2023年12月11日发(作者：金龙客车价格表)
四川省绵阳市平武县2022-2022学年九年级数学上学期期末试题
一、选择题：每小题3分，共36分．
21．方程x=4x的解是（ ）
A．x=4 B．x=2 C．x=4或x=0 D．x=0
2．在下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票中奖一百万元
B．抛掷两枚硬币，两枚硬币全部正面朝上
C．在地球上，上抛出去的篮球会下落
D．打开电视机，任选一个频道，正在播新闻
3．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
22A．100（1+x）=121 B．100（1﹣x）=121 C．100（1+x）=121 D．100（1﹣x）=121
224．关于x的一元二次方程（m﹣1）x+5x+m﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
5．对于抛物线y=﹣（x﹣5）+3，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标（5，3） B．开口向上，顶点坐标（5，3）
C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3） D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）
26．二次函数y=kx﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
27．二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）
2
2A．a＜0 B．c＞0 C．b﹣4ac＞0 D．a+b+c＞0
8．一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．两圆的半径分别为3和7，圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（ ）
A．25π B．65π C．90π D．130π
11．如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
12．如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
二、填空题：每小题3分，共18分．
213．已知关于x的方程x﹣3x+k=0有一个根为1，则它的另一个根为 ．
214．抛物线y=3x向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 ．
15．如图，⊙O的直径AB=12，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则CD的长是 （结果保留根号）．
216．一元二次方程x﹣3x+1=0的两根为x1、x2，则x1+x2﹣x1?x2= ．
17．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是 ．
18．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=2部分的面积等于 ．
，则图中阴影
三、解答题：本大题共7小题，19题10分，其余每题6分，共46分．
19．解方程：
22（1）3x﹣2x=4x﹣3x﹣6
2（2）3x﹣6x﹣2=0．
20．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
（1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？
（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．
21．如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成2个半圆，每一个扇形或半圆都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为x，乙转盘中指针所指区域内的数字为y（当指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）．
（1）请你用画树状图或列表格的方法，列出所有等可能情况，并求出点（x，y）落在坐标轴上的概率；
（2）直接写出点（x，y）落在以坐标原点为圆心，2为半径的圆内的概率．
22．如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交劣弧CB于D，连接AC．
（1）请写出两个不同的正确结论；
（2）若CB=8，ED=2，求⊙O的半径．
23．在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC．
（1）如图1，以点B为旋转中心，将△EBC按顺时针方向旋转，得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），连接DE′．求证：DE′=DE；
（2）如图2，若∠ABC=90°，AD=4，EC=2，求DE的长．
24．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）
25．如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标．
2022-2022学年四川省绵阳市平武县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共36分．
21．方程x=4x的解是（ ）
A．x=4 B．x=2 C．x=4或x=0 D．x=0
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
2【分析】本题可先进行移项得到：x﹣4x=0，然后提取出公因式x，两式相乘为0，则这两个单项式必有一项为0．
2【解答】解：原方程可化为：x﹣4x=0，提取公因式：x（x﹣4）=0，
∴x=0或x=4．
故选：C．
【点评】本题考查了运用提取公因式的方法解一元二次方程的方法．
2．在下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票中奖一百万元
B．抛掷两枚硬币，两枚硬币全部正面朝上
C．在地球上，上抛出去的篮球会下落
D．打开电视机，任选一个频道，正在播新闻
【考点】随机事件．
【专题】推理填空题．
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：∵A，B，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．
∴一定发生的事件只有C，在地球上，上抛出去的篮球会下落，是必然事件，符合题意．
故选C．
【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
22A．100（1+x）=121 B．100（1﹣x）=121 C．100（1+x）=121 D．100（1﹣x）=121
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题；压轴题．
【分析】设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x）2元，然后再根据价钱为100（1+x）元，表示出第二次提价的价钱为100（1+x）元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程．
【解答】解：设平均每次提价的百分率为x，
2根据题意得：100（1+x）=121，
故选C． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平n均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2），增长后的量为b，则有表达式a（1+x）=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．
