2020年山东省东营市中考数学试卷及其答案

2023年11月21日发(作者：polo衫是什么样的衣服)

2020年山东省东营市中考数学试卷

一、选择题：本大题共10题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选

出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．

1．（3分）﹣6的倒数是（）

A．6B．﹣6C．D．﹣

）2．（3分）下列运算正确的是（

B．（﹣）＝+A．（）＝

xyxyxx

222325

D．﹣（3+）＝﹣3+C．﹣?2＝﹣2

xyxyxyxyxy

，则计算器面板显示的结3．（3分）利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为

23235

果为（）

A．﹣2B．2C．±2D．4

4．（3分）如图，直线、相交于点，射线平分∠，若∠＝42°，则∠等于（）

ABCDOOMBODAOCAOM

A．159°B．161°C．169°D．138°

）5．（3分）如图．随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为（

KKKLL

12312

A．B．C．D．

6．（3分）如图，已知抛物线＝++（≠0）的图象与轴交于、两点，其对称轴与轴交

yaxbxcaxABx

2

于点，其中、两点的横坐标分别为﹣1和1，下列说法错误的是（）

CAC

第1页（共22页）

A．＜0

abc

B．4+＝0

ac

C．16+4+＜0

abc

D．当＞2时，随的增大而减小

xyx

7．（3分）用一个半径为3，面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底

面半径为（）

A．πB．2πC．2D．1

8．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，

次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，

从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人

第三天走的路程为（）

A．96里C．24里D．12里B．48里

9．（3分）如图1，点从△的顶点出发，沿→→匀速运动到点，图2是点运动时线段

PABCAABCCP

CPyxQABCAB

的长度随时间变化的关系图象，其中点为曲线部分的最低点，则△的边的长度为

（）

A．12B．8C．10D．13

10．（3分）如图，在正方形中，点是上一动点（不与、重合），对角线、相交于

ABCDPABABACBD

点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、．下列结论：

OPACBDACBDEFADBCMN

①△≌△；

APEAME

②+＝；

PMPNAC

③+＝；

PEPFPO

222

④△∽△；

POFBNF

⑤点在、两点的连线上．

OMN

其中正确的是（）

A．①②③④B．①②③⑤C．①②③④⑤D．③④⑤

二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分．只要求

填写最后结果．

第2页（共22页）

11．（3分）2020年6月23日9时43分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精

度小于0.00000002秒，则0.00000002用科学记数法表示为．

12．（3分）因式分解：12﹣3＝．

ab

22

13．（3分）东营市某学校女子游泳队队员的年龄分布如下表：

年龄（岁）131415

人数474

岁．则该校女子游泳队队员的平均年龄是

014．（3分）已知一次函数＝+（≠0）的图象经过（1，﹣1）、（﹣1，3）两点，则

ykxbkABk

（填“＞”或“＜”）．

15．（4分）如果关于的一元二次方程﹣6+＝0有实数根，那么的取值范围是．

xxxmm

2

16．（4分）如图，为平行四边形边上一点，、分别为、上的点，且＝3，

PABCDBCEFPAPDPAPEPD

＝3，△、△、△的面积分别记为、、．若＝2，则+＝．

PFPEFPDCPABSSSSSS

1212

17．（4分）如图，在Rt△中，＝2，∠＝30°，⊙的半径为1，点是边上的动点，

AOBOBAOPAB

．过点作⊙的一条切线（其中点为切点），则线段长度的最小值为

POPQQPQ

18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线＝+1和双曲线＝﹣，在直线上取一点，记

yxy

为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线

AAxBByAAx

111122

交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，…，依次进行下去，记点的横坐标为，

BByAAna

223

n

若＝2，则＝．

aa

12020

三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

