2024年1月16日发(作者：宝马x5报价多少钱)
江淮十校2023届高三下学期5月联考
数学试题
2023．5
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知集合A?(x,y)|y?x2，集合B?(x,y)|y?1?x，则集合AA．1 B．2 C．3
????B的元素个数为（ ）
D．4
2．已知直线l的一个方向向量为p??sinA．???3,cos???，则直线l的倾斜角为（ ）
3?2?4?? C． D．
3333．已知a，b为实数，则使得“a?b?0”成立的一个充分不必要条件为（ ）
11A．? B．ln(a?1)?ln(b?1)
ab?
6B．C．a?b
33 D．a?1?b?1
4．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1?1%)365365?1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年365后是(1?1%)1.01365?1.01?365?0.99．一年后“进步”的是“退步”的???0.99365?0.99??1481倍，如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍．（lg2?0.3010，lg3?0.4771）
A．20 B．21 C．22 D．23
5．哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB和两个圆弧AC、BC围成，其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B，圆O与线段AB及两个圆弧均相切，若AB?2，则OA?OB?（ ）
A．?7
16B．?2
7C．?4
3D．?4
76．将函数f(x)?sin?x?最小值为（ ）
A．????则实数a的??sinx的图像向左平移a(a?0)个单位后的函数图像关于y轴对称，3??
6B．?
4C．?
3D．?
27．若(mx?1)nn?N*的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对(m,n)共有（ ）组不同的解
A．1 B．2 C．3 D．4
??x2y28．已知O为坐标原点，椭圆E：2?2?1(a?b?0)，平行四边形OACB的三个顶点A，B，C在椭圆abE上，若直线AB和OC的斜率乘积为?361，四边形OACB的面积为，则椭圆E的方程为（ ）
22x2y2??1 A．84x2y2??1 B．63x2y2??1 C．42x2?y2?1 D．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
9．下列命题正确的有（ ）
A．空间中两两相交的三条直线一定共面
B．已知不重合的两个平面?，?，则存在直线a??，b??，使得a，b为异面直线
C．过平面?外一定点P，有且只有一个平面?与?平行
D．已知空间中有两个角?A1B1C1，?A2B2C2，若直线A1B1?直线A2B2，直线B1C1?直线B2C2，则?A1B1C1??A2B2C或1B1C1??A2B2C2??
2?A10．学校北园食堂老麻抄手窗口又推出了酸辣粉、米粉等新品．小明同学决定每隔9天去老麻抄手窗口消费一次，连续去了5次，他发现这5次的日期中没有星期天，则小明同学在这5次中第一次去北园食堂可能是（ ）
A．星期一 B．星期三 C．星期五 D．星期六
11．某项科学素养测试规则为：系统随机抽取5道测试题目，规定：要求答题者达到等级评定要求或答完5道题方能结束测试．若答题者连续做对4道，则系统立即结束测试，并评定能力等级为A；若连续做错3道题目，则系统自动终止测试，评定能力等级为C；其它情形评定能力等级为B．已知小华同学做对每道题的2，且他每道题是否答对相互独立，则以下说法正确的是（ ）
364158A．小华能力等级评定为A的概率为 B．小华能力等级评定为B的概率为
243243216C．小华只做了4道题目的概率为 D．小华做完5道题目的概率为
927b12．已知函数f(x)?ax?(ab?0)，则下列说法正确的有（ ）
x概率均为A．?ab?0，函数f(x)是奇函数
B．?ab?0，使得过原点O至少可以作f(x)的一条切线
C．?ab?0，方程f(sinx)?f(sinx?2)一定有实根
D．?ab?0，使得方程sin[f(x)]?cos[f(x)]有实根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．复数z满足|z?1?i|?1，其中i为虚数单位，则z的最大值为________．
14．前n项和为Sn，若S5?15，则a3，a6，a12成等比数列，?an?是公差不为零的等差数列，15．函数f(x)?cos2x?2|sinx|(x?[0,2?])的值域为________．
16．若函数f(x)?ax?(a?0)与函数g(x)?x?差数列，则实数a的取值范围是________．
3S2023?________．
a20231322cx的图像恰有三个不同交点，且交点的横坐标构成等3四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知bsin?A?（1）求角A的大小；
（2）点D为边BC上一点（不包含端点），且满足?ADB?2?ACB，求????????acos???B??0．
3??2?DC的取值范围．
BC18．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．下图是2018-2022年移动物联网连接数w与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5．
