ln(1+x)>0,
>0，∴f(x)>0，
?
1+x
故f(x)在(0,+∞)单调递增，A正确；
由f(0)=0，当-1<x<0时，ln(1+x)<0,f(x)=xln(1+x)>0，
当ln(1+x)>0,f(x)>0，所以f(x)只有0一个零点，B错误；
11111
?
令x=-，f处切线的斜率为-1-
??????
-=ln-1=-ln2-1，故曲线y=f(x)在点-,f-
22222
ln2，C正确；
由函数的定义域为(-1,+∞)，不关于原点对称知，f(x)不是偶函数，D错误.
故选：AC
xlnx,x>0
?
?
?
x=00,
，则下列说法正确的有( )
35.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数fx=
??
?
1
?
?
?
2
fx+1,x<0
??
1
A.当x∈-3,-2时，fx=x+3lnx+3
???????
?
8
B.若不等式fx-mx-m<0至少有3个正整数解，则m>ln3
??
C.过点A-e,0作函数y=fxx>0图象的切线有且只有一条
??????
-2
a
a
D.设实数a>0，若对任意的x≥e，不等式fx≥e
??
x
恒成立，则a的最大值是e
x
【答案】ACD
【解析】对于A：当x∈-3,-2，∴x+3∈0,1，fx+3=x+3lnx+3，∵fx=
??????????
??
1
A正确；x+3lnx+3，fx=
??????
8
对于B：fx<mx+m，画出y
??
12
=fx与y=mx+m的图象，根据函数的图象，
??
1
fx+3，∴
??
8
25
要想至少有3个正整数解，要满足f3<3m+m，∴m>
??
3
ln3，故B错；
4
对于C：设切点Tx
????
00AT0
,y则k=fx，
?
xlnx
00
∴=lnx+1，即ex+lnx+1=0，设hx=ex+lnx+1，当x>0时，hx>0，∴hx是单
000
22?
??????
1
x+
0
2
e
111
调递增函数，∴hx=0最多只有一个根，又h
??
??
222
=e?+ln+1=0，
2
eee
11
∴x=x=-1得切线方程是x+y+=0，故C正确；
00
22
，由f
?
??
ee
a
a
对于D.：由题意e
lnxx?x
?lnx≥e.设gx=x?ex>0，则gx=x+1e>0，于是gx在0,+∞上
x
????????????
x
aa
是增函数.因为
>0，lnx>0，所以≤lnx，即a≤xlnx对任意的x≥e恒成立，因此只需a≤
xx
fx=lnx+1>0x≥e，所以fx在e,+∞上为增函数，所以xlnx.设fx=xlnxx≥e，
?
?????????????
?
min
fx=f(e)=e，所以a≤e，即a的最大值是e，选项D正确；
??
min
故选：ACD.
36.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射
后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物
线的焦点．已知抛物线C:y从点M(5,2)射入，经
2
=2px(p>0)，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l
1
过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线l射出，经过点N．下列说法正确的是( )
2
A.若p=2，则|AB|=4
B.若p=2，则MB平分∠ABN
C.若p=4，则|AB|=8
D.若p=4，延长AO交直线x=-2于点D，则D，B，N三点共线
【答案】ABD
【解析】若p=2，则抛物线C:y
2
=4x，A(1,2)，C的焦点为F(1,0)，直线AF
的方程为：x=1，可得B(1,-2)，|AB|=4，选项A正确；
p=2时，因为|AM|=5-1=4=|AB|，所以∠AMB=∠ABM，
又AM∥BN，所以∠AMB=∠MBN，所以MB平分∠ABN，选项B正确；
14
若p=4，则抛物线C:y，2，C的焦点为F(2,0)，直线AF的方程为y=-
2
=8x，A(x-2)，联立抛物
??
23
25
线方程求解可得B(8,-8)，所以|AB|=，选项C不正确；
2
1
若p=4，则抛物线C:y，2，延长AO交直线x=-2于点D，则D(-2,-8)，由C选项可知B
2
=8x，A
??