第3页（共22页）

19．（8分）（1）计算：+（2cos60°）﹣（）﹣|3+2|；

2020﹣2

，其中＝+1，＝．（2）先化简，再求值：（﹣）÷

xyx

20．（8分）如图，在△中，以为直径的⊙交于点，弦∥交于点，且＝3，

ABCABOACMMNBCABEME

AEAM

＝4，＝5．

（1）求证：是⊙的切线；

BCO

（2）求⊙的直径的长度．

OAB

21．（8分）如图，处是一钻井平台，位于东营港口的北偏东60°方向上，与港口相距60海

CAA

里，一艘摩托艇从出发，自西向东航行至时，改变航向以每小时50海里的速度沿方向行

ABBC

进，此时位于的北偏西45°方向，则从到达需要多少小时？

CBBC

22．（8分）东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集

的数据绘制了如图不完整的统计图表．

作业情况频数频率

非常好0.22

较好68

一般

不好40

第4页（共22页）

请根据图表中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样共调查了多少名学生？

（2）将统计表中所缺的数据填在表中横线上；

（3）若该中学有1800名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少

名？

（4）某学习小组4名学生的作业本中，有2本“非常好”（记为、），1本“较好”（记为），

AAB

12

1本“一般”（记为），这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从

C

中抽取一本，不放回，从余下的3本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出

两次抽到的作业本都是“非常好”的概率．

23．（8分）2020年初，新冠肺炎疫情暴发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种

型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：

型号甲乙

价格（元/只）

项目

成本124

售价186

（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？

（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可

使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．

第5页（共22页）

24．（10分）如图，抛物线＝﹣3﹣4的图象经过点（0，2），交轴于点、（点在点

yaxaxaCxABAB

2

左侧），连接，直线＝+1（＞0）与轴交于点，与上方的抛物线交于点，与交

BCykxkyDBCEBC

于点．

F

（1）求抛物线的解析式及点、的坐标；

AB

（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

E

25．（12分）如图1，在等腰三角形中，∠＝120°，＝，点、分别在边、上，

ABCAABACDEABACAD

＝，连接，点、、分别为、、的中点．

AEBEMNPDEBEBC

（1）观察猜想．

图1中，线段、的数量关系是，∠的大小为．

NMNPMNP

（2）探究证明

把△绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接、、，判断△的形状，并说

ADEAMPBDCEMNP

明理由；

（3）拓展延伸

把△绕点在平面内自由旋转，若＝1，＝3，请求出△面积的最大值．

ADEAADABMNP

第6页（共22页）

2020年山东省东营市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选

出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．

1．（3分）﹣6的倒数是（）

A．6B．﹣6C．D．﹣

【解答】解：﹣6的倒数是﹣．

故选：．

D

2．（3分）下列运算正确的是（）

A．（）＝B．（﹣）＝+

xxxyxy

325222

C．﹣?2＝﹣2D．﹣（3+）＝﹣3+

xyxyxyxyxy

23235

【解答】解：、原式＝，不符合题意；

Ax

6

Bxxyy

、原式＝﹣2+，不符合题意；

22

Cxy

、原式＝﹣2，符合题意；

35

Dxy

、原式＝﹣3﹣，不符合题意．

故选：．

C

3．（3分）利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为，则计算器面板显示的结

果为（）

A．﹣2B．2C．±2D．4

【解答】解：表示“＝”即4的算术平方根，

∴计算器面板显示的结果为2，

故选：．

B

4．（3分）如图，直线、相交于点，射线平分∠，若∠＝42°，则∠等于（）

ABCDOOMBODAOCAOM

A．159°B．161°C．169°D．138°

【解答】解：∵∠与∠是对顶角，

AOCBOD

∴∠＝∠＝42°，

