2023高考数学新课标I卷答案与解析

2023年11月21日发(作者：21款迈巴赫s680报价)

202369

2023年高考新课标I卷数学参考答案与详解

一、单选题

1.C

已知集合，，则（）

M?{?2,?1,0,1,2}

N?{x|x?x?6?0}

2

M?N?

A.B.C.D.

{?2,?1,0,1}{0,1,2}{?2}{2}

解析∵

N?{x|(x?3)(x?2)?0}?(??,?2]?[3,??)

∴

M?N?{?2}

2.A

已知，则（）

z

?

1i

?

22i

?

z?z?

A.B.C.0D.1

?ii

解析∵

z

?????

1i(1i)(22i)22i2i2i4ii

????????

2

22i(22i)(22i)44i82

????

2

∴

z?

i

2

∴

zzi

?????

?

ii

22

3.D

已知向量，，若，则（

a?(1,1)b?(1,?1)(a?b)?(a?b)

??

）

A.B.C.D.

??

??1???1?1??1

??

??

??

解析：∵

a?b?(1,1)?(,?)?(1?,1?)

?????

∴，

a?b?(1?,1?)

???

∴

(1?,1?)?(1?,1?)?0

????

∴

(1?)(1?)?(1?)(1?)?0

????

∴，故

1????1????0??1

????????

??

4.D

设函数在区间上递减，则的取值范围是（）

f(x)2

?

x(xa)

?

(0,1)

a

A.B.C.D.

(??,?2][?2,0)(0,2][2,??)

解析：∵在上递减，

f(x)2

?

x(xa)

?

(0,1)

∴在递减

g(x)?x(x?a)(0,1)

1

202369

∴对称轴

x??1

∴

a?2

a

2

xx

22

22

5.

设椭圆，的离心率分别为，若，则

C:y1(a1)C:?y?1

12

2

???

e,e

12

e?3e

21

a4

a?

（

A

）

A.

23

3

B.C.D.

2

36

2

1

323

a11

?

，所以解析：易求得，则，于是

e?a?

2

e?

1

?

2

23

a2

6.B

过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

(0,?2)

x?y?4x?1?0

22

?

sin?

?

）

A.1

B.C.D.

15106

444

解析∵圆的方程即为，圆心，半径为，设点，其中一

(x?2)?y?5

22

A(2,0)B(0,?2)

5

个切点为点，则设

C?ABC?

|AB|?8,|AC|?5,|BC|?3

∴，

cossin

?

????

.

?

|BC|3|AC|5

?

|AB||AB|

88

5315

????????

4

88

??

S

n

??

为等差数列，则（记为数列的前项和，设甲：为等差数列，

C7.

）

n

??

∴

sinsin(π)sin22sincos2

?????

S{a}{a}

nnn

n

A.B.

甲是乙的充分不必要条件甲是乙的必要不充分条件

C.D.

甲是乙的充要条件甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

解析∵（）

a?a?(n?1)d?

n1

Snada(n1)dd?d

n11

?????

∴甲是乙的充分条件

∵（）

S

n(n1)1

?

?

n

?

?

.

2n2

S

n

S

1

n(n1)

?

?????

(n1)dSnad

?

n1

?

d?2d

?

n12

11

，，则（已知

cossinsin()

????

???

cos(2?2)?

??

B 8.

）

36

2

∴甲是乙的必要条件

202369

C.A.B.D.

??

7117

9999

解析∵，

sincoscossincossin

????

???

∴

sincos

??

???

11

??

36

111

632

112

??????

263

2

∴

sin()sincoscossin

??????

??

21

∴

cos(22)cos2()12sin()12

??????

??????????

2

??

.

??

39

二、多选题

9.BD

有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（）

x,x,?,xxx

12616

A.

x,x,x,xx,x,?,x

2345126

的平均数等于的平均数

B.

x,x,x,xx,x,?,x

2345126

的中位数等于的中位数

C.

x,x,x,xx,x,?,x

2345126

的标准差不小于的标准差

D.

x,x,x,xx,x,?,x

2345126

的极差不大于的极差

解析：选项错误，反例：；

A

1,2,3,4,5,100

B

选项正确，不妨设，则的中位数和的

x?x?x?x?x?xx,x,x,xx,x,?,x

1234562345126

中位数都为

x?x

34

2

C

选项错误，反例：，的标准差，的标准差

1,2,2,2,2,9

x,x,x,xs?0x,x,?,x

23451126

s?0

2

D

选项正确，不妨设，的极差为，而

x?x?x?x?x?xx,x,x,xx?x

123456234552

x,x,?,xx?xx?x?0?x?xx?x?x?x

1266165126152

的极差为，显然，即

.