2
26
(8,-8)，所以D，B，N三点共线，故D正确.
故选：ABD．
37.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知a>1，x-x<x<
12312
，x，x为函数f(x)=a的零点，x
x2
x
3
，下列结论中正确的是( )
A.x>-1B.x+x<0
112
C.若2x=x+x=2+1D.a的取值范围是1,e
213
，则
【答案】ACD
【解析】∵a>1,f-1=a
??
-10
-1=-1<0,f0=a-0=1>0 ，
∴-1<x<0 ，故A正确；
1
当0≤x≤1 时，1≤a
x2
≤a,0≤x≤1 ，fx 必无零点，故x>1 ，
??
2
∴x+x>0 ，故B错误；
12
2x
x=2log-x
1a1
??
a=x
1
2x
当2x 时，即 ，两边取对数得 ，
2132
=x+xa=x
x=2logx
2a2
2x
a=x
3
x=2logx
3a3
x
3
x
2
??
e
2
1
??
a
?
?
?
1
2
3
?
?
?
2
4logx=2log-x+2logx=-xx
a2a1a3213
??
，x ，
2
x=-xx
213
22
联立方程 解得x
?
323223
-2xx-x=0 ，由于x>0,x>0 ，
?
?
2x=x+x
213
x
3
=2+1 ，故C正确；
x
2
考虑fx 在第一象限有两个零点：即方程a 有两个不同的解，
??
x2
=x
两边取自然对数得xlna=2lnx 有两个不同的解，
lnax-
??
2
2
lna
设函数gx=xlna-2lnx ，g ，
??
?
??
x=lna-=
xx
2
则x=x 时，g 时，g
00
=x=0 ，当x>xx>0 ，
??
????
lna
2
当x<x 时，g ，
0min0
?
??????
x<0 ，所以gx=gx=2-2ln
??
lna
2
要使得gx 有两个零点，则必须gx
??
??
0
<0，即ln>1 ，
??
lna
解得a<e ，故D正确；
e
故选：ACD.
38.(2022·湖北·高三开学考试)关于函数fx=ae+sinx,x∈-π,π，下列结论中正确的有( )
????
x
A.当a=-1时，fx的图象与x轴相切
??
B.若fx在-π,π上有且只有一个零点，则满足条件的a的值有3个
????
2
27
C.存在a，使得fx存在三个极值点
??
D.当a=1时，fx存在唯一极小值点x<0
????
00
，且-1<fx
【答案】BCD
【解析】对于A，f(x)=-e
x?xx
+sinx，f(x)=-e+cosx=0，即e=cosx，
π
由函数y=e、y=cosx的图像可知方程有两个根：x，x
x
12
∈-,0=0，
??
2
f(x)=-1,f(x)=sinx-e<0，
211
x
1
即斜率为0的切线其切点不在x轴上，故A错误；
sinxsinx
对于B，f(x)=0?a=-，令g(x)=-，
xx
ee
sinx-cosx3ππ
g(x)=,π,g(x)>0,g(x)单调递增，
??
，x∈-π,-、x∈
????
x
44
e
3ππ3π2π2
x∈-,,g(x)单调递减，g(-π)=0,g-=,g=-,g(π)=0，
??????
3π
π
4444
2e
4
2e
4
sinx
结合图像可知满足f(x)=0?a=-在-π,π上有且只有一个零点的a的值
x
??
e
22
有3个：0，，-，故B正确；
3π
π
4
4
2e
2e
cosx
对于C，f
?x
(x)=ae+cosx=0?a=-=h(x)，
x
e
2sinx+
??
π
π
4
h(x)=,h(x)<0,h(x)单调递减，
??
，可知x∈-π,-
??
x
4
e
π3π3π
x∈-,,h(x)>0,h(x)单调递增， x∈,π,h(x)<0,h(x)单调递减，
????
??
444
π2e3π21
=-,h=,h(π)=h(-π)=e,h-
????
