2024届西宁市大通县高三数学(文)上学期开学摸底考试卷附答案解析

2023年12月20日发(作者：30多万买什么车好)

2024届西宁市大通县高三数学（文）上学期开学摸底考试卷考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.??51．设集合A???3,?2,?1,0,1,2,3?,B??x??x?0?，则A?B?（2??）D．??2,?1?）D．第四象限A．?0,1,2?B．??2,?1,0?C．??1,0?2．已知z1?1?i，z2?3?2i，则A．第一象限z2在复平面内所对应的点位于（z1B．第二象限C．第三象限?x?3y?6?0,?3．已知x,y满足约束条件?2x?y?0,则目标函数z?x?2y的最大值为（）?x?y?4?0,?A．?112B．?185C．4D．54．乒乓球是中国的国球，拥有广泛的群众基础，老少皆宜，特别适合全民身体锻炼．某小学体育课上，老师让小李同学从7个乒乓球（其中3只黄色和4只白色）中随机选取2个，则他选取的乒乓球恰为1黄1白的概率是（）A．47B．37C．914）D．215．已知?为第四象限角，且sin??2sin2?，则tan??（A．?52B．?55C．?15D．?1515）6．在等差数列?an?中，a6，a18是方程x2?8x?17?0的两个根，则?an?的前23项的和为（A．-184B．?92C．92D．1847．已知?，?是两个不重合的平面，且直线l??，则“???

”是“l//?”的（）A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件1

8．函数f?x??1?π?x?cos??x?的图象有可能是（）2?2?A．B．C．D．9．设a?log30.9，b?0.40.8，c?20.2，则a，b，c的大小关系为（A．a?b?cB．a?c?bC．b

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分.17．如图是M市某爱国主义教育基地宣传栏中标题为“2015～2022年基地接待青少年人次”的统计图．根据该统计图提供的信息解决下列问题．①参考数据：x??x?2019y??y?6300?3001?1202903330②参考公式：对于一组数据?x1,y1?,?x2,y2?,???,?xn,yn?，其回归直线$y?$bx?$a的斜率和截距的最小二乘法??公式分别为：b??x?x??yi?1ini?1ini?y?2??xyi?1ini?nx?y?nx2??x?x??xi?1n?．??y?bx,a2i(1)求M市爱国主义教育基地所统计的8年中接待青少年人次的平均值和中位数；(2)由统计图可看出，从2019年开始，M市爱国主义教育基地接待青少年的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归分析的方法预测2024年基地接待青少年的人次．18．记?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，(1)求?ABC的面积；(2)若sinAsinC?tanB1?c2?1，sinB?.tanA32，求b.319．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1?A1C1,D,E分别为棱AC,B1C1的中点，AC?2AB?2AA1?2．3

(1)求证：DE//平面AA1B1B；(2)求多面体BB1?AA1C1D的体积．??6?2?yx20．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过A??1,2??、B??3,2??两点．????(1)求E的方程；(2)若Q?4,0?，过P?1,0?的直线l与E交于M、N两点，求证：21．已知函数f(x)?12x?2x?alnx(a?R).2MPNP?MQNQ．（1）讨论函数f?x?的单调性；（2）若f?x?存在两个极值点x1，x2，求证f?x1??f?x2???3.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1,C2的极坐标方π?3?程分别为?2?2?cos??2，?cos?????.3?2?(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程；(2)若曲线C2与x轴交于点P，曲线C1和曲线C2的交点为A,B，求选修4-5：不等式选讲PAPB?的值.PBPA23．已知函数f?x??x?1?x.(1)解不等式f?x??8；(2)若f?x?的最小值为m，且a?b?2m?a,b?R?，求a3?b3的最小值.1．B【分析】利用交集的定义与运算计算即可.??5【详解】因为A???3,?2,?1,0,1,2,3?,B??x??x?0?，所以A?B???2,?1,0?．2??4