10

..

噪声污染问题越来越受到重视用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

L20lg

p

??

声压级：

声源与声源的距离声压级

/m/dB

3

p

，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压下表为不同声源的

p(p?0)

00

p

.

p

0

202369

燃油汽车

混合动力汽车

电动汽车

1060~90

1050~60

1040

已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车处测得实际声压分别为，则

10 m

p,p,p

123

（

ACD

）

A.B.C.D.

p?pp?10pp?100pp?100p

12233012

解析：由题意：，即①

6020lg901010

?????

pp

11

pp

34.5

00

5020lg601010

?????

pp

22

pp

，即②

2.53

00

20lg4010

???

pp

33

，即③

2

pp

00

由①②知，（）因此，，选项正确

pp

21

pp

??

10

3

p?0p?p

012

A.

00

2.53

由②③知，，即，选项错误

1010

??

p

2

??

p

2

??

p

3

?

??

??

1010

2.53

22

,

B.

??

10

2

p1010

3

??

由③知，正确

C

由②知，④，

11

10p10

32.5

??

p

0

2

由①×④知，，选项正确

1010

34.5

p

1

10p10

32.5

???

100

D.

2

11.ABC

已知函数的定义域为，且满足，则（

f(x)

R

f(xy)?yf(x)?xf(y)

22

）

A.B.

f(0)?0f(1)?0

C.D.

f(x)f(x)

是偶函数为的极小值点

x?0

解析：令，得，选项正确

x?y?0f(0)?0

A

令，得，因此，选项正确

x?y?1f(1)?f(1)?f(1)f(1)?0

B

4

202369

令，得

y??1

f(?x)?f(x)?xf(?1)

2

C.

选项正确令得，于是，所以，

x?y??1f(1)?f(?1)?f(?1)f(?1)?0f(?x)?f(x)

D.

选项错误，举例：令为常数函数，则在处无极值点事实上，

f(x)f(x)?0f(x)

x?0

即便不是常数函数，在等式中，两边对求导，

f(x)

f(xy)?yf(x)?xf(y)

22

x

，，，令，得（）

f(0)?0y?R

?

f(xy)?y?yf(x)?2x?f(y)f(0)?y?yf(0)

????

22

x?0

可以判断出是极值点，但不能确定是极小值点

.

12.

下列物体，能够被整体放入棱长为（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）

1m

内的有（

ABD

）

B.1.4 mA.0.99 m

所有棱长均为的四面体直径为的球体

D.1.2 m0.01 mC.0.01 m1.8 m

底面直径为，高为的圆柱体底面直径为，高为的圆柱体

解析：选项显然正确

A.

棱长为米的正方体中能找到的最大的正四面体可以为，该

1

ABCD?ABCDB?ACD

111111

正四面体的棱长为面对角线的长度米，，因此正确

21.4?2

B.

0.011.8m

米的直径可以忽略不计，可以看成是的线段能否放入，正方体

ABCD?ABCD

1111

能找到的最长的线段是体对角线，长度为米，，因此错误

AC

1

31.8?3

C.

0.011.2

米的高可以忽略不计，可以看成是直径米的圆能否放入，正方体

ABCD?ABCD

1111

中能找到的最大的一个圆是（六条棱的中点构成）的边长为米的正六边形的内切圆（图

2

2

266

，，略），该内切圆的直径长即为正六边形对边的距离，为

1.2cos302

???

?

222

因此正确

D

三、填空题

学生需从这门课中选修门或某学校开设了门体育类选修课和门艺术类选修课，

8244

13.

31

门课，并且每类选修课至少选修门，则不同的选课方案共

64

种

.

解析：分下列几类：（）若选修门，则只能是门体育和门艺术，有种；

1211

4?4?16

5

202369

2

（）若选修门，则可能是门体育和门艺术，有种，也可能是门体育和

231221

4?C?24

4

门艺术，也是种

24.

因此共有种

16?24?24?64

.

14.

