别克英朗配置参数-名爵7报价及图片
2023年11月21日发(作者：比亚迪宋max试驾视频)
2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题13-17题
原题13
3xx
?
1______.
．已知函数
fxxa22
??
???
??
是偶函数则
,
a?
变式题1基础
xemx
x
?
2___________
．已知．
m0,fx
??
??
x
为偶函数则
,
m?
em
?
变式题2基础
??
3a
x
?
3___________.
．已知函数
f(x)x
?
??
x
是偶函数则
,
f(1)?
31
?
??
5
变式题3巩固
2
4_____________.
．若函数
fx?xlnax?1?9x
??
（其中）为偶函数则
a?0
,
a?
?
?
变式题4巩固
x
5___________.
．若函数
fx?log4?a?x
??
2
??
为偶函数则
,
a?
变式题5提升
6
．若函数
fx?x?3?ax?b
??????
为偶函数且在上单调递增则地解集
,,
??
0,?
?
f2?x?0
??
为．
___________
变式题6提升
a(x1)sinx
??
2
7,,__________
．对于函数若则．
f(x)
?
f(5)?f(?5)?4
a?
2
x1
?
原题14
8,(),,
．已知为坐标原点抛物线：地焦点为为上一点与
O
CC
y?2px
2
p?0
F
P
PF
x
轴
垂直为轴上一点且
,,
Q
x
PQ?OP
,,______.
若则地准线方程为
FQ?6
C
变式题1基础
9,.,
．设抛物线地焦点为点若线段地中点在抛物线上则
y?2px(p?0)
2
F
A(0,2)
FA
BB
到该抛物线准线地距离为．
_____________
变式题2基础
2
10,______.
．已知抛物线则抛物线地准线方程为
C:y?mxm?R,m?0
??
过点
P?1,4
??
C
变式题3巩固
2
11
．抛物线：
C
y?2pxp?0
??
地焦点为其准线与轴地交点为假如在直线
F
,,
x
A
x?y?4?0
上存在点使得则实数地取值范围是
M
,,___________.
?FMA?90?
p
1
变式题4巩固
2
12
．直线
x?y?2?0
与抛物线交于两点若线段被点平
y?2pxp?0
??
A
,,
B
AB
M4,2
??
分则抛物线地准线方程为
,__________.
变式题5提升
2
13,
．已知点抛物线：
A0,3
C
y?2pxp?0
??
地焦点为射线与抛物线相交于
F
,
FA
C
??
点与其准线相交于点若地值等于
M
,.________.
N
FM:MN?1:2
,
则
p
变式题6提升
14,,,
．已知抛物线地焦点为为坐标原点点在上且
E:y?2px(p?0)
2
FE
O
A
AF?2OF
,,______.
若则
OA?10
p?
原题15
15
．函数
fx?2x?1?2lnx
??
地最小值为
______.
变式题1基础
16__________
．函数地最小值为．
f(x)?x?x?2lnx
变式题2基础
17_____
．函数地最小值是．
y?(x?1)e
2x
变式题3巩固
1
2
2
x
2
18
．函数
fx
??
?
x
在地最大值为
x?0,3
??
________.
e
变式题4巩固
19
．函数
fx
??
?
变式题5提升
20
．函数
f(x)??2x?|lnx|?2
地最大值为
___________.
变式题6提升
lnx
2
在上地最大值是．
0,e
?
?
____
x
?
?
xex2x(x1)
x2
???
1
??
21f(x),x∈(∞,m],f(x)∈,m
．已知函数＝当－时则实数地取
?
?
???
,1
?
e
??
?
2x3(x1)
??
值范围是
________.
原题16
22,,
．某校学生在研究民间剪纸艺术时发现剪纸时经常会沿纸地某款对称轴把纸对折规
格为地长方形纸对折次共可以得到两种规格地
20dm?12dm
,1,
10dm?12dm
20dm?6dm
2
图形它们地面积之和
,
S?240dm
1
,2,,
对折次共可以得到
5dm?12dm
10dm?6dm
2
20dm?3dm
三种规格地图形它们地面积之和以此类推则对折次共可以
,,,4
S?180dm
2
2
得到不同规格图形地种数为。假如对折次那么
______,
n
?
S
k
?
______.
dm
2
k1
?
n
变式题1基础
23,,.,
．纸张地规格是指纸张制成后经过修整切边裁成一定地尺寸现在我国采用国际标准
规定以，，，，，等标记来表示纸张地幅面规格复印纸幅面规格
AO
A1
A2B2
B1
….
①
AO
，，，，只采用系列和系列其中系列地幅面规格为：
A1
A2
…,
A
B
An?Nn?
n
??
,8
A8
所有规格地纸张地幅宽（以
x
表示）和长度（以表示）地比例关系都为
y
x:y?1:2
。将纸张沿长度方向对开成两等分便成为规格纸张沿长度方
②
AO
,,
A1A1
向对开成两等分便成为规格如此对开至规格现有，，，，
,,…,.…
A2A2
A8A8
AO
A1
纸各一张若纸地宽度为则纸地长度为。，，，八张
.,______…
A4A1A1
2dm
dm
A2
A8
纸地面积之和等于
______
dm
2
.
变式题2基础
24“”,
．杨辉三角是中国古代数学文化地瑰宝之一最早出现在中国南宋数学家杨辉于
1261,1654,
年所著地《详解九章算法》一书中欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律
比杨辉要晚近四百年如图在由二项式系数所构成地杨辉三角中记第行地第个数
.,“”,23
字为
a
1
,33,…,3,
第行地第个数字为第行地第个数字为则
a
2n
n?1
a
a?a?a???a?
12310
____________,____________.
111
?????
aaa
12n
变式题3巩固
25ICME-7.
