2021-2022学年上海市松江区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】_百

2023年12月20日发(作者：新款雷克萨斯is)

2021-2022学年上海市松江区高一上学期期末数学试题一、填空题1．已知集合A?{?1,0,1,2}，B?{x|0?x?3}，则A?B?___________【答案】{1,2}【分析】利用交集的定义进行求解.【详解】因为A?{?1,0,1,2}，B?{x|0?x?3}，所以A?B?{1,2}.故答案为：{1,2}.2．函数f?x??x?lg?x?1?1,???的定义域为______.【答案】??x?0?【解析】根据对数型复合函数定义域可得：?x?1?0，解不等式即可求解.【详解】由f?x??x?lg?x?1?，?x?0?则?x?1?0，解得x?1，所以函数的定义域为?故答案为：?3．若1,???1,???.log4x?12，则x=__________.【答案】2【分析】将对数式化为指数式，由此求得x.【详解】由于故答案为：211??2xxx4．已知1、2是方程x?3x?3?0的两个根，则1x2______．log4x?112，所以x?42?4?2.【答案】1【分析】利用根与系数关系求得正确答案.

11x1?x2???1x?x??3,xx??3xxxx121212【详解】由题意得，所以12．故答案为：1225．设a、b为实数，比较两式的值的大小：a?b_______2a?2b?2 （用符号?,?,?,?或=填入划线部分）．【答案】?【分析】利用作差比较法求得正确答案.2222a?b?(2a?2b?2)?(a?1)?(b?1)?0，a?1,b??1时等号成立，【详解】因为22所以a?b?2a?2b?2．故答案为：?1f(?)2的值为________．6．已知y?f(x)是奇函数，当x?0时，f(x)?x?2，则3【答案】2##1.5【分析】根据奇函数的定义求值.1113f(?)??f()??(?2)?2222.【详解】由题意3故答案为：2．27．函数f(x)?lg(4x?x)的严格减区间是_________.【答案】?2,4?【解析】先由函数解析式，求出定义域，再由对数型复合函数单调性的判定方法，即可求出减区间.222?0,4?，【详解】由f(x)?lg(4x?x)可得4x?x?0，解得0?x?4，即f(x)?lg(4x?x)的定义域为22令t?4x?x，则t?4x?x是开口向下，对称轴为x?2的二次函数，2?0,2?上单调递增，在?2,4?上单调递减，所以t?4x?x在又y?lgt是增函数，2f(x)?lg(4x?x)的严格减区间是?2,4?.所以函数故答案为：?2,4?f(x)?x1?|x|，则不等式f(x?3)?f(2x)?0的解集为____8．已知函数【答案】（1，＋∞）

【分析】由已知条件得出函数解之可得不等式的解集.f?x?为奇函数，并且在在R时单调递增，由此可得出关于x 不等式，f(?x)?【详解】因为?xx????f?x?f?x?1?|?x|1?|x|，所以函数为奇函数，?x，x?0?x?1?xf(x)???1?x?xx1+x?11,x?0f(x)???1???1?x1?x1+x1+x，所以函数f?x?在又，当x?0时，????0，时单调递增；当x?0时，所以函数f(x)?x1?x?11????1+0?1?x1?x1?x，所以函数f?x?在???，时单调递增，f?x?在R时单调递增.所以不等式f(x?3)?f(2x)?0化为f(x?3)??f(2x)?f(?2x)，所以x?3>-2x，解得x>1，????1，所以不等式f(x?3)?f(2x)?0的解集为，故答案为：????1，.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解不等式，属于中档题.9．若存在实数x使【答案】?2?a?4.【考点定位】 本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用【详解】试题分析：本题的几何意义是：存在在数轴上到的距离与到的距离之和小于的点.有x?a?x?1?3成立，则实数a的取值范围是___________．a?1?3，??2?a?4.【解析】含绝对值的不等式的解法.【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如或，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择或填空题可采用绝对值几何意义的方法，解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题.10．对任意的正实数x、y，不等式【答案】[2,??)x?y?mx?y恒成立，则实数m的取值范围是________．

