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2023年11月21日发(作者：一汽丰田越野车价格)
2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题（含答案解析）
学校姓名：班级：考号：
:____________________________________________
一、单选题
2
1．已知集合
M??2,?1,0,1,2
??
，，则（）
N?xx?x?6?0
M?N?
??
A．B．C．D．2
??
?2,?1,0,1
2．已知
z
?
ABC0D1
．．．．
?
i
??
0,1,2
），则（
??
?2
1i
?
z?z?
22i
?
i
????
??
a?b?a?b
??
a?1,1,b?1,?1
????
，若，则（）
3．已知向量
????
AB
．．
??
??1
CD
．．
??
?1
4．设函数
fx
??
?
2
A．B．
?
??,?2
?
C．D．
?
0,2
?
xxa
??
?
??
???1
??
??1
在区间上单调递减，则的取值范围是（）
??
0,1
a
?
?2,0
?
?
2,??
?
xx
22
22
5．设椭圆，则
CyaCy
12
:1(1),:1
2
?????
若的离心率分别为．
e?3e
21
a?
e,e
12
a
4
（）
A．B．C．D．
23
3
2
3
6
）与圆，则（
6．过点相切的两条直线的夹角为
??
0,?2
x?y?4x?1?0
22
?
sin?
?
A．1B．C．D．
1510
44
6
4
7．记
S
n
为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（）
????
aa
nn
n
{}
A
．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B
．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C
．甲是乙的充要条件
D
．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
S
n
n
11
8．已知
sin,cossin
??
????
???
，则（）．
cos2?2?
??
??
36
A．B．C．
7
9
D．
?
7
9
1
9
?
1
9
试卷第1页，共4页
二、多选题
9．有一组样本数据
x,x,???,x
126
，其中是最小值，是最大值，则（）
x
1
x
6
A．
x,x,x,x
2345
的平均数等于的平均数
x,x,???,x
126
B．
x,x,x,x
2345
的中位数等于的中位数
x,x,???,x
126
C．
x,x,x,x
2345
的标准差不小于的标准差
x,x,???,x
126
D．
x,x,x,x
2345
的极差不大于的极差
x,x,???,x
126
10
．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
L
p
??
20lg
的声压级：
声源与声源的距离声压级
燃油汽车10
p
，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源
pp?0
00
??
p
p
0
/m
10
10电动汽车40
/dB
6090
混合动力汽车
5060
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为
10m
p,p,p
123
，
则（）．
B．A．
p?10p
23
D．C．
p?100p
12
）．的定义域为，，则（
p?p
12
p?100p
30
22
11．已知函数
fx
??
R
fxy?yfx?xfy
??????
A．B．
f0?0
??
C．
fx
??
是偶函数D．为的极小值点
f1?0
??
x?0
fx
??
12．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽
略不计）内的有（）
A．直径为的球体
0.99m
B．所有棱长均为的四面体
1.4m
C．底面直径为，高为的圆柱体
0.01m
1.8m
D．底面直径为，高为的圆柱体
1.2m0.01m
试卷第2页，共4页
三、填空题
134482
．某学校开设了门体育类选修课和门艺术类选修课，学生需从这门课中选修
门或门课，并且每类选修课至少选修门，则不同的选课方案共有种（用数
31________
字作答）．
14．在正四棱台，则该棱台的体积为
ABCD?ABCD
1111
中，
AB?2,AB?1,AA?2
111
________
．
15．已知函数
fx?cosx?1(?0)
??
??
在区间有且仅有3个零点，则的取值范围
??
0,2π
?
是．
________
xy
22
16．已知双曲线
Cab
:1(0,0)
22
????
的左、右焦点分别为．点在上，点在
F,F
12
A
C
B
ab
??????????????????
y
轴上，，则的离心率为________．
FA?FBFA??FB
1122
,
2
C
3
四、解答题
17．已知在中，
ABC
A?B?3C,2sinA?C?sinB
??
．
(1)
求；
sinA
(2)
设，求边上的高．
AB?5
AB
18．如图，在正四棱柱
ABCD?ABCD
1111
中，．点分别在棱
AB?2,AA?4
1
A,B,C,D
2222
AA,BB,CC
111
,
DD
1
上，．
AA?1,BB?DD?2,CC?3
2222
(1)证明：
BC∥AD
2222
；
(2)点在棱
P
BBBP
12
上，当二面角为时，求．
P?AC?D
222
150?
x
19．已知函数
fx?a?a?x
??
e
．
??
试卷第3页，共4页
(1)讨论
fx
??
的单调性；
(2)证明：当时，
a?0
fx?a?
??
2ln
3
．
2
nn
2
?
