2.2.1 第1课时 对数

2023年11月21日发(作者：雪佛兰乐风2008款)

2．2 对数函数

2．2.1 对数与对数运算

第1课时 对数

[目标] 1.记住对数的定义，会进行指数式与对数式的互化；2.记住对数的性质，会利用

对数的性质解答问题．

[重点] 对数的概念及对数的性质．

[难点] 对数概念的理解及对数性质的应用.

知识点一 对数的概念

[填一填]

1．对数的概念

一般地，如果a＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logN，

x

a

其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

对数与指数间的关系：

当a>0，a≠1时，a＝N?x＝logN.

x

a

2．两种重要对数

(1)常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把logN记为lgN.

10

(2)自然对数：以无理数e(e＝2.718_28…)为底的对数称为自然对数，并把logN记为lnN.

e

[答一答]

1．在对数概念中，为什么规定a>0且a≠1呢？

提示：(1)若a<0，则N取某些数值时，logN不存在，为此规定a不能小于0.

a

(2)若a＝0，则当N≠0时，logN不存在，当N＝0时，则logN有无数个值，与函数

aa

定义不符，因此，规定a≠0.

(3)若a＝1，当N≠1时，则logN不存在，当N＝1时，则logN有无数个值，与函数

aa

定义不符，因此，规定a≠1.

2．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)因为(－2)＝16，所以log16＝4.( × )

4

(2)

－

(2)对数式log2与log3的意义一样．( × )

32

(3)对数的运算实质是求幂指数．( √ )

(4)等式log1＝0对于任意实数a恒成立．( × )

a

知识点二 对数的基本性质

[填一填]

1．对数的性质

(1)负数和零没有对数；

(2)log1＝0(a>0，且a≠1)；

a

(3)loga＝1(a>0，且a≠1)．

a

2．对数恒等式

a＝N.

log N

a

[答一答]

3．为什么零与负数没有对数？

提示：因为x＝logN(a>0，且a≠1)?a＝N(a>0，且a≠1)，而a>0且a≠1时，a恒大

a

xx

于0，即N>0，故0和负数没有对数．

4．你知道式子a＝N(a>0，a≠1，N>0)为什么成立吗？

log N

a

提示：此式称为对数恒等式．设a＝N，则b＝logN，

b

a

∴a＝a＝N.

blog N

a

类型一 对数的意义

[例1] 求下列各式中的实数x的取值范围：

(1)log(x－10)；(2)log(x＋2)．

2(x1)

－

[分析] 根据对数的定义列出不等式(组)求解．

[解] (1)由题意有x－10>0，∴x>10，

∴实数x的取值范围是{x|x>10}．

x＋2>0，

?

?

(2)由题意有即

?

x－1>0，

?

?

x－1≠1，

?

?

x>－2，

?

?

x>1，且x≠2，

?

∴x>1，且x≠2.

∴实数x的取值范围是{x|x>1，且x≠2}．

求形如logg?x?的式子有意义的x的取值范围，可利用对数的定义，即满足

f?x?

?

?

g?x?>0，

?

f?x?>0，

?

?

f?x?≠1，

进而求得x的取值范围.

[变式训练1] 求下列各式中实数x的取值范围：

(1)log(3x＋2)；

(2x1)

－

(2)log(－3x＋8)．

(x21)

＋

?

3x＋2>0，

解：(1)因为真数大于0，底数大于0且不等于1，所以解得x>，且x≠1.

?

?

2x－1>0，

?

?

2x－1≠1，

即实数x的取值范围是{x|x>，且x≠1}．

1

2

(2)因为底数x＋1≠1，所以x≠0.

2

又因为－3x＋8>0，所以x<.

8

3

综上可知，x<，且x≠0.

8

3

即实数x的取值范围是{x|x<，且x≠0}．

8

3

类型二 利用对数式与指数式的关系求值

[例2] 求下列各式中x的值：

(1)4＝5·3；(2)log(x＋2)＝2；

xx

7

(3)lne＝x；(4)log27＝；

2

3

x

2

(5)lg0.01＝x.

[分析] 利用指数式与对数式之间的关系求解．

解] (1)∵4＝5·3，∴[＝5，∴＝5，

xxx

4

x

4

3

x

??

??

3

1

2

N＝x与a＝N?a>0，且a≠1，N>0?是等价的，转化前后底数不变.

a

x

2.对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的

互化求出第三个.

[变式训练2] 求下列各式中x的值．

3

(1)logx＝；(2)log33＝3；

2x

2

1

(3)x＝log；(4)log x＝4.

5

2

625

2

33

解：(1)由logx＝，得x＝2＝2＝22.

2

3

22

(2)由log33＝3，得x＝33＝(3)，∴x＝3.

x

33

(3)由x＝log，得5＝＝5，∴x＝－4.

5

(4)由log x＝4，得x＝(2)＝4，∴x＝±2.

11

x4

－

625625

224

2

类型三 对数基本性质的应用

[例3] 求下列各式中x的值：

[解] (1)∵log(logx)＝0，∴logx＝1.

322

∴x＝2＝2.

1

对数的基本性质及对数恒等式是进行对数化简、求值的重要工具，要熟记并能灵活应用.

[变式训练3] 求下列各式中的x：

解：(1)∵ln(lgx)＝1，∴lgx＝e，

∴x＝10.

e

(2)∵log(logx)＝0，∴logx＝1，∴x＝5.

255

1．把对数式m＝logq化为指数式是( B )

n

A．m＝q B．n＝q C．n＝m D．q＝n

nmqm

解析：利用对数定义得n＝q.

m

1

2．log等于( B )

3

81

11

A．4 B．－4 C. D．－

44

1

解析：log＝log3＝－4.

33

－

4

81

3．＝.

3

4

1

－

2

2

4．log[log(logx)]＝0，则x ＝.

532

4

解析：∵log[log(logx)]＝0，∴log(logx)＝1.∴logx＝3.∴x＝2.

532322

3

5．把下列各式中的对数式化为指数式，指数式化为对数式．

1

－

(1)5＝；(2)8＝30；(3)3＝1；(4)log 9＝－2；

2xx

1

25

3

1

(5)x＝log10；(6)x＝ln；(7)3＝lgx.

6

3

111

解：(1)－2＝log；(2)x＝log30；(3)x＝log1；(4)()＝9；(5)6＝10；(6)e＝；(7)10

583

－

2xx3

2533

＝x.

——本课须掌握的三大问题

1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a＝N?logN＝b(a>0，且

b

a

a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)loga＝b；(2) a＝N.

a

blog N

a

2．在关系式a＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x

x

的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．

3．指数式与对数式的互化

学习至此，请完成课时作业18