．如图甲是第七届国际数学教育大会（）地会徽它地主题图案是由一连串如
图乙所示地直角三角形演化而成地设其中地第一个直角三角形是等腰三角形且
.,
OAA
12
OA?AA?AA?AA???AA?1
112233478
,,
它可以形成近似地等角螺线记
OA
1
，，，
OAOA
23
L
，地长度组成数列则
OA
8
??
an?N,1?n?8
n
??
*
,____________
且
b
n
?
*
1
a?
n
aa
nn1
?
?
??
n?N,1?n?8
,
数列
??
b
n
地前项和为
7
____________.
3
变式题4巩固
26
．等比数列
??
a
n
中分别是下表一?二?三行中地某一个数且中地任何
,,
a,a,aa,a,a
123123
两个数不在下表地同一列．
第一列第二列第三列
第一行
第二行
第三行
3210
6414
9818
则数列地通项公式为。若数列满足为偶数时数
??
a
n
__________,
??
b
n
b??a
nn
??
1ln
,
当
n
n
列前项和为．
??
b
n
2n
__________
变式题5提升
27“”,
．垛积术（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创南宋数学家杨辉，
圆代数学家朱世杰丰富和发展地一类数列求和方式有茭草垛，方垛，刍童垛，三角垛
,
等等某仓库中部分货物堆放成如图所示地茭草垛：自上而下第一层件以后每一层
.“”,1,
比上一层多件最后一层是件已知第一层货物单价万圆从第二层起货物地单价是
1,.1,,
n
7
??
7
上一层单价地层地货物地价格为若这堆货物总价是万圆则
,
第
n
______,,
64112
?
??
8
??
8
n
n
地值为
______.
变式题6提升
28,,.,
．九连环是中国地一种古老智力游戏它环环相扣趣味无穷长期以来
4
这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家们用于教学研究地课题和例子中国地末
.
代皇帝溥仪也曾有一个精美地由九个翡翠缳相连地银制地九连环如图现
(1906–1967)().
假设有个圆环用表示按某种规则解下个圆环所需地最小移动次数已知数列
nn
,.
a
n
??
a
n
?
n1
?
满足下面款件：地前项和为
a?1
1
,,,,1
a?2
2
aa2
nn2
??
?
??
n3,nN
??
记则：（）
??
a
n
S
n
a?
9
________2________.
。（）
S?
100
原题17
?
a1,n,
n
?为奇数
a?1
a
?
a
29,
．已知数列
??
n
满足
1
n1
?
?
?
a2,n.
n
?为偶数
（）记地通项公式。
1
b?a
n2n
,,,
写出并求数列
bb
1
2
??
b
n
（）求地前项和
220.
??
a
n
变式题1基础
2n1n
?
30
．已知数列
??
a
n
满足
a1,aa2a2
1n1nn
????
?
（）求地值猜想数列地通项公式不需要证明
1,).
a,a,a
234
??
a
n
(
（）令前项地和
2
b?n?a
nn
,
求数列
??
b
n
n
T
n
变式题2基础
31,
．在数列点上
??
a
n
中在直线
,
a?
1
1
1
(aa)nN*
nn1
，?
?
??
y?x?
2
2
（）求数列地通项公式。
1
??
a
n
（）记地前项和．
2n
b
n
?
1
,
求数列
??
b
n
T
n
aa
nn1
?
?
变式题3巩固
32,
．已知数列
??
a
n
满足．
a?1
1
a
n1
?
??
（）求证数列为等差数列。
1
{}
a?1
n
1
1
a2
n
?
5
（）求数列地通项公式．
2
??
a
n
变式题4巩固
33,
．已知数列
??
a
n
中．
,
a?3
1
aa
nn1
??
n11
?
?
(n?2)
nn
（）求及数列地通项公式。
1
a
2
,,
a
3
a
4
??
a
n
（）设求及．
2,
Taaaa1a
n1234n
????????
22222
??
变式题5提升
34,,
．已知数列且满足
??
a
n
中
,
a?1
1
a?3
2
n1
?
T
10
T
n
aa
n1n
?
1
???
nN
?
??
.
naan1aa2nn1
????????
n2n1n1n
???
????
（）设是等差数列。
1
bnN
n
??
（）若地前项和
2
cn
n
??N
na
n
?
??
,
证明：
??
b
n
aa
n1n
?
?
b
n
?
??
,.
求数列
??
c
n
n
S
n
a
n
变式题6提升
35,,.
．已知函数
fx
??
?
??
1
2x3
?
,
数列满足
??
a
n
a?1
1
af
n1
?
?
??
n?N
*
3x
??
a
n
（）求数列地通项公式。
1
??
a
n
（）令
2
Taaaaaaaaaa
n122334452n2n1
???????
?
,.
求
T
n
6
参考结果：
1．1
【思路】利用偶函数地定义可求参数地值
a
.
3xx
?
3xx
?
【详解】因为
fxxa22
??
???
??
,,
故
fxxa22
??
?????
??
因为为偶函数故
fx
??
,
f?x?fx
????
,
xx
?
3xx3xx
??
时
xa22xa22
????
??????
,,
整理得到
??
a12+2=0
?
??
故
a?1
,
故结果为：1
2
．
??
【思路】依据偶函数地定义得：地值
f?x?fx
????
,
即可求出
m
.
【详解】解：因为是偶函数所以
fx
??
,
f?x?fx
????
,
即
xemxem
????
xx
???
emem
??
xx
?
?
?
,
解得
m?1
2
,
即．
m??1
故结果为：
??
.
3
．
2
【思路】首先利用奇偶性求得
a
,.
然后求得
f1
??
【详解】依题意是偶函数所以
fx
??
,
f?x?fx
????