20．设等差数列
??
a
n
的公差为，且．令，记分别为数列
d
d?1
b
n
?
ST
nn
,
????
ab
nn
,
a
n
的前项和．
n
(1)若，求
3a?3a?a,S?T?21
21333
??
a
n
的通项公式；
(2)若
??
b
n
为等差数列，且，求．
S?T?99
9999
d
21
．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末
命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次
0.6
投篮的命中率均为．由抽签确定第次投篮的人选，第次投篮的人是甲、乙的概
0.811
率各为．
0.5
(1)2
求第次投篮的人是乙的概率；
(2)
求第次投篮的人是甲的概率；
i
(3)已知：若随机变量
X
i
服从两点分布，且
PX?1?1?PX?0?q,i?1,2,???,n
????
iii
，则
??
nn
EXq
??
??
ii
?
．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
nn
Y
EY
??
??
ii
??
11
??
1
22．在直角坐标系
xOy
中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的
PPP
x
??
0,
??
2
轨迹为．
W
(1)
求的方程；
W
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
ABCDABCD
W
33
试卷第4页，共4页
参考答案：
1C
．
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
N
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
M
2
【详解】方法一：因为，而，
N?xx?x?6?0??,?2?3,?
??
??
??
M??2,?1,0,1,2
??
??
所以．
M?N?
??
?2
故选：．
C
方法二：因为，将代入不等式
M??2,?1,0,1,2
??
?2,?1,0,1,2
x?x?6?0
2
，只有使不等式
?2
成立，所以．
M?N?
??
?2
故选：．
C
2A
．
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
z
z
【详解】因为，所以．
z
?????
故选：．
A
3D
．
????
1i1i
??
??
2i11i
i
1
z?
i
，即
z?z??i
22i21i1i42
???
????
2
??
??
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
a?b
?
a?b
?
??
????
a?1,1,b?1,?1
a?b?1?,1?a?b?1?,1?
??????
????
，，所以【详解】因为，
????
????
????
由可得，，
a?b?a?b
??
a?b?a?b?0
??
????
????
即，整理得：．
????????
1?1??1?1??0
????
??
??1
故选：．
D
4D
．
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答
.
【详解】函数在区间上单调递减，
y?
2
x
在R上单调递增，而函数
fx
??
?
2
xxa
??
?
??
0,1
a
aa
2
2
则有函数上单调递减，因此，解得，
y?xx?a?x??
()()
在区间
??
0,1
?1
a?2
2
24
所以的取值范围是
a
?
2,??
?
.
答案第页，共页
122
故选：
D
5A
．
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答
.
411
??
a
2
23
【详解】由，而，所以
e?3e
21
，得，因此
e?3e
.
??
3
2
a?1
a?
4
a
3
22
21
故选：
A
6B
．
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的
性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得
k?8k?1?0
2
，利用韦达定理结合夹角公式运算求解
.
【详解】方法一：因为，半径，
x?y?4x?1?0
22
，即，可得圆心
??
x?2?y?5
2
C2,0
??
r?5
2
过点作圆C的切线，切点为，
P0,?2
??
A,B
因为
PC?2??2?22PA?PC?r?3
22
??
，则，
可得
sin,cos
?APC???APC??
2
2
51036
，
44
2222
10615
???APB??APC??APC?APC??
444
22
则
sinsin22sincos2
，
????
6101
coscos2cossin0
????????????
APBAPCAPCAPC
22
????
????
444
????
即为钝角，
?
APB
所以
sinsinπsin
?
???APB??APB?
??
，
15
；
4
法二：圆，半径，
x?y?4x?1?0
22
的圆心
C2,0
??
r?5
过点作圆C的切线，切点为，连接，
P0,?2
??
A,B
AB
可得
PC?2??2?22
2
??
，则，
PA?PB?PC?r?3
2222
2
2
2
因为
PA?PB?2PA?PBcos?APB?CA?CB?2CA?CBcos?ACB
且，则，
?ACB?π??APB
3?3?6cos?APB?5?5?10cosπ??APB
??
1
即，解得
3?cos?APB?5?5cos?APB
cos0
?APB???
，
4
答案第页，共页
222
即为钝角，则
?
APB
coscosπcos
?
???APB???APB?
??
且为锐角，所以；
?
sin1cos
??
???
2
15
4
1
，
4
方法三：圆，半径，
x?y?4x?1?0
22
的圆心
C2,0
??
r?5
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
y?0
d?2?r
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
y?kx?2
kx?y?2?0
则，整理得
22
k
?
k
?
1
2
?
