全称量词和特称量词(最新整理)

2023年11月21日发(作者：本田讴歌mdx报价)

3．1 全称量词与全称命题

3．2 存在量词与特称命题

明目标、知重点 1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特

称命题的真假．

1．全称量词与全称命题

在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，

表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．含有全称量词的命题，叫作全称命题．

2．存在量词与特称命题

在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这

样的词叫作存在量词．

含有存在量词的命题，叫作特称命题．

探究点一 全称量词与全称命题

思考1 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？

(1)x>3；

(2)2x＋1是整数；

(3)对所有的x∈R，x>3；

(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．

答 语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是

命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础

上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因

此语句(3)(4)是命题．

小结 短语“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整

体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．像这样含有全称量词的命题，叫作全称命题．

思考2 如何判定一个全称命题的真假？

答 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但

要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x

00

)不成立即可(即举反例)．

例1 判断下列全称命题的真假：

(1)所有的素数是奇数；

(2)任意x∈R，x

2

＋1≥1；

(3)对每一个无理数x，x

2

也是无理数．

解 (1)2是素数，但2不是奇数．

所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．

(2)任意x∈R，总有x

22

≥0，因而x＋1≥1.

所以，全称命题“任意x∈R，x＋1≥1”是真命题．

2

(3)是无理数，但()

22

2

＝2是有理数．

所以，全称命题“对每一个无理数x，x也是无理数”是假命题．

2

反思与感悟 判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．

跟踪训练1 试判断下列全称命题的真假：

(1)任意x∈R，x

24

＋2>0；(2)任意x∈N，x≥1.

(3)对任意角α，都有sinα＋cosα＝1.

22

解 (1)由于任意x∈R，都有x≥0，因而有x＋2≥2>0，即x＋2>0，所以命题“任意x∈R，x＋

2222

2>0”是真命题．

(2)由于0∈N，当x＝0时，x

44

≥1不成立，所以命题“任意x∈N，x≥1”是假命题．

(3)由于任意α∈R，sinα＋cosα＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sinα＋cosα＝1”

2222

是真命题．

探究点二 存在量词与特称命题

思考1 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？

(1)2x＋1＝3；

(2)x能被2和3整除；

(3)存在一个x

00

∈R，使2x＋1＝3；

(4)至少有一个x

00

∈Z，使x能被2和3整除．

答 (1)(2)不是命题，(3)(4)是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的

取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而

使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．

小结 “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的

词叫作存在量词．像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题．

思考2 怎样判断一个特称命题的真假？

答 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x，使p(x

00

)

成立即可，否则，这一特称命题是假命题．

例2 判断下列特称命题的真假：

02

＋2x＋3＝0；，使x

(1)有一个实数x

00

(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；

(3)有些整数只有两个正因数．

解 (1)由于任意x∈R，x＋2x＋3＝(x＋1)＋2≥2，因此使x＋2x＋3＝0的实数x不存

222

02

＋2x＋3＝0”是假命题．在．所以，特称命题“有一个实数x，使x

00

(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同

一条直线．所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．

(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真

命题．

反思与感悟 特称命题是含有存在量词的命题，判断一个特称命题为真，只需在指定集合中

找到一个元素满足命题结论即可．

跟踪训练2 判断下列命题的真假：

03

<1；∈Z，x

(1)存在x

0

(2)存在一个四边形不是平行四边形；

(3)有一个实数α，tan α无意义；

π

(4)存在x

00

∈R，cos x＝.

2

解 (1)∵－1∈Z，且(－1)＝－1<1，

3

03

<1”是真命题．∴“存在x∈Z，x

0

(2)真命题，如梯形．

π

(3)真命题，当α＝时，tan α无意义．

2

(4)∵当x∈R时，cos x∈[－1,1]，

π

而>1，∴不存在x∈R，

0

2

π

使cos x＝，

0

2

∴原命题是假命题．

探究点三 全称命题、特称命题的应用

思考 不等式有解和不等式恒成立有何区别？

答 不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成立则是

给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题．

例3 (1)已知关于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；

22

(2)令p(x)：ax

2

＋2x＋1>0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．

解 (1)关于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)－4(a＋2)≥0，

2222

即4a－7≥0，

77

解得a≥，∴实数a的取值范围为.