m?x?yx?yx?yx?yx?y，由基本不等式求得【分析】分离参数为m?x?y的最大值即得．【详解】由题意得2恒成立，?x?y?x?y?2xy2(x?y)???2???x?y?x?yx?y?因为?，当且仅当x?y时取等号，所以m?2，所以实数m的取值范围是[2,??)．故答案为：[2,??)．11．设平行于y轴的直线l分别与函数y?log2x和y?log2x?1的图像相交于点A、B，若在函数y?log2x的图像上存在点C，使得?ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，则点C的横坐标为_______.1?2【答案】2【分析】设A(t,log2t),B(t,log2t?1)，求得C点坐标并代入y?log2x，求得t，进而求得C的横坐标.AB1?2log2t?1?t,???A(t,logt),B(t,logt?1)2??22，22【详解】设，线段AB的中点坐标为，因为?ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，12log2t?1C(t?,)y?log2x的图像上，22所以，因为点C在函数11112log2t?11?log2(t?)log2t??log2(t?),log2t?log2(t?)?2222，22，所以11tlog2??22121t?t?2所以，所以2，t解得t?2?211?2t??2，所以点C的横坐标为22.

1?2故答案为：2?x3,x?af?x???2?x,x?a，若存在实数b，使函数g?x??f?x??b有两个零点，则a的取值范围是12．已知________．【答案】???,0???1,???【分析】由g(x)?f(x)?b有两个零点可得f(x)?b有两个零点，即y?f(x)与y?b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围【详解】?g(x)?f(x)?b有两个零点，?f(x)?b有两个零点，即y?f(x)与y?b的图象有两个交点，32由x?x可得，x?0或x?1①当a?1时，函数f(x)的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a?1满足题意②当a?1时，由于函数f(x)在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0?a?1时，函数f(x)单调递增，故不符合题意④a?0时，f(x)单调递增，故不符合题意

⑤当a<0时，函数y?f(x)的图象如图所示，此时存在b使得，y?f(x)与y?b有两个交点综上可得，a<0或a?1故答案为：???,0???1,???【点睛】本题考查了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．二、单选题13．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　）2y?xy?(x)A．与lnxB．y?x与y?e?1C．y?2与y?4【答案】C2xx?1?y????x?D．y?x与【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.20,???y?xy?(x)【详解】A选项，的定义域是?，的定义域是R，不是相同函数.lnx?0,???，不是相同函数.B选项，y?x的定义域是R，y?e的定义域是2xxy?2?4C选项，，定义域、值域、和对应关系完全相同，是相同函数，C选项正确.?1?1?y????x?的定义域是?x|x?0?，不是相同函数.D选项，y?x的定义域是R，故选：C14．已知函数xy?f?x?可表示为0?x?22?x?44?x?66?x?8

y1234则下列结论正确的是（

）A．C．f?f?4???3B．D．f?x?的值域是在区间1,2,3,4??f?x?的值域是?1,4?f?x??4,8?上单调递增1,2,3,4??，所以选项B正确C不【答案】B【解析】正确；f?f?4???2在区间，所以选项A错误；由表得f?x?的值域是f?x??4,8?上不是单调递增，所以选项D错误.，所以该选项错误；【详解】A.

B. 由表得C. 由表得D.

f(4)?3,f?f?4???f(3)?2的值域是的值域是f?x?f?x?1,2,3,4??，所以该选项正确；1,2,3,4???1,4?，所以该选项错误；，不是f?x?在区间?4,8?上不是单调递增，如：5?4，但是f(5)=f(4)=3，所以该选项错误.故选：B【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断.11?x?yyxy”的（

）xx?015．设、是实数，则“”是“且A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．1111??x?yx?yy?2xyxy，【详解】x?0时不能推出且，例如x?3，满足x?0，此时但1111y?x????0x?yxyxyxy当且同时成立时，，而y?x?0，因此有xy?0，而x?y，所以x?0?y，即x?0成立，因此题中应不必要非充分条件．故选：B．

?x?3,x?0x2?f(x1)f(x)??x?1?3,x?0，若x1?x2?x3，且f(x1)?f(x2)?f(x3)，则x2?x3的取值范围16．已知函数是（

）?1??0,?A．?8?3(0,)C．2?1??0,?B．?2??3??0,?D．?8?【答案】D【分析】结合对称性以及二次函数的性质求得正确答案.【详解】由解析式易得f?x?的图象如下图所示，x?1当x?0时，f(x)?3?3，令|x?3|?3，得x?0或x?6，f(x1)?f(x2)?f(x3)，所以x2?x3?6,0?x2?3，因为x1?x2?x3，且x2?f(x1)x2?f(x2)1133?3???x2(3?x2)??(x2?)2???0,?66628?8?，所以x2?x3故选：D三、解答题A??xx2?2x?3?0?B??x1?2x?16?U?R17．已知全集，集合，．(1)求A?B ；(2)设集合D?{xa?x?a?3,a?R}A?B???1,4?，若D?A，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)(??,?4]?[3,??)．