5
k?8k?1?0
2
，且
??64?4?60?0
设两切线斜率分别为，
k,k
12
，则
k?k??8,kk?1
1212
可得
k?k?k?k?4kk?215
121212
所以，即，可得，
tan15
?
??
222
??
2
，
kk
12
?
sin
?
sin
?
?
15
cos
?
?
1
?
kk
12
cos
?
15
sin
2
?
则，
sincossin1
???
????
15
??
π
15
且，则，解得.
?
?
??
0,
sin?0
?
sin
?
?
??
2
4
故选：
B.
7C
．
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前项和与第
nn
项的关系推理判断作答，
.
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
??
a
n
a
1
d
答案第页，共页
322
则，
Snadadna
n
?????????
111
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
{}
SSS
dnnndd
(1)1
??
nnn
,,
?
1
222212
nnn
?
S
n
n
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
{}
即，则，有，
SSnSnSnaS
???
(1)
nnnnnn
???
111
S
n
???
t
nnnnnn
???
1(1)(1)
n
naS
nn
?
1
?
?
t
SnatnnSnatnnn
nnnn
??????????
??
11
(1)(1)(1),2
nn
(1)
?
两式相减得：，即，对也成立，
ananatnaat
nnnnn
??????
??
11
(1)22
n?1
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
??
a
n
所以甲是乙的充要条件，正确
C.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
????
aa
nn
a
1
d
Snad
n
??
1
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
nn
(1)
?
2
S
n
S
(1)
ndd
?
?????
adna
11
{}
n
n
n
222
SSS
S
反之，乙：为等差数列，即，
{}
n
nnn
?
1
?????
DSnD
,(1)
1
n
nnn
?
1
即，，
S?nS?nn?DSnSnnD
nn
111
(1)(1)(1)(2)
?
?????
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
n?2
SSSnD
nn
????
?
11
2(1)
n?1
于是，又为常数，
a?a?n?D
n
1
2(1)
aaanDanDD
nn
?
111
???????
2[2(1)]2
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
??
a
n
所以甲是乙的充要条件
.
故选：
C
8B
．
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦
sin(?)
??
公式计算作答
.
1
1
1
【详解】因为，而，因此，
sin()sincoscossin
??????
????
cossin
??
?
sincos
??
?
2
6
3
则，
sin()sincoscossin
??????
????
2
3
21
22
所以.
cos(22)cos2()12sin()12()
??????
??????????
39
故选：
B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
答案第页，共页
422
（）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角
1“”
总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函
数．
（）给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于变给值求值：
2““”
角，使其角相同或具有某种关系．
”
（）给值求角：实质上也转化为给值求值，关键也是变角，把所求角用含已知角的式
3“”“”
子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
9BD
．
【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断
.
【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为，
x,x,x,x
2345
mn
x,x,???,x
126
则，
nm
????
xxxxxxxxxx
1234562345
????????
2
????
xxxxxx
165234
?????
6412
因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，
2x?x,x?x?x?x
??
165234
m,n
例如：，可得；
1,2,3,4,5,6
m?n?3.5
例如，可得；
1,1,1,1,1,7
m?1,n?2
例如，可得
1,2,2,2,2,2
m?n?
2,
11
；故A错误；
6
对于选项B：不妨设，
x?x?x?x?x?x
123456
可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；
x,x,x,x
2345
x,x,???,x
126
对于选项C：因为是最小值，是最大值，
x
1
x
6
则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于
x,x,x,xx,x,x,x
23452345
x,x,???,xx,x,???,x
126126
的标准差，
例如：，则平均数
2,4,6,8,10,12
n???????
标准差，
s
1
?????????????
x?x
34
2
1
??
246810127
，
6
1105
??
222222
27476787107127
????????????
??
63
1
4,6,8,10
，则平均数
m?????
??
468107
，
4
1
??
2222
4767871075
?????????
????????
，标准差
??
4
s
2
显然，即；故C错误；
105
?
5
s?s
12
3
答案第页，共页
522
对于选项D：不妨设，
x?x?x?x?x?x
123456
则，当且仅当时，等号成立，故D正确；
x?x?x?x
61521256
x?x,x?x
故选：
BD.
10ACD
．
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
L?L?L?
ppp
123
????
60,90,50,60,40
【详解】由题意可知：，
L?L?L?
ppp
123
????
60,90,50,60,40
对于选项A：可得，
LL
pp
12
???????
20lg20lg20lg
因为，则，即，
L?L
pp
12
LL
pp
12
????
20lg0
ppp
121
ppp
002
p
1
p
lg0
1
?
p
2
p
2
p
1
?
1
且，可得，故A正确；所以
p,p?0
12
p?p
12
p
2
对于选项B：可得，
LL
pp
23
???????