3π
π
，
424
e
2e
4
12cosx
故a∈时，a=-
πx
,=h(x)有三个实数根，fx存在三个极值点，
3π
??
ee
2e
4
π
π
4
??
故C正确；
对于D,f，
?xx
(x)=e+cosx=0?e=-cosx,由图像可知此方程有唯一实根x
0
3π
11123π12
?
因为e，f
2
>2，所以<,<-=-<0，
3π3π
??
2243π2
2
4
e
e
e
4
x
3πππ
x∈-,-)=e+sinx=sinx-cosx=2sinx-
000000
????
，f(x，
424
可知-1<f(x
0
)<0，故D正确.
0
故选：BCD.
x
?
?
x-1
,x<1
39.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)已知函数fx=
??
?
，下列选项正确的是( )
5lnx
?
?
x
,x≥1
A.函数fx的单调减区间为-∞,1、e,+∞
??????
B.函数fx的值域为-∞,1
????
5
,+∞C.若关于x的方程fx-afx=0有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
??
e
5
D.若关于x的方程fx-afx=0有5个不相等的实数根，则实数a的取值范围是1,
2
????
??
?
?
?
e
?
2
????
??
【答案】ACD
28
【解析】对于A选项，当x<1时，fx=，则f
??
当x≥1时，fx=，则f，由f
??
x1
?
??
x=-<0，
2
x-1
??
x-1
51-lnx
??
5lnx
??
????
x=x<0可得x>e，
2
x
x
所以，函数fx的单调减区间为-∞,1、A对；e,+∞，
??????
1
对于B选项，当x<1时，fx=1+
?
?
<1，
x-1
5lnx5
当x≥1时，0≤fx=，
??
≤fe=
??
xe
5
因此，函数fx的值域为-∞,
??
?
?
B错；，
?
e
?
对于CD选项，作出函数fx的图像如下图所示：
??
若a≤0，由f
2
????????
x-afx=0可得fx=0，则方程fx=0只有两个不等的实根；
??
若a>0，由f
2
??????????
x-afx=0可得fx=0或fx=a或fx=-a，
??
由图可知，方程fx=0有2个不等的实根，方程fx=-a只有一个实根，
????
5
若关于x的方程f，C对；
2
????
x-afx=0有3个不相等的实数根，则a>
??
e
5
若关于x的方程f，D对.
2
????
x-afx=0有5个不相等的实数根，则1≤a<
??
e
故选：ACD.
40.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知函数f(x)=sin4x++cos4x-
????
论正确的是( )
A.f(x)的最大值为2
ππ
??
B.f(x)在-,上单调递增
?
??
812
?
C.f(x)在[0,π]上有4个零点
ππ
D.把f(x)的图象向右平移
个单位长度，得到的图象关于直线x=-对称
128
【答案】ACD
【解析】因为f(x)=sin，所以A正确；
??????
ππππ
+4x-+cos4x-=2cos4x-
2666
πππ2πππππ
??????
当x∈-在-
,时，4x-∈-, ，函数f(x)=2cos4x-,上先增后减，无单调
???
???
??
??????
8126366812
性，故B不正确；
ππππkπ
令2cos4x-
??
=0，得4x-=+kπ,k∈Z，故x=+,k∈Z，因为x∈[0,π]，所以k=0,1,2,3，
66264
故C正确；
ππππ
??
把f(x)=2cos4x-的图象向右平移个单位长度，得到y=2cos4x-
????
-=
?
?
??
612126
ππ
，则下列结
36
29
ππ
=2sin4x的图象，当x=-2cos4x-
时．y 取得最小值-2，故D正确．
28
??
故选：ACD
41.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知函数f2x+1的图像关于直线x=1对称，函数y=
??
fx+1关于点1,0对称，则下列说法正确的是( )
????
A.f1-x=f1+xB.fx的周期为4
??????
C.f1=0D.fx=f-x
????
