2024年4月3日发(作者：比亚迪宋混动2022款)
2022-2023学年北京市海淀区高二下学期3月月考数学试题
一、单选题
1
1．复数
i?1
在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
C．第三象限
【答案】D
【分析】直接利用复数的除法运算，结合复数的几何意义即可.
B．第二象限
D．第四象限
【详解】复数
11
?
i1
?
i11
????
i
i
?
1
?
1
?
i
??
1
?
i
?
222
，
?
11
?
?
,
?
?
则其在复平面所对应的点为
?
22
?
，故其在第四象限，
故选：D.
3
f(x)?3x?x
2．函数的单调增区间是（
）
A．
(0,??)
【答案】C
B．
(??,?1)
C．
(?1,1)
D．
(1,??)
?
【分析】求出函数
f(x)
的导数
f(x)
，再解不等式
f
?
(x)?0
即可作答．
3
?
(x)?3?3x
2
??3(x?1)(x?1)f
f(x)?3x?x
【详解】函数定义域为R，求导得：，由
f
?
(x)?0
，解得
?1?x?1
，
3
所以函数
f(x)?3x?x
的单调递增区间是
(?1,1)
．
故选：C
3．函数
y?x?lnx
（
）
A．有极大值1，无极小值
C．有极小值0，极大值1
【答案】D
【分析】直接求导得
1x
?
1
?
y
?
?
1
??
xx
，
(x?0)
，【详解】
y
?
?
x
?
1
x
，利用导数与极值的关系即可得到答案.
B．无极大值，也无极小值
D．有极小值1，无极大值
当
0?x?1
时，
y
?
?0
，此时函数
y?x?lnx
单调递减，
当
x?1
时，
y
?
?0
，此时函数
y?x?lnx
单调递增，
所以当
x?1
时，函数有极小值
1
，无极大值，
故选：D.
?
?
????
????
?
????
?
???
BC
OC?c
O?ABC
OA?aOB?b
P
AP
4．在四面体中，点为棱的中点. 设, ，，那么向量用基底
?
?
?
?
a,b,c
?
可表示为（
）
1
?
1
?
1
?
?a?b?c
22
A．
2
?
1
?
1
?
a?b?c
22
C．
【答案】B
?1
?
1?
?a?b?c
22
B．
1
?
1
?
1
?
a?b?c
222
D．
????
1
????????
OP?OB?OC
2
【分析】先根据点
P
为棱
BC
的中点，则，然后利用空间向量的基本定理，用
???
????
a,b,c
表示向量
AP
即可.
??
【详解】
?
点
P
为棱
BC
的中点，
????
1
????????
?OP?OB?OC
2
，
????????????
1
????????????
?AP?OP?OA?OB?OC?OA
2
，
????
?
????
?
????
?
?
OA?a,OB?b,OC?c
，又
??
??
????
1
????????????
?
1
?
1
?
?AP?OB?OC?OA??a?b?c
222
，故选B.
??
【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，以及向量的中点公式，要求熟练掌握，同时考查了转
化与划归的思想的应用，属于基础题.
5．已知
A．
7
【答案】C
【分析】设等比数列
?
a
n
?
为等比数列，
S
n
为其前
n
项和，若
S
2
?3a
1
，
a
2
2
?a
3
，则
S
4
?
（
）
B．
8
C．
15
D．
31
?
a
n
?
的公比为
q
，根据已知条件求出
a
1
、
q
的值，再利用等比数列的求和公式
可求得
S
4
的值.
【详解】设等比数列
?
a
n
?
的公比为
q
，则
S
2
?a
1
?a
2
?3a
1
，则
a
2
?2a
1
，所以，
2
q
?
a
2
?
2
a
1
，
2
?
2a
?
?4a
1
，
?a
1
?0
，解得
a
1
?1
，因为
a
2
?a
3
，即
1
因此，
S
4
?
a
1
1
?
q
4
1
?
q
??
?
1
?
2
4
1
?
2
?
15
.
故选：C.
