2018-2022高考真题 立体几何 解答题全集 (学生版 解析版)

2024年1月4日发(作者：大众带字母是啥车)

2018-2022高考真题 立体几何 解答题全集 （学生版 解析版）

一．解答题（共60小题）

1．（2022?天津）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点．

（1）求证：EF∥平面ABC；

（2）求直线BE与平面CC1D的正弦值；

（3）求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值．

2．（2022?上海）如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝AC＝2．

（1）求三棱锥体积VP﹣ABC；

（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小．

3．（2022?浙江）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点．

（Ⅰ）证明：FN⊥AD；

（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．

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4．（2022?甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．

（1）证明：EF∥平面ABCD；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

5．（2022?甲卷）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP=√3．

（1）证明：BD⊥PA；

（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．

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6．（2022?北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；

（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．

条件①：AB⊥MN；

条件②：BM＝MN．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

7．（2022?新高考Ⅱ）如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．

（1）证明：OE∥平面PAC；

（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．

8．（2022?乙卷）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．

（1）证明：平面BED⊥平面ACD；

（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F﹣ABC的体积．

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9．（2022?新高考Ⅰ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2√2．

（1）求A到平面A1BC的距离；

（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．

10．（2022?乙卷）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．

（1）证明：平面BED⊥平面ACD；

（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．

11．（2022?上海）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．

（1）若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

（2）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．

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12．（2021?天津）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．

（1）求证：D1F∥平面A1EC1；

（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；

（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．

13．（2021?新高考Ⅱ）在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA=√5，QC＝3．

（Ⅰ）求证：平面QAD⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值．

14．（2021?上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝3．

（1）若P是棱A1D1上的动点，求三棱锥C﹣PAD的体积；

（2）求直线AB1与平面ACC1A1的夹角大小．

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15．（2021?北京）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E为A1D1的中点，B1C1交平面CDE交于点F．

（Ⅰ）求证：F为B1C1的中点；

（Ⅱ）若点M是棱A1B1上一点，且二面角M﹣FC﹣E的余弦值为