2023年12月20日发(作者：不用改造的床车mpv)
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第2课时 双曲线、抛物线的参数方程
[核心必知]
1．双曲线的参数方程
??x＝asecφ，x2y2(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线2－2＝1的参数方程是?，规定参ab?y＝btan
φ?π3π数φ的取值X围为φ∈[0，2π)且φ≠，φ≠．
22??x＝btan
φ，y2x2(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线2－2＝1的参数方程是?．
ab?y＝asecφ?2．抛物线的参数方程
(1)抛物线y2?x＝2pt，?＝2px的参数方程为?，t∈R．
?y＝2pt?2(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
[问题思考]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？
提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点M的离心角)，而不是OM的旋转角．
2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？
提示：如果x对应的参数形式是asecφ，那么焦点在x轴上；
如果y对应的参数形式是asecφ，那么焦点在y轴上．
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2px＝??tanα，3．假设抛物线的参数方程表示为?那么参数α的几何意义是什么？
2p??y＝tan
α.2提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M，以射线OM为终边的角．
在双曲线x－y＝1上求一点P，使P到直线y＝x的距离为2.
[精讲详析] 此题考查双曲线的参数方程的应用，解答此题需要先求出双曲线的参数方程，设出P点的坐标，建立方程求解．
|secφ－tan
φ|设P的坐标为(secφ，tan
φ)，由P到直线x－y＝0的距离为2得＝22
1sin
φ得|－|＝2，|1－sin
φ|＝2|cos
φ|
cos
φcos
φ平方得1－2sin
φ＋sin
φ＝4(1－sin
φ)，
即5sin
φ－2sin
φ－3＝0.
3解得sin
φ＝1或sin
φ＝－.
5sin
φ＝1时，cos
φ＝0(舍去)．
34sin
φ＝－时，cos
φ＝±.
555353∴P的坐标为(，－)或(－，)．
4444——————————————————
22222参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参2 / 10
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数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．
1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点．
证明：设双曲线为x－y＝a，取顶点A(a，0)，
弦B′B∥Ox，B(asec
α，atan
α)，那么B′(－asec
α，atan
α)．
222atan
αatan
α∵kB′A＝，kBA＝，
－asec
α－aasec
α－a∴kB′A·kBA＝－1.
∴以BB′为直径的圆过双曲线的顶点．
连接原点O和抛物线2y＝x上的动点M，延长OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．
[精讲详析] 此题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答此题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M、P的坐标，然后借助中点坐标公式求解．
设M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长线上，且M为线段OP的中点，???x＝2t，?x0＝4t，?抛物线的参数方程为?由中点坐标公式得
22??y＝2t，y＝4t，0??2122变形为y0＝x0，即x＝4y.表示的为抛物线．
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在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标
??x＝2t，2．抛物线C：?(t为参数)，设?y＝2t?2O为坐标原点，点M在抛物线C上，且点M的3 / 10
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纵坐标为2，求点M到抛物线焦点的距离．
?x＝2t，?2解：由?得y＝2x，
??y＝2t2即抛物线的标准方程为y＝2x.
又∵M点的纵坐标为2，
∴M点的横坐标也为2.
即M(2，2)．
1又∵抛物线的准线方程为x＝－.
2115∴由抛物线的定义知|MF|＝2－(－)＝2＋＝.
2225即点M到抛物线焦点的距离为.
2
??x＝4secθ， 如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线?(θ为参数)的右顶点和右?y＝3tan
θ?2焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．
[精讲详析] 此题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答此题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据条件求出椭圆的参数方程求解即可．
∵－＝1，
169∴右焦点(5，0)，右顶点(4，0)．
x2y2x2y2设椭圆2＋2＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3.
ab∴方程为＋＝1.
259设椭圆上一点P(5cos
θ，3sin
θ)，
双曲线一渐近线为3x－4y＝0，
|3×5cos
θ－12sin
θ|∴点P到直线的距离d＝
5x2y24 / 10
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＝3|41sin 〔θ－φ〕|5(tan
φ＝)．
54341∴dmax＝.
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对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．
5??x＝t2，?x＝5cos
θ，3．(某某高考)两曲线参数方程分别为?(0≤θ≤π)和?4?y＝sin
θ??y＝t(t∈R)，它们的交点坐标为______________．
?x＝5cos
θ，x22解析：由?(0≤θ≤π)得＋y＝1(y≥0)，
5?y＝sin
θ5??x＝t2，52由?4(t∈R)得x＝y.
4??y＝t??5＋y＝1，联立方程可得?那么5y＋16y－16＝0，
5??x＝4y2422x245222解得y＝或y＝－4(舍去)，那么x＝y＝1.
5425又y≥0，所以其交点坐标为(1，)．
525答案：(1，)
5
本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化．某某高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义的应用，属低档题．
[考题印证]
??x＝2pt，(某某高考)抛物线的参数方程为?(t为参数)，其中?y＝2pt，?2p>0，焦点为F，准线为5 / 10
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l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.假设|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，那么p＝________．
[命题立意] 此题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用．
[解析] 由题意知，抛物线的普通方程为y＝2px(p>0)，焦点F(，0)，准线x＝－，22设准线与x轴的交点为A.由抛物线定义可得|EM|＝|MF|，所以△MEF是正三角形，在Rt△2pppEFA中，|EF|＝2|FA|，即3＋＝2p，得p＝2.