6．已知
（
）
A．充分而不必要条件
C．充要条件
【答案】B
【分析】利用等差数列前n项和的函数性质判断“对于任意
n?N
且
n?3
，
关系，进而确定它们的关系.
【详解】由等差数列前n项和公式知：
∴要使对于任意
n?N
且
n?3
，
∴“对于任意
n?N
且
n?3
，
而
∴“
*
*
*
?
a
n
?
是等差数列，
S
n
是其前
n
项和.则“
a
4
?a
3
”是“对于任意
n?N
*
且
n?3
，
S
n
?S
3
”的
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
S
n
?S
3
”与“
a
4
?a
3
”推出
S
n
?
d
2
d
n?(a
1
?)n
22
，
S
n
?S
3
?
a
?
，则
d?0
，即
n
是递增等差数列，
a
4
?a
3
”，
S
n
?S
3
”必有“
a
4
?a
3
a
4
?a
3
*
S?S
3
，可得
d?0
，但不能保证“对于任意
n?N
且
n?3
，
n
”成立，
”是“对于任意
n?N
且
n?3
，
*
S
n
?S
3
”的必要而不充分条件.
故选：B.
2
7．已知抛物线
C:y?4x
的焦点为
F
，准线为
l
，
P
为
C
上一点，过
P
作
l
的垂线，垂足为
M
. 若
|MF|?|PF|
，则
|PM|?
（
）
A．
2
【答案】C
B．
3
C．
4
D．
23
【分析】由抛物线定义及已知条件知△
PMF
为等边三角形，进而可求
|PM|
.
【详解】由抛物线的定义知：
|PF|?|PM|
，又
|MF|?|PF|
，
∴△
PMF
为等边三角形，易知：
|PM|?2p?4
.
故选：C.
8．设
a?0
，若
x?a
为函数
A．
a?b
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对
进行分类讨论，画出图象，即可得到
a,b
所满足的关系，由此确定正确选项.
3
f
?
x
?
?a
?
x?a
??
x?b
?
2
的极大值点，则（
）
2
B．
a?b
C．
ab?a
D．
ab?a
2
f
?
x
?
?a
?
x?a
?
【详解】若
a?b
，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故
a?b
.
?f
?
x
?
题意，
有
x?a
和
x?b
两个不同零点，且在
x?a
左右附近是不变号，在
x?b
左右附近是变号的.依
为函数的极大值点，
?
在
x?a
左右附近都是小于零的.
当
a<
0
时，由
x?b
，
f
?
x
?
?0
，画出
f
?
x
?
的图象如下图所示：
由图可知
b?a
，
a<
0
，故
ab?a
.
2
当
a?0
时，由
x?b
时，
f
?
x
?
?0
，画出
f
?
x
?
的图象如下图所示：
由图可知
b?a
，
a?0
，故
ab?a
.
综上所述，
ab?a
成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
2
2
2
a
n
??
a?n?3n
，
n?N
，前
n
项和为
S
n
，给出下列三个结论：
n
9．数列的通项公式为
①存在正整数
②存在正整数
③记
m,n
?
m?n
?
m,n
?
m?n
?
，使得
，使得
S
m
?S
n
；
；
a
m
?a
n
?
2
a
m
a
n
T
n
?a
1
a
2
?a
n
?
n?1,2,3,?
?
则数列
?
T
n
?
有最小项，
其中所有正确结论的序号是（
）
A．①
【答案】C
2
a?n?3n
，令
a
n
?0
，求得
a
3
?0
，得到
S
2
?S
3
，可判定①正确；由当
n?3
时，
n
【解析】由
B．③C．①③D．①②③
a
n
?0
，且单调递增，结合基本不等式，可判定②不正确；由
a
1
??2,a
2
??2,a
3
?0
，且当
n?3
时，
a
n
?0
，且单调递增，可判定③正确.
2
a
n
??
a?n?3n
，
n
【详解】由题意，数列的通项公式为
令
a
n
?0
2
，即
n?3n?0
，解得
n?3
或
n?0
（舍去），即
a
3
?0
，
所以
S
2
?S
3
，即存在正整数
m,n
?
m?n
?