【答案】AB
【解析】f2x的图像关于直线x=对称，fx的图像关于x=3对称，
????
3
2
又关于点2,0中心对称，所以周期为4，所以B正确而D错误；
??
又f3-x=f3+x，其中x换x+1得f2-x=f4+x=fx，
??????????
再将x换x+1得f1-x=f1+x，但无法得到f(1)=0 所以A正确C错误.
????
故选：AB.
三、填空题
3
??
2
42.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=x-2ae
????
x
+2a-4.若f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则实数a的值为___________.
2
【答案】2
【解析】由偶函数的对称性知：f(x)在(-∞,0)、(0,+∞)上各有一个零点且f(0)=0，
所以f(0)=2(a+1)(a-2)=0，则a=-1或a=2，
当a=-1时，在(0,+∞)上f(x)=(x+2)e
x?x
-2，则f(x)=(x+3)e>0，
所以f(x)在(0,+∞)上递增，f(x)>f(0)=0，故无零点，不合要求；
当a=2时，在(0,+∞)上f(x)=(x-4)e，
x?x
+4，则f(x)=(x-3)e
所以f(x)在(0,3)上递减，在(3,+∞)上递增，
则f(x)≥f(3)=4-e
3
<0且f(0)=0，f(4)=4，故(0,+∞)上有一个零点，符合要求；
综上，a=2.
故答案为：2
43.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)空间四面体ABCD中，∠ACD=60
??
，二面角A-CD-B的大小为45，
在平面ABC内过点B作AC的垂线l，则l与平面BCD所成的最大角的正弦值___________.
10
【答案】
4
【解析】记过点B作AC的垂线l，垂足为E，过点E作垂直于直线CE的平面α，α
交平面BCD于直线BF，则当平面ABC⊥BF时，l与平面BCD所成角最大，
且与∠ECH互余.
此时，因为平面ACB⊥BF，BF?平面BCD
所以平面ACB⊥平面BCD，
则由点E向平面BCD作垂线，垂足H在CB上，过H作CD垂线HG，垂足为G，连接EG.
由题知，∠EGH=45°，记GH=m，则在Rt△GEH中，EH=m,EG=2m
26m
又∠ACG=60°，所以在Rt△EGC中，CE=，
3
EHm6
在Rt△EHC中，sin∠ECH=
==
4
EC
26m
3
30
记此时l与平面BCD所成角为θ，则sinθ=cos∠ECH=1-.
故答案为：
10
4
2
10
??
6
=
4
4
44.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)函数f(x)=a+2bx+e
x2
，其中a，b为实数，且a∈(0,1).已知对任意b>
4e
2
，函数f(x)有两个不同零点，a的取值范围为___________________.
-8
【答案】e
?
,1
?
【解析】因为fx有两个不同零点?fx=0有两个不相等的实根
????
即a
x2
+2bx+e=0有两个不相等的实根；
所以e
xlna2
+2bx+e=0 ，令t=xlna ，
2bt
则e
t2
++e=0 ，t显然不为零，
lna
2be+e
t2
所以- ，因为a∈0,1 ，b>4e ，
=
??
2
lnat
2b
所以-
>0 ，所以t>0 ；
lna
te-e+e
tt2
??
e+e
t2
?
令gt= ；
??
则gt=t>0 ，
????
t
t
2
令ht=te
??
tt2?tttt
-e+et>0 ，则ht=e+te-e=te>0 ，
??????
所以ht在0,+∞上单调递增，又h2=0 ，
??????
所以当t∈0,2时，ht<0 ；当t∈2,+∞ 时，ht>0 ；
????????
所以当t∈0,2时，g
??
??
??????
t<0 ；当t∈2,+∞ 时，gt>0 ；
故gt在0,2上单调递减，在2,+∞上单调递增；
??????
2b
所以gt ，所以- ；
?
?
min
=g2=e≥e
??
22
lna
blna
又b>4e，所以 ，
2-8
2
>4 ，所以-≤4 即lna≥-8 ，a≥e
2
e
又a∈0,1 ，所以a∈e
??
