上海市嘉定区2023届高三上学期一模数学试题(含答案解析)

2023年12月20日发(作者：进口三菱汽车官网)

上海市嘉定区2023届高三上学期一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合A?xx?1?1，Z是整数集，则A?Z?________.??12．已知复数z?，i是虚数单位，则z的虚部为________.i3．直线x?1与直线3x?y?1?0的夹角大小为________.2224．已知m?R，若关于x的方程2mx?3x?m?1?m?x??m?1?x?1解集为R，则m的值为_________.5．已知某一个圆锥的侧面积为20π，底面积为16π，则这个圆锥的体积为________.x3y3项的系数等于160，6．已知常数m?R，在?x?my?的二项展开式中，则m?_______.n7．若函数y?1的值域是(??,0)?[12,??)，则此函数的定义域为___________．x?18．如图为正六棱柱ABCDEF?A?B?C?D?E?F?.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线A?B异面的共有______条.9．关于x的方程|2x?3|?|?x?2|?|x?1|的解集为_________.????????10．在空间直角坐标系中，点A(1,0,0)，点B(5,?4,3)，点C(2,0,1)，则AB在CA方向上的投影向量的坐标为_________.11．已知抛物线x2=3y，动点A自原点出发，沿着y轴正方向向上匀速运动，速度大小为v.过A作y轴的垂线交抛物线于B点，再过B作x轴的垂线交x轴于C点.当A运动至?0,100?时，点C的瞬时速度的大小为___________.二、双空题12．某果园种植了100棵苹果树，随机抽取的12棵果树的产量（单位：千克）分别为：2425362728322试卷第1页，共4页

据此预计，该果园的总产量为_______千克以及第75百分位数为_______千克.三、单选题uuur2uuur2uuur213．已知?ABC，那么“AC?AB?BC?0”是“?ABC为钝角三角形”的（A．充分条件但非必要条件C．充要条件22）B．必要条件但非充分条件D．以上皆非x2y2x2y2y2x214．已知四条双曲线，?1：x?y?1，?2：??1，?1，?3：??1，?4：?16169449关于下列三个结论的正确选项为（①?4的开口最为开阔；②?1的开口比?3的更为开阔；③?2和?3的开口的开阔程度相同.A．只有一个正确B．只有两个正确C．均正确D．均不正确）15．甲、乙两人弈棋，根据以往总共20次的对弈记录，甲取胜10次，乙取胜10次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得200元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（A．100元B．150元）D．200元C．175元中国古代数学家用圆内接正6n边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率π的值.16．若据此证明π?3.14，则正整数n至少等于（A．8B．9）C．10D．11四、解答题17．如图，已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1，底面正方形ABCD的边长为2，AA1?3.试卷第2页，共4页

(1)求证：平面AA1CC1?平面A1BD；(2)求点A到平面A1BD的距离.?1?18．若数列??是等差数列，则称数列?an?为调和数列.若实数a、b、c依次成调和数?an?列，则称b是a和c的调和中项.1(1)求和1的调和中项；3(2)已知调和数列?an?，a1?6，a4?2，求?an?的通项公式.李先生属于一年工作250天的上班族，计划购置一辆新车用以通勤.大致推断每天早19．B两款车型中选择其一，八点从家出发，晚上六点回家，往返总距离为40公里.考虑从A、A款车是燃油车，B款车是电动车，售价均为30万元.现提供关于两种车型的相关信息：A款车的油耗为6升/百公里，油价为每升8至9元.车险费用4000元/年.购置税为售价的10%.购车后，车价每年折旧率为12%.保养费用平均2000元/万公里；B款车的电耗为20度/百公里，电费为每度0.6至0.7元.车险费用6000元/年.国务院2022年出台文件，宣布保持免除购置税政策.电池使用寿命为5年，更换费用为10万元.购车后，车价每年折旧率为15%.保养费用平均1000元/万公里.(1)除了上述了解到的情况，还有哪些因素可能需要考虑?写出这些因素（至少3个，不超过5个）；(2)为了简化问题，请对相关因素做出合情假设，由此为李先生作出买车的决策，并说明理由.2x2y220．如图所示，由半椭圆C1：?2?1?y?0?和两个半圆C2:?x?1??y2?1?y?0?、4bC3:?x?1??y2?1?y?0?组成曲线C:F(x,y)?0，其中点A1、A2依次为C1的左、右顶点，2点B为C1的下顶点，点F1、F2依次为C1的左、右焦点.若点F1、F2分别为曲线C2、C3的圆心.(1)求C1的方程；试卷第3页，共4页