故选：B．2．Dz21?5i【分析】利用复数的除法法则计算出?，得到其所在象限.z12z23?2i?3?2i??1?i?3?3i?2i?2i21?5i???【详解】?，z11?i1?i1?i22????z2?15?故所对应的点的坐标为?,??，位于第四象限.z1?22?故选：D3．C【分析】先画出可行域，数形结合计算即可【详解】画出满足约束条件的平面区域，?48?如图所示，易得直线2x?y?0与x?y?4?0的交点A??,?，?33?平移直线x?2y?0，当经过A时，目标函数z取得最大值，48即zmax???2??4．33故选：C．4．A【分析】直接利用组合数计算古典概型即可.2【详解】根据古典概型，从7个乒乓球中随机选取2个，基本事件总数有C7?21个，其中恰为1黄1白12411?．的基本事件有C3?C4?12个，所以概率P?217故选：A．5．C【分析】根据二倍角的正弦公式及同角三角函数的基本关系求解.【详解】?sin??2sin2??4sin?cos?，且?为第四象限角，sin??05

?cos??1，4115，??164?sin???1?15sin??tan????4??15，1cos?4故选：C6．C【分析】根据等差数列的性质，结合求和公式即可求解.【详解】a6，a18是方程x2?8x?17?0的两个根，所以a6?a18?8，所以?an?的前23项的和S23?23?a1?a23?23?a6?a18???92．22故选:C．7．B【分析】由线面、面面关系，结合平面的基本性质判断线面关系，根据面面垂直的判定判断线面是否平行，再由充分、必要性定义判断条件间的充分、必要关系.【详解】解：由l??，若???，则l,?可能平行或l??，充分性不成立；由l??，l//?，由面面垂直的判定知???，必要性成立.所以“???

”是“l//?”的必要不充分条件.故选：B.8．A【分析】先判定函数的奇偶性，再求其单调性即可判定选项.【详解】解：函数f?x??1?π?1x?cos??x??x?sinx的定义域为R，2?2?21又f??x???x???sinx???f?x?，2可得f?x?为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项B、D；易知f?x?的导数为f??x??当1π?cosx，当0?x?时，f??x??0,f?x?递减；32πππ?x?时，f??x??0,f?x?递增，则f?x?在x?处取得极小值，可排除选项C．332故选:A．9．A【分析】利用指对数函数的单调性与图像性质及与特殊值（0，1）的比对，易知三者的大小关系.6

【详解】由于y?log3x在?0,???上单调递增，故log30.9?log31?0，即a<0；由于y?0.4x在R上单调递减且y?0.4x?0，故0?0.40.8?0.40?1，即0?b?1；由于y?2x在R上单调递增，故20.2?20?1，即c?1；所以a?b?c.故选：A.10．A【分析】由an与Sn的关系求出数列?an?的通项公式，推导出数列?anan?1?为等比数列，确定其首项和公比，结合等比数列求和公式可求得所求代数式的值.32n?1【详解】因为Sn?2?a，所以a1?S1?4?a，a2?S2?S1??2?a???2?a??4，a3?S3?S2?24?a?23?a?8，22n?1又?an?是等比数列，所以a2?a1a3，即4?8?4?a?，解得a??2，所以Sn?2?2．n?1nn当n?2时，an?Sn?Sn?1?2?2?2?2?2，又a1?2满足an?2n，????????an?2an?1an?22n?2??n?4，故数列?an?1an?是公比为4，首项为a1a2?2?4?8的等比数列，所以，an?1anan2所以a1a2?a2a3???a10a11?故选：A.11．D81?4101?4???223?8．3【分析】根据抛物线的焦半径可得p?2，进而可得F?1,0?,A?4,4?，联立直线AF与抛物线方程可得点?1?B?,?1?，由向量数量积的坐标公式即可求解.?4?【详解】由题意得，抛物线C:y2?2px(p?0)的准线为x??所以AF?4?p?5,n2?8p,n?0，解得p?2,n?4，2p，因为A?4,n?为C上一点，且AF?5，2故抛物线C:y2?4x，焦点为F?1,0?,A?4,4?，所以AF的方程为y?代入C:y2?4x，得4?x?1?，3161(x?1)2?4x，整理得4x2?17x?4?0，解得x?或x?4，941?1?2因为B为C上一点，则yB?4?，由于A在第一象限，所以yB??1，所以B?,?1?，所以4?4?????????OA?OB?1?4??3.故选:D.12．A7

