二元二次方程组

2023年12月31日发(作者：尼桑奇骏2017款)

1．二元二次方程的概念

方程中仅含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．

2．二元二次方程组的概念

仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程组成的方程组叫做二元二次方程组．

3．二元二次方程组的解法

（1）代入消元法；

（2）加减消元法．

【例1】下列方程是哪些是二元二次方程方程?

4（1）2x?5y?； （2）x2?5y?6?0；

9（4）97??8?0；

2xx（3）xy?1；

（5）4x2?xy?y2?6y?7．

【例2】下列方程中哪些是二元二次方程组?

?12?x?y?0?（2）?；

61???8??xy?x3?y?1（4）?．

2xy?y?x??x?y?5（1）?x?y?1；

?

x?y?1?（3）?2；

2x?xy?y?1?

?x?0?x?1【例3】已知?是关于x、y的二元二次方程a2x2?by?3?0的两组解，试求?与?y?3?y?7

a+b的值．

5x?my?1?【例4】当m为何值时，方程组?是关于x、y的二元二次方程组?

22mx?(m?1)y??4?

【例5】解方程组：

x?y?1? （1）?2；

2?x?xy?y?1

y?x?3??（2）(x?y)2?(2x?y)?40．

?

【例6】解下列方程组：

?x2?y2?20（1）?2；

2x?5xy?6y?0?

?x2?6xy?9y2?4（2）?．

2x?y?6?

【例7】解下列方程组：

?y2?2xy?x2?9（1）?；

2(x?y)?4(x?y)??3??x2?4xy?4y2?9（2）?2．

2x?y?4x?4y?0?

?x2?y2?9【例8】当k为何值时，方程组：?有实数解．

?x?y?k

?x2?ax?y?b2?ac?0【例9】已知a、b、c是△ABC的三边长，若方程组?，只有一组解，ax?y?bc?0?

判断△ABC的形状．

?xy?x?3【例10】解方程?．

3xy?y?8?

?x2?xy?y2?7【例11】解方程组：?2．

2?x?xy?y?3

?x2?y2?2(1?a)【例12】当a取哪些值时，方程组：?有两组实数解．

2(x?y)?14?

?x2?y2?2x【例13】已知关于x、y的方程组：?

?kx?y?k?0（1） 求证：不论k取何值，方程组总有两个不同的实数根；

?x?x1?x?x2（2） 设方程组的两个不同的实数解为?，则(x1?x2)2?(y1?y2)2的值是??y?y1?y?y2常数．

1?2?kx?x?y??0【例14】已知方程组：?（x、y为未知数）有两组不同的实数解

2，??y?k(2x?1)

?x?x1?x?x2，?．

?y?yy?y?2?1（1） 求实数k的取值范围；

11（2） 若y1y2???3恰有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．

x1x2

【例15】小杰和小丽分别从相距27千米的A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇，相遇后两人按照原来的速度继续前进，小杰到达B地比小丽到达A地早1小时21分，小杰和小丽的行进速度分别是多少?

【例16】某剧场管理人员为了让观众有更舒适的欣赏环境，对座位进行了调整．已知剧场原有座位500个，每排的座位数一样多；现在每排减少了2个座位，并减少了5排，剧场座位数相应减少为345个，剧场原有座位的排数是多少?每排有多少个座位?

【例17】学校原有长方形操场的面积是4000平方米．调整校园布局时，一边增加10米，另一边减少了10米，操场面积增加了200平方米，求原有操场的两边长．

【例18】某校初三年级280名师生计划外出考察，乘车往返．客运公司有两种车型可供选择，每辆大客车比每辆中巴车多20个座位，学校计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少租2辆车，而且师生坐完后还多20个座位．问：中巴车和大客车各有多少个座位?

【例19】某街道因路面经常严重积水，需改建排水系统，市政公司准备安排甲乙两个工程队

承接这项工程．据评估，如果甲乙两队合作施工，那么12天可以完工；如果甲队先做10天后，剩下的工程由乙队单独承担，还需15天才能完工．甲乙两队单独完成此项工

各需要多少天?

【例20】为了缓解甲乙两地的旱情，某水库计划向甲乙两地送水．甲地需水量180万立方米，乙地需要水量120万立方米．现已两次送水，第一次往甲地送水3天，往乙地送水2天，共送水84万立方米；第二次往甲地送水2天，往乙地送水3天，共送水81万立方米．如果向两地送水分别保持每天的送水量相同，那么完成往甲地、乙地送水任务还各 需多少天?

程

【习题1】下列方程是二元二次方程的有（

12

①2?y?1；

②7y2?5x?1；

xA．1； B．2；

）个．

③y2?5xy?0；

D．4

）

④7a2y?5y?1．C．3；

【习题2】下列方程组中，不是二元二次方程组的是（

?x?3y?5?0A．?2；

2x?2xy?y?0??x?y?8C．?；

?xy?3

??x?y?1B．?