(2)若点P、Q分别在C2、C3上运动，求BP?BQ的最大值，并求出此时点P、Q的坐标；(3)若点M在曲线C:F(x,y)?0上运动，点N(0,?1)，求NM的取值范围.21．已知f?x??lnx，x(1)求函数y?f(x)的导数，并证明：函数y?f(x)在?e,???上是严格减函数（常数e为自然对数的底）；(2)根据（1），判断并证明8999与9989的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；(3)已知a、b是正整数，a?b，ab?ba，求证：a?2,b?4是满足条件的唯一一组值.试卷第4页，共4页

参考答案：1．?1?【分析】先用公式法解绝对值不等式确定集合A，再取交集即可.【详解】??1?x?1?1,?0?x?2,?A??0,2?，?A?Z??1?.故答案为：?1?.2．?1【分析】先利用复数的除法法则计算得到z??i，从而求出z的虚部.11???i???i，故虚部为-1.【详解】z??ii???i?故答案为：-13．π##30?6π，2【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【详解】因为直线x?1的斜率不存在，倾斜角为直线3x?y?1?0的斜率为3，倾斜角为故直线x?1与直线3x?y?1?0的夹角为故答案为：4．2【分析】结合题意，先令方程等号左右两边的常数项相等，求出m?2，验证后得到答案.222【详解】2mx?3x?m?1?m?x??m?1?x?1的解集为R，π，3πππ??，236π．6先令等号左右两边的常数项相等，即m?1?1，解得：m?2，将m?2代入方程可得：4x2?3x?1?4x2?3x?1，解集为R，满足要求.故答案为：25．16π【分析】求出圆锥的底面半径，底面周长，结合圆锥侧面积，列出方程，求出圆锥的母线长，由勾股定理求出圆锥的高，得到圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为r，则πr2?16π，解得：r?4，则圆锥底面周长为2πr?8π，设圆锥的母线长为l，答案第1页，共13页

1则l?8π=20π，解得：l?5，2由勾股定理得：h?l2?r2?25?16?3，1故圆锥的体积为?16π?3?16π.3故答案为：16π.6．2【分析】首先根据展开式中存在x3y3一项可知n?6，然后根据二项式展开式的通式结合已知条件列出关于m的方程，解方程即可求出参数m的值.【详解】根据已知条件x3y3是二项式展开式的某一项，故得n?6.r6?rrx?my??C6mrx6?ryr，令6?r?3，得r?3.由Tr?1?C6r3333333得T3?1?C36mxy，根据已知可得C6m?20m?160，解得m?8，即m?2.故答案为：2.7．???,1???1,3?【分析】分类讨论分两种情况解不等式即可.【详解】当y????,0?时，1?0,?x?1;x?111?1??,?0?x?1?2,?1?x?3.当y??,???时，x?12?2?故答案为：???,1???1,3?8．5【分析】作出辅助线，得到A?,D?,B,C四点共面，A?B,CD?不是异面直线，同理得到EF?与A?B共面，再由A?B//DE?，AB?,A?F,BC?与A?B相交，得到与A?B不是异面直线的面对角线，从而得到与A?B异面的面对角线，求出答案.答案第2页，共13页