（1）根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
（2）求w关于t的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
附：样本相关系数x???t?t??w?w?iii?1n??t?t???w?w?iii?1i?1n2n??，b2??t?t??w?w?iii?1n??ti?t?i?1n??t，1740?41.7
??w?b，a219．已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面ABB1A1都是边长为2的菱形，平面ABCD?平面ABB1A1，A1B?B1D．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若?A1AB?60?，求二面角A?B1C?B的余弦值．
*20．设数列?an?的前n项和为Sn，且3an?2?Sn?2n?，n?N．
（1）证明：数列?an?2?是等比数列，并求?an?的通项公式；
（2）设bn?log3?1??1??1?an?2，证明：?1???1???1??2?b1??b3??b5??1?1????b2n?1．
b2n?1??21．已知点F(0,1)，动点M在直线l：y??1上，过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的标准方程；
（2）过F的直线与曲线C交于A，B两点，直线OA，OB与圆x2?y2?2y?0的另一个交点分别为D，E，求△DOE与△AOB面积之比的最大值．
22．对于定义在D上的函数F(x)，若存在x0?D，使得F?x0??x0，则称x0为F(x)的一个不动点．设函数f(x)?(x?1)ex?alnx?x，已知x0?x0?1?为函数f(x)的不动点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若k?Z，且kx0?a对任意满足条件的x0成立，求整数k的最大值．
（参考数据：ln2?0.693，ln3?1.1，e?1.95，e?7.39，e?4.48）
23232
江淮十校2023届高三联考
数学试题参考答案与评分细则
一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．
1-4：BADD 5-8：ACDB
A?2?r，5．A 解析：设圆的半径为r，则O?(2?r)2?r2?1?r?7?5??7??OA?OB????????．
16?4??25?6．C 解析：f(x)?2357，?OA?且cos?AOB??，442533???sinx?cosx?3sin?x??，将函数f(x)图像向左平行移动a个单位后的函226??数记为g(x)，则g(x)????3si?nx?a??，而函数g(x)的图像关于y轴对称有g(0)??6??3，????????sin?a????1，?a???k?(k?Z)，?a??k?，a?0，?实数a的最小值为．
62336??7．D 解析：由第6项的二项式系数最大知n的可能取值为9，10，11，又由题得：(m?1)?2，当n?9，11时，m?3；当n?10时，m?3或?1，故有序实数对(m,n)共有4组不同的解．
8．B 解析：设A(acos?,bsin?)，B(acos?,bsin?)，则C(acos22nn??acos,?bsin?s?bin)?，将C坐1，又四边形OACB的面积为2标代入椭圆方程有(cos??cos?)?(sin??sin?)?1?cos(???)??S?2S△AOB?|acos??bsin??acos??bsin??|ab|sin(???，)即|1b2122斜率乘积为?知2?，所以a?6，b?3．
22a336ab?，又根据AB和OC的22二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
9．BC 10．BD
4411．ABC
3312．AD
3647?2?1?2??1??2??1??2??1?11．ABC 解析：PA????????，P．
??????C??????????243?3?3?3??3??3??3??3??3?818515820?2?2?1?2?PB?1?PA?PC?1???1?P?P?，P4????????，P．
534243243273339????12．AD 解析：对A：定义域对称，且f(x)??f(?x)，显然成立；
43
对B：设直线y?kx，联立方程：ax?b?kx?(k?a)x2?b?0，显然不成立
x对C：若f?x1??f?x2?，x1?x2，则ax1?即sinx(sinx?2)?对D：f(x)?k??bbb?ax2??x1x2?，
x1x2abb，由sinx的有界性，显然sinx(sinx?2)?不一定有解
aa?4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．，k?z，显然存在?a，b，使方程有解．
2?1
?3???14．1012 15．?1,?
2?3???16．?0,?
??1?3?15．?1,?
2解析：令sinx?t，t?[?1,1]，则f(x)的值域转化为g(t)?1?2t?|2t|的值域，
2??2t2?2t?1(0?t?1)?3?由于F(t)??，得的值域为g(t)1,?
2??2t?2t?1(?1?t?0)?2??16．?0,?
??1?3?122与函数g(x)?x?cx的图像三个不同交点的横坐标等价于考查函数332122h(x)?f(x)?g(x)?ax3?x2?cx?有三个不同的零点，则h?(x)?3ax?2x?c，故必有方程333213ax2?2x?c?0有两个不同的实数根，则a?0，??4?8ac?0，?ac?