，使得
S
m
?S
n
，所以①正确；
2
a?n?3n
，可得当
n?3
时，
a
n
?0
，且单调递增，
n
由
?
a?a
n
?2a
m
a
n
a?a
n
?
0
2a
m
a
n
?0
m,n
?
N
m,n?[1,3]
当且时，可得
m
，，所以
m
；
当
m,n?
?
3,??
?
?
a?a
n
?
2
a
m
a
n
a?a
n
m,n?N
且时，
m
，当且仅当
m
时等号成立，
综上可得，不存在正整数
m,n
?
m?n
?
，使得
a
m
?a
n
?
2
a
m
a
n
，所以②不正确；
2
a
n
??
a?n?3n
，
n
由数列的通项公式为
可得
所以
a
1
??2,a
2
??2,a
3
?0
，且当
n?3
时，
a
n
?0
，且单调递增，
T
n
?a
1
a
2
?a
n
?
n?1,2,3,?
?
，所以当
n?1
时，数列
?
T
n
?
有最小项
T
1
??2
，所以③正确.
故选：C.
?
e
x
?
1,x
?
0
f
?
x
?
?
?
?
kx,x
?
0
，若存在非零实数
x
0
，使得
f
?
?x
0
?
?f
?
x
0
?
成立?则实数
k
的取值10．已知函数
范围是（
）
A．
?
??,?1
?
B．
?
??,?1
?
C．
?
?1,0
?
?1,0
?
D．
?
【答案】A
【分析】不妨设
x
0
?0
，然后分
k?0
和
k?0
两种情况讨论求解.
【详解】不妨设
x
0
?0
，
f
?
x
0
?
?e
x
0
?1?0f
?
?x
0
?
??kx
0
?0
k?0
当时，，，
所以不存在非零实数
x
0
，使得
f
?
?x
0
?
?f
?
x
0
?
成立；
成立，当
k?0
时，若存在非零实数
x
0
，使得
则方程
f
?
?x
0
?
?f
?
x
0
?
e
x
0
?1??kx
0
x
有正根，即函数
y?e?1(x?0)
与
y??kx(x?0)
有交点，
x
y?e?1(x?0)
的图象与直线
y??kx(x?0)
相切的情况，先考虑函数
设切点为
(x
1
,y
1
)
，则
?
?
k
?
e
x
1
?
?
y
1
??
kx
1
?
y
?
e
x
1
?
1
?
1
x
1
(x?1)e?1?0
，
1
，得
x
x
?
g(x)?(x?1)e?1(x?0)g(x)?xe?0
，令，则
所以函数
g(x)
在
[0,??)
上单调递增，则
g(x)?g(0)?0
，
x
1
(x?1)e?1?0
的根只有一个，即
x
1
?0
，
1
所以方程
所以
?k?1
，
x
所以函数
y?e?1(x?0)
的图象与直线
y??kx(x?0)
相切时，切点为原点，
x
所以要使函数
y?e?1(x?0)
的图象与直线
y??kx(x?0)
有交点，只需
?k?1
，即
k??1
，
所以实数k的取值范围为
故选：A.
?
??,?1
?
．
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，解题的关键是将问题转
x
化为当
k?0
时，函数
y?e?1(x?0)
与
y??kx(x?0)
有交点，然后利用导数有几何意义求解函数
y?e
x
?1(x?0)
的图象与直线
y??kx(x?0)
相切的情况，从而可得答案，考查数学转化思想，属于
较难题.
二、双空题
y
2
C:x
?
2
?
1 (b
?
0)
b
11．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则
b?
_________；
C
的离心率为
2
_________.
【答案】 1
2
2
【分析】求出渐近线，利用渐近线垂直得到
?b??1
，求出
b?1
和离心率.
2
【详解】由题意得：两条渐近线方程为
y=?bx
，且
?b??1
，解得：
b?1
，此时离心率为
b
2
1
?
2
?
2
a
故答案为：1，
2
三、填空题
2
12．若曲线
f(x)?ax?lnx
存在垂直于
y
轴的切线，则实数
a
的取值范围是_________
【答案】
?