，＋

∞

44

[)

(2)∵对任意x∈R，p(x)是真命题．

∴对任意x∈R，ax＋2x＋1>0恒成立，

2

当a＝0时，不等式为2x＋1>0不恒成立，

当a≠0时，若不等式恒成立，则Error!

∴a>1.

反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别．

跟踪训练3 (1)对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立，求实数m的取值范围；

(2)存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值范围．

解 (1)令y＝sin x＋cos x，x∈R，

π

∵y＝sin x＋cos x＝sin≥－，

2

x

＋

2

4

()

又∵任意x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，

∴只要m<－即可．

2

∴所求m的取值范围是(－∞，－)．

2

(2)令y＝sin x＋cos x，x∈R，

π

∵y＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]．

2

x

＋

22

4

()

又∵存在x∈R，sin x＋cos x>m有解，

∴只要m<即可，

2

∴所求m的取值范围是(－∞，)．

2

1．下列命题中特称命题的个数是( )

①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，

总有|sin x|≤1.

A．0 B．1 C．2 D．3

答案 B

解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；

命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命

题．故有一个特称命题．

2．下列命题中，不是全称命题的是( )

A．任何一个实数乘以0都等于0

B．自然数都是正整数

C．每一个向量都有大小

D．一定存在没有最大值的二次函数

答案 D

解析 D选项是特称命题．

3．下列命题中的假命题是( )

A．存在x∈R，lg x＝0 B．存在x∈R，tan x＝1

C．任意x∈R，x>0 D．任意x∈R,2>0

3x

答案 C

π

解析 对于A，当x＝1时，lg x＝0，正确；对于B，当x＝时，tan x＝1，正确；对于C，

4

当x＜0时，x＜0，错误；对于D，任意x∈R,2＞0，正确．

3x

4．用量词符号“任意”“存在”表述下列命题：

(1)凸n边形的外角和等于2π.

02

＝3.满足x

(2)有一个有理数x

0

(3)对任意角α，都有sinα＋cosα＝1.

22

解 (1)任意x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.

02

＝3.∈Q，x

(2)存在x

0

(3)任意α∈R，sinα＋cosα＝1.

22

[呈重点、现规律]

1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有

些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．

2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例

说明命题不成立，则该全称命题是假命题．

3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得

到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．

一、基础过关

1．下列命题：

①中国公民都有受教育的权利；

②每一个中学生都要接受爱国主义教育；

③有人既能写小说，也能搞发明创造；

④任何一个数除0，都等于0.

其中全称命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

答案 C

解析 命题①②④都是全称命题．

2．下列特称命题是假命题的是( )

A．存在x∈Q，使2x－x

3

＝0

B．存在x∈R，使x

2

＋x＋1＝0

C．有的素数是偶数

D．有的有理数没有倒数

答案 B

13

解析 对于任意的x∈R，x＋x＋1＝(x＋)＋>0恒成立．

22

24

3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；

④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是( )

A．四个命题都是真命题

B．①②是全称命题

C．②③是特称命题

D．四个命题中有两个假命题

答案 C

解析 ①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．

4．下列全称命题中真命题的个数为( )

①负数没有对数；

②对任意的实数a，b，都有a＋b≥2ab；

22

③二次函数f(x)＝x－ax－1与x轴恒有交点；

2

④任意x∈R，y∈R，都有x＋|y|>0.

