2024年1月24日发(作者：2016年大众途观)

用二次函数解决实际问题

考点一 用二次函数解决增长率问题 考点二 用二次函数解决销售问题

考点三 用二次函数解决拱桥问题 考点四 用二次函数解决喷水问题

考点五 用二次函数解决投球问题 考点六 用二次函数解决图形问题

考点七 用二次函数解决图形运动问题

考点一 用二次函数解决增长率问题

例题：（2022·全国·九年级课时练习）某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2020年产量为1万件，那么2022年的产量y（万件）与x间的关系式为___________．

【变式训练】

1．（2022·江西萍乡·七年级期末）某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系式应表示为________．

2．（2022·全国·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．

（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；

（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？

考点二 用二次函数解决销售问题

例题：（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．

(1)若降价3元，则平均每天销售数量为件：

(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？

【变式训练】

1．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价是25元/件时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；最大利润为多少元？

2．（2022·山东德州·九年级期末）某商厦灯具部投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．

(1)设每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．

(2)如果想要每月获得的利润为2000元，那么每月的单价定为多少元？

(3)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？

考点三 用二次函数解决拱桥问题

例题：（2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．

【变式训练】

1．（2022·山东德州·九年级期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶高距离水面2m时，水面宽4m，如果水面上

升1.5m，则水面宽度为________．

2．（2022·甘肃定西·模拟预测）有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．

(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；

(2)如图，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少？

考点四 用二次函数解决喷水问题

例题：（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的y平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y?a?x?h??k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，（m）是水柱距地面的高度．

2

(1)求抛物线的表达式．

(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．

【变式训练】

1．（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点4m．

2．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE?3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．

(1)若h?1.5

EF?0.5m

①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；

②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；

(2)若EF?1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．

考点五 用二次函数解决投球问题

例题：（2022·上海市张江集团中学八年级期末）如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是y??1225x?x?．则他将铅球推出的距离是___米．

1233

【变式训练】

1．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若12实心球运动的抛物线的解析式为y??(x?3)?k，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距9离．已知该同学出手点A的坐标为(0,16)，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（

）

9

A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m

2．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）如图是小明站在点O处长抛篮球的路线示意图，球在点A处离手，且OA?1m．第一次在点D处落地，然后弹起在点E处落地，篮球在距O点6m的点B处正上方达到最高点，最高点C距地面的高度BC?4m，点E到篮球框正下方的距离EF?2m，篮球框的垂直高度为3m．据试验，两次划出的抛物线形状相同，但第二次的最大高度为第一次的2，以小明站立处点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

1

(1)求抛物线ACD的函数解析式；

(2)求篮球第二次的落地点E到点O的距离．（结果保留整数）

(3)若小明想一次投中篮球框，他应该向前走多少米？（结果精确到0.1m）（参考数据：3?1.73,6?2.45）

考点六 用二次函数解决图形问题

例题：（2021·江苏镇江·九年级期中）如图，利用一面墙（墙长26米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．

(1)AB＝

米（用含x的代数式表示）；

(2)若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；

(3)能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．

【变式训练】

1．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）如图，利用一面墙（墙长10米）用20米的篱笆国成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为x米．矩形场地的面积为s平方米．

(1)求s与x的函数关系式，并求出x的取值范围；

(2)若矩形场地的面枳最大，应该如何设计长与宽．

2．（2022·山东烟台·九年级期中）某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（OMNE为正方形）的三条边围成，已知城门宽度为4米，最高处距地面6米．如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．

(1)求上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；

(2)有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门，请问该消防车能否正常进入？

(3)为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米70元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？

考点七 用二次函数解决图形运动问题

例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图1

在Rt△ABC中

?ABC?90?