,
xx
311a
x
??
??
??
3a3a
?
??
55
5
,,
整理得
x0
??
所以
????
xx
?
xx
x
3131
??
31
?
1
5
所以
x?1?a?0?a??1
??
,
??
31
x
?
所以
f(x)x
?
??
x
,
31
?
??
5
所以
f11
??
???
故结果为：
2
4
．
?3
1
311
?
.
312
?
7
【思路】依据函数为偶函数利用恒成立化简式子进而得到结果
,,.
f?x?fx
????
2
【详解】因为函数为偶函数
fx?xlnax?1?9x
??
,
?
?
2
又
f?x??xln?ax?1?9x
??
,
?
?
则恒成立
f?x?fx
????
,
22
所以恒成立
xlnax?1?9x??xln?ax?1?9x
,
??
??
2
即恒成立
ax19x
???
1
19xax
??
2
,
22
即恒成立所以
x9?a?1?1
??
,
9?a?0
2
,,.
又所以
a?0
a??3
故结果为：
?3
.
5．1
【思路】利用偶函数地性质列方程求a.
x
【详解】函数为偶函数
∵,
fx?log4?a?x
??
2
??
xx
?
∴
f(?x)?f(x)
,
即
log(4a)xlog(4a)x
22
?????
xx
?
∴
log(4a)log(4a)2x
22
????
xx
∴
log(4?a)?log(1?a4)
22
∴
414
xx
?a??a
∴ ,
a?1
故结果为：1.
6
．
????
??,?1?5,??
2
【思路】先依据偶函数得到上单调递增判断出把代
fx?ax?9
??
,
依据在
??
0,?
?
a?0
,2-x
??
入后解不等式即可
.
2
【详解】为偶函数
∵,
fx?x?3?ax?b?ax?3a?bx?3b
????????
22
∴
f?x?ax?3a?bx?3b?ax?3a?bx?3b
??????
,
∴,,
3a?b?0
即
b??3a
22
∴
fx?ax?9a?ax?9
??
??
,
8
∵,∴,
fx
??
在上单调递增
??
0,?
?
a?0
∵
f2?x?a?x?15?x?0
??????
,
∴
????
x?1x?5?0
,,
解得或
x??1
x?5
∴
不等式地解集为．
????
??,?1?5,??
故结果为：
????
??,?1?5,??
.
7．2
【思路】由题设得为奇函数即可得有关
f(x)a
??
地表达式进而由已知求值
,.
a
2axsinx
?
,
易知
y?f(x)?a
,
f(5)?f(?5)
a
2
x1
?
2axsinx
?
a(x1)sinx2axsinx
???
2
y
?
,
【详解】为奇函数
∵,
f(x)a
???
又
x1
2
?
x1x1
22
??
∴
f(5)?f(?5)?2a?4
,
即．
a?2
故结果为：2
8
．
x??
3
2
【思路】先用坐标表示
P，Q
,,,.
再依据向量垂直坐标表示列方程解得即得结果
p
??
p
【详解】抛物线：
C
y?2px
2
(),
p?0
地焦点
F,0
??
??
2
∵P,,
为上一点与轴垂直
C
PF
x
所以地横坐标为
P
p
,P,
代入抛物线方程求得地纵坐标为
?p
2
p
不妨设
Pp
(,)
,
2
因为为轴上一点且
Q,
x
PQ?OP
,QF,
所以在地右侧
又
?|FQ|?6
,
?Q(6?,0),?PQ?(6,?p)
uuur
p
2
????????
p
2
因为
PQ?OP
,,
所以
PQ?OP?
?6?p?0
2
Qp?0,?p?3
,
所以地准线方程为
C
x??
3
故结果为：
x??
.
2
3
2
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
9
9
．
3
2
4
【详解】试题思路：依据抛物线方程可表示出焦点F地坐标,进而求得B点地坐标代入抛物
线方程求得p,则B点坐标和抛物线准线方程可求,进而求得B到该抛物线准线地距离．
解：依题意可知F坐标为（,0）
∴B地坐标为（,1）代入抛物线方程得=1,解得p=,
∴抛物线准线方程为x=﹣
所以点B到抛物线准线地距离为+=,
故结果为
考点：抛物线地定义。抛物线地简单性质．
10
．
y??
1
16
2
【思路】代入求解抛物线
P?1,4
??
C:y?mxm?R,m?0
??
,
再化简成标准形式求解准线方程
即可
.
22
【详解】由题
,
4?m??1?m?4
??
,.
故故抛物线地准线方程为
C:y?4x?x?y
2
1
C
4
y??
1
.
16
1
16
故结果为：
y??
【点睛】本题主要考查了依据抛物线上地点抛物线方程以及准线地问题.属于基础题.
11
．
?
?
42,
??
?
??????????
【思路】依据题意求出点，地坐标设出点坐标由垂直关系得
F
A
,,
M
AM?FM?0
,
再利用
??0
建立有关地不等式即可求解
P
.
??
p
??
p
【详解】解：由题意
,
F,0
??
,,
A,0
??
?
??
2
??
2
∵,
M
在直线上设点
x?y?4?0
Mx,?x?4
??
,
?????
??
?????
??
p
p
FMx,x4
????
??
,,
AMx,x4
????
∴
??
2
2
??
??
又
?FMA?90?
,
10
??????????
????
pp
2
p
2
2
AMFMxxx40
????????
??
∴
,,
即
2x?8x?16??0
????
22
????
4
??
p
2
22
∴
????????≥
842162p640
??
,,
解得或
p≤?42
p≥42
4
??
又
p?0
,
∴
p
地取值范围是
?
?
42,
??
.
故结果为：
?
?
42,
??
.
12
．
x??1
【思路】设
Ax,y
??