?
-8
,1 ；
?
-8
故答案为：e
?
,1 .
?
????????????
??
?
45.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知平面向量a=-e-e+e=
，b和单位向量e，e满足e，a
121212
??
??
??????
???
3a+e-e，b=λa+μe
??
121
，2λ+μ=2，当a变化时，b的最小值为m，则m的最大值为_______
??
___.
2
【答案】
3
????
?
【解析】不妨设e
12
=1,0 ，a=x,y ，则由题知e=-1,0
??????
31
????????
??
a-e+e=x-2,y，a+e-e=x+2,y
1212
????
????????
??
又a
????
-e+e=3a+e-e ，所以x-2+y=3x+2+y
1212
????
22
22
59
2
整理得x+① ，所以-4≤x≤-1
??
+y=
2
24
?
??
?
又b ，2λ+μ=2
=λa+μe
1
?
??
?
所以b
=λa+2-2λe=λx+2-2λ,λy
????
1
?
而b
??
=λx+2-2λ+λy
????
22
=λx+y+2λ2-2λx+2-2λ
222
??????
2
将①代入整理得：
?
b=-9xλ+4x-8λ+4
??
2
??
令fλ=-9xλ
??
2
+4x-8λ+4,x∈-4,-1 ，
??
??
∵-9x>0 ，∴fλ有最小值，
??
16×-9x-4x-8
????
2
4x1620
fλ==++
??
min
-36x99x9
?
m=b=++
??
min
4x1620
，x∈-4,-1
??
99x9
-4x1616
又 ，当且仅当x=-2时等号成立
+≥2×=
-4x16
9-9x
9-9x9
22
所以0≤m≤ ，当x=-2时m有最大值 .
4
=
9
33
2
故答案为： .
3
y
2
x
2
46.(2022·山东·模拟预测)已知双曲线Ω:-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F,F,P为Ω上一点，M
22
12
ab
2a
为△PF的内心，直线PM与x轴正半轴交于点H，|OH|=，且PF
1212
F=3PF，则Ω的渐近线方程为
????
3
________．
7
【答案】y=±
x
3
【解析】因为PH经过△PF的内心，根据内角平分线定理可知：
12
F
2a
c+
????
FHPF
11
3c+2a47
3
==3=?=3?e=x．
，所以Ω的渐近线方程为：y=±
2a3c-2a33
????
HFPF
22
c-
3
7
故答案为：y=±
x
3
47.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)在平面四边形ABCD中，AB=CD=1，BC=2，AD=2，
∠ABC=90°，将△ABC沿AC折成三棱锥，当三棱锥B-ACD的体积最大时，三棱锥外接球的体积为_
_____．
4π
【答案】
3
【解析】因为在平面四边形ABCD中，AB=CD=1，BC=2，AD=2，∠ABC=90°，
所以AC=AB，
22222
+BC=3，则AC+CD=4=AD
所以AC⊥CD，∠DAC=30°，
13
则S，
△ACD
=AC?CD=
22
过点B作BE⊥AC于点E，
32
1163
AB?BC=AC?BE可得，BE==
，则AE=由S
2233
为使三棱锥B-ACD的体积最大，只需BE⊥平面ACD，
△ABC
记△ACD的外接圆圆心为O，连接OE，OB，
因为△ACD为直角三角形，所以O为AD中点，且OA=OC=OD=
1，
又在△AOE中，由余弦定理可得，
OE=AE+OA-2AE?OA?cos30°=+1-2××1×=
222
1
，
3
则OE=，
133
332
3
3
所以OB=OE
22
+BE=1=OA=OC=OD，
因此点O即为该三棱锥外接球的球心，且该外接球的半径为1，
44
所以球的体积为V=
π?1=π.
3
33
4π
故答案为：.