【详解】连接A?D?，因为六边形A?B?C?D?E?F?为正六边形，所以A?D?//B?C?，故A?D?//BC，所以A?,D?,B,C四点共面，A?B,CD?不是异面直线，同理可得：EF?与A?B共面，不是异面直线，而A?B//DE?，又AB?,A?F,BC?与A?B相交，故12条面对角线中，与A?B不是异面直线的面对角线为AB?,A?F,BC?,DE?,EF?,CD?，其余面对角线均与A?B异面，分别为BC?,C?D,D?E,FE?,AF?，共5条.故答案为：5?3?9．?,2??2?【分析】利用绝对值三角不等式，转化原方程，解不等式得到方程的解集.【详解】由绝对值三角不等式可得：2x?3??x?2?2x?3?x?2?x?1，?3?当且仅当?2x?3???x?2??0，即x??,2?时，等号成立，?2??3?故|2x?3|?|?x?2|?|x?1|的解集为?,2?.?2??3?故答案为：?,2?.?2?7??710．?,0,?2??2????????【分析】先求出AB和CA的坐标，再根据投影向量的定义可得答案.????????【详解】依题意：AB??4,?4,3?,CA???1,0,?1?,????????所以AB在CA方向上的投影向量为：????????????AB?CA?????????????????7CA?77?ABcosAB,CA?????CA??1,0,?1?.????????2?,0,?222??CACA??答案第3页，共13页

7??7故答案为：?,0,?2??211．3v20?x?x?y??进行求解.?t?y?t【分析】根据【详解】不妨取点B为第一象限的点，则点C位于x轴正半轴，2由x=3y?x?0?可得：x=3y，?x?x?y????t?y?t??3yv??3?v，2y当当A运动至?0,100?时，B点的纵坐标为100，将其代入上式，?x33??v?v，即点C的瞬时速度的大小为3v.?t2y2020故答案为：12．3v20312800【分析】先计算样本的平均数，然后再估计整体总产量，找出样本的第八与第九的均值表示第75百分位数.?1?28（千克）【详解】x??24?25?36?27?28?32?20?26?29?30?26?33?，12所以总产量：28?100?2800千克；样本总共有12个数，所以12?75%?9，只需找出第9个数字和第10个数字取平均数即可，从小到大排列后第九个数字为30，第十个数字为32，所以第75百分位数为：31故答案为：2800；31.13．A【分析】利用余弦定理得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案.uuur2uuur2uuur2AC?AB?BC?0，即b2?c2?a2?0，【详解】b2?c2?a2由余弦定理得：cosA??0，2bc?π?因为A??0,π?，所以A??,π?，故?ABC为钝角三角形，充分性成立，?2?uuur2uuur2uuur2AC?AB?BC?0，必要性不成立，?ABC为钝角三角形，若B为钝角，则A为锐角，则答案第4页，共13页

uuur2uuur2uuur2综上：“AC?AB?BC?0”是“?ABC为钝角三角形”的充分条件但非必要条件.故选：A14．D【分析】分别计算出四条双曲线的离心率，根据离心率越大开口更开阔进行比较.【详解】依题意，依次计算出各自的离心率可得：e1?c1313?2,e2?,e3?,e4?2，比较大小知：e2?e4?e1?e3.a32可知：三个结论均为错误；故选：D15．C【分析】我们需要计算出继续比赛甲获胜的概率按照比例给甲分得奖金.1【详解】依题意知：甲乙胜负的概率都是,假设比赛继续，甲只需三场中赢得一场即获得2全额奖金，7?1?7甲获胜的概率P?1??1???,?200??175（元）8?2?8故选：C16．C【分析】先求出圆内接正6n边形的周长，与直径之比与3.14进行比较即可.3【详解】如图，圆内接6n边形，?AOA12?2ππ?,B为?AOA12中点，半径为6n3nππ,?C?12nrsin，6n6nr,?A1A2?2A1B?2rsin?A1OB?2rsin12nrsin圆周率π?π6n?6nsinπ，由计算器可得：n?10.2r6n答案第5页，共13页