11
,,,,
Bx,y
??
22
由点差法建立关系式可求出即可求解
p?2
【详解】设平分可知
Ax,y
??
11
,,,
Bx,y
??
22
由线段被点
AB
M4,2
??
,
y?y?4
12
2
2
又
y?2px
11
,,,
y?2px
22
所以
??????
y?yy?y?2px?x
121212
?
?
由题意可知直线地斜率存在且为
,,1,
l
所以
x?x
12
,,
所以
42p
??
yy
12
?
xx
12
?
即
4?1?2p
,.
所以
p?2
故抛物线地准线方程为
x??1
.
13
．
2
【思路】过点作垂直于准线于点依据已知款件可得
M
MK
K
,
MK:MN?1:2
,
可得
?MNK?30
?
,,
设准线与即可求得
x
轴相交于点依据地值
E
,.
FE?p
OA?3
p
p
??
p
2
【详解】抛物线：地焦点为坐标为
C
y?2pxp?0
??
F
??
,0
,
准线为
x??
2
??
2
过点作垂直于准线于点
M
MK
K
,
由抛物线地定义知
MF?MK
,
因为
FM:MN?1:2MK:MN?1:2
,,
所以
所以
sinMNK
???
MK
MN2
1
,,
可得
?MNK?30
?
设准线与轴相交于点则
x
E
,
FE?p
,,
NE?2OA?23
11
EF
?
tan30
?
,,
所以
p?FE?ENtan30?23??2
?
3
在中
Rt△NEF
,
EN
3
所以地值等于．
p
2
故结果为：．
2
14
．
22
??
p
【思路】设
Ax,y
??
00
,,
进而结合抛物线地定义与已知款件得进而由解得
A,p
??
?
OA?10
??
2
结果
.
p
??
p
【详解】解：设
Ax,y
??
00
,,,
由题知
F,0
??
OF?
2
??
2
因为
AF?2OF
,
所以
AF?2OF?p
因为点在上
A
E
,
所以解得
AFxp
???
0
p
p
,
x?
0
,
2
2
??
p
所以
A,p
??
?
,
??
2
所以
OA?10??p?p
故结果为：
22
15．1
【思路】由思路式知定义域为
f(x)
(0,??)
,,
讨论，，并结合导数研究
0?x?
地单调性即可求最小值
,.
f(x)
【详解】由题设知：定义域为
f(x)?|2x?1|?2lnx
(0,??)
,
1
1
?x?1
x?1
2
2
p5
2
2
,,
解得
p?22
42
12
∴
当单调递减。
0?x?
当此时单调递减。
1
时此时
,,
f(x)?1?2x?2lnx
f(x)
2
2
1
?x?1
时有
,,
f(x)?2x?1?2lnx
f(x)20
?
???
,
f(x)
2
x
2
???
0f(x)2
,,
此时单调递增。当时
f(x)
x
x?1
f(x)?2x?1?2lnx
,
有
?
又在各分段地界点处连续
f(x)
,
∴,,,
综上有：时单调递减时单调递增。
0?x?1
f(x)f(x)
x?1
∴
f(x)?f(1)?1
故结果为：1.
16
．
3
2
??
1
【思路】（）求导数确定函数在区间上地单调性即可求出函数在区
1 , ,
fxfx
????
??
,e
??
2
??
1
间上地最小值．
??
,e
??
2
2xx2
2
??
????
x2x1
??
,
【详解】
f\'xx1
??
?????
xxx
??
1
当时
x,1
?
??
f\'x?0
??
,
??
2
当时
x?1,ef\'x?0
????
,
??
1
所以在上递减在递增
fx
??
?
,1
?
,,
?
1,e
?
??
2
所以函数在处得到最小值即．
y?fx
??
x?1
,
fx?
??
min
f1?
??
【点睛】本题考查导数知识地运用, 考查函数地单调性与最值, 考查学生地计算能力, 属于
中档题 ．
17
．
?
1
2e
3
3
2
【思路】对
y?(x?1)e
2x
求导讨论函数地单调性求函数地极小值即为最小值
,,.
33
?
2x2x2x
【详解】
ye2(x1)e2x3e
???????
??
,,,
令则时
y?0
?
x??,?x??
22
3
??
??
3
?y?(x?1)e
2x
在
??
???
,
上单调递减在上单调递增时
,.,
??
???
,
2
??
??
2
31
3
?x??
是函数地唯一极小值点即为最小值点
,,.
?x??,y??
min
3
2
22e
3
y0,x
?
???
y?0,
?
2
故结果为
: .
?
1
2e
3
【点睛】本题考查利用导数求函数地单调性和最值,属于基础题.
13
18
．
4
e
2
【思路】利用导数得到函数单调性,即可求解.
2xx
?
2
x2x
??
?
,
【详解】解：
fx
?
??
??
ee
xx
当时
0?x?2
,
fx?0
?
??
,,
原函数单调递增
当时
2?x?3
,
fx?0
?
??
,,
原函数单调递减
所以
fxf2=
????
max
?
故结果为：
19
．
1
e
4
,
e
2
4
.
e
2
【思路】求出导函数,求解极值点,然后判断函数地单调性求解函数地最大值即可．
【详解】函数令．
fx
??
?
lnx
1lnx
?
,,
f\'x
??
?
f\'x?0
??
,
解得
x?e
x
2
x
2
因为在上单调递增在单调递减。
0?e?e
2
,
函数
fx
??
x?0,e
?
?
,
x?e,e
??
??
1
x?e
时得到最大值．
,,
fx
??
fe
??
?
e
1
故结果为．
e
【点睛】本题考查函数地导数地应用,熟练掌握利用导数研究函数地单调性，极值与最值是
解题地关键．
20
．
1?ln2
【思路】由题去绝对值分情况讨论,分别求导求最值,即可求得最大值.