已知点P在直角边AB上

以1cm/sQ同时出发，的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以2cm/s的速度从点B向点C运动．若点P，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是BPQ的面积y?cm2?与点P的运动时间t?s?之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（

）

A．35cm

【变式训练】

B．45cm C．55cm D．65cm

1．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图，在矩形ABCD中，BC＞CD，BC、CD分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，连接BD，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿BD方向匀速运动到D为止；点M沿线段DA以每秒1个单位的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．

(1)求线段CN的长；

(2)在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？

2．（2021·北京·九年级期中）如图，Rt?ABC中

?C?90?

AC?6

BC?8

动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，点Q沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止．设运动时间为t(s)．

(1)①当运动停止时，t的值为

．

②设P，C之间的距离为y，则y与t满足

（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系”

)．

(2)设?PCQ的面积为S，

①求S的表达式（用含有t的代数式表示）；

②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？

一、选择题

1．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校九年级期末）某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（

）

A．21元 B．22元 C．23元 D．24元

2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m．那么水位下降1m时，水面的宽度为（

）

A．6m B．26m C．?6?4m

?D．26?4m

??3．（2022·全国·九年级课时练习）从某幢建筑物2.25米高处的窗口A用水管向外喷水，水流呈抛物线，如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，那么水流落点B与墙的距离OB是（

）

A．1米 B．2米 C．3米 D．4米

4．（2022·河南·辉县市城北初级中学一模）如果△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，他们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合，现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与点F重合时停止移动，在此过程中，设点B移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图像大致为( )

A． B． C． D．

二、填空题

5．（2022·上海宝山·九年级期末）据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为y万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为x(x?0)，那么y关于x的函数解析式为_________．

6．（2021·广东揭阳·九年级期末）用长12m的铝合金条制成矩形窗框（如图所示），那么这个窗户的最大透光面积是___________（中间横框所占的面积忽略不计）

7．（2022·湖北襄阳·一模）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．

若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t－5t2，则小球飞出______s时，达到最大高度．

8．（2022·山西·一模）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为__________W．

三、解答题

9．（2022·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学三模）北重一中计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的最大可用长度为12米．另三边用总长为26米的木板材料围成．车棚形状如图中的矩形ABCD。为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门。

(1)求这个车棚的最大面积是多少平方米？此时AB与AD的长分别为多少米？

(2)如图2，在（1）的结论下，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为70平方米，那么小路的宽度是多少米？

10．（2022·浙江宁波·八年级期末）“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元．规定销售单价不低于44元，且不高于60元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．

(1)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2640元；

(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

11．（2022·河南开封·二模）如图①是气势如弘、古典凝重的开封北门，也叫安远门，有安定远方之寓意．其主门洞的截面如图②，上部分可看作是抛物线形，下部分可看作是矩形，边AB为16米，BC为6米，最高处点E到地面AB的距离为8米．

(1)请在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式．

(2)该主门洞内设双向行驶车道，正中间有0.6米宽的双黄线．车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线，并保持车辆最高点与门洞有不少于0.6米的空隙（安全距离）．试判断一辆大型货运汽车装载某大型设备后，宽3.7米，高6.6米，能否安全通过该主门洞？并说明理由．

12．（2021·云南玉溪·一模）某商场进购了一款新包装的牛奶，牛奶的成本价为10元/盒，试营销发现，每y盒）x元/盒）天的销售量（与销售单价（存在如图所示的函数关系．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)设每天销售总利润为W元，商场的营销部门结合上述情况，提出了两种营销方案：

方案一：该牛奶的销售单价高于进价且不超过20元；

方案二：每天销售量不少于10盒，且每盒牛奶的利润至少为18元．

试比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

13．（2022·浙江绍兴·一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB,AB垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．

(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地．

(2)记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1?y2的最大值．

(3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？

14．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，排球运动场的场地长18m，球网在场地中央且高度为2.24m，球网距离球场左、右边界均为9m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为hm，当排球运动到水平距离球网3m时达到最大高度2.5m，建立如图平面直角坐标系．

(1)当h?2时：

①求抛物线的表达式；

②排球过网后，如果对方没有拦住球，判断排球能否落在界内，并说明理由；

(2)若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），求h的取值范围．

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