321另一方面，由三个不同交点的横坐标构成等差数列可知：令h??(x)?6ax?2?0得x?，则由三次函数的3a解析：函数f(x)?ax?3对称性知当且仅当h?1?1?2226ac?2?9a2?9a?3?a?时符合题意，化简整理即有，故，且a?0
?0?9?3a?所以实数a的取值范围是?0,?．
??1?3?四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．解：（1）由bsin?A?????????acos?B????0，结合正弦定理可得：
3??2??1?313cosA?sinA，
sinB?sinA?cosA?sinAsinB?0?sinB?0（舍）或??2?222??
所以tanA?3?A??3 5分
（2）由?ADB?2?ACB知AD?CD且C??0,所以△ABD中，有B?由正弦定理可得：????
3??6分
2???C，?BAD??C，
33BDCDBC 8分
??????2??????2??sin??C?sin??C?sin??C??sin??C??3??3??3??3??2??31sin??C?cosC?sinCCD11?1??3?2所以??2??tanC??,1? 10分
CB223????2??3cosC?2?sin??C??sin??C??3??3?18．解：（1）由图，两个变量线性相关．
由已知条件可得：t?3，w?15，所以??t?t??w?w??16?3?0?4?18?41，
iii?152分
??w?w?ii?152?64?9?4?16?81?174，??t?t?ii?152?4?1?0?1?4?10，
所以相关系数r?4141??0.98，因此，两个变量具有很强的线性相关性．
174041.79分
6分
41??t?15?4.1?3?2.7
??w?b?4.1，a10??4.1t?2.7， 所以回归方程是：w10分
??（2）结合（1）可知，b??4.1?7?2.7?31.4，即预测2024年移动物联网连接数为31.4亿户． 12分 当t?7时，有w19．证明：（1）连接B1A，作A1H?AB于H．
因为ABB1A1是菱形，所以B1A?A1B，
又因为A1B?B1D，所以A1B?面DAB1，所以A1B?AD，
又平面ABCD?平面ABB1A1，平面ABCD平面ABB1A1?AB，所以A1H?面ABCD?A1H?AD
5分 所以AD?面ABB1A1?AD?AB，而ABCD为菱形，所以四边形ABCD是正方形．
（2）解：?A1AB?60?时，H为AB的中点，如图建立空间直角坐标系
则，A(1,0,0)，B1(?2,0,3)，C(?1,2,0)，B(?1,0,0)，
CA?(2,?2,0)，CB1?(?1,?2,3)，CB?(0,?2,0)
??m?CA?0设平面AB1C的一个法向量m?(x,y,z)，则?，令x?1，
??m?CB1?0解得m?(1,1,3) 7分
??n?CB?0设平面BB1C的一个法向量n?(x,y,z)，则?，令z?1，解得n?(3,0,1)， 9分
??n?CB1?0则cos?m,n??m?n2315
??|m|?|n|55?211分
又因为A?B1C?B为锐二面角，所以A?B1C?B的余弦值为15．
512分
20．解：（1）设数列?an?的前n项和为Sn，且n?2，3an?2?Sn?2n?，3an?1?2?Sn?1?2n?2?
相减得：an?3an?1?4，所以an?2?3?an?1?2?，又a1?4， 2分
5分 所以?an?2?是以首项为6，公比为3的等比数列，即an?2?6?3n?1，所以an?6?3n?1?2
（2）bn?n，即证：(1?1)?1???1???1??3??1??5?1??1????2n?1
2n?1??7分
?1??1??1?1?1?1???????bbb?1??3??5?方法一：令f(n)?2n?12?1?1???bf(n?1)2n?22n?1???．则， 9分
f(n)2n?1?2n?311分 因为(2n?2)?(2n?1)(2n?3)，所以f(n?1)?f(n)
所以f(n)单调递增，即f(n)?f(1)?分
?1??1??1?2?1，即：?1???1???1??3?b1??b3??b5??1?1????b2n?1． 12b2n?1??2n2n?1?2n?2n2n?12n?1方法二：放缩法：
???????2n?12n2n?12n2n?1?2n?1??2?3?4?5所以：???，???，?1?1?3?3?2?相乘得：???1?即：?1?22228分
2n?1?2n?，?
??2n?1?2n?1?22 10分
?4??????3?2?2n?35???????2n?1?132n?1?2n?1
2n?112分
??1??1??1?1?1??????b1??b3??b5??1?1????b2n?1
?b2n?1?方法三：数学归纳法：步骤略
21．解：（1）曲线C的方程为：x?4y
24分
（2）设A，B坐标分别为A?x1,y1?，B?x2,y2?，D?x3,y3?，E?x4,y4?，
因为S△DOE|OD|?|OE|x3x4??