【详解】由题知当时
x?1
,
f(x)??2x?lnx?2
,
∴
f(x)20
?
????
1
x
∴,
f(x)
在为减函数
[1,??)
∴
f(x)?f(1)?0
max
。
当时
0?x?1
,
f(x)??2x?lnx?2
,
12x1
??
∴,
f(x)2=
?
???
xx
1
1
∴
当
x?(0,)
时当时
,,,,
f(x)?0f(x)?0
??
x?(,1)
2
2
14
1
∴
f(x)?f()?1?ln2
max
,
2
综上可知
,
f(x)?1?ln2
max
.
故结果为：
1?ln2
.
21
．
[1,2]
??
1
2e
【思路】先分类讨论求解在不同区间地最值利用最值得到地款件对参数进行讨论．
,,
m
x
【详解】当时
x?1
,
fx?x?1e?2
?
????
??
,
令
fx?0
?
??
,,,
则或。则
ln2?x?1
x??1
fx?0
?
??
?1?x?ln2
?
函数在上单调递减在单调递增
f(x)
??
?1,ln2
,,
????
??,?1,ln2,1
1
?
函数在处得到极大值为
f(x)
x??1
f11
??
???
,
e
在出地极小值为
x?ln2
fln2??ln2,f1?e?3
??????
.
11
当时
x?1
,
fx?2x?3?1?,?1?x?2?
??
,
e2e
2
综上所述地取值范围为
,
m
??
??
1,2
故结果为：
[1,2]
??
22 5
．
720
?
1
2e
??
??
1
2e
153n
??
?
2
n4
?
【思路】（）按对折列举即可。（）依据规律可得
12
S
n
,.
再依据错位相减法得结果
【详解】（）由对折次共可以得到三种规格地图形所
12,,,
5dm?12dm
10dm?6dm20dm?3dm
53
561032012
?，?；??，
,4
共种不同规格（单位以对着三次地结果有：
dm)
2
。
22
53
53
故对折次可得到如下规格：共种不同规格。
4,,,,,5
??
1210
??
620
5?3
42
24
（）由于每次对着后地图形地面积都减小为原来地一半故各次对着后地图形不论规格怎样
2,,,
1
其面积成公比为地等比数列首项为
2
??
1
,120
??
dm
,n,
第次对折后地图形面积为对
120
?
??
??
2
2
n?1
于第此对折后地图形地规格形状种数依据（）地过程和结论猜想为种（证明从
n,1,
n?1
略）故得猜想
,,
S
n
?
设
SS
??????
?
k
k1
?
n
120(n1)
?
2
n1
?
120n1
??
?
120212031204
???
L
,
2222
012n1
?
15
112021203120n120(n1)
???
??????
,
则
S
12n1n
?
22222
两式作差得：
1111
??
120n1
??
?
S240120
??????
??
2n1n
?
?
22222
??
1
??
601
??
?
n1
?
2
??
120n1
??
?
???
240
n
1
2
1
?
2
120n3120n1
????
??
120
,
?????
360360
n1nn
?
222
240n315n3
????
??
.,
因此
S720720
????
22
nn4
?
15n3
??
?
.
故结果为：。
5
720
?
2
n4
?
【点睛】方式点睛：数列求和地常用方式：
（1）对于等差等比数列,利用公式法可直接求解。
（）对于结构其中是等差数列是等比数列用错位相减法求和。
2,,,
??
ab
nnn
??
a
??
b
n
（）对于结构利用分组求和法。
3,
??
a?b
nn
??
1
1111
??
dd?0
??
a
??
??
,,4
,,
（）对于结构其中是等差数列公差为
??
则利用
??
n
aa
aadaa
nn1n1n
??
??
??
nn1
?
裂项相消法求和
.
23 8
．
2552
4
2
【思路】可设地纸张地长度为成以为公比地等比数列
Ai??
i
??
0,1,2,3,,8
a
i1
?
,
则数列
??
a
n
,
2
设地纸张地面积成以为公比地等比数列然后利用等比数列地通项公式
A
i
S
i1
?
,
则数列
??
S
n
2
,
求出数列地首项并利用等比数列地求和公式求出结果
??
S
n
,.
【详解】可设地纸张地长度为
Aii?0,1,2,3,?,8
??
a
i1
?
,,
面积为
S
i1
?
A
i1
?
地长度为为公比地等比数列所以数列是以
aa
i2i1
??
?
1
2
2
,,
??
a
n
2
2
16
A4A4
纸地宽度为则纸地长度为
2dm
,,
a?22
5
dm
a???8
2
a
5
????
22
????
22
????
33
所以纸地长度为
A1
22
所以纸地面积为
,
A1
S?a??8?322dm
22
2
2
?????
Sa
n1n1
??
aS?
nn
,,
S22a
nn
2
22
222
,
22
又
2
2
2
a
n1
?
??
2
??
21
2
??
??
??
2
2
??
??
a
n
2
1
所以数列是以为首项以为公比地等比数列
,,,
??
S
n
322
2
1
??
3221
??
??
8
??
2
?
2552
dm
2
.
因此这张纸地面积之和等于
,8
1
4
1
?
2
故结果为：。
8
2552
.
4
【点睛】本题考查数列应用题地解法,考查等比数列通项公式与求和公式地应用,考查运算求
解能力,属于中等题.
24 220
．
2n
n?1
2
【思路】首先依据杨辉三角得到然后计算。接着利用裂
aC
nn1
?
?
,
a?a?a???a?220
12310
111
????
项相消对进行求和
.
aaa
12n
【详解】解法一
2
由题意知
aC
nn1
?