??,0
?
【详解】由题意该函数的定义域
x?0
，由
率为
0
，问题转化为
x?0
范围内导函数
解法1 （图像法）再将之转化为
f
?
?
x
?
?
2ax
?
1
x
．因为存在垂直于
y
轴的切线，故此时斜
f
?
?
x
?
?
2ax
?
1
x
存在零点．
1
x
存在交点．当
a?0
不符合题意，当
a?0
时，
g
?
x
?
??2ax
与
h
?
x
?
?
如图1，数形结合可得显然没有交点，当
a<
0
如图2，此时正好有一个交点，故有
a<
0
应填
?
??,0
?
.
解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程
1
a
??
2
?
?
??
,0
?
2x
2ax
?
1
?
0
?
0,??
?
x
在内有解，显然可得
四、双空题
13．已知
?
a
n
?
是等差数列,
a
1
?5
,且
a
2
?2,a
3
?4,a
4
?6
成等比数列,则
a
6
?
______________;
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?
______________．
2
【答案】 -5
?n?6n
【分析】(1)设出等差数列的公差,根据
a
2
?2,a
3
?4,a
4
?6
成等比数列,列出式子,将
a
2
,a
3
,a
4
均用
a
1
,d
代替,解出
d
,即可求
a
6
的值;
(2)由上一空求得的
d
,根据等差数列前
n
项和公式代入即可求出答案.
【详解】解:由题知
不妨记公差为
d
,
因为
?
a
n
?
是等差数列,
a
2
?2,a
3
?4,a
4
?6
2
成等比数列,
a
1
?5
,
?
a?4
?
?
?
a
4
?6
??
a
2
?2
?
,所以
3
?
2d?9
?
?
?
3d?11
??
d?7
?
,即
解得:
d??2
,
故
2
a
6
?a
1
?5d?5?10??5
;
由于
a
1
?5
,
d??2
,
S
n
?
na
1
?
n
?
n
?
1
?
d
??
n
2
?
6n
2
.所以
2
故答案为:-5;
?n?6n
五、填空题
x
?
0
?
lnx
?
kx,
f(x)
?
?
2
?
kx
?
x
?
1,x
?
0
，若
f
?
x
?
恰有两个零点，则
k
的取值范围为__________.14．已知函数
【答案】
?
??
,0
?
?
?
?
0,
?
1
?
?
e
?
k
?
lnx
x
?
1
k
?
2
x
，
x?0
，
x
，
x?0
，从而转化为直线
y?k
与函数图象【分析】利用分离参数法得
交点个数问题，利用数形结合的思想即可得到答案.
【详解】当
x?0
时，令
f
?
x
?
?lnx?kx?0
，则
k
?
lnx
x
，
1
?
x
?
lnx
1
?
lnx
lnx
x
h
?
?
x
?
??
h
?
x
?
?
x
2
x
2
，
x
，
x?0
，令
令
令
故
h
?
?
x
?
?0
h
?
?
x
?
?0
h
?
x
?
，即
1?lnx?0
，解得
0?x?e
，此时
，即
1?lnx?0
，解得
x?e
，此时
h
?
x
?
单调递增，
h
?
x
?
单调递减，
在
x?e
时，取得最大值
h
?
e
?
?
1
e
，且当
x
趋近于0时，
h
?
x
?
趋近于负无穷，
当
x
趋近于正无穷时，
h
?
x
?
趋近于0，且大于0，
f
?
0
?
?1
f
?
x
?
?kx
2
?x?1
x?0
当时，，当
x?0
时，，故此时不是零点，所以
x?0
，
x
?
111
?
11
?
1
k
?
2
??
2
??
?
?
?
?
2
f
?
x
?
?kx?x?1?0
xxx
?
x2
?
4
，令，
令
2
?
?
x
?
?
11
?
xx
2
，
x?0
，
根据符合函数单调性可知，此时函数单调递减，当
x
趋近于负无穷时，
?
?
x
?
趋近于0，且小于0，
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