【分析】设出切点，利用导数的几何意义找出a,b所满足的关系式，然后利用导数工具求5a?b的最小值.1?a??1?x01??a?【详解】设切点为?x0,lnx0?b??x0?0?,y??，则?x0，解得?，1x?lnx?b?ax?a?b?1??lnx00?0?x0?所以5a?b??5?14414x?4??1??lnx0??lnx0??1．令g?x??lnx??1，所以g??x???2?2，x0?x0x0xxxx?令g??x??0，解得x>4，令g??x??0，解得0?x?4，所以g?x?在?0,4?上单调递减，在?4,???上单调递增，所以g(x)min?g?4??2ln2．故选：A13．10【分析】由渐近线方程得b，进而求得离心率.abx2y2【详解】因为双曲线2?2?1的渐近线方程为y??3x，所以?3，aabb2双曲线的离心率为e?1?2?10.a故答案为：10.14．????????????【分析】根据向量的线性运算可用AB,AC表示AP，结合平面向量基本定理求出?,?的值后可得答案.????2????【详解】因为点D是边AC上的一点，AD?2DC，所以AD?AC，3149?12????2????2????????????????????1????????1????????2???所以AP?AB?BP?AB?BD?AB?AD?AB?AB??AC?AB?AC．3333339??????????????1422又AP??AB??AC，所以??,??，所以2????．399故答案为：14.9?xπ?15．g?x??3sin????4?44?8

【分析】利用三角函数的图象变换计算即可.π?xπ?【详解】解：函数y?3sin???的图象向左平移个单位长度，3?46?π?x??3?可得y?3sin??4??π??xπ???3sin???，再向上平移4个单位长度，6??44???xπ?可得g?x??3sin????4．?44??xπ?故答案为：g?x??3sin????4.?44?16．512π27【分析】设加工成的圆柱底面半径为r，圆柱的高为4?h(0?h?4)，圆柱的体积用含有h的代数式表示，利用导数求其最大值即可.【详解】设加工成的圆柱的底面半径为r，高为4?h(0?h?4)，轴截面如图，h2h22则r?()?4,r?4?，242h2则加工后所得圆柱的体积V?πr(4?h)?π(4?)(4?h)，4232所以V???π(h?2h?4)444可得当h?(0,)时，V??0，当h?(,4)时，V??0，3344即函数在(0,)上单调递增，在(,4)上单调递减，33则当h?4512π.时，V取得最大值为327512π27故答案为：17．(1)平均值为：401.25；中位数为：290(2)13659

【分析】（1）根据统计图数据计算平均数及中位数即可；（2）利用最小二乘法计算回归方程并预测数据即可.【详解】（1）由图表数据可知：平均值为：?110?150?180?250?330?510?720?960??8?3210?8?401.25，中位数为：?250?330??2?290．（2）由图表数据得：x???0?1?2?3??4?1.5,y????300?120?90?330??4?0，??则b??x??x???y??y??i?1ii4??xi?14i??x??2???0?210?1.5??315，??y??bx?210,a所以线性回归方程?y??210x??315，所以在2024年时x??2024?2019?5，所以y??210?5?315?735，预测2024年基地接待青少年的人次为735?630?1365．18．(1)(2)2128【分析】（1）利用切化弦，结合两角和差正弦公式可化简已知等式得到sinC?c2sinAcosB，利用正弦定理角化边可得accosB?1，利用同角三角函数关系求得cosB后，可得ac的值，代入三角形面积公式即可得到结果；1b29（2）利用正弦定理可求得2?，代入sinB?即可求得结果.3sinB4【详解】（1）?tanBsinBcosA??c2?1，?sinBcosA??c2?1?sinAcosB?c2sinAcosB?sinAcosB，tanAsinAcosB2即sinBcosA?sinAcosB?c2sinAcosB，?sin?A?B??sinC?csinAcosB，由正弦定理得：c?ac2cosB，即accosB?1，?cosB?0，?cosB?1?sin2B?133222??，则ac?，cosB4223113212.?S?ABC?acsinB????22438（2）由（1）知：ac?32；410