224．关于x的一元二次方程（m﹣1）x+5x+m﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】计算题．
【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．
【解答】解：根据题意，知，
，
解方程得：m=2．
故选：B．
2【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax+bx+c=0（a，b，c2是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
5．对于抛物线y=﹣（x﹣5）+3，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标（5，3） B．开口向上，顶点坐标（5，3）
C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3） D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）
【考点】二次函数的性质．
2【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x﹣h）+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．抛物线的开口方向有a的符号确定，当a＞0时开口向上，当a＜0时开口向下．
【解答】解：∵抛物线y=﹣（x﹣5）+3，
∴a＜0，∴开口向下，
∴顶点坐标（5，3）．
故选：A．
【点评】本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标，开口方向的考查，是中考中经常出现的问题．
26．二次函数y=kx﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
【考点】抛物线与x轴的交点．
2【分析】利用kx﹣6x+3=0有实数根，根据判别式可求出k取值范围．
2【解答】解：∵二次函数y=kx﹣6x+3的图象与x轴有交点，
2∴方程kx﹣6x+3=0（k≠0）有实数根，
即△=36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．
故选D．
【点评】考查二次函数与一元二次方程的关系．
22
27．二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）
2A．a＜0 B．c＞0 C．b﹣4ac＞0 D．a+b+c＞0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点，与x轴交点的个数，当x=1时，函数值的正负判断正确选项即可．
【解答】解：A、二次函数的开口向下，∴a＜0，正确，不符合题意；
B、二次函数与y轴交于正半轴，∴c＞0，正确，不符合题意；
2C、二次函数与x轴有2个交点，∴b﹣4ac＞0，正确，不符合题意；
D、当x=1时，函数值是负数，a+b+c＜0，∴错误，符合题意，
故选D．
【点评】考查二次函数图象与系数的关系；用到的知识点为：二次函数的开口向下，a＜0；二次函2数与y轴交于正半轴，c＞0；二次函数与x轴有2个交点，b﹣4ac＞0；a+b+c的符号用当x=1时，函数值的正负判断．
8．一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【分析】让白球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
【解答】解：因为一共有6个球，白球有4个，
所以从布袋里任意摸出1个球，摸到白球的概率为：．
故选D．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
9．两圆的半径分别为3和7，圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【考点】圆与圆的位置关系．
【专题】常规题型．
【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
【解答】解：根据题意，得
R+r=7+3=10，R﹣r=7﹣3=4，
∵4＜圆心距7＜10 ∴两圆相交．
故选B．
【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（ ）
A．25π B．65π C．90π D．130π
【考点】圆锥的计算；勾股定理．
【专题】压轴题；操作型．
【分析】运用公式s=πlr（其中勾股定理求解得到母线长l为13）求解．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，
∴AB==13，
∴母线长l=13，半径r为5，
∴圆锥的侧面积是s=πlr=13×5×π=65π．
故选B．
【点评】要学会灵活的运用公式求解．
11．如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解．
【解答】解：根据题意∠APB=∠AOB，
∵∠AOB=90°，
∴∠APB=90°×=45°．
故选B．
【点评】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识．根据正方形的性质得到圆心角的度数是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【考点】旋转的性质；矩形的判定．
【分析】根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．
【解答】解：∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，
∴AE=CE，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC=BC，点D是边AB的中点，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF矩形．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
二、填空题：每小题3分，共18分．
213．已知关于x的方程x﹣3x+k=0有一个根为1，则它的另一个根为 2 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】首先根据根与系数的关系可以得到两根之和，然后利用两根之和，可以求出另一个根．
【解答】解：设x1，x2是方程的两根，
由题意知x1+x2=1+x2=3，
∴x2=2．
故填空答案：2．
【点评】此题比较简单，主要利用了根与系数的关系：x1+x2=，x1x2=．
2214．抛物线y=3x向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 y=3（x﹣1）﹣2 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
2【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线y=3x向右平移1个单位，再向下平2移2个单位，所得到的抛物线是y=3（x﹣1）﹣2．
2故答案为：y=3（x﹣1）﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
15．如图，⊙O的直径AB=12，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则CD的长是 6 （结果保留根号）．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】连OC，易得OC=6，OM=3，根据勾股定理可计算出CM=3到CM=CD，即可计算出CD的长．
【解答】解：连OC，如图，
∵直径AB=12，M是半径OB的中点，
∴OC=6，OM=3，
在Rt△OCM中，CM=∵CD⊥AB，