故选：C17．(1)证明见解析；(2)322.11【分析】（1）证明出BD?平面AA1CC1，从而得到面面垂直；（2）等体积法求解点到平面的距离.【详解】（1）因为四棱柱ABCD?A1B1C1D1为正四棱柱，所以AA1⊥平面ABCD，且AC⊥BD，因为BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD，因为AC∩AA1?A，AC,AA1?平面AA1CC1，所以BD?平面AA1CC1，又BD?平面A1BD，所以平面AA1CC1?平面A1BD.（2）设点A到平面A1BD的距离为d，AC与BD相交于点O，连接AO1，因为正方形ABCD的边长为2，AA1?3，所以A1B?A1D?4?9?13，BD=4+4=22，由三线合一可得：AO2，1⊥BD，且BO?OD?由勾股定理得：AO?A1D2?OD2?13?2?11，1答案第6页，共13页

所以S?A1BD?11BD?A1O??22?11?22，22122故VA?A1BD?S?A1BD?d?d，331又S△ABD?AB?AD?2，A1A?平面ABD21故VA1?ABD?S?ABD?AA1?2，3由VA1?ABD?VA?A1BD?d?6322?，1122322.11故点A到平面A1BD的距离为18．(1)2(2)an?1182n?111【分析】（1）根据题意得到3、、1成等差数列，从而得到方程，求出b=，得到答案；b2?1?（2）根据题意得到??是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求?an?出12n?1?，得到?an?的通项公式.an1811【详解】（1）设和1的调和中项为b，依题意得：3、、1成等差数列，3b13+11=2，解得：b=，所以=b2211故和1的调和中项为2；3?1?（2）依题意，??是等差数列，设其公差为d，?an?111??d?，26911112n?1所以???n?1?d???n?1??，ana16918则3d?故an?18.2n?119．(1)答案见解析(2)答案见解析答案第7页，共13页

【分析】（1）李先生要考虑生活中得各类费用以及车身本身的因素，列出几条即可（2）通过数据的分析，得出相关的结论对买B款或买A款车进行分析.【详解】（1）李先生可能还需要考虑的因素有：1、考虑非通勤时段的车辆使用情况；2、油价和电价的变化；3、工作单位能否提供免费充电；4、电动车的国家减免政策的变化；5、车辆的外观、内饰与品牌效应.6、车牌费用（2）假设仅考虑通勤时的车辆费用，油价和电价保持相对稳定，电动车的免购置税政策保持不变.计算时取价格区间的中位数即电价0.65元/度、油价8.5元/升.车辆费用为车价、能源费用、税费、车险费用、保养费用，并扣除车辆残余价值.使用够车费年数2255400里程数油耗油费费用4税33费2800020000值264442835550车险购置保养车辆残总费用答案第8页，共13页

使购用够车费年数25968559536里程数电耗电费费用税车险置费值换费保养车辆残电池更总费用写出1至5年任意一年中的一组对比数据，例如：A款车使用5年的总费用为：yA?300000?40?250?5?8.5?4000?5?3000016?40?250?5?2000?300000?(1?0.12)5?228243,B款车使用5年的总费用为：yB?300000??40?250?5?20?0.65?6000?510040?250?5?1000?300000?(1?0.15)5?208388,10000所以，如果李先生打算开5年就按二手车卖掉，可以选B款车.答案第9页，共13页