在正四棱台中，，，，则该棱台的体积

ABCD?ABCDAB?1

111111

AB?2

AA?2

1

为

76

6

2AO?

，由解析：延长正四棱台的四条侧棱交于一点，设底面正中心为点，则

P

O

AB?AB

11

1

知平面为大棱锥的中截面，所以，所以

ABCD

1111

P?ABCD

PA?AA?2

11

2

2

2

PO?(22)?2?6

，棱台高为，故

61676

V??(1?1?2?2)??

2222

2326

15.

已知函数（）在区间上有且仅有个零点，则的取

f(x)?cosx?1[0,2π]

?

?

?0

3

?

值范围是

[2,3)

解析：由在上有个交点，画图可知，区间长度，即

cosx?1

?

[0,2π]2?[2T,3T)

3

?

223

????

22

??

??

?

，解得

2??3

?

.

xy

22

C:1(a0,b0)

22

????

16.

已知双曲线的左右焦点分别为，点在上，点

ab

F,F

12

AB

C

??????????

2

35

????????

FA??FB

22

3

在轴上，，，则的离心率为

y

FA?FB

11

C

5

解析：不妨设，则，，由勾股定理得

AF?2,BF?3AF?2a?2BF?BF?3

22112

(2a?2)?3?5

222

，解得，于是，在中，

a?1

cosA

??

AF

1

4

?AFF

12

AB5

3

42(2c)4

222

??

c35

c?

.

，解得，

e

??

cosA

??

5

2425

??

a5

6

202369

四、解答题

17.

已知在中，，

?ABCA?B?3C

2sin(A?C)?sinB

.

（）求

1.

sinA

（）设，求边上的高

2.

AB?5

AB

解：（）∵，∴

1

A?B?3C?C?3C

?

∴∵

C

?

?

4

2sin(A?C)?sinB?sin(A?C)

∴

2sinAcosC?2cosAsinC?sinAcosC?cosAsinC

∴

sinAcosC?3cosAsinC

∴

tanA?3

∴

sinA?

310

10

BC5

（）由正弦定理得，由（）知

21

????

3102

?

????

102

????

1

BC?35

cosA?

10

5AC(35)1

222

??

由余弦定理知，解得，即

cosA

??

AC?10AC?20?0

2

25AC

??

10

(AC?210)(AC?10)?0

，故

AC?210

.

由面积公式，解得

121

?210?35???5?h

h?6

.

222

18.

如图，在正四棱柱中，，，点分别

ABCD?ABCDAA?4A,B,C,D

111112222

AB?2

在棱上，

AA,BB,CC,DDAA?2,BB?DD?2,CC?3

11111222

.

（）证明：

1

BC//AD

2222

（）点在棱上，当二面角为，求

2.

P

BBP?AC?DBP

12222

150

?

解析：（）证明：分别取的中点为，则，且

1

CC,BBDM//DC//AB//AN

1222

M,N

DM?DC?AB?AM?2DMNAMN//DA

222222

，因此四边形是平行四边形，于是，

7

202369

又，且，因此四边形是平行四边形，于是，

CM//BNCM?BN?1CMNBMN//BC

22222222

因此

BC//AD

2222

.

（）以为坐标原点，分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系设

2.

D

DA,DC,DD

1

x,y,z

P(2,2,h)

，，，，，

A(2,0,1)C(0,2,3)D(0,0,2)

222

?????

PA?(0,?2,1?h)

2

?????????????????

.

AC?(?2,2,2)DA?(2,0,?1)n?(x,y,z)n?(x,y,z)

222211112222

，设和分别为平面

????????????????

??

??

nPAnDA

12222

??

PACDAC

22222

和平面的法向量，则、，

??

?????????????????

??

??

nACnAC

122222

??

??

??????

2y(1h)z02xz0

1122

因此、

??

????????

2x2y2z02x2y2z0

??

111222

??

??

3h2

?

???

,1,n

不妨设，则、

x?1

2

1

?

??

n?(1,?1,2)

2

1h1h

??

??

?????

nn

12

?

?

??????

，整理得，解得或，都有由

h?4h?3?0

2

h?1h?3

BP?1

2

|cos150|

?

|n||n|

12

?

19.

已知函数

f(x)?a(e?a)?x

x

.

（）讨论的单调性

1.

f(x)

（）证明：当，

2.

a?0

f(x)?2lna?

