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2003
案
Lt
D
年江苏高考数学试题及答
2003年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕
数 学
〔理工农医类〕
本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非
选择题〕两局部第一卷1至2页，第二卷3至
10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第一卷
〔选择题共60分〕
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共
60分，在每题给出的四个选项中，只有一
项为哪一项符合题目要求的.
1．如果函数
y?ax
2
?bx?a
的图象与
x
轴有两个交点，
那么点
(a,b)在aOb
平面上的区域〔不包含边界〕
为〔 〕
b
b
bb
O
a
O
2
a
O
a
O
a
ABCD
2．抛物线
y?ax
的准线方程是
y?2
，那么a的值
为 〔 〕
A．
1
8
B．－
1
8
C．8
C．
24
7
D．－8
〔 〕
D．－
24
7
4
3．
x?(?
?
,0),cosx?,则tg2x?
25
7
A．
24
7
B．－
24
4．设函数
〔 〕
?
2
?x
?1,x?0,
?
f(x)?
?
1
若f(x
0
)?1,则x
0
2
?
?
x,x?0
的取值范围是
A．〔－1，1〕
∞，－1〕∪〔1，+∞〕
B．
(?1,??)
D．〔－ C．〔－∞，－2〕∪〔0，+∞〕
5．
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OP?OA?
?
(
AB
AB
?
AC
AC
),
?
?
?
0,??
?
,则P
的轨迹一定通过
ABC
的
A．外心
6．函数
y?ln
B．内心
a
3
4
C．重心
B．
D．
D．垂心
x?1
,x?(1,??)
的反函数为〔 〕
x?1
e
x
?1
y?
x
,x?(0,??)
e?1
A．
C．
e
x
?1
y?
x
,x?(0,??)
e?1
e
x
?1
y?
x
,x?(??,0)
e?1
e
x
?1
y?
x
,x?(??,0)
e?1
7．棱长为
a
的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为〔 〕
A．
a
3
3
B． C．
a
3
6
D．
a
3
12
8．设
a?0,f(x)?ax
2
?bx?c
，曲线
y?f(x)
在点
P(x
0
,f(x
0
))
处切线的倾斜角的
取值范围为
?
0,
?
?
?
,则P
到曲线
y?f(x)
对称轴距离的取值范围为 〔 〕
?
?
4
?
1
?
0,
A．
?
?
a
?
??
B
?
．
?
?
1
?
0,
??
?
2a
?
b?
C．
?
0,
?
2a
?
??
b?1?
D．
?
0,
?
2a
?
9．方程
(x
为
1
4
2
?2x?m)(x
2
?2x?n)?0
的四个根组成一个首项
|m?n|?
的的等差数列，那么
〔 〕
A．1
3
D．
8
B．
3
C．
4
1
2
10．双曲线中心在原点且一个焦点为F〔
7
，0〕，
直线
y?x?1
与其相交于M、N两点，MN中点的
横坐标为
〔 〕
A．
C．
x
2
y
2
??1
34
?
2
3
，那么此双曲线的方程是
B
D．
．
x
2
y
2
??1
25
x
2
y
2
??1
43
x
2
y
2
??1
52
11．长方形的四个顶点A〔0，0〕，B〔2，0〕，
C〔2，1〕和D〔0，1〕，一质点从AB的中点
P
0
沿与AB的夹角
?
的方向射到BC上的点
P
后，
1
2
3
P
和
P
依次反射到CD、DA和AB上的点
P
、〔入
4
射角等于反射角〕，设
P
的坐标为〔
x
，0〕，假
44
设
1?x
4
?2
，那么tg
?
的取值范围是
1
3
〔 〕
A．〔
1
，1〕
3
2
C．〔
5
，
1
〕
2
B．〔，
2
3
〕
2
D．〔
5
，
2
〕
3
12．一个四面体的所有棱长都为
2
，四个顶点
在同一球面上，那么此球的外表积为〔 〕
A．
3
?
B．4
?
2003年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕
C．
33
?
D．
6
?
数 学
〔理工农医类〕
第二卷
〔非选择题共90分〕
二.填空题：本大题共4小题，每题4分，共16
分把答案填在题中横线上
13．
(x
2
?