3
48.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知数列a中，a==a+
??
n1nn-1
31
，且满足a
22
1λ
**
若对于任意n∈N≥an≥2,n∈N，
，都有成立，则实数λ的最小值是_________.
n
n
??
n
2
【答案】2
11
【解析】因为n≥2时，a，所以2
nn-1nn-11
=a+a=2a+1，而2a=3，
n
nn-11
2
2
n+2
所以数列2.
??
nn
a是首项为3公差为1的等差数列，故2a=n+2，从而a=
nnn
2
n
nn+2nn+2
????
??
λ
?
?
又因为恒成立，即λ≥恒成立，所以λ≥.
≥a
n
?
?
n
??
max
22
nn
nn+2n+1n+3
??????
?
n≥3
2
?
≥
nn+1
?
22
*
由得n=2，，
?
??
n∈N,n≥2得
1-3≤n≤1+3
nn+2n-1n+1
??????
?
n∈N*,n≥2
≥
?
?
22
nn-1
2×2+2nn+2
????
??
?
所以
?
==2，所以λ≥2，即实数λ的最小值是2.
?
?
??
max
22
n2
故答案为：2
?
?
?
49.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知函数y=e
-2x+1
的图象与函数y=的图象关于
ln-x-1-3
??
2
某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．
24+ln2
??
【答案】
2
lnt-3
【解析】令t=-x-1，则x=-t-1，y=e，y=．
2t+3
2
lnt-3
因为y=e与y=关于直线y=t对称，
2t+3
2
ln-x-1-3
??
所以函数y=e与函数y=关于直线y=-x-1对称，
-2x+1
2
所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线y=-x-1距离最小值的2倍，
函数y=e在P(x，
-2x+1-2x+1
00
,y)点处的切线斜率为k=-2e
0
33
令-2e，y，
-2x+1
=-1得，x==
00
0
1+ln21
++1
??
22
所以点P到直线y=-x-1距离的最小值为d=，
=
2
24+ln2
??
所以这两点之间距离的最小值为2d=．
2
24+ln2
??
故答案为：.
2
1+ln21
22
24+ln2
??
4
50.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数fx=x+aln2x+1有两个不同的极值点x
????
2
121
、x，且x
<x
2
，则实数a的取值范围是___________.
1
【答案】0,
??
8
12a
【解析】函数fx=x，且f，
??
2?
+aln2x+1的定义域为-,+∞x=2x+
????
??
22x+1
令f
?2
??
x=0可得2x+x+a=0，
11
设gx=2x，则函数gx在-上有两个不等的零点，
????
2
+x+a，其中x>-,+∞
??
22
Δ=1-8a>0
?
?
?
g-=a>0
1
1
??
所以，，解得0<a<.
2
?
8
?
11
?
?
->-
42
1
故答案为：0,.
??
8
51.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，O为
????????
23
△ABC的外心，且有AB+BC=AC，sinC(cosA-3)+cosAsinA=0，若AO=xAB+yAC
，x,
3
y∈R，则x-2y=________．
43
【答案】-3或-
33
【解析】由正弦定理得c(cosA-3)+acosA=0，所以2bcosA=3c，即b，
222
=a+2c
23
由条件得c+a=
b，联立解得a=c,b=3c，或a=5c,b=33c.
3
?????
3
当a=c,b=3c时，AB
?AC=bccosA=c
2
2
????????????????????
2
由AO，得AO，
=xAB+yAC?AB=xAB+yAC?AB
13
即，所以2x+3y=1. --------------①
c=x?c+y?c
222
22
?????????????????????
2
同理，由AO，得AO，
=xAB+yAC?AC=xAB?AC+yAC
1311
即，即，
b=x?c+y?bb=x?b+y?b
222222
2222
所以x+2y=1. --------------②
联立①②解得x=-1,y=1. 故x-2y=-3.
当a=5c,b=33c时，同理可得2x+3y=1--③，x+18y=9--④
43
解得x-2y=-.
33
43
故答案为：-3或-.