AOCBOD

第7页（共22页）

∴∠＝180°﹣42°＝138°，

AOD

∵射线平分∠，

OMBOD

∴∠＝∠＝21°，

BOMDOM

∴∠＝138°+21°＝159°．

AOM

故选：．

A

5．（3分）如图．随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为（）

KKKLL

12312

A．B．C．D．

【解答】解：画树状图，如图所示：

随机闭合开关、、中的两个有六种情况：闭合，闭合，闭合，闭合，闭合，

KKKKKKKKKKKKK

1231213212331

闭合，

KK

32

能让两盏灯泡、同时发光的有两种情况：闭合，闭合，

LLKKKK

122332

则（能让两盏灯泡、同时发光）＝＝．

PLL

12

故选：．

D

6．（3分）如图，已知抛物线＝++（≠0）的图象与轴交于、两点，其对称轴与轴交

yaxbxcaxABx

2

于点，其中、两点的横坐标分别为﹣1和1，下列说法错误的是（）

CAC

A．＜0

abc

B．4+＝0

ac

第8页（共22页）

C．16+4+＜0

abc

D．当＞2时，随的增大而减小

xyx

【解答】解：抛物线开口向下，因此＜0，对称轴为＝1，即﹣＝1，也就是2+＝0，＞0，

axabb

抛物线与轴交于正半轴，于是＞0，

yc

∴＜0，因此选项不符合题意；

abcA

由（﹣1，0）、（1，0）对称轴为＝1，可得抛物线与轴的另一个交点（3，0），

ACxxB

∴﹣+＝0，

abc

∴+2+＝0，即3+＝0，

aacac

而＜0，所以4+＜0，因此选项符合题意；

aacB

当＝4时，＝16+4+＜0，因此选项不符合题意；

xyabcC

当＞1时，随的增大而减小，因此选项不符合题意；

xyxD

故选：．

B

7．（3分）用一个半径为3，面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底

面半径为（）

A．πB．2πC．2D．1

【解答】解：根据圆锥侧面展开图是扇形，

扇形面积公式：＝π（为圆锥的底面半径，为扇形半径），得

Srlrl

3π＝3π，

r

∴＝1．

r

所以圆锥的底面半径为1．

故选：．

D

8．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，

次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，

从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人

第三天走的路程为（）

A．96里C．24里D．12里B．48里

【解答】解：设此人第三天走的路程为里，则其它五天走的路程分别为4里，2里，里，

xxxxx

里，里，

x

依题意，得：4+2++++＝378，

xxxxxx

解得：＝48．

x

故选：．

B

第9页（共22页）

9．（3分）如图1，点从△的顶点出发，沿→→匀速运动到点，图2是点运动时线段

PABCAABCCP

CPyxQABCAB

的长度随时间变化的关系图象，其中点为曲线部分的最低点，则△的边的长度为

（）

A．12B．8C．10D．13

【解答】解：根据图2中的曲线可知：

当点在△的顶点处，运动到点处时，

PABCAB

图1中的＝＝13，

ACBC

当点运动到中点时，

PAB

此时⊥，

CPAB

根据图2点为曲线部分的最低点，

Q

得＝12，

CP

所以根据勾股定理，得

此时＝＝5．

AP

所以＝2＝10．

ABAP

故选：．

C

10．（3分）如图，在正方形中，点是上一动点（不与、重合），对角线、相交于

ABCDPABABACBD

点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、．下列结论：

OPACBDACBDEFADBCMN

①△≌△；

APEAME

②+＝；

PMPNAC

③+＝；

PEPFPO

222

④△∽△；

POFBNF

⑤点在、两点的连线上．

OMN

其中正确的是（）

第10页（共22页）

A．①②③④B．①②③⑤C．①②③④⑤D．③④⑤

【解答】解：∵四边形是正方形

ABCD

∴∠＝∠＝45°．

BACDAC

∵在△和△中，

APEAME

，

∴△≌△（），故①正确；

APEAMEASA

∴＝＝，

PEEMPM

同理，＝＝．

FPFNNP

∵正方形中⊥，

ABCDACBD

又∵⊥，⊥，

PEACPFBD

∴∠＝∠＝∠＝90°，且△中＝

PEOEOFPFOAPEAEPE

∴四边形是矩形．

PEOF

∴＝，

PFOE

∴+＝，

PEPFOA

又∵＝＝，＝＝，＝，

PEEMPMFPFNNPOAAC

∴+＝，故②正确；

PMPNAC

∵四边形是矩形，

PEOF

∴＝，

PEOF

在直角△中，+＝，

OPFOFPFPO

222

∴+＝，故③正确．

PEPFPO

222

∵△是等腰直角三角形，而△不一定是等腰直角三角形，故④错误；

BNFPOF

连接，，

OMON

∵垂直平分线段．垂直平分线段，

OAPMOBPN

∴＝，＝，