∴CM=CD，
∴CD=2CM=6故答案为6．
．
==3，
，由于CD⊥AB，根据垂径定理得
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
216．一元二次方程x﹣3x+1=0的两根为x1、x2，则x1+x2﹣x1?x2= 2 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】方程思想．
frac{b}{a}【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣，x1?x2=c求得x1+x2和x1?x2的值，然后将其代入所求的代数式求值即可．
2【解答】解：∵一元二次方程x﹣3x+1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣3，常数项c=1，
∴由韦达定理，得
x1+x2=3，x1?x2=1，
∴x1+x2﹣x1?x2=3﹣1=2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解题时，务必弄清楚根与系数的关系x1+x2=﹣，x1?x2=c中的a、b、c所表示的意义．
17．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是 14 ．
【考点】切线长定理．
【分析】由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半径，由此可求出梯形的周长．
【解答】解：根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了切线长定理的应用，运用切线长定理，将梯形上下底的和转化为梯形的腰AB的长是解答本题的关键．
18．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于 4﹣4 ．
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，再根据旋转的性质得∠CAC′=∠BAB′=45°，∠B′=∠B=45°，AB′=AB=2，于是可判断△AFB′是等腰直角三角形，得到AD⊥BC，B′F⊥AF，AF=AB′=2，可计算出BF=AB﹣AF=2AB=2，EF=BF=2﹣2，接着证明△ADB和△BEF为等腰直角三角形得到AD=BD=﹣2，然后利用图中阴影部分的面积=S△ADB﹣S△BEF进行计算即可．
【解答】解：如图，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°，
∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，
∴∠CAC′=∠BAB′=45°，∠B′=∠B=45°，AB′=AB=2∴△AFB′是等腰直角三角形，
∴AD⊥BC，B′F⊥AF，AF=AB′=2，
，
∴BF=AB﹣AF=2﹣2，
∵∠B=45°，EF⊥BF，AD⊥BD， ∴△ADB和△BEF为等腰直角三角形，
∴AD=BD=AB=2，EF=BF=2﹣2，
∴图中阴影部分的面积=S△ADB﹣S△BEF
=?2﹣?（22﹣2）
2=4﹣4．
故答案为4﹣4．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．
三、解答题：本大题共7小题，19题10分，其余每题6分，共46分．
19．解方程：
22（1）3x﹣2x=4x﹣3x﹣6
2（2）3x﹣6x﹣2=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
【专题】计算题．
【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（2）先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程．
2【解答】解：（1）x﹣x﹣6=0，
（x﹣3）（x+2）=0，
x﹣3=0或x+2=0，
所以x1=3，x2=﹣2；
2（2）△=（﹣6）﹣4×3×（﹣2）=60，
x=所以x1==，x2=，
．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
20．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
（1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？ （2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．
【分析】（1）利用每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，即可得出每件衬衣降价x元，每天可以多销售2x件，进而得出y与x的函数关系式；再利用商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），把相关数值代入即可求解；
（2）利用商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），利用二次函数最值求法得出即可．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，由题意得：
（50﹣x）（40+2x）=2400，
解得：x1=10，x2=20，
因为尽量减少库存，x1=10舍去．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）设每天盈利为W元，则
2W=（50﹣x）（40+2x）=﹣2（x﹣15）+2450，
当x=15时，W最大为2450．
答：每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解决本题的关键是找到销售利润的等量关系，难点是得到降价后增加的销售量．
21．如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成2个半圆，每一个扇形或半圆都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为x，乙转盘中指针所指区域内的数字为y（当指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）．
（1）请你用画树状图或列表格的方法，列出所有等可能情况，并求出点（x，y）落在坐标轴上的概率；
（2）直接写出点（x，y）落在以坐标原点为圆心，2为半径的圆内的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）首先利用画树状图的方法，求得所有点的等可能的情况，然后再求得点（x，y）落在坐标轴上的情况，求其比值即可求得答案；
（2）求得点（x，y）落在以坐标原点为圆心，2为半径的圆内所有情况，即可求得答案．
【解答】解：（1）树状图得：
∴一共有6种等可能的情况
点（x，y）落在坐标轴上的有4种，
∴P（点（x，y）在坐标轴上）=；
（2）∵点（x，y）落在以坐标原点为圆心，2为半径的圆内的有（0，0），（（0，﹣1）， ∴P（点（x，y）在圆内）=．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交劣弧CB于D，连接AC．
（1）请写出两个不同的正确结论；
（2）若CB=8，ED=2，求⊙O的半径．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】（1）根据直角所对的圆周角是直角、垂径定理写出结论；
（2）根据勾股定理求出DE的长，设⊙O的半径为R，根据勾股定理列出关于R的方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵OD⊥CB，
∴CE=BE， =，
=； 则三个不同类型的正确结论：∠C=90°；CE=BE；
（2）∵OD⊥CB，
∴CE=BE=BC=4，又DE=2，
∴OE=OB﹣BE，
设⊙O的半径为R，则OE=R﹣2，
222∴R=（R﹣2）