32bac9bac?4?，??由正弦定理知：，则2?sinBsinAsinC4sinBsinAsinC232?31b31?，又sinB?，?b?sinB?.sinB232219．(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理，结合棱锥体积公式进行求解即可.【详解】（1）如图，取A1B1的中点F，连接AF,FE，?E是B1C1的中点，?EF∥AC11,EF?1AC11．2又AD∥AC11,AD?11AC?AC11，22?AD∥EF,AD?EF，?四边形ADEF是平行四边形，?DE∥AF．又?DE?平面AA1B1B,AF?平面AA1B1B．?DE?平面AA1B1B．（2）连接B1D,A1D．?AA1?平面A1B1C1,A1B1?平面A1B1C1,?AA1?A1B1．?A1B1?A1C1，且AA1,A1C1?平面AA1C1C,AA1?A1C1?A1，?A1B1?平面AA1C1C．同理可得AD?平面AA1B1B．?VBB1?AA1C1D?VD?AA1B1B?VB1?A1DC1?1111112AA1?AB?AD??AC?AA?AB??1?1?1???2?1?1?．311

x2y220．(1)??1；42(2)证明见解析．【分析】（1）设椭圆E的方程为mx2?ny2?1，将点A、B的坐标代入椭圆E的方程，可得出关于m、n的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出椭圆E的方程；（2）分两种情况讨论：①直线l与x轴重合，直接验证结论成立；②直线l不与x轴重合，设直线l的方程为x?ty?1，设点M?x1,y1?、N?x2,y2?，将直线l的方程与椭圆E的方程联立，列出韦达定理，计算得出kMQ?kNQ?0，可得出x轴平分?MQN，利用角平分线的性质可证得结论成立．综合可得出结论．【解析】（1）解：设椭圆E的方程为mx2?ny2?1，31??m?n?1m?????24将点A、B的坐标代入椭圆E的方程可得?，解得?，11?3m?n?1?n???22??x2y2因此，椭圆E的方程为??1．42（2）证明：若直线l与x轴重合，则M、N为椭圆E长轴的端点，不妨设点M?2,0?，则点N??2,0?，则MPNP?MQ2MPMQ1?，?，成立；3NQ6NPNQ若直线l不与x轴重合，设直线l的方程为x?ty?1，设点M?x1,y1?、N?x2,y2?，?x?ty?12222联立?2可得t?2y?2ty?3?0，??4t?12t?2?0，2?x?2y?4????由韦达定理可得y1?y2??2t3yy??，，12t2?2t2?2kMQ?kNQ??2tyy?3?y1?y2?y1yyy2?2?1??12x1?4x2?4ty1?3ty2?3?ty1?3??ty2?3?6t6t?22?t?2t?2?0，?ty1?3??ty2?3?∴x轴平分?MQN，∴MPNPMQNQS△MPQS△NPQ．?MPMQ?．NPNQ综上所述，?【反思】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．12