20lg20lg20lg
p
pp
22
3
ppp
003
pp
22
1
???
10lg20lg
，即，因为，则
pp
33
2
L?L?L??
ppp
232
4010
p
2
?
e
且，可得所以
p,p?0
23
p?ep
23
，
p
3
当且仅当时，等号成立，故B错误；
L?
p
2
50
对于选项C：因为，即，
L
p
3
???
20lg40
p
3
p
lg2
3
?
p
0
p
0
p
3
?
100
，即，故C正确；可得
p?100p
30
p
0
对于选项D：由选项A可知：，
LL
pp
12
???
20lg
且，则，
L?L???
pp
12
905040
20lg40
??
即，可得，且，所以，故D正确；
lg2100
p
1
p
2
p
1
p
2
pp
11
??
p,p?0
12
p?100p
12
pp
22
故选：
ACD.
11ABC
．
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项，举反例
ABC
f(x)?0
即可排除选项
D.
?
xxx
2
ln,0
?
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行
fx
()
?
?
?
0,0
x
?
答案第页，共页
622
判断即可
.
【详解】方法一：
因为
f(xy)?yf(x)?xf(y)
22
，
对于，令，，故正确
A.
x?y?0f(0)?0f(0)?0f(0)?0
A
对于，令，，则，故正确
BB.
x?y?1
f(1)?1f(1)?1f(1)
f(1)?0
对于，令，，则，
C
x?y??1
f(1)?f(?1)?f(?1)?2f(?1)
f(?1)?0
令
y??1,f(?x)?f(x)?xf(?1)?f(x)
2
，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
f(x)f(x)
R
C
对于，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误
D.
f(x)?0
f(x)
D
方法二：
因为
f(xy)?yf(x)?xf(y)
22
，
对于，令，，故正确
A.
x?y?0f(0)?0f(0)?0f(0)?0
A
对于，令，，则，故正确
BB.
x?y?1
f(1)?1f(1)?1f(1)
f(1)?0
对于，令，，则，
C
x?y??1
f(1)?f(?1)?f(?1)?2f(?1)
f(?1)?0
令
y??1,f(?x)?f(x)?xf(?1)?f(x)
2
，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
f(x)f(x)
R
C
对于D，当
xy?0
22
时，对两边同时除以
f(xy)?yf(x)?xf(y)
22
xy
22
，得到
f(xy)f(x)f(y)
??
2222
，
xyxy
?
xxx
2
ln,0
?
fx
()
故可以设，则，
2
??
ln(0)
xx
fx
()
?
?
x0,0
x
?
?
2
当肘，，
x?0
f(x)?xlnx
2
，则
fx????x?
?
??
2xlnxxx(2ln1)
1
x
1
1
令，得；令，得；
fx?0
?
??
0xe
??
?
2
fx0
?
(
)
>
xe
?
?
2
1
?
??
??
?
1
故在上单调递减，在上单调递增，
f(x)
??
0,e
2
??
e,
2
??
??
??
1
?
??
??
?
1
2
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
f(x)f(x)
??
?
e,0
??
??
,e
2
??
??
答案第页，共页
722
显然，此时是的极大值，故错误
x?0
f(x)
D.
故选：
ABC
.
12ABD
．
【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断
.
【详解】对于选项：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，
A
0.99m?1m
所以能够被整体放入正方体内，故正确；
A
对于选项：因为正方体的面对角线长为，且，
B
2m
2?1.4
所以能够被整体放入正方体内，故正确；
B
对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，
3m3?1.8
所以不能够被整体放入正方体内，故正确；
C
对于选项D：因为正方体的体对角线长为，且，
3m
3?1.2
设正方体的中心为，以为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心到
ABCD?ABCD
1111
O
AC
1
O
1
正方体的表面的最近的距离为，
hm
133
如图，结合对称性可知：
OC?CA?CO?OC?OO??
111111
,0.6
，
222
3
CO
11
h
10.6
?
0.6
?
??h??
0.340.01
，则，即，解得
h
2
?
AACA
11
2
3
1
3
所以能够被整体放入正方体内，故正确；
D
故选：
ABD.
答案第页，共页
822
【点睛】关键点睛：对于、：以正方体的体对角线为圆柱的轴，结合正方体以及圆柱的
CD
性质分析判断
.
1364
．
【分析】分类讨论选修门或门课，对选修门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数
233
运算求解
.
11
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有
CC?16
44
种；
（）当从门课中选修门，
283
12
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有
CC?24
44
种；
21
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有
CC?24
44
种；
综上所述：不同的选课方案共有种
16?24?24?64
.