1
9
)
2x
的展开式中
x
系数是
9
14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该
公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次
应抽取___________，__________，___________辆
15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个局部〔如图〕现要栽种4种不
同颜色的花，每局部栽种一种且相邻局部不能栽种同样颜色的花，不
同的栽种方法有___________________种〔以数字作答〕
16．对于四面体ABCD，给出以下四个命题
5
6 1 4
2
3
①
若AB?AC,BD?CD,则BC?AD
②
若AB?CD,AC?BD,则BC?AD
③
若AB?AC,BD?CD,则BC?AD
④
若AB?CD,AC?BD,则BC?AD
其中真命题的序号是__________________.〔写出所有真命题的序号〕
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解容
许写出文字说明，证明过程或或演算步骤
17．〔本小题总分值12分〕
有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和
0.95，各抽取一件进行检验
〔Ⅰ〕求恰有一件不合格的概率；
〔Ⅱ〕求至少有两件不合格的概率〔精确
到0.001〕
18．〔本小题总分值12分〕
函数
f(x)?sin(
?
x?
?
)(
?
?0,0?
?
?
?
)是R
上的偶函
??
?
?
?
上数，其图象关于点
M(
3
4
,0)
对称，且在区间
?
0,
?
2
?
是单调函数求
?
和
?
的值
19．〔本小题总分值12分〕
如图，在直三棱柱
ABC?ABC
中，底面是等
111
腰直角三角形，
?ACB?90?
，侧棱
AA
1
1
1
?2
，D、E分
别是
CC
与
AB
的中点，点E在平面ABD上的射
影是△ABD的重心G
〔Ⅰ〕求
AB
与平面ABD所成角的大小〔结果
1
用反三角函数值表示〕
〔Ⅱ〕求点
A
到平面AED的距离
1
C
1
A
1
D
E
G
B
1
C
B
A
20．〔本小题总分值12分〕
常数
a?0,向量c?(0,a),i?(1,0)
经过原点O以
c?
?
i
为方向向量的直线与经过定点
A(0,a)以i?2
?
c
为方向
向量的直线相交于P，其中
?
?R
试问：是否存在
两个定点E、F，使得
PE?PF
为定值假设存在，
求出E、F的坐标；假设不存在，说明理由
21．〔本小题总分值12分〕
a?0,n
为正整数
〔Ⅰ〕设
y?(x?a)
，证明
y\'?n(x?a)
；
nn?1
f
n?1
〔Ⅱ〕设
f(x)?x
\'(n?1)?(n?1)f\'(n)
n
n
?(x?a)
n
，对任意
n?a
，证明
n
22．〔本小题总分值14分〕
设
a?0
，如图，直线
l:y?ax
及曲线
C:y?x,C
上
2
的点
Q
的横坐标为作直线平行于
x
轴，交直线
1
l于点P
n?1
，再从点P
n?1
作直线平行于
与a
n
y
轴，交曲线
n
C于点Q
n?1
. Q
n
(n?1,2,3,…）
的横坐标构成数列
?
a
?
n?1
〔Ⅰ〕试求
a
式；
〔Ⅱ〕当
的关系，并求
?
a
?
的通项公
n
1
a?1,a
1
?
2
时，证明
?
(a
n
k?1
k
?a
k?1
)a
k?2
?
1
32
c
l
〔Ⅲ〕当
a?1
时，证明
?
(a
n
k?1
k
?a
k?1
y
1
)a?
k?2
r
Q
r
Q
a
Q
a
a
x
O
1
2
3
3
2003年普通高等学校招生全国统一考试
数 学 试 题
〔江苏卷〕
答案
一、选择题：此题考查根本知识和根本运算，每题5分，总分值60分.
1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A
二、填空题：此题考查根本知识和根本运算，每题4分，总分值16分.
13．
?
21
14．6,30,10 15．120 16．①④
2
三、解答题
17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，总分值12分.
解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.
〔Ⅰ〕
P(A)?0.90,P(B)?P(C)?0.95
，
P(A)?0.10,P(B)?P(C)?0.50.
因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为
P(A?B?C)?P(A?B?C)?P(A?B?C)
?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)?P(B)?P(C)
?2?0.90?0.95?0.05?0.10?0.95?0.95?0.176
答：恰有一件不合格的概率为0.176.
解法一：至少有两件不合格的概率为
P(A?B?C)?P(A?B?C)?P(A?B?C)?P(A?B?C)
?0.90?0.05
2
?2?0.10?0.05?0.95?0.10?0.05
2
?0.012
解法二：三件产品都合格的概率为
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?0.90?0.95
2
?0.812
由〔Ⅰ〕知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为
1?[P(A?B?C)?0.176]?1?(0.812?0.176)?0.012.
答：至少有两件不合的概率为0.012.
〔18〕在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等根本知识，以及分析问题和推理计算能力，
满12分分。
解：由
f(x)是偶函数,得f(?x)?f(x),
即sin(?
?
x?
?
)?sin(
?
x?
?
),
所以?cos
?
sin
?
x?cos
?
sin
?
x
对任意x都成立,且
?
?0,所以得cos
?
?0.
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