?
,
2222
a?a?a???a?C?C?C???C
1231023411
?1?3?6?10?15?21?28?36?45?55?220
.
11111122
???????????
???
222
aaaCCC1223
12n23n1
?
??
??
????????
1112112n1
??????????
2121
??
????????
?
.
nn1nn1n1n1223
?????
??
????????
??
2
22
解法二由题意知所以
aC
nn1
?
?
,
a?a?a???a?C?C?
1231023
2322232232
C???C?C?C?C???C?C?C???C?C?
4113341144115
17
22322323
CCCCCCCC220
511101011111112
???????????
??
121110
??
.
321
??
11111122
???????????
???
222
aaaCCC1223
12n23n1
?
??
??
????????
1112112n1
??????????
2121
??
????????
?
.
nn1nn1n1n1223
?????
??
????????
??
故结果为：
220,
2n
n?1
【点睛】本题主要考查组合数地运算性质及数列裂项求和,属于中档题目.
25
．
n
22?1
2
22
【思路】依据勾股定理可得出可得出为等差数列求出地通项公式可求
aa1
n1n
?
??
,,,
??
a
n
??
a
n
得地前项和
b??n?n?
n
1
,
利用裂项相消法可求得数列
??
b
n
7
.
22
【详解】是以为直角地直角三角形由勾股定理可得
?
OAA
nn1
?
?
OAA
nn1
?
,,
aa1
n1n
?
??
?
2
所以数列为等差数列且首项为
,,
??
anN,1n8
n
???
a?1
1
,,
公差为
d?1
??
2
?a?1?n?1d?n
n
??
,,,.
?a?0
n
所以
a?n
n
11nn1
???????
则
bnn1
n
aa
?
nn1
??
nn1
?
??
????
nn1nn1
????
,
因此数列地前项和为
,
??
b
n
7
S??1?2??2?3????7?8?22?1
7
.
故结果为：。
n
22?1
.
【点睛】方式点睛：数列求和地常用方式：
（1）对于等差等比数列,利用公式法直接求和。
（）对于型数列其中是等差数列是等比数列利用错位相减法求和。
2,,,
??
ab
nnn
??
a
??
b
n
（）对于型数列利用分组求和法。
3,
??
a?b
nn
??????
??
1
（）对于型数列其中是公差为地等差数列利用裂项相消法求和
4,,.
??
??
a
n
dd?0
??
aa
??
nn1
?
n1
?
26
．
a23
n
??
nln3
【思路】依据等比数列地定义和表格中数据地特点得到。由
a?2
1
,,
a?6
2
a?18
3
b??a??????n
nn
????????
1ln1ln2ln31ln3
,.
利用分组求和可得结果
18
nnn
【详解】当时则
a?3a?4
1
,
2
,,
或显然不合题意。
a?14
2
当时当且仅当时符合题意。
a?2
1
,,
a?6
2
,
a?18
3
当时
a?10
12
,,,.
a?4
2
或显然不合题意
a?6
n1
?
因此。公比
a?2
1
,,,
a?6
2
a?18
3
q?3
故
a23
n
??
n1
?
???????????
??????????
1ln2ln31nln3b1lna1ln23
则
nn
nnnn
??
则
b?b?b?L?b
1232n
2n2n
???????????????????
????
1111ln2ln312312nln3nln3
LL
??????
.
????
n1
?
故结果为：。
a23
n
??
nln3
.
??
7
27 6
．
n
??
??
8
n1
?
??
7
【思路】由题意可得第层地货物地价格为
n
an
n
?
??
??
8
n1
?
,.
依据错位相减法求和即可求出
??
7
【详解】解：由题意可得第层地货物地价格为
n
an
n
?
??
??
8
012n1
n1
?
,
????????
7777
设这堆货物总价是
S123n
n
??????????
????????
????????
8888
77777
????????
则
S123n
n
??????????
????????
,,
②
88888
????????
123n
?
,,
①
177777
??????????
由可得
①②
?
S1n
n
?????????
??????????
888888
??????????
123n1n
?
??
7
1
?
??
nn
8
??
????
77
,
???????
n8(8n)
????
7
????
88
1
?
8
??
7
S648(8n)
n
????
??
,
??
8
n
n
??
7
∵,
这堆货物总价是万圆
64112
?
??
??
8
n
19
?88?n?112,?n?6
??
,
??
7
故结果为：。
n
??
??
8
n1
?
6
.
【点睛】本题考查了错位相减法求和,考查了运算能力,以及思路问题和解决问题地能力,属于
中档题.
2154
102
?
28 .
．
341
3
【思路】分为偶数和为奇数两种情况由题中款件利用叠加法由等比数列地求和公式求
nn
,,,,
出数列地通项即可求出。再由分组求和地方式即可求出
,,
a
9
S
100
.
【详解】（）当为偶数时
1,
n
aa2a22a222a2222
nn2n4n62
??????????????????????
???
n1n1n3n1n3n5n1n3n53
?????????
????????????
2222222
n?1n?3n?53n?1
212
??
?
n
123
?
2
1
??
。
当为奇数时
n
,
aa2a22a222a2222
nn2n4n61
??????????????????????
???
n1n1n3n1n3n5n1n3n52
?????????
????????????
2222121
n1n3n5n12
????
121
?
n1
?
??
123
?
2
∴
a21341
9
???
1
91
?
??
3
（）
2
S?a?a?????a?a?a?????a
100139924100
????
11
2410035101
????
????????????????????
????????????
222222212121
????
33
112154
2345100101
102
?
.
?????????????
??
222222150
??
333
2154
102
?
.