故答案为：
64.
14．/
76
7
6
6
6
【分析】结合图像，依次求得
AO,AO,AM
111
，从而利用棱台的体积公式即可得解.
【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，
A
1
AM?ACAM
11
M
ABCD?ABCD
1111
因为
AB?2,AB?1,AA?2
111
，
则
AO?AC??AB?AO?AC??AB?
111111
11211
2,22
22222
，
答案第页，共页
922
故
AM?AC?AC?
16
12
，则，
AM?AA?AM???
11
22
2
??
11
22
22
1676
所以所求体积为
V???????
(4141)
.
326
故答案为：
15
．
[2,3)
【分析】令，得有个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解
f(x)?0
cosx?1
?
3.
【详解】因为，所以，
0≤x≤2π0≤x≤2π
??
令，则有个根，
f(x)?cosx?1?0
?
cosx?1
?
3
令，则有个根，其中，
t?x
?
cost?1
3
t?[0,2π]
?
结合余弦函数的图像性质可得，故，
y?cost
4π?2π?6π
?
2??3
?
76
.
6
故答案为：
[2,3)
.
16．
35
3
5
/
5
5
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于
AF,BF,BF,AF
2211
a,ma,c
的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从
a?m
而得解
.
52
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得
x?cy??t
00
,
，
t?4c
22
，将点
33
A
代入双曲线得到关于
C
a,b,c
的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
AF?2m
2
BF?3m?BF,AF?2a?2m
211
在中，，故或（舍去），
RtABF
1
9m?(2a?2m)?25m
222
，则
(a?3m)(a?m)?0
a?m
a??3m
所以，，则，
AF?4a,AF?2a
12
BF?BF?3a
21
AB?5a
故，
cos
????
FAF
12
AF
1
ABa
44
a
55
16444
aac
222
??
所以在中，，整理得
△AFF
12
cos
???
FAF
12
5c?9a
22
，
2425
??
aa
答案第页，共页
1022
故.
e
??
c
35
a
5
方法二
:
依题意，得，令，
F(?c,0),F(c,0)
12
Ax,y,B(0,t)
??
00
??????????
252
2
FA??FB
因为，所以
22
????
?ctx?cy??tx?cy??
,,,
，则，
0000
333
3
????????
??
82
????????
82
22
又，所以
FA?FB
11
FAFBctct
11
???
??
,,
??
?c?t?
0
，则
t?4c
22
，
33
??
33
254
22
ct
2542516
ctcc
2222
又点在上，则，整理得，则，
A
C
99
????
11
??
22
1
9999
abab
2222
ab
22222222
所以，
25cb?16ca?9ab
222222
，即
25cc?a?16ac?9ac?a
????
2222
整理得，解得
25c?50c?9a?0
424
，则或，
????
5c?9a5c?a?0
5c?9a
22
5c?a
22
又，所以
e?1
e?e?
故答案为：
35
.
5
3535
5
或（舍去），故.
e?
5
55
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股
定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解
a,b,c
.
17．(1)
(2)6
310
10
【分析】（）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
1
（）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求再由正弦定理求出，
2,
sinB
b
根据等面积法求解即可
.
【详解】（），
1
?A?B?3C
答案第页，共页
1122
?π?C?3C
，即
C?
π
，
4
又，
2sin(A?C)?sinB?sin(A?C)
?2sinAcosC?2cosAsinC?sinAcosC?cosAsinC
，
?sinAcosC?3cosAsinC
，
?sinA?3cosA
，
即，所以，
tanA?3
0
?A?
π
2
?A??
sin
3310
.
10
10
110
10
?A?
，
10
23101025
，
()sincoscossin
???AC?AC?
210105
（2）由（1）知，
cos
由
sinB?sin(A?C)
cb
?
，可得由正弦定理，，
b
??
sinsin
CB
5
?
25
5
210
2
2
11
?AB?h?AB?AC?A
sin
，
22
?h?b?A???
sin2106
310
.
10
18(1)
．证明见解析；
(2)1
【分析】（）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
1
（）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解
2.
P(0,2,)(0??4)
??
?
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
C
CD,CB,CC
1
x,y,z
答案第页，共页
1222
则
C(0,0,0),C(0,0,3),B(0,2,2),D(2,0,2),A(2,2,1)
2222
，
????????????
?BC?(0,?2,1),AD?(0,?2,1)
2222
，
????????????
?BCAD
2222
∥
，
又不在同一条直线上，
BC，AD
2222
?BC∥AD
2222
.
（）设，
2
P(0,2,)(0??4)
??
?????????????????
则，
AC?(?2,?2,2),PC?(0,?2,3?),DC=(?2,0,1)
22222
?