OMOPONOP

∴＝＝，

OMOPON

第11页（共22页）

∴点是△的外接圆的圆心，

OPMN

∵∠＝90°，

MPN

∴是直径，

MN

∴，，共线，故⑤正确．

MON

故选：．

B

二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分．只要求

填写最后结果．

11．（3分）2020年6月23日9时43分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精

度小于0.00000002秒，则0.00000002用科学记数法表示为2×10．

【解答】解：0.00000002＝2×10，

﹣8

则0.00000002用科学记数法表示为2×10．

﹣8

故答案为：2×10．

﹣8

12．（3分）因式分解：12﹣3＝3（2+）（2﹣）．

ababab

22

【解答】解：原式＝3（4﹣）

ab

22

＝3（2+）（2﹣）．

abab

故答案为：3（2+）（2﹣）．

abab

13．（3分）东营市某学校女子游泳队队员的年龄分布如下表：

年龄（岁）131415

人数474

岁．则该校女子游泳队队员的平均年龄是14

＝14（岁），【解答】解：该校女子游泳队队员的平均年龄是

﹣8

故答案为：14．

14．（3分）已知一次函数＝+（≠0）的图象经过（1，﹣1）、（﹣1，3）两点，则＜0

ykxbkABk

（填“＞”或“＜”）．

【解答】解：设直线的解析式为：＝+（≠0），

ABykxbk

把（1，﹣1），（﹣1，3）代入＝+得，

ABykxb

第12页（共22页）

，

解得：＝﹣2，＝1，

kb

∴＜0，

k

解法二：由（1，﹣1）、（﹣1，3）可知，随着的减小，反而增大，所以有＜0．

ABxyk

故答案为：＜．

15．（4分）如果关于的一元二次方程﹣6+＝0有实数根，那么的取值范围是≤9．

xxxmmm

2

【解答】解：∵关于的一元二次方程﹣6+＝0有实数根，

xxxm

2

∴Δ＝36﹣4≥0，

m

解得：≤9，

m

则的取值范围是≤9．

mm

故答案为：≤9．

m

16．（4分）如图，为平行四边形边上一点，、分别为、上的点，且＝3，

PABCDBCEFPAPDPAPEPD

＝3，△、△、△的面积分别记为、、．若＝2，则+＝18．

PFPEFPDCPABSSSSSS

1212

【解答】解：∵＝3，＝3，

PAPEPDPF

∴＝＝，

∴∥，

EFAD

∴△∽△，

PEFPAD

∴＝（），

2

∵＝2，

S

△

PEF

∴＝18，

S

△

PAD

∵四边形是平行四边形，

ABCD

∴＝，

SS

△平行四边形

PADABCD

∴+＝＝18，

SSS

12△

PAD

故答案为18．

17．（4分）如图，在Rt△中，＝2，∠＝30°，⊙的半径为1，点是边上的动点，

AOBOBAOPAB

2．过点作⊙的一条切线（其中点为切点），则线段长度的最小值为

POPQQPQ

第13页（共22页）

【解答】解：连接、，作′⊥于′，

OPOQOPABP

∵是⊙的切线，

PQO

∴⊥，

OQPQ

∴＝＝，

PQ

当最小时，线段的长度最小，

OPPQ

当⊥时，最小，

OPABOP

在Rt△中，∠＝30°，

AOBA

∴＝＝6，

OA

在Rt△′中，∠＝30°，

AOPA

∴′＝＝3，

OPOA

∴线段长度的最小值＝＝2，

PQ

故答案为：2．

18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线＝+1和双曲线＝﹣，在直线上取一点，记

yxy

为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线

AAxBByAAx

111122

交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，…，依次进行下去，记点的横坐标为，

BByAAna

223

n

若＝2，则＝2．

aa

12020

第14页（共22页）

【解答】解：当＝2时，的横坐标与的横坐标相等为＝2，

aBAa

1111

ABy

212

的纵坐标和的纵坐标相同为＝﹣＝﹣，

BAa

222

的横坐标和的横坐标相同为＝﹣，

ABy

323

的纵坐标和的纵坐标相同为＝﹣＝，

BAa

333

的横坐标和的横坐标相同为＝﹣，

ABy

434

的纵坐标和的纵坐标相同为＝﹣＝3，

BAaa

4441

的横坐标和的横坐标相同为＝2＝，

…

由上可知，，，，，，…，3个为一组依次循环，

aaaaa

12345

∵2020÷3＝673…1，

∴＝＝2，

aa

20201

故答案为：2．

三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

第15页（共22页）

19．（8分）（1）计算：+（2cos60°）﹣（）﹣|3+2|；

2020﹣2

，其中＝+1，＝．（2）先化简，再求值：（﹣）÷

xyx

﹣2﹣（3+2【解答】解：（1）原式＝3+（2×））

22020

＝3+1﹣4﹣3﹣2

＝﹣6；

?（2）原式＝

＝?