21．（1）答案见解析；（2）证明见解析.x2?2x?a【解析】（1）求得函数的导数f\'(x)?，设方程x2?2x?a?0，可得??4?4a，根据??0和x??0，结合a?0和0?a?1分类讨论，即可求得函数的单调区间；（2）由（1）可得，当0?a?1时，函数f?x?两个极值点满足x1?x2?2，x1x2?a，根据函数的解析式，化简f?x1??f?x2??alna?a?2，令g?a??alna?a?2?0?a?1?，利用导数求得函数g?a?的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数f(x)?12x2?2x?alnx(a?R)的定义域为(0,??)，且f\'(x)?x?2?ax2?2x?ax?x，设方程x2?2x?a?0，可得??4?4a，①当??4?4a?0时，即a?1时，f\'?x??0，所以f?x?在?0,???上单增；②当??4?4a?0时，即a?1时，设方程x2?2x?a?0的两根为x1和x2，且x1?x2，则xx?x1?x2?21?1?1?a，2?1?1?a，且??x，1x2?a①当a?0时，可得x1?0，x2?0，所以f?x?在?0,x2?上单减，在?x2,???上单增；②当0?a?1时，可得x1>0，x2?0，所以f?x?在?0,x1?上单增，在?x1,x2?上单减，在?x2,???上单增.综上可得：①当a?1时，f?x?在?0,???上单增；②当a?0时，f?x?在?0,1?1?a?上单减，在?1?1?a,???上单增；③当0?a?1时，f?x?在?0,1?1?a?和?1?1?a,???上单增，在?1?1?a,1?1?a?上单减.（2）由（1）可知，当0?a?1时，函数f?x?存在两个极值点x1，x2，且满足x1?x2?2，x1x2?a，又由f?x1??f?x2??12x2?alnx121?2x11?2x2?2x2?alnx2?12?x2?x2?x1212?2?x1?2??alnx1x2?2???x1?x2??2x1x2???2?x1?x2??alnx1x2?12(4?2a)?4?alna?alna?a?2，令g?a??alna?a?2?0?a?1?，可得g\'?a??lna?0，所以g?a?在?0,1?上单减，所以g?a??g?1???3，13

即f?x1??f?x2???3.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式f?x??g?x?(f?x??g?x?)转化为证明f?x??g?x??0(f?x??g?x??0)，进而构造辅助函数h?x??f?x??g?x?；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．(1)?x?1?2?y2?3，x?3y?3?0(2)10【分析】（1）根据公式法，即可得出曲线C1，C2的直角坐标方程.（2）由题得P?3,0?，利用曲线C2的直角坐标方程得出参数方程代入曲线C1的直角坐标方程，可得t2?23t?1?0，根据韦达定理得出A,B对应参数的关系，然后根据弦长公式，即可得出答案.【详解】（1）因为曲线C1的极坐标方程为?2?2?cos??2，又?2?x2?y2，x??cos?，所以x2?y2?2x?2，所以曲线C1的直角坐标方程为?x?1?2?y2?3.因为曲线C?cos?π?32的极坐标方程为????3???2，所以?cos??3?sin??3，所以曲线C2的直角坐标方程为x?3y?3?0.（2）由题意知P?3,0?，??x?33故直线C??2的一个参数方程为?2t（t为参数）.?1??y?2t把C22的参数方程代入?x?1??y2?3，得t2?23t?1?0，所以???23?2?4?1?8?0，设A,B所对应的参数分别为t1,t2，则t1?t2??23,t1t2?1?0，所以t1,t2同号，22所以∣PA∣PBt1?t2?t1?t2?2?2t1t2∣PB?∣PA?t1?t?2t1t214

??t1?t2?t1t22?2???231?2?2?10.?79?23．(1)??,??22?(2)2【分析】（1）分类讨论去绝对值符号即可求解不等式；（2）由绝对值不等式的性质可求出f?x?的最小值为m，用立方和公式把a3?b3展开，再用基本不等式可求a3?b3的最小值.?1?2x,x?0,?【详解】（1）f?x???1,0?x?1,?2x?1,x?1,??1?2x?8,?1?8,?2x?1?8,不等式f?x??8等价于?或?或??x?0?0?x?1?x?1,解得?79?x?，22?79?故不等式f?x??8的解集为??,?.?22?（2）因为f?x??x?1?x?x?1?x?1，当且仅当0?x?1时等号成立，所以m?1，所以a?b?2，2332222a?b??3ab??8?6ab.?所以a?b??a?b?a?ab?b?2a?ab?b?2????????a?b?因为ab????1，当且仅当a?b?1等号成立，2??2所以8?6ab?2，当且仅当a?b?1时等号成立，故a3?b3的最小值为2.15