3

2

解析：（），讨论如下：

1

f(x)?ae?1

?

x

①若，则在上恒成立，即在上单调递减；

a?0

f(x)?0f(x)

?

RR

x

②若，令，即解得于是，时，，

a?0

f(x)?0f(x)?0

??

exln

??

1

??

11

.

x,ln

???

??

a

??

aa

??

1

f(x)f(x)?0f(x)

单调递减；时，，单调递增

xln,

???

?

?

?

.

??

a

（）由（）知，时，，

21

a?0

f(x)fln1alna

min

????

??

因此只需证明，即

1?a?lna?2lna?a?lna??0

22

??

??

1

2

a

31

.

22

8

202369

1

12a1

2

?

2

设，则（），令，解得

g(a)?a?lna?

g(a)2a

?

???

a?0

g(a)?0

a?

2

aa

2

2

或（舍）因此当时，，单调递减；当时，

a??0?a?a?

222

.

g(a)?0g(a)

?

222

??

21212

g(a)?0g(a)

?

，单调递增，于是，因此

g(a)glnln0

min

???????

??

??

22222

??

g(a)?a?lna??0

2

1

恒成立得证

..

2

nn

2

?

20.

等差数列的公差为，且，令，记分别为数列

{a}bST{a},{b}

nnnnnn

dd?1

?,

a

n

的前项和

n

.

（）若，，求的通项公式

1.

3a?3a?aS?T?21{a}

21333n

（）若为等差数列，且，求

2.

{b}S?T?99

n9999

d

解析：（），解得，

1

3(a?d)?3a?(a?2d)a?d

1111

于是，整理得，即

STaaa6d21

33123

??????????

26129

2d?7d?3?0

2

aaad

123

(d?3)(2d?1)?0

，因为，故所以的通项公式为

d?1d?3

..

{a}a?3n

nn

（）设，，

2

a?a?(n?1)db?b?(n?1)d

n1n1

?

nn

2

?

22

由得：，即

b

n

?

ab?n?n[a?(n?1)d]?[b?(n?1)d]?n?n

nn11

?

a

n

展开整理得：

ddn?(ad?bd?2dd)n?(a?d)(b?d)?n?n

????

1111

22

?

dd1

?

?①

?

根据对应系数相等得：

?

adbd2dd1

11

??

???②

?

(ad)(bd)0

???③

?

11

?

由③知，或

a?db?d

11

?

.

当时，，；

a?da?nd

1n

b(n1)

n

??

1

d

9

202369

??

2100

??

??

99

则整理得，解得

50d?d?51?0

2

(d99d)99

??

dd

??

ST99

9999

????

22

51

（满足，符合题意）或（舍）

d?1d??1

.

50

15150

?1a(n1)d?d?

，当时，，，由上述过程，不难发现（此时

b?db?nd

1n

??

n

??

?

d5051

?

d?

舍）或（此时，亦舍）

d??1d?1

?

.

综上所述，

d?

51

.

50

21.

甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中

则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮命中率

.0.6

均为，由抽签确定第次投篮的人选第次投篮的人是甲、乙的概率各为

0.81.10.5.

（）求第次投篮的人是乙的概率；

12

（）求第次投篮的人是甲的概率；

2

i

（）已知：若随机变量服从两点分布，且，，

3

XP(X?1)?1?P(X?0)?q

iiii

i?1,2,3,?,n

??

nn

则，记前次（即从第次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求

EXq

??

??

ii

?

nn

1

Y

??

i1i1

??

E(Y)

.

解析：（）第次投篮的人是乙有以下几种情形：①第次是甲投篮，但未命中；②第

1211

次是乙投篮，且命中则第次投篮的人是乙的概率

.2.

P?0.5?(1?0.6)?0.5?0.8?0.6

（）第次投篮的人是甲，同样有以下几种情形：①第次是乙投篮，但未命中；②第

2

i

i?1i?1

次是甲投篮，且命中记表示第次投篮的人是甲的概率，表示第次投篮的人是乙

.

P1?P

ii

ii

的概率于是根据上面两种情形，整理得：，，

.

PP(1P)0.2P0.60.4P0.2

ii1i1ii1

???????

???

用待定系数法构造数列为等比数列，设，整理得

{P?x}Px0.4(Px)

iii1

???

?

1

??

11

P0.4P0.6x

ii1

??