＝﹣．

xy

当＝+1，＝时，

xy

原式＝+1﹣

＝1．

20．（8分）如图，在△中，以为直径的⊙交于点，弦∥交于点，且＝3，

ABCABOACMMNBCABEME

AEAM

＝4，＝5．

（1）求证：是⊙的切线；

BCO

（2）求⊙的直径的长度．

OAB

【解答】（1）证明：∵在△中，＝3，＝4，＝5，

AMEMEAEAM

∴＝+，

AMMEAE

222

∴△是直角三角形，

AME

∴∠＝90°，

AEM

又∵∥，

MNBC

∴∠＝∠＝90°，

ABCAEM

∴⊥，

ABBC

∵为直径，

AB

第16页（共22页）

∴是⊙的切线；

BCO

（2）解：连接，如图，设⊙的半径是，

OMOr

在Rt△中，＝﹣＝4﹣，＝3，＝，

OEMOEAEOArMEOMr

∵＝+，

OMMEOE

222

∴＝3+（4﹣），

rr

222

解得：＝，

r

∴＝2＝．

ABr

21．（8分）如图，处是一钻井平台，位于东营港口的北偏东60°方向上，与港口相距60海

CAA

里，一艘摩托艇从出发，自西向东航行至时，改变航向以每小时50海里的速度沿方向行

ABBC

进，此时位于的北偏西45°方向，则从到达需要多少小时？

CBBC

【解答】解：过作⊥于，在点的正北方向上取点，在点的正北方向上取点，

CCDABDAMBN

由题意得：∠＝∠＝90°，∠＝60°，∠＝45°，＝60海里，

MABNBAMACNBCAC

∴∠＝∠＝90°，

CDACDB

∵在Rt△中，∠＝∠﹣∠＝90°﹣60°＝30°，

ACDCADMABMAC

∴＝＝30（海里），

CDAC

在Rt△中，∠＝90°，∠＝∠﹣∠＝90°﹣45°＝45°，

BCDCDBCBDNBDNBC

∴＝＝60（海里），

BCCD

∴60÷50＝1.2（小时），

∴从处到达岛处需要1.2小时．

BC

第17页（共22页）

22．（8分）东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集

的数据绘制了如图不完整的统计图表．

作业情况频数频率

非常好440.22

较好680.34

一般480.24

不好400.20

请根据图表中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样共调查了多少名学生？

（2）将统计表中所缺的数据填在表中横线上；

（3）若该中学有1800名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少

名？

（4）某学习小组4名学生的作业本中，有2本“非常好”（记为、），1本“较好”（记为），

AAB

12

1本“一般”（记为），这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从

C

中抽取一本，不放回，从余下的3本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出

两次抽到的作业本都是“非常好”的概率．

【解答】解：（1）根据题意得：40÷＝200（名），

则本次抽样共调查了200名学生；

（2）填表如下：

作业情况频数频率

非常好440.22

较好680.34

第18页（共22页）

一般480.24

不好400.20

故答案为：44；48；0.34；0.24；0.20；

（3）根据题意得：1800×（0.22+0.34）＝1008（名），

则该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约1008名；

（4）列表如下：

AABC

12

AAAABAC

11211

AAAABAC

22122

BBABABC

CCACACB

﹣﹣﹣（，）（，）（，）

（，）﹣﹣﹣（，）（，）

（，）（，）﹣﹣﹣（，）

12

（，）（，）（，）﹣﹣﹣

12

由列表可以看出，一共有12种结果，且它们出现的可能性相等，其中两次抽到的作业本都是“非

常好”的有2种，

则（两次抽到的作业本都是“非常好”）＝＝．

P

23．（8分）2020年初，新冠肺炎疫情暴发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种

型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：

型号甲乙

价格（元/只）

项目

成本124

售价186

（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？

（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可