故结果为：。
341
3
【点睛】关键点点睛：
求解本题地关键在于依据题中款件讨论为奇数和为偶数两种情况利用叠加法（累加法）
,,
nn
求出数列地通项即可。在求数列地和时可利用分组求和地方式求解
,.
291
．（）
b?2,b?5,b?3n?1
12n
。（）
2.
300
【思路】方式一：由题意结合递推关系式确定数列地特征然后求和其通项公式即可。
(1),
??
b
n
20
(2),
方式二：分组求和结合等差数列前
n
项和公式即可求得数列地前项和
20.
【详解】解：（1）[方式一]【最优解】：
显然为偶数则
2n
,
aa2,aa1
2n12n2n22n1
???
????
,
所以
aa3
2n22n
?
??
,,,
即且
bb3
n1n
?
??
b?a?a+1?2
121
所以是以为首项为公差地等差数列
??
b
n
2,3,
于是．
b?2,b?5,b?3n?1
12n
[方式二]：奇偶分类讨论
由题意知．
a?1,a?2,a?4
123
,
所以
b?a?2,b?a?a?1?5
12243
由（为奇数）及（为偶数）可知
aa1
n1n
?
??
nn
aa2
n1n
?
??
,
数列从第一项起,
若为奇数则其后一项减去该项地差为
n
,1,
若为偶数则其后一项减去该项地差为．
n
,2
*
所以则．
aa3(nN)
n2n
?
???
,
b?b?n?1?3?3n?1
n1
??
[方式三]：累加法
3(1)
?
n
由题意知数列满足．
??
a
n
a1,aa(n)
1n1n
?????N
?
*
22
3(1)
?
1
所以
baa112
121
???????
,
22
3(1)3(1)
??
32
baaa1a1a21235
243322
????????????????
,
2222
则
ba(aa)(aa)+(aa)a121221a
n2n2n2n12n12n22111
??????????????????
???
?n?1?2(n?1)?1?3n?1
．
所以地通项公式．
b?2,b?5
12
,
数列
??
b
n
b?3n?1
n
（2）[方式一]：奇偶分类讨论
S?a+a+a??+a?(a+a+a??a)?(a+a?a+?+a)
20123201351924620
?(b?1?b?1?b?1???b?1)?b?b?b???b
1231012310
????
210300
(b?b)?10
110
．
2
[方式二]：分组求和
21
由题意知数列满足
??
a
n
a1,aa1,aa2
12n2n12n12n
?????
??
,
所以．
aa2a3
2n12n2n1
??
????
所以数列地奇数项是以为首项为公差地等差数列。
??
a
n
1,3
同理由知数列地偶数项是以为首项为公差地等差数列．
,2,3
aa1a3
2n22n12n
??
????
??
a
n
从而数列地前项和为：
??
a
n
20
S?(a?a?a???a)?(a?a?a???a)
201351924620
?????????
10131023300
109109
??
．
22
【整体点评】方式一：由题意讨论地性质为最一般地思路和最优地解法。
(1)
??
b
n
方式二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况,然后利用递推关系式确定数列地性质。
方式三：写出数列地通项公式然后累加求数列地通项公式是一种更加灵活地思路
??
a
n
,,.
??
b
n
(2)
方式一：由通项公式分奇偶地情况求解前
n
项和是一种常规地方式。
方式二：分组求和是常见地数列求和地一种方式结合等差数列前项和公式和分组地方式
,
n
进行求和是一种不错地选择
.
n1
-
301,.
．（）猜想
a?2,a?4,a?8
234
a2
n
=
。（）
2
T?n??
n
(1)21
n
【思路】（1）依据递推关系代入即可得解,依据特征猜想公式。
（2）利用错位相减法求和.
【详解】（）解
1
a?1?1?2?2,a?4?4?4?4,a?16?16?8?8
234
,
n1
-
猜想
a2
n
=
（）由（）
21
bn2
n
??
n1
?
T122232n2
n
??????????
012n1
?
……..
①
2T?1?2?2?2?3?2???n?2
n
123n
……..,-
②①②
由得
????????????
T1222n2(1n)21
n
12n1nn
?
,
所以
T?n??
n
(1)21
n
31(1).
．
a?
n
4n
n
。
(2)
T
n
?
2
n1
?
22
【思路】由款件结合等差数列定义证明为等差数列依据等差数列通项公式求数列
,,
{a}{a}
nn
11
)b4(
,n.
利用裂项相消法求其前项和
T
n
地通项由可得
,(1)(1)
n
??
nn1
?
【详解】点在直线
(1)∵
(a,a)
nn1
?
y?x?
∴,
aa
n1n
?
??
∴,
aa
n1n
?
??
1
2
1
上
,
2
1
1
又
a?
1
,
2
2
11
∴,
数列为首项为地等差数列
{a}
n
22
,
公差为
∴
a?
n
n
,
2
(2)(1)
由
b4()
n
????
1411
aan(n1)nn1
nn1
?
??
∴??????????
11111
T4(1)4()4()
n
223nn1
?
11111
??????????
4(1)
223nn1
?
4n
?
n1
?
32n
?
．
2n1
?
3212
．（）证明见思路。（）
a
n
?
【思路】（）证明（常数）即得证。
1,
（）由题得
2
11
??
1
a1a1
n1n
?
??
11
????
??
n11
,.
化简即得解
a12
n
?
【详解】解：（）数列满足．
1
??
a
n
a?1
1
,
a
n1
?
??
a2
整理得（常数）
111
????
1
n
?
a2
?
n
1
,
a1a1a1a1
n1nnn
?
????
1
1
所以数列是以为首项为公差地等差数列．
{}
a?1
2
,1
n
（）由于数列是以为首项为公差地等差数列．
2,1
{}
a?1
2
n
所以
11
????
??
n11
,
a12
n
?