S△AOB|OA|?|OB|x1x26分
令直线lOA：y?k1x，k1?y1y2k122，lOB：y?k2x，k2?2，与圆x?y?2y?0联立得：x3?，
21?k1x1x28分 同理：x4?x3x44k1k22k2?，所以
222x1x21?k2x1x2?1?k1??1?k2?22令lAB：y?kx?1，与x?4y联立得：x?4kx?4?0，所以：x1x2??4，y1y2?1
所以k1k2??x3x411?，代入得：
174x1x22?4k12?k24??10分
x3x41411??，当且仅当k1?，k2??时取等 又因为k?k?2k1k2，所以1722x1x2252?4?k12?k2?44所以△DOE与△AOB面积之比的最大值 12分
252122(x?1)ex22．解：（1）(x?1)e?alnx?0在定义域内有x0?1的零点，所以a?
lnxx
11?x?xelnx??2??(x?1)ex11xx??令g(x)?，令?g?(x)?h(x)?lnx??2
2lnxlnxxx则h?(x)?112(x?1)(x?2)，x?0，x?1
?2?3?3xxxx3分 所以h(x)在(0,1)递减，(1,??)递增，h(x)?h(1)?0，即g(x)在(0,1)递增，(1,??)递增
??xex(x?1)e由洛必达法则得：limg(x)?lim?lim?x?1x?1x?11lnx??xx??g(x)?0,x???，g(x)??? 4分
??e，limx?0??所以：a?(0,e)(e,??)
x05分
（2）由题可知：?x0?1?e?alnx0x0?1?ex??0，可得：a?lnx00，即kx0x0?1?ex??lnx00
因为x0?(0,1)(1,??)，取x0?0e1，易得：k??2.38，所以k取2
ln22下证：2x0x0?1?ex??lnx0对任意x0?(0,1)(1,??)成立
0易证：lnx?x?1对x?0恒成立，当x0易证：ex0x0?1?ex??(1,??)时，lnx08分
?ex0
?ex0，所以ex0?ex0?2x0，成立
当x0?(0,1)时，只需证：2lnx0xx0?1?ex??x00成立
方法一：令H(x)?(x?1)e?2xlnx，0?x?1，只需证H(x)?0
22H?(x)?xex?2lnx?2，H??(x)?(x?1)ex?，显然H??(x)?(x?1)ex?递增
xx2?5?29?1?3e???12?3??H??????4?0，H????e???0，所以存在x1??,?，使H???x1??0
5?2?3?3??2??23?且H?(x)在?0,x1?递减，在?x1,1?递增，
x?2?H(x)?H??x1??x1e1?2lnx1?2x1?整理得Hx?xe?2lnx?2??2lnx1?2 10分
???111x1xx?1e?2x?1?1?1?1?因为函数y?2?2lnx?2在x?(0,1)递减，
x?1
所以H??x1??24?2??2lnx1?2?H????2ln3?2ln2??0
x1?15?3?所以H?(x)?0在x?(0,1)恒成立，即H(x)在x?(0,1)递增
23显然H(x)?H??2???3???e?4ln332??0.312?0，所以成立
312分
(x?1)ex?2lnx，0?x?1，只需证G(x)?0 方法二：令G(x)?xx?G?(x)?2?x?1?ex?2xx22，令?(x)?x2?x?1ex?2x，则??(x)?x2?xex?2
????9分
2?1021?3??显然??(x)??x?x?e?2递增，且?????e?2?0，?????e3?2?0
?3?9?2?4x所以存在x2???12?,?，使???x2??0，且?(x)在?0,x2?递减，在?x2,1?递增， 10分
?23?x222??(x)???x2???x23?x?1e?2x2?x2?x2?1?22?2?2x2?2x2?整理得??x2?? 11分
?2x2??222x2x?xx?x2222???x2?x2?e?23显然2?2x2?2x2在x2???12??28??11?3,?递减，所以0?2?1????2?2x2?2x2?2?1???
?327??28??23?12分 所以?(x)???x2??0，即G?(x)?0对x?(0,1)恒成立，所以G(x)?G(1)?0，成立
方法三：因为exx0?1?ex??x?1对任意x?0恒成立，x00x0?1??x0?1????xx00?1 9分
x011x2?2x?11?0 令g(x)?x??2lnx，g?(x)?1?2?2?xxx2x所以g(x)在x?(0,1)递增，所以g(x)?g(1)?0，即x0?1?lnx0
x011分
x0?1?ex?所以x0
0??x0?1??x0?1??xx00?1成立，即H(x)?0．
x012分
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