设平面，
PAC
22
的法向量
n?(x,y,z)
?
??????
?
?
nACxyz
??????
?
22
2220
?????
则，
?
?
nPCyz
??????
2(3)0
?
?
2
?
令，得，
z?2
y?3?,x??1
??
?
?n?(?1,3?,2)
??
，
??
ACD
设平面，
222
的法向量
m?(a,b,c)
??????
?
?
?
mACabc
??????
22
2220
??????
则，
?
?
?
?
mDCac
?????
22
20
令，得，
a?1
b?1,c?2
??
?m?(1,1,2)
，
答案第页，共页
1322
???
nm
?
???
63
??????
cos,cos150
nm
???
，
2
nm
64(1)(3)
????
??
22
化简可得，
??
2
?4?3?0
，
解得或，
?
?1
?
?3
?P(0,2,1)P(0,2,3)
或，
?BP?1
2
.
19(1)
．答案见解析
(2)
证明见解析
【分析】（）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即
1
a?0
a?0
可得解；
2
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为
a??a?
1
ln0
的恒成立问题，构造函数
2
ga?a??aa?
????
2
1
ln0
，利用导数证得
ga?0
??
即可.
2
x
方法二：构造函数，证得
hx??x?
??
e1
e1
x
?x?
，从而得到
f(x)?x?lna?1?a?x
2
，进
2
而将问题转化为
a??a?
1
ln0
的恒成立问题，由此得证.
2
x
x
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
fx?a?a?x
()e
??
R
fx?a?
?
??
e1
x
当时，由于，则恒成立，
a?0
e?0
x
a?
e0
x
，故
fx?ae?1?0
?
??
所以在上单调递减；
fx
??
R
x
当时，令，解得，
a?0
fx?a??
?
??
e10
x??lna
当时，，则在上单调递减；
x??lna
fx?0
?
??
fx
??
??
??,?lna
当时，，则在上单调递增；
x??lna
fx0
?
(
)
>
fx
??
??
?lna,??
综上：当时，在上单调递减；
a?0
fx
??
R
当时，在上单调递减，在上单调递增.
a?0
fxfx
????
????
??,?lna?lna,??
（）方法一：
2
?
ln2
a
????????
aaaafxfaa
??
ln1lnlne
，由（1）得，
????
min
答案第页，共页
1422
1
3
3
2
2
要证
fx?a?
()2ln
，即证恒成立，
1?a?lna?2lna?
，即证
a??a?
ln0
2
2
2
1
121
a
2
?
令，
ga?a??aa?
????
ln0
，则
gaa
?
??
???
2
2
aa
2
令，则，则
ga?0
?
??
0
?a?
2
2
；令；
ga?0
?
??
a?
2
2
??
??
2
2
0,
,
??
ga
所以在上单调递增，上单调递减，在
??
??
??
??
2
??
2
??
??
所以，则恒成立，
gag
??
min
????
2212
??????
????
lnln20
ga?0
??
????
2222
????
2
3
所以当时，
a?0
fx?a?
()2ln
恒成立，证毕.
2
方法二：
x
x
令，则，
hx??x?hx??
??
e1e1
?
??
x
由于在上单调递增，
y?
e
x
在上单调递增，所以
R
hx?e?1
?
??
R
0
又，
h0?e?1?0
?
??
所以当时，；当时，；
x?0
hx?0
?
??
x?0
hx?0
?
??
所以在上单调递减，在上单调递增，
hx
??
??
?,0
?
??
0,?
?
故，则
hx?h0?0
????
e1
x
?x?
，当且仅当时，等号成立，
x?0
xxxa
2ln22
?
??????????????
axxaaxfxaaxaax
ln1()eee
，因为
??
当且仅当，即时，等号成立，
x?lna?0x??lna
3
1
3
2
2
所以要证
fx?a?
()2ln
，即证，即证，
x?a??a?x?a?
ln12ln
a??a?
ln0
2
2
2
1
121
a
2
?
令，
ga?a??aa?
????
ln0
，则
gaa
?
??
???
2
2
aa
2
令，则，则
ga?0
?
??
0
?a?
2
2
；令；
ga?0
?
??
a?
2
2
??
??
2
2
0,
,
??
所以在上单调递减，在上单调递增，
ga
??
??
??
??
2
??
2
??
??
所以，则恒成立，
gag
??
min
????
2212
??????
????
lnln20
ga?0
??
????
2222
????
2
答案第页，共页
1522
3
所以当时，
a?0
fx?a?
()2ln
恒成立，证毕.
2
20．(1)
a?n
n
3
(2)
d?