?

，因此，解得，于是是以为首项，

?0.6x?0.2

x??P?

??

P

i

?

1

3

33

??

1112

????

i1

?

0.4

为公比的等比数列，故，因此

PP0.4

i1

??????

????

3365

????

10

i1

?

202369

i1

?

121

??

P

i

???

??

653

??

.

i1

?

nnn

??

121

??

??

n

（）由题意，即对数列求前项和，，

3

E(Y)EXP

?????

??

???

ii

{P}

??

??

i

653

i1i1i1

???

??

??

??

??

??

2

1

?

01n1n

?

??

n51221212n

????

????????

5

??

E(Y)n11

???????????????

????

????????

?

2

66318555353

????

????????

????

1

?

5

n

22.

在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨

xOy

PPP

x

??

0,

迹为

W

.

（）求的方程；

1

W

??

??

1

2

（）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于

2.

ABCDWABCD

33

2

1

1

2

??

解析：（）设点，则，整理得：此即为

1.

P(x,y)

|y|(x0)y

????

??

y?x?

W

4

2

??

2

的方程

.

2

（）不妨设点在：上，设点，

2

A,B,C

W

y?x?

11

????

1

22

Ax,xBx,x

????

AABB

??

44

????

4

1

??

1

2

Cx,x

??

CC

?

,

设的斜率为，的斜率为，则，联立直

llly?y?kx?x

ABCBABBB

k

?

:()

4

??

k

1

?

2

yxk(xx)

????

BB

?

?

4

22

线与方程：，整理得，由韦达定理有

W

?

x?kx?x?kx?0

BB

?

yx

??

2

1

?

?

4

x?x?kx?k?x

ABAB

，于是，同理，用

.

|AB|?1?k|x?x|?1?k|k?2x|

22

ABB

?

2

1

k

1111

??

代换上式的，可得矩形的周

kABCD

|BC|12x12x

????????

??

BB

2

.

kkkk

??

长为要证矩

21k|k2x|212x21k|k2x|x

??????????

BBBB

22

1112

??

??

22

kkkk

??

.

形的周长大于，只需求周长的最小值大于现在求最小值上式中令

ABCD

3333

..

11

202369

f(x)|k2x|x

????

BB

12

（由对称性，不妨设），则是一个分段函数，

0?k?1

f(x)

2

kk

?

??

211

??????

2xk,x

??

B

?

kk2k

2

??

?

?

??

211k

f(x)2xk,x

???????

?

??

BB

2

k2k2k

??

?

?

??

21k

?

??

????

2xk,x

BB

2

k2k

??

?

此分段函数在时取得最小值，因此，周长的最小值为，我

xk

???

1

??

11

2

21kk

??

??

k

??

2kk

222

们先来证周长的最小值，只需证，

21kk33(1k)k2

???????

????

????

????

1127

2

kk4

即只需证令，

4k?12k?15k?4?0

642

.

g(k)?4k?12k?15k?4

642

则，

g(k)?24k?48k?30k?6k(4k?8k?5)?6k(2k?1)(2k?5)

?

534222

因此，时，，递减；时，，递增，

0?k??k?1

22

g(k)?0g(k)g(k)?0g(k)

??

22

因此，因此，因此矩形周长的最小值大于等于

g(k)g0

min

??

2

??

??

??

2

g(k)?0

ABCD

33

??

22

，时取得，此时，证毕若面积最小值取，由以上分析知当且仅当

x??k?

B

22

.

33

????

2323

9

??

A2,

B,C,

????

??

，，，点重合，不符题意，因此，矩形

C,B

ABCD

??

????

2424

4

??

????

周长的最小值大于

33

.

写在末尾的话：

每年高考数学试卷，我都会在第一时间找来认真做。这似乎成为了我的一个爱好，或者

说习惯。昨天考完数学，晚上便在网上找到一些解答题，初做感觉挺顺，做到第题，晃

19

我一下，几十年的压轴泰斗导数题竟然在这个位置，当时就觉得有妖气，果然，后面三道题

的难度直线狂飙，不管是思维方面，还是计算量方面。所有解答题全部做出来，已近个小

2

时。设想，如果我现在去参加考试？哈哈，画面太美不敢看。三十多岁的人了，早已没有

了岁时的实力。

18140

是的，我已经老了，快做不动了。

12