【分析】（1）解不等式求得集合A,B，由此求得A?B.（2）根据D?A列不等式，由此求得a的取值范围.【详解】（1）因为A?xx2?2x?3?0??，B??x1?2x?16?，x2?2x?3??x?3??x?1??0，解得?1?x?3.1?2x?16?24，解得0?x?4.所以所以A?{x?1?x?3}A?B???1,4?．，B?{x0?x?4}．（2）因为A??x|x??1或x?3?，由题意得a?3??1或a?3，解得a??4或a?3，所以实数a的取值范围是(??,?4]?[3,??)．18．已知函数f(x)?|x|?1x2?1．(1)证明：函数y?f(x)为偶函数；(2)证明：函数y?f(x)在区间(1,??)上是严格减函数.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据奇偶性定义证明；（2）根据单调性的定义证明．【详解】（1）因为f(x)?|x|?1x2?1，所以f(x)的定义域为D?{x|x?R，且x??1}．对于任意x?D，因为所以f(x)为偶函数．f(?x)??x?1(?x)2?1?x?1x2?1?f(x)，（2）当x?(1,??)时，任取x1,x2?(1,??)，且那么f(x1)?f(x2)?f(x)?x?11?x2?1x?1．

x1?x2，

x2?x111??x1?1x2?1(x1?1)(x2?1)

因为1?x1?x2，所以所以x2?x1?0，(x1?1)(x2?1)?0，

f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)．

所以f(x)是(1,??)上的严格减函数．19．环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号国产电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80km/h（不含80km/h）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的下列数据：vM00609000为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：132v?bv2?cvM(v)?800()v?a403，，M(v)?500loga(v?1)?b．(1)当0?v?80时，请选出符合表格所列实际数据的函数模型，并求出相应的函数解析式；M(v)?(2)现有一辆同型号汽车在200km的国道上行驶，如何行使才能使得总耗电量最少，最少为多少？【答案】(1)M(v)?1313v?bv2?cvM(v)?v?2v2?180v4040符合，且(2)此汽车以40km/h的速度行驶时，总耗电量最少，最少为28000Wh【分析】（1）利用特殊值以及函数的单调性求得正确答案.（2）结合二次函数的性质求得正确答案.【详解】（1）选M(v)?13v?bv2?cv40，理由如下：16若M(v)?500loga(v?1)?b，由M(0)?0得b?0，由M(20)?3000得a?21；由M(40)?5600得a?41，矛盾，舍2M(v)?800()v?a3若，此时函数是减函数，M(40)?M(60)，不符合题意；556?132?20?b?20?c?20?3000??40??b??2113322??40?b?40?c?40?5600?M(v)?v?bv?cv?40?40若，由，解得?c?180，13v?2v2?180v?60,9000?代入，也符合．40，将200（2）汽车在200km的国道上行驶所用时间为v，M(v)?

总耗电量为由于0?v?80，S?200200132?M(v)??(v?2v2?180v)?5?v?40??28000vv40，所以当v?40时，Smin=28000Wh

所以，此汽车以40km/h的速度行驶时，总耗电量最少，最少为28000Wh.20．已知函数f(x)?2?xx?1.(1)求不等式f(x?4)?1?f(x?2)的解集；(2)若关于x的方程f(x)?m?0在x?[1,??)上有解，求实数m的最大值；(3)证明：函数y?f(x)关于点(?1,?1)中心对称.【答案】(1)??3,3?1(2)最大值为2(3)证明见解析【分析】（1）解分式不等式来求得不等式f(x?4)?1?f(x?2)的解集.?1,???上的值域来求得m的取值范围，进而求得m的最大值.（2）通过求f(x)在（3）通过证明P(a,b)、Q(?2?a,?2?b)都在(?1,?1)中心对称.y?f?x?的图象上来证得函数y?f(x)关于点【详解】（1）f?x?的定义域为?x|x??1?，因为f(x?4)?1?f(x?2)，2?x?42?x?23x?1???0x?3x?3x?3x?3所以 ，即，x2?9?0(x?3)(x?3)所以，2因为x?9?0，所以(x?3)(x?3)?0，解得?3?x?3，?x?4??1?由?x?2??1，解得x??3，??3,3?.所以不等式f(x?4)?1?f(x?2)的解集为