再写出6至10年任意一年中的一组对比数据，结论：使用年数不超过5年，建议买B款车；使用年数超过5年，建议买A款车.x2y220．(1)??1?y?0?43?33??33??,Q(2)最大值为6，P?，??2,2???22???????(3)??3?1,2?1?【分析】（1）由圆心的横坐标确定c的值，再用b2?a2?c2可得方程；（2）将BP,BQ运用几何法放缩到过两个半圆的圆心时最大，再根据特殊三角形的角度计算出点P、Q的坐标；（3）需要分情况讨论，在圆上和在椭圆上分开计算，计算圆锥曲线上一点到某定点的最值问题可以用参数方程计算.【详解】（1）依题意，F1??1,0?、F2?1,0?，所以b2?4?1?3，x2y2于是C1的方程为??1?y?0?43（2）由对称性，不妨设P?C2，Q?C3，BP?BQ??BF1?F1P???BF2?F2Q???2?1???2?1??6，当B、F1、P三点共线，同时B、F2、Q三点共线，?BP?BQ?max?6，此时?OF1P??OF2Q??33??33?2π?,Q,?P??2,2??.?22??，?3????答案第10页，共13页

（3）曲线C:F(x,y)?0关于y轴对称，不妨设点M在曲线C2:?x?1??y2?1?y?0?2或曲线C1的右半部分x2y2??1?x?0,y?0?上运动.432①当点M在曲线?x?1??y2?1?y?0?上运动，设M?cos??1,sin??，0????.NM2??22?=?cos??1?+?sin??1??3?22sin????，0????4??2????NM???1,3+22??NM??1,2+1?；x2y2?1?x?0,y?0?上运动，②当点M在曲线?43设M2cos?,3sin?，?NM2??????0.2=?2cos??+2?3sin??1?2??sin2??23sin??5，?????022????NM???4?23,5??NM??3?1,5?，?综合①②，NM???3?1,2?1?.【点睛】圆锥曲线的组合曲线的问题，一般都需要采用分类讨论的方法，与圆有关系的问题一般都考虑几何法优先.21．(1)y??1?lnx，证明见解析；x2(2)答案见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）求导，有导函数的正负得到函数的单调性，从而得到y?f(x)在?e,???上是严格减函数；（2）在第一问的基础上，得到ln89ln99?，变形后得到8999?9989，写出一般的结论；8999（3）先得到a?2,b?4满足要求，再证明唯一性，在第二问的基础上，得到若a?3，可知b2ab?ba，与ab?ba矛盾；若a?1，求出b?1，与a?b矛盾；若a?2，则2?b?2?b,b?N?即ln2ln4lnbln2lnb???，容易验证b?3，b?4成立，当b?5，得到，于是2b?b2，2b24b矛盾，故a?2,b?4是满足条件的唯一一组值.答案第11页，共13页

【详解】（1）y?f(x)的导函数为y??列表：xf??x?f?x?1?lnx1?lnx?y??0，得x?e，，令22xx?0,e?+e+???e，?0极大值??所以，函数y?f(x)在?e,???上是严格减函数；（2）判断得到8999?9989，下面证明：由（1），f?89??f?99?，即ln89ln99?，所以ln8999?ln9989，8999由y?lnx的单调递增，得到8999?9989.推广：对于实数a,b，若e?a?b，则以下是证明过程：由（1）知：f?x??因为e?a?b，所以lnx在?e,???上是严格减函数，xlnalnb?，则blna?alnb，lnab?lnba，ablnalnb?即ab?ba，ab因为y?lnx单调递增，所以ab?ba.（3）因为24?42?16，可见a?2,b?4满足ab?ba?1?a?b,a,b?N?，下面证明唯一性：①若a?3，由第二问的结论可知ab?ba，与ab?ba矛盾；②若a?1，则1b?b1即b?1，与a?b矛盾；b2③若a?2，则2?b?2?b,b?N?即ln2lnb?，2b显然b?3不满足，b?4成立，若b?5，由第二问结论可知：ln4lnbln2ln4lnb???，则，于是2b?b2，与2b?b2矛盾.4b24b答案第12页，共13页

综上，a?2,b?4是满足条件的唯一一组值.【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对8999与9989先取对数变形，再结合第一问中的结论即可证明.答案第13页，共13页