2020年山东省中考数学试卷含答案

2023年11月21日发(作者：奥迪q5发动机是进口还是国产)

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2020年中考数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（4分）计算的结果是（ ）

A．0 B．1 C．﹣1 D．

2．（4分）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）

A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日

C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意

3．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

4．（4分）若单项式ab与的和仍是单项式，则n的值是（ ）

m12m

﹣

A．3 B．6 C．8 D．9

5．（4分）与最接近的整数是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

6．（4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了

15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）

A．

B．

C．

D．

7．（4分）化简的结果为（ ）

A． B．a﹣1 C．a D．1

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8．（4分）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），

结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

9．（4分）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（ ）

A．2π B． C． D．

10．（4分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化

任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，

结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，

则下面所列方程中正确的是（ ）

A． B．

C． D．

11．（4分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN

∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）

A．4 B．6 C． D．8

12．（4分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的

距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）

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A． B． C． D．

二、填空题（每题4分，共5个小题，满分20分，将直接填写最后结果）

13．（4分）如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2= 度．

14．（4分）分解因式：2x﹣6x+4x= ．

32

15．（4分）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角

线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△

ADE的周长等于 ．

16．（4分）已知抛物线y=x+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），

2

将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两

点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为 ．

17．（4分）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的

数是12，则位于第45行、第8列的数是 ．

三、解答题（本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.）

18．（5分）先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）+2a，其中．

2

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19．（5分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．

20．（8分）“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活

动，随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：

时间（小时）

人数

678910

58121510

（1）写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数；

（2）根据上述表格补全下面的条形统计图．

（3）学校欲从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，

其中被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少？

21．（8分）如图，直线y=﹣x+4，y=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），

12

这两条直线分别与x轴交于B，C两点．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；

（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P

的坐标．

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22．（8分）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的

延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE

＜BD）的长是一元二次方程x﹣5x+6=0的两个实数根．

2

（1）求证：PA?BD=PB?AE；

（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给

予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．

23．（9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，

在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别

取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN

的数量关系是 ；位置关系是 ．

（2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角

三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明

理由．

（3）深入研究：

如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作

等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．

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24．（9分）如图，抛物线y=ax+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），

2

点B（3，﹣），O为坐标原点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；

（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，

求∠BOC的大小及点C的坐标．

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参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（4分）计算的结果是（ ）

A．0 B．1 C．﹣1 D．故选：A．

2．（4分）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）

A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日

C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意 故选：D．

3．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D． 故选：C．

4．（4分）若单项式ab与的和仍是单项式，则n的值是（ ）

m12m

﹣

A．3 B．6 C．8 D．9 故选：C．

5．（4分）与最接近的整数是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8 故选：B．

6．（4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了

15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）

A．B．

C．、D．

【解答】解：sinA===0.15，

按键顺序为故选：A．

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7．（4分）化简的结果为（ ）故选：B．

8．（4分）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），

结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【解答】解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，

所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；

若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，

所以甲只能是胜两场，即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0

场．答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．故选：D．

9．（4分）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（ ）

A．2π B． C． D．

【解答】解：如图，连接CO，∵∠BAC=50°，AO=CO=3，∴∠ACO=50°，

∴∠AOC=80°，∴劣弧AC的长为=，故选：D．

10．（4分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化

任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，

结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，

则下面所列方程中正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面

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积为万平方米，依题意得：﹣=30，即．

故选：C．

11．（4分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN

∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）

A．4 B．6 C． D．8

【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥

BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，

∴∠AMB=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，∴∠ACB=2∠B，NM=NC，

∴∠B=30°，

∵AN=1，∴MN=2，∴AC=AN+NC=3，∴BC=6，故选：B．

12．（4分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的

距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转

60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，

∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，

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在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE=PE+PA，

222

∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．∴∠APF=30°，

∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=．

∴在直角△ABF中，AB=BF+AF=（4+．）+（）=25+12

22222

则△ABC的面积是?AB=?（25+12）=．故选：A．

2

二、填空题（每题4分，共5个小题，满分20分，将直接填写最后结果）

13．（4分）如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2= 40 度．

14．（4分）分解因式：2x﹣6x+4x= 2x（x﹣1）（x﹣2） ．

32

15．（4分）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角

线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△

ADE的周长等于 10 ．

16．（4分）已知抛物线y=x+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），

2

将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两

点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为 2 ．

【解答】解：如图，∵B，C是线段AD的三等分点，∴AC=BC=BD，

由题意得：AC=BD=m，当y=0时，x+2x﹣3=0，（x﹣1）（x+3）=0，

2

x=1，x=﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴AB=3+1=4，∴AC=BC=2，∴m=2，