（2）由题意得关于x的方程f(x)?m?0在x?[1,??)上有解，?1,???上的值域.则m的取值范围即f(x)在332?x3x?1?2,0????1?x?12，x?1x?1，所以因为1?1?f(x)?2，所以f(x)?即?1?m?112，所以实数m的最大值为2.（3）在函数y?f(x)的图象上任意取一点P(a,b)，关于点??1,?1?的对称点Q(?2?a,?2?b)，b?2?a2?ba?(b??1)a?1，即b?1 ,f(?2?a)?2?2?a4?a??2?a?1?1?a由f(a)?b得把x??2?a代入得2?bb?1?3b?6?b?1??b?2?2?bb?1?3?1?b?1,4+所以对称点Q(?2?a,?2?b)在函数y?f(x)的图象上.??1,?1?中心对称.即函数y?f(x)的图象关于21．函数y?f(x)的定义域为D，若存在正实数k，对任意的x?D，总有|f(x)?f(?x)|?k，则称函数f(x)具有性质P(k).(1)分别判断函数f(x)?2021与g(x)?x是否具有性质P(1)，并说明理由；(2)已知y?f(x)为二次函数，若存在正实数k，使得函数y?f(x)具有性质P(k).求证：y?f(x)是偶函数；(3)已知a?0，k为给定的正实数，若函数f(x)?log2?4x?a??x具有性质P(k)，求a的取值范围.【答案】(1)f(x)具有性质P(1)，g(x)不具有性质P(1)，理由见解析(2)证明见解析?kk(3)[2,2]【分析】（1）根据性质P(k)的定义对函数f(x)?2021与函数g(x)?x进行判断，从而确定正确答案.

（2）性质P(k)的定义列不等式，求得b，进而判断出f?x?是偶函数.（3）性质P(k)的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得a的取值范围.【详解】（1）对任意x?R，得|f(x)?f(?x)|?|2021?2021|?0?1，所以f(x)具有性质P(1)；对任意x?R，得|g(x)?g(?x)|?|x?(?x)|?|2x|.易得只需取x?1，则|g(1)?g(?1)|?2?1，所以g(x)不具有性质P(1).2（2）设二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)满足性质P(k).则对任意x?R，22|f(x)?f(?x)|?|ax?bx?c?(ax?bx?c)|?|2bx|?k.满足若b?0，取x0?k?0|f(x0)?f(?x0)|?|2bx0|?2k?k，矛盾.|b|，2所以b?0，此时f(x)?ax?c(a?0)，满足f??x??f?x?，即y?f(x)为偶函数xf(x)?log(4?a)?x的定义域为R.a?02（3）由于，函数xx?xf(x)?log(4?a)?x?log(2?a?2).22易得若函数f(x)具有性质P(k)，则对于任意实数x，x?x?xx|f(x)?f(?x)|?|log(2?a?2)?log(2?a?2)|22有2x?a?2?x2x?a?2?x?k?log2?x?k?|log2?x|?kx2?a?22?a?2x，即.4x?a?k?log2?kx1?a?4即.y?log2x在(0,??)上严格递增，得由于函数2?k4x?a??2kx1?a?4.11a?2k2?k??a1?a?4x即.a?当a?1时，得2?k?1?2k，对任意实数x恒成立.

11?00??1xx1?a?4?1a?1a1?a?4当时，易得，由，得，11a?a?11a?aa?a?1??0?x1?a?4a，得aa1?a?4x得.a?11a?2k2?k??a1?a?4x由题意得对任意实数x恒成立，a??1?k??2?ak?a?2k1?a?2.?所以，即11?00??1xx1?a?4?1a1?a?4a?1当时，易得，由，得，11a?a?11a?aa?a?1??0?x1?a?4a，得aa1?a?4x得.a?11a?2k2?k??a1?a?4x由题意得对任意实数x恒成立，?a?2?k??1k?k??21?a?2.a?所以，即a??kk[2,2].a综上所述，的取值范围为【点睛】求解新定义函数类型的题目，关键点是理解和运用新定义，将新定义的知识，转化为学过的知识来进行求解.求解含参数的不等式问题，需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.