51
50
【分析】（）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
1
a?b?1
5050
，分类，再由等差数列的性质可得
（2）由为等差数列得出或
{}
b
n
a?d
1
a?2d
1
讨论即可得解
.
【详解】（1），
?3a?3a?a?3d?a?2d
2131
，，解得
a?d
1
?S?3a?3(a?d)?6d
321
，
又，
Tbbb
3123
???????
26129
dddd
23
?????
ST6d21
33
9
，
d
1
（舍去），
2
即
2d?7d?3?0
2
，解得或
d?3
d?
?a?a?n??d?n
n
1
(1)3
.
（）为等差数列，
2
?b
{}
n
?2b?b?b
213
，即，
????
6()
12212
??
aaa
213
1161
d
22
da?2
，，解得
，即或
a?3ad?2d?0
11
a?d
1
1
aaaaa
23231
?d?1
，
?a?
n
0
，
又，由等差数列性质知，，即
S?T?99
9999
99a?99b?99
5050
a?b?1
5050
，
???
a1
50
2550
2
，即或
a?a?2550?0
5050
，解得（舍去）
a?51
50
a??50
50
a
50
a?a?49d?51d?51
150
，解得，与矛盾，无解；时，
d?1d?1
当
a?2d
1
当时，
a?d
1
a?a?49d?50d?51
501
，解得
d?
综上，
d?
21(1)
．
0.6
51
.
50
51
.
50
答案第页，共页
1622
121
??
(2)
??
??
653
??
i?
1
n
52
??
??
(3)
EY
()1
???
??
??
1853
??
??
??
n
【分析】（）根据全概率公式即可求出；
1
（2）设，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
PA?p
??
ii
，由题意可得
pp
ii
?
1
??
0.40.2
（）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
3
【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件
ii
A
i
B
i
，
??????????????
BPB|BPB?PAB?PBB?PAPB|A?P
12212121211
所以，
?0.5?1?0.6?0.5?0.8?0.6
??
.
（2）设，则
PA?p
??
ii
，依题可知，
PB?1?p
??
ii
PAPAAPBAPAPAAPBPAB
??????????????
iiiiiiiiiii
?????
11111
????
||
即，
pppp
iiii
?
1
???????
0.610.810.40.2
????
构造等比数列，
??
p?
i
?
，
121
??
2
1
??
pp
ii
???
??
，解得，则，设
?
??
3
pp
ii
?
1
???
??
353
??
5
1
??
1
1112
又是首项为，公比为的等比数列，
p?p??
11
,
，所以
??
p
i
?
3
??
2365
6
?
1
112121
????
即．
pp
ii
??????
????
,
365653
????
121
??
（3）因为，，
p
i
???
??
653
??
i
?
1
ii
??
11
i?1,2,???,n
n
n
??
251
??
nn
，所以当
??
536318
??
??????????
??
??
??
??
2
1
?
??
??
5
1
n?N
*
时，
EYppp
??
12
?
n
2
1
?
5
52
??
??
EY
()1
???
故．
??
??
1853
??
??
??
n
n
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，
答案第页，共页
1722
然后根据数列的基本知识求解．
2
22．(1)
y?x?
1
4
(2)
见解析
1
??
【分析】（1）设，根据题意列出方程，化简即可；
P(x,y)
xyy
???
??
22
2
??
2
111
??????
222
（2）法一：设矩形的三个顶点，且，分别令
AaaBbbCcc
??????
,,,,,
???
a?b?c
444
??????
11
??
k?a?b?m?k?b?c?n?
ABBC
00
，，且，利用放缩法得，设
mn??1
Cnn
???
??
1
2
2
n
??
??
函数，利用导数求出其最小值，则得的最小值，再排除边界值即可.
f(x)x1x
???
??
??
1
2
C
x
2
??
1
2
法二：设直线的方程为
AB
y?kx?a?a?
()
，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式
4
和放缩法得，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即
ABAD
??
可
.
法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可
证明
.
2
1
1
2
??
【详解】（1）设，两边同平方化简得
P(x,y)
,则
yxy
???
??
y?x?
，
4
2
??
2
??
1k
?
2
3
k
2
2
故
Wy?x?
:
1
.
4
111
??????
222
（2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，
AaaBbbCcc
??????
,,,,,
???
W
a?b?c
444
??????
易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为，
0
答案第页，共页
1822
则，
k?k??a?b?b?c
ABBC
1,
,令
ba
22
???
kabm
AB
?????
11
??
??
44
??
0
ba
?
1
，同理令，且，则
n
k?b?c?n?
BC
0
mn??1
m
??