12

故答案为：2．

17．（4分）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的

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数是12，则位于第45行、第8列的数是 2018 ．

【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n，∴第45行第一个数是2025，

2

∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018，故答案为2018．

三、解答题（本大题共7小题，共52分.解答写出文字说明、证明过程演算步骤.）

18．（5分）先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）+2a，其中．

2

=2ab﹣1，=1．

19．（5分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．

20．（8分）“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活

动，随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：

时间（小时）

人数

678910

58121510

（1）写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数；

（2）根据上述表格补全下面的条形统计图．

（3）学校欲从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，

其中被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少？

【解答】解：（1）观察表格，可知这组样本数据的平均数为：

（6×5+7×8+8×12+9×15+10×10）÷50=8.34，故这组样本数据的平均数为2；

∵这组样本数据中，9出现了15次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是9；

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∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，

∴这组数据的中位数为（8+9）=8.5；

（3）∵读书时间是9小时的有15人，读书时间是10小时的有10，∴读书时间

不少于9小时的有25人，∴被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是=

21．（8分）如图，直线y=﹣x+4，y=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），

12

这两条直线分别与x轴交于B，C两点．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；

（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P

的坐标．

【解答】解：（1）把A（1，m）代入y=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），

1

把A（1，3）代入双曲线y=，可得m=1×3=3，

∴y与x之间的函数关系式为：y=；

（2）∵A（1，3），∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；

（3）y=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0），

1

把A（1，3）代入y=x+b，可得3=+b，∴b=，∴y=x+，

22

令y=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），∴BC=7，

∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，

∴CP=BC=，或BP=BC=，∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，

∴P（﹣，0）或（，0）．

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22．（8分）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的

延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE

＜BD）的长是一元二次方程x﹣5x+6=0的两个实数根．

2

（1）求证：PA?BD=PB?AE；

（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给

予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）∵DP平分∠APB，∴∠APE=∠BPD，

∵AP与⊙O相切，∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，∴∠EAP=∠B，

∴△PAE∽△PBD，∴，∴PA?BD=PB?AE；

（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，

∵DP平分∠APB，AD⊥AP，DF⊥PB，∴AD=DF，

∵∠EAP=∠B，∴∠APC=∠BAC，易证：DF∥AC，∴∠BDF=∠BAC，

由于AE，BD（AE＜BD）的长是x﹣5x+6=0，解得：AE=2，BD=3，

2

∴由（1）可知：，∴cos∠APC==，∴cos∠BDF=cos∠APC=，

∴，∴DF=2，∴DF=AE，∴四边形ADFE是平行四边形，

∵AD=AE，∴四边形ADFE是菱形，此时点F即为M点，

∵cos∠BAC=cos∠APC=，∴sin∠BAC=，∴，∴DG=，

∴在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形

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其面积为：DG?AE=2×=

23．（9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，

在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别

取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN

的数量关系是 MG=NG ；位置关系是 MG⊥NG ．

（2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角

三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明

理由．

（3）深入研究：

如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作

等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．

【解答】解：（1）连接BE，CD相较于H，

∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°

∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，

∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠

ABD=90°，∴∠BHD=90°，∴CD⊥BE，

∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MGCD，同理：NGBE，

∴MG=NG，MG⊥NG，故答案为：MG=NG，MG⊥NG；

（2）连接CD，BE，相较于H，同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；

（3）连接EB，DC，延长线相交于H，同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方

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法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°

﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，∴∠DHE=90°，

24．（9分）如图，抛物线y=ax+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），

2

点B（3，﹣），O为坐标原点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；

（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，

求∠BOC的大小及点C的坐标．

【解答】解：（1）把点A（1，），点B（3，﹣）分别代入y=ax+bx得

2

解得∴y=﹣

（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=

当x＞时，y随x的增大而减小 ∴当t＞4时，n＜m．

（3）如图设抛物线交x轴于点F，分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于

点E

∵AC≥AD，BC≥BE

∴AD+BE≥AC+BE=AB

∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大．

∵A（1，），点B（3，﹣）∴∠AOF=60°，∠BOF=30°

∴∠AOB=90° ∴∠ABO=30°

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当OC⊥AB时，∠BOC=60°，点C坐标为（，）．

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