使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．

【解答】解：（1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是万只和万只，

xy

由题意可得：，

解得：，

答：生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是15万只和5万只；

（2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是万只和（20﹣）万只，利润为万元，

aaw

由题意可得：12+4（20﹣）≤216，

aa

第19页（共22页）

∴≤17，

a

∵＝（18﹣12）+（6﹣4）（20﹣）＝4+40是一次函数，随的增大而增大，

waaawa

∴＝17时，有最大利润＝108（万元），

aw

答：安排生产甲种型号的防疫口罩17万只，乙种型号的防疫口罩3万只，最大利润为108万元．

24．（10分）如图，抛物线＝﹣3﹣4的图象经过点（0，2），交轴于点、（点在点

yaxaxaCxABAB

2

左侧），连接，直线＝+1（＞0）与轴交于点，与上方的抛物线交于点，与交

BCykxkyDBCEBC

于点．

F

（1）求抛物线的解析式及点、的坐标；

AB

（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

E

【解答】解：（1）把（0，2）代入＝﹣3﹣4得：﹣4＝2．

Cyaxaxaa

2

解得＝﹣．

a

则该抛物线解析式为＝﹣++2．

yxx

由于＝﹣++2＝﹣（+1）（﹣4）．

yxxxx

故（﹣1，0），（4，0）；

AB

2

2

（2）存在，理由如下：

由题意知，点位于轴右侧，作∥轴，交于点，

EyEGyBCG

∴∥，

CDEG

∴＝．

∵直线＝+1（＞0）与轴交于点，则（0，1）．

ykxkyDD

∴＝2﹣1＝1．

CD

∴＝．

EG

设所在直线的解析式为＝+（≠0）．

BCymxnm

将（4，0），（0，2）代入，得．

BC

第20页（共22页）

解得．

∴直线的解析式是＝﹣+2．

BCyx

设（，﹣++2），则（，﹣+2），其中0＜＜4．

EtttGttt

∴＝（﹣++2）﹣（﹣+2）＝﹣（﹣2）+2．

EGtttt

∴＝﹣（﹣2）+2．

∵＜0，

t

存在最大值，最大值为2，此时点的坐标是（2，3）．∴当＝2时，

Et

2

22

2

25．（12分）如图1，在等腰三角形中，∠＝120°，＝，点、分别在边、上，

ABCAABACDEABACAD

＝，连接，点、、分别为、、的中点．

AEBEMNPDEBEBC

（1）观察猜想．

图1中，线段、的数量关系是＝，∠的大小为60°．

NMNPNMNPMNP

（2）探究证明

把△绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接、、，判断△的形状，并说

ADEAMPBDCEMNP

明理由；

（3）拓展延伸

把△绕点在平面内自由旋转，若＝1，＝3，请求出△面积的最大值．

ADEAADABMNP

【解答】解：（1）∵＝，＝，

ABACADAE

∴＝，

BDCE

∵点、、分别为、、的中点，

MNPDEBEBC

第21页（共22页）

∴＝，＝，∥，∥，

MNBDPNCEMNABPNAC

∴＝，∠＝∠，∠＝∠，

MNPNENMEBAENPAEB

∴∠+∠＝∠+∠，

MNEENPABEAEB

∵∠+∠＝180°﹣∠＝60°，

ABEAEBBAE

∴∠＝60°，

MNP

故答案为：＝；60°；

NMNP

（2）△是等边三角形．

MNP

理由如下：由旋转可得，∠＝∠，

BADCAE

又∵＝，＝，

ABACADAE

∴△≌△（），

ABDACESAS

∴＝，∠＝∠，

BDCEABDACE

∵点、、分别为、、的中点．

MNPDEBEBC

∴＝，＝，∥，∥，

MNBDPNCEMNBDPNCE

∴＝，∠＝∠，∠＝∠，

MNPNENMEBDBPNBCE

∴∠＝∠+∠＝∠+∠，

ENPNBPNPBNBPECB

∵∠＝∠+∠＝∠+∠，

EBDABDABEACEABE

∴∠＝∠+∠＝∠+∠+∠+∠+∠＝180°﹣∠＝60°，

MNPMNEENPACEABEEBCEBCECBBAC

∴△是等边三角形；

MNP

（3）根据题意得，≤+，即≤4，

BDABADBD

∴≤2，

MN

∴△的面积＝＝，

MNP

∴△的面积的最大值为．

MNP

第22页（共22页）

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