2

A．1 B．2 C．3 D．4

答案 C

解析 ①②③为真命题．

5．下列全称命题为真命题的是( )

A．所有的素数是奇数

B．任意x∈R，x

2

＋3≥3

C．任意x∈R,2

x－1

＝0

D．所有的平行向量都相等

答案 B

6．下列命题中，真命题是________．

π

①存在x∈，sin x＋cos x≥2；

000

0

，

2

[]

②任意x∈(3，＋∞)，x

>2x＋1；

2

③存在m∈R，使函数f(x)＝x＋mx(x∈R)是偶函数；

2

π

④任意x∈，tan x>sin x.

，

π

2

()

答案 ②③

解析 对于①，

ππ

任意x∈，sin x＋cos x＝sin≤，

0x

，＋

22

24

[]()

∴此命题为假命题；

∴此命题为真命题；

对于②，当x∈(3，＋∞)时，x－2x－1＝(x－1)－2>0，

22

对于③，当m＝0时， f(x)＝x为偶函数，

2

∴此命题为真命题；

π

对于④，当x∈时，tan x<0x，

，

π

2

()

∴此命题为假命题．

7．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，并判断其真假．

(1)存在一条直线，其斜率不存在；

(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；

(3)存在实数x

0

，使得＝2.

02

－＋

0

x

x1

1

解 (1)是特称命题，是真命题．

(2)是全称命题，是假命题．

(3)是特称命题，是假命题．

二、能力提升

8．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案 (－∞，3]

解析 对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.

9．给出下列四个命题：

①a⊥b?a·b＝0；②矩形都不是梯形；

③存在x，y∈R，x＋y≤1；

22

④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.

其中全称命题是________．

答案 ①②④

解析 ①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．

10．四个命题：①任意x∈R，x

222

－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x＝2；③存在x∈R，x＋1＝0；

④任意x∈R,4x

22

>2x－1＋3x.其中真命题的个数为________．

答案 0

解析 x－3x＋2>0，Δ＝(－3)－4×2>0，

22

∵当x>2或x<1时，x－3x＋2>0才成立，

2

∴①为假命题．

当且仅当x＝±时，x＝2，

2

2

∴不存在x∈Q，使得x＝2，

2

∴②为假命题，

对任意x∈R，x＋1≠0，

2

∴③为假命题，

4x)＝x

2222

－(2x－1＋3x－2x＋1＝(x－1)≥0，

即当x＝1时，4x＝2x－1＋3x成立，

22

∴④为假命题．

∴①②③④均为假命题．

11．判断下列命题的真假：

(1)对任意x∈R，|x|>0；

(2)对任意a∈R，函数y＝logx是单调函数；

a

(3)对任意x∈R，x>－1；

2

(4)存在a∈{向量}，使a·b＝0.

解 (1)由于0∈R，当x＝0时，|x|>0不成立，因此命题“对任意x∈R，|x|>0”是假命题．

(2)由于1∈R，当a＝1时，y＝logx无意义，因此命题“对任意a∈R，函数y＝logx是单

aa

调函数”是假命题．

(3)由于对任意x∈R，都有x>－1.

22

≥0，因而有x

因此命题“对任意x∈R，x

2

>－1”是真命题．

(4)由于0∈{向量}，当a＝0时，能使a·b＝0，因此命题“存在a∈{向量}，使a·b＝0”是

真命题．

12．已知函数f(x)＝x

2

－2x＋5.

(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；

(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．

解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x＋2x－5＝－(x－1)－4.要使m>－(x－

22

1)

2

－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任

意x∈R恒成立，此时m>－4.

(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．

若存在实数x使不等式m>f(x)成立，

只需m>f(x)

min

.

又f(x)＝(x－1)＋4，

2

所以f(x)＝4，所以m>4.

min

故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．

三、探究与拓展

13．若任意x∈R，函数f(x)＝mx

2

＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．

解 ①当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；

②当m≠0时，二次函数f(x)＝mx＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋

2

4m(m＋a)≥0恒成立，即4m

2

＋4am＋1≥0恒成立．

又4m＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)－16≤0，

22

解得－1≤a≤1.

综上所述，当m＝0时，a∈R；

当m≠0时，a∈[－1,1]．