22y?1??2??2x?y?2D．?

x?y?2??

【习题3】（1）写出二元二次方程(x?3)(y?1)?0的三个不同的解．

?x?9?x??9（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解是?和?，y?3y??3?? 写出一个符合条件的方程组．

?x?3?bx?ay?4【习题4】已知?是方程组?2的解，求2b?3a的值．

2?y?2?ax?by?17

【习题5】（1）把方程4x2?y2?2x?y?0化为两个二元一次方程为_________．

（2）把方程x2?y2?12x?12y?2xy?28化为两个二元一次方程是什么?

【习题6】解下列方程组：

（1）??x2?y2?10；?y?3x

【习题7】解下列方程组：

?x2（1）??2xy?y2?1?x2?4y2?8

（3）??22?x?y?5(x?y)

??x2?xy?y2?43

??(x?1)2?y2?10．2）?x?y?1

（2）??x2?xy?6y2?0?x2?2xy?y2?4

（

【习题8】解下列方程组：

?3x2?y2?8

；

（1）?22x?xy?y?4?

?x2?9xy?3y2?2x?15y?98?0（2）?．

23xy?y?5y?21?0?

?x2?2x?3y??1

【习题9】有当k为何值时，方程组：??ky?x??2（1）有两组不相等的实数解；

（2）有两组相等的实数解；

（3）没有实数解．

?y?mx?3【习题10】已知关于x、y的方程组?2有两个相等的实数解，求m的值及这个方2x?2y?6?

程组的解．

【习题11】甲乙两个工程队修建某段公路，如果甲乙合作，24天可以完工；如果甲队单独

做20天后，剩下的工程由乙队独做，还需40天才能完成，甲乙两队单独完成此段公路的修建各需多少天?

【习题12】小丽的叔叔分别用900元和1200元钱从甲乙两地购进数量不等的同一商品，已

【作业1】 下列方程中，是二元二次方程的是（ ）．

1A．3x2?4x?1?0 B．x?2?1 C．x2?y2?3

x【作业2】 下列方程组中，是二元二次方程组的是（

?3x?2y??1A．?

x?5y?3??xy?3B．?

yz?6?知乙地商品比甲地商品每件便宜3元，当他按每件20元销售完时，可赚1100元．小丽的叔叔从甲乙两地分别购进这种商品多少件?

D．x?y?3?x

）．

?21?y??12yD．?

?x2?y2?6??x?3C．?2

2x?y?6?【作业3】

?y?4x2在下面四个解中，方程组?的解为（ ）．

2x?y?6??x?1①?

y?4?

?x??1②?

y?4?

3??x?③?2

??y?9

3??x??④?2

??y?9A．①②③④ B．①② C．①③ D．①④

【作业4】 分别把下列二元二次方程分解为两个二元一次方程：

（1）4x2?4xy?3y2?0；

【作业5】 方程xy?y?2?0有多少个解?有没有x、y的值互为倒数的解?如果有，求出

（2）(x?y)2?4(x?y)?5?0．

这个解．

【作业6】 解下列方程组：

?x2?y2?16（1）?；

x?y?8?

?x2?2xy?3y2?2（2）?．

x?3y?2?

【作业7】 解下列方程：

【作业8】 解下列方程组：

?y?mx?2【作业9】 若方程组?2没有实数解，求m的取值范围．

y?4x?1?2y?22??x?y?10（1）?2；

2??x?3xy?2y?0

?x?y?11

（2）?．

xy?28

??x2+2xy?y2?25（1）?2；

2x?xy?2y?0?

?x2?y2?0（2）?2．

24x?y?4?

?x?y?m【作业10】 当m取什么值时,方程组?2有两个相同的实数解?并求出此时方程?x?2y??4组的解．

【作业11】 某起重机厂四月份生产A型起重机25台，B型起重机若干台．从五月份起， A型起重机月增长率相同，B型起重机每月增加3台．已知五月份生产的A型起重机是B型起重机的2倍，六月份A、B型起重机共生产54台．求四月份生产B型起重机的台数和从五月份起A型起重机的月增长率．

【作业12】 某商场计划销售一批运动衣，能获得利润12000元．经过市场调查后，进行促销活动，由于降低售价，每套运动衣少获利润10元，但可多销售400套，结果总利润比计划多4000元．求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元．

?x2?3xy?y2?2x?2y?5?0【作业13】 解下列方程组：?2．

22x?xy?2y?6x?6y?10?0?

?x?y?2?0?【作业14】 关于x、y的方程组?只有一组解，求k的取值范围．

kx?y?2k?10?0??