2答案：2
一、选择题
1．以下参数方程(t为参数)与普通方程x－y＝0表示同一曲线的方程是( )
?x＝|t|，???y＝t?x＝cos
t，???y＝cos
22A.?B.?t
x＝tan
t，x＝tan
t，????C.?1＋cos 2t D.?1－cos 2t
y＝y＝???1－cos 2t?1＋cos 2t解析：选D 注意参数X围，可利用排除法．普通方程x－y＝0中的x∈R，y≥0.A中2cost112x＝|t|≥0，B中x＝cos
t∈[－1，1]，故排除A和B.而C中y＝2＝cott＝2＝2，2sinttantx即xy＝1，故排除C.
2．以下双曲线中，与双曲线?是( )
A.－＝1 B.－＝－1
3939222?x＝3sec
θ，(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的?y＝tan
θy2x2y2x26 / 10
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C.－x＝1 D.－x＝－1
3333〔sin
θ＋cosθ〕222y22y22解析：选B 由x＝3sec
θ得，x＝cos2θ＝cos2θ＝3tan
2θ＋3，
又∵y＝tanθ，
∴x2＝3y2＋3，即x223－y＝1.
经验证可知，选项B合适．
23．过点M(2，4)且与抛物线???x＝2t，??y＝4t只有一个公共点的直线有(
A．0 B．1
C．2 D．3
??x＝2t2解析：选C 由???y＝4t得y2＝8x.
∴点M(2，4)在抛物线上．
∴过点M(2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．
t－t4．方程???x＝2－2，?(t?y＝2t＋2－t为参数)表示的曲线是( )
A．双曲线 B．双曲线的上支
C．双曲线下支 D．圆
解析：选B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：
x2－y2＝(2t－2－t)2－(2t＋2－t)2＝－4，
即y2－x2＝4.
又注意到2t>0，2t＋2－t≥22t·2－t＝2，即y≥2.
可见与以上参数方程等价的普通方程为：
y2－x2＝4(y≥2)．
显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支．
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)条( )
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二、填空题
?x＝t，?5．(某某高考)圆锥曲线?(t为参数)的焦点坐标是________．
?y＝2t?2解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为y＝4x，那么焦点坐标为(1，0)．
答案：(1，0)
??x＝2t，?6．抛物线C：(t为参数)设O为坐标原点，点M在C上运动(点M与O不重合)，??y＝2t22P(x，y)是线段OM的中点，那么点P的轨迹普通方程为________．
解析：抛物线的普通方程为y＝2x，设点P(x，y)，点M为(x1，y1)(x1≠0)，那么x1＝2x，y1＝2y.
∵点M在抛物线上，且点M与O不重合，
∴4y＝4x?y＝x.(x≠0)
答案：y＝x(x≠0)
2222?x＝23tan
α，7．双曲线?(α为参数)的两焦点坐标是________．
?y＝6sec
α解析：双曲线??x＝23tan
α，(α为参数)的标准方程为
?y＝6sec
α222－＝1，焦点在y轴上，c＝a＋b＝48.
3612∴焦点坐标为(0，±43)．
答案：(0，±43)
y2x2?x＝t，8．(某某高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为?(t为?y＝t参数)和??x＝2cos
θ，?y＝2sin
θ(θ为参数)，那么曲线C1与C2的交点坐标为________．
?x＝2cos
θ，?x＝t，解析：由?得y＝x，又由?
?y＝
t，?y＝2sin
θ，8 / 10
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得x＋y＝2.
由??x＝1，?y＝x，??得
22?y＝1，?x＋y＝2，?22即曲线C1与C2的交点坐标为(1，1)．
答案：(1，1)
三、解答题
x2y29．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)，A、B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分aba2＋b2线与x轴相交于点P(x0，0)，求证：|x0|>.
a证明：设A、B坐标分别为(asec
α，btan
α)，(asec
β，btan
β)，那么中点为M(2(sec
α＋sec
β)，(tan
α＋tanβ))，于是线段AB中垂线方程为
2abby－(tan
α＋tan
β)
2＝－a〔sec
α－sec
β〕a[x－(sec
α＋sec
β)]．
b〔tan
α－tan
β〕2a2＋b2将P(x0，0)代入上式，∴x0＝(sec
α＋sec
β)．
2a∵A、B是双曲线同支上的不同两点，
∴|sec
α＋sec
β|>2.
a2＋b2∴|x0|>.
a10．过点A(1，0)的直线l与抛物线y＝8x交于M、N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
??x＝8t，解：设抛物线的参数方程为?(t为参数)，
?y＝8t?22可设M(8t1，8t1)，N(8t2，8t2)，
8t2－8t11那么kMN＝2.
2＝8t2－8t1t1＋t2又设MN的中点为P(x，y)，
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??那么?∴k8t＋8t??y＝2.128t1＋8t2x＝，222AP＝4〔t1＋t2〕.
224〔t1＋t2〕－11由kMN＝kAP知t1·t2＝－，
8??x＝4〔t1＋t2〕，又?
?y＝4〔t1＋t2〕，?22x1222那么y＝16(t1＋t2＋2t1t2)＝16(－)＝4(x－1)．
44∴所求轨迹方程为y＝4(x－1)．
11．圆O1：x＋(y－2)＝1上一点P与双曲线x－y＝1上一点Q，求P、Q两点距离的最小值．
解：设Q(sec
θ，tan
θ)，|O1P|＝1，
又|O1Q|＝secθ＋(tan
θ－2)
＝(tanθ＋1)＋(tanθ－4tan
θ＋4)
＝2tanθ－4tan
θ＋5
＝2(tan
θ－1)＋3.
π2当tan
θ＝1，即θ＝时，|O1Q|取最小值3，
4此时有|O1Q|min＝3.
又|PQ|≥|O1Q|－|O1P|
∴|PQ|min＝3－1.
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