1
1
所以．
a
n
?
32n
?
2n1
?
331,,,
．（）
a?5
2
a?7
3
a?9
4
。。（）
a?2n?1
n
2
T??240
10
23
?
2n4n3,n2k1kN
2
?????
?
?
T
n
?
?
2
?
????
2n4n,n2kkN
?
?
??
??
【思路】（）分别令利用递推公式以及可得
1
n?2,3,4
a?3
1
a
2
,,,
a
3
a
4
将递推公式整理可得
a1a1
nn1
??
?
??
a1
?
?
,
可得
??
n
是常数列结合其首项即可求得地通项公式。
,
??
a
n
n1n
?
??
n1
?
（）利用并项求和结合等差数列前项和公式可得。当为偶数时采用并项求和求
2,
nn
T
10
T
n
,
当
n?3
且写成分段地形式即可
n
为奇数时再检验
,,
TTa
nn1n
??
?
2
T
1
,.
【详解】（）当时
1,,
n?2
aa35
21
??????
当时
n?3
,,
aa57
32
???????
当时
n?4
,,
aa79
43
???????
21131
?
2222
31141
?
3333
41151
?
4444
n11
?
n1n1n1
???
aa1a1
n1nn1
??
?????
aa
n1n
?
??
可得当时由
??
,,
nnn
nn
n?2
所以是常数列
a1a1
nn1
??
?
??
a1
?
?
,
所以
??
n
,
n1n
?
??
n1
?
又因为所以
a1
?
a?1
1
?
2
,
n
?
2
,,
所以
a?2n?1
n
2
n1
?
222222
（）
2
T?a?a?a?a???a?a
101234910
??????
??2a?a?2a?a???2a?a
??????
1234910
??2a?a?a?a???a?a
??
1234910
?????
2240
103?2?10?1
??
,
2
当为偶数时
n
Taaaaaa
n1234n1n
????????
222222
?
?????????
2aa2aa2aa
??????
1234n1n
?
?????????
2aaaaaa
??
1234n1n
?
??????
22n4n
2
所以当为偶数时
n
T??2n?4n
n
,
n32n1
??
??
2
,
2
当且为奇数时
n?3
n
,
TTa2n14n12n12n4n3
nn1n
????????????
?
22
??????
,
2
当时
n?1
,
T?a?9
11
满足上式
,
22
24
2
所以当为奇数时
n
,
T?2n?4n?3
n
,
?
2n4n3,n2k1kN
2
?????
?
?
综上所述：
T
n
?
?
2
?
????
2n4n,n2kkN
?
?
??
??
12n3
??
?
3412.
．（）证明见思路。（）
S9
n
???
??
n1
?
83
??
【思路】（）由递推关系式可整理得到由此可证得结论。
1,
bb
n1n
?
??
1
2
（）由（）可得通项公式可证得为等比数列由等比数列通项公式可求得
21,
bb
nn
,,
由
??
a
n
a
n
由此得到
c
n
,.
采用错位相减法可求得结果
【详解】（）
1
?
aa
n1n
?
1
??
,
naan1aa2nn1
????????
n2n1n1n
???
????
???
??
n1a
?
n1
?
aaaa2
n2n1n1n
???
??
na
n
1
1
,
???
bb
n1n
?
,
2
1
1
为首项公差地等差数列。
,
d?
2
2
na
n
n
n
??
,,
n?Nb?b?n?1d?
*
??
aa2
n1n
?
?
2
?b
??
n
是以
b?
1
（）由（）得：
21
n1
??
整理可得：是以为首项公比地等比数列
a3a
n1n
?
?
,
?
??
a
n
a?1
1
,,
q?3
??
a3
n
n1
?
,
???
c
n
b
n
n
,
a23
n
?
n1
?
123n
??
??????????
S1
n
??
2n1
?
…,
①
2333
??
11123n1n
??
?
1
①
?
得：
S
n
??????????
??
23n1n
?
…,
②
3233333
??
3
1
??
1
?
n
211111n1n
??
??
3
??????????????
n23n1n
??
①?②
得：
S1
n
??
?
323333323
??
??
1
?
1
3
??
133n32n?3
??
??????
??
,
22233443
??
??
nnn
332n312n3
????
??
???????
S9
n
????
.
244383
????
?
nn1
?
【点睛】方式点睛：当数列通项公式满足等差等比地形式时采用错位相减法求解数列地前
?
,
n
项和具体步骤如下：
,
①
列出地形式。
Saaaaa
n123n1n
?????????
?
②
左右两侧同乘通项中地等比部分地公比。
q
,
得到
qS
n
25
③
上下两式作差得到
??
1
?qS
n
,
结合等比数列求和公式可整理等式右侧地部分。
④
整理所得式子求得
S
n
.
3512.
．（）。（）
a?n?
n
21
4
2
?2n?3n
??
9
33
【思路】（1）依据函数思路式建立数列地递推关系式,进而求解数列通项即可。
（2）依据（1）所得数列通项公式,运用并项法化简求和即可得出结果.
2
?
3
??
123a2
?
n
a
2x3
?
?????
aaf
nn1
,
【详解】（）由可得
1,
fx
??
?
?
??
n
3
33a
3x
??
n
a
n
∴,
aa
n1n
?
??
2
3
2
3
∴.
??
a
n
是以为公差地等差数列
又
a?1
1
,∴
a?n?
n
21
。
33
4
3
（）由（）可得
21,
aa
2n12n1
??
???
????????
Taaaaaaaaaa
n122334452n2n1
?
????????
aaaaaaaaa
2134352n2n12n1
??????
??
??a?a???a
4
??
242n
3
??
54n1
n
??
??
4
??
333
???
32
??2n?3n
4
2
??
.
9
26
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