1
设矩形周长为,由对称性不妨设，，
C
|m|?|n|
kkcanmn
BCAB
???????
n
11
??
2222
则
CABBCbamcbncannn
??????????????
||||()1()1()11
??
.，易
n?0
2
n
??
1
??
2
知
??
n1n0
???
n
??
111
??????
则令
f(x)x1x,x0,f(x)2x2x
???????
??????
2
?
,
xxx
??????
22
??
令，解得
f(x)?0
?
x?
2
，
2
??
2
f(x)
单调递减，当时，，此时
?
0,
x
?
??
??
2
f(x)?0
??
??
2
f(x)
单调递增，当，，此时
?
x
???
,
??
??
2
f(x)?0
??
??
227
则，
fxf
()
min
??
??
??
24
??
12733
故
C??
,即.
C?33
242
当时,时等号成立，矛盾，
C?33
n?m??
故,
C?33
得证
.
法二：不妨设在上，且，
A,B,D
W
BA?DA
2
即，
m?n
,2
,且
(b?a)1?m?(b?a)1?n
22
2
1
??
2
依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，
Aaa
??
,
?
BA
DA
4
??
答案第页，共页
1922
1
则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，
BA
DA
k
?
k?1
k
1
2
直线的方程为
AB
y?kx?a?a?
()
，
4
1
?
2
yx
??
?
?
4
则联立得
?
x?kx?ka?a?0
22
，
?
ykxaa
????
()
2
1
?
4
?
??k?4ka?a?k?2a?0
22
??
??
，则
k?2a
2
则，
|AB|?1?k|k?2a|
2
同理，
|AD|12a
???
11
kk
2
11
????????
2a|AB||AD|1k|k2a|1
kk
2
2
??
11
?????????
1221
kkaakk
22
??
kkk
??
2
??
1
?
k
2
3
2
(1)1
m
?
3
令，设，
k?m
，则
m?0,1
?
?
fmmm
()33
?????
2
mm
1
1(21)(1)
mm
??
2
?
(m)?0f
，解得则，令
m?
，
fmm
()23
????
22
2
mm
??
1
当时，，此时单调递减，
m
?
??
0,
f(m)?0
?
f(m)
??
2
??
1
当，，此时单调递增，
m
???
??
,
f(m)?0
?
f(m)
??
2
??
127
则，
fmf
()
min
??
??
24
??
?
?AB?AD?
||||
33
，
2
111
22
??
??????????
2a1k|k2a|2a1k|k2a|1
??
2
kkk
??
，此处取等条件为，与最但
k?1
2
33
不一致，故.
AB?AD?
2
2
1
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线,
W:yx
?
?
2
4
终取等时
k?
矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.
ABCD
ABCDABCD
????????
33
???
222
设
Bt,t,At,t,Ct,t
??????
001122
,根据对称性不妨设.
t?0
0
答案第页，共页
2022
则
kttktt
ABBC
????
????
1020
,
,由于,则.
AB?BC
????
由于,且介于之间,
AB1tttt,BC1tttt
????
????????
????
10102020
则.令
ABBC1tttt1tttt
????
?????????
????
10102020
22
22
????
t?tt?t??1
1020
t
0
t,t
12
t?t?tan
20
?
,
??
π
tt
10
????
cot,0,
??
??
,则,从而
t?tan?t,t??cot?t
2010
??
??
2
ABBC1cot2tcot1tantan2t
????
???????
22
????
????
00
????
1sincossincos1
??
????
2(cossin)
t
0
??
?
33
?
???????
2222
故
ABBCt
2
0
??
sincoscossinsincossincos
????????
??
??
π
①当时,
?
?
?
0,
?
??
4
sincossincos12
33
????
?
ABBC
???????
2222
sincoscossinsincossin2
2222
???????
??
ππ
②当时,由于
?
?
??
,
t?t?t
102
,从而,
?cot?t?t?tan?t
??
000
??
42
cottan
??
???
t
0
从而又
t?0
0
,
22
????
tan
?
2(cossin)
t
0
??
?
sincos
33
??
?
????
故,由此
0
??
t
0
ABBC
???
2
sincossincos
????
22
33
sin(cossin)(sincos)sincos1cos
????????
??
????
sincossincoscossin
23222
??????
??
22
sinsin2cos
???
?
222
????
1cos1cos2cos
???
222
???
???
33
2332
2
，
????
????
1cos1cos2cos
????
222
???
??
??
3
??
2
??
??
3
当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于
cos?
?
33
3
ABBC
????
??
32
.
2
3
.
11
【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得，
CABBCnn
?????
||||1
2
??
2
??
n
??
同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可
.
答案第页，共页
2122
答案第页，共页
2222
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