33
52.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)如图，正方形ABCD的边长为10米，以点A为顶点，引出放射角为
34
πππ
的阴影部分的区域，其中∠EAB=x，，记AE，AF的长度之和为fx．则fx的最大值
≤x≤
????
6124
为___________．
【答案】106
【解析】由题设，AE=，，
AB10ππ
=≤x≤
cosxcosx124
π5ππππ
????
而∠FAD=∠EAB+∠EAF∈
,，故∠DAF=-x∈,，
??
??
????
4121243
AD10
所以AF=，
=
ππ
cos-xcos-x
????
33
11ππ
??
综上，f(x)=10且，
≤x≤+
?
?
cosx124π
?
cos-x
??
?
??
3
203sinx+
??
π
123cosx+3sinx
3
所以f(x)=10，
??
+=10?=
cosxπ1
cosx+3sinxcosx(cosx+3sinx)
sin2x++
??
62
1-cos2x+1-cos+2x+
????
2πππ
π6+2π
??
326
令t=sinx+
????
∈,1，则t=sinx+===
?
22
?
??
34322
1+sin2x+
??
π
6
，
2
π2036+2
??
所以sin2x+在t∈
??
=2t-1，故f(x)=g(t)=,1上递减，
2
?
?
??
614
2t-
2t
6+2203ππ
所以f(x)或x=.
maxmax
=g(t)=g==106，此时x=
??
4124
6+22
-
2
6+2
故答案为：106
53.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知a=
2ln33
，b=，c=，则a、b、c的大小关系是
ln4ln22
___________(用>连接).
【答案】b>c>a
3
221ln33
【解析】因为a=
===loge，b==log3，c==log2=log8，
2222
2
ln42ln2ln2ln22
又因为3>8>e，且函数y=log
2
x在0,+∞上为增函数，故b>c>a.
??
故答案为：b>c>a.
54.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知正方体ABCD-ABCD
1111
的棱长为3，点E为棱
DC-EFC
11111
上一动点，点F为棱BB上一动点，且满足EF=2，则三棱锥B的体积取最大值时，三棱锥
B-EFC
11
外接球的表面积为___________.
【答案】4π
【解析】如图所示：取EF的中点O，连接OC，
11
,OB
由正方体的性质可得D，
1111
C⊥平面BCCB
又∵C，∴D
11111111
F?BCCBC⊥CF，即EC⊥CF
同理FB
1111
⊥BE，∴∠EBF=∠ECF=90°,
由直角三角形的性质可得OE=OF=OB，
11
=OC
∴O为B-EFC
11
的外接球的球心，EF为外接球的直径，
35
∵EF=2，∴B-EFC
11
的外接球的半径恒为1，
∴B-EFC
11
的外接球的表面积恒为4π，
故答案为：4π
四、双空题
y
2
5-1x
2
55.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)定义离心率是+
的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆E:
210m
y
2
x
2
=1(10>m>0)是“黄金椭圆”，则m=___________，若“黄金椭圆”C:+=1(a>b>0)两
22
ab
个焦点分别为F的内心，
1212
??
-c,0、F(c,0)(c>0)，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是△PFF
|PM|
连接PM并延长交F于点N，则
12
F=___________．
|MN|
【答案】 55-5
【解析】由题，e=1-，所以m=55-5．
2
5-1
bm
2
=1-=
10
2
a
如图，连接MF，设△PF内切圆半径为r，
1212
,MFF
1111
则，即
??????
PFr+PFr+FFr=S(2a+2c)r=
1212△PFF
2222
S
△PFF
，
11
?2c?r，FFr=S=
??
12△MFF
22
S
△PFF
??
PN
a+c
∴==
，
c
S
△MFF
??
MN
c
∴MN=PN
????
a+c
ca
∴PM=1-PN=PN，
??????
??
a+ca+c
a
??
PM
a15+1
a+c
∴====
．
cc2
5-1
??
MN
a+c
2
5+1
故答案为：55-5；．.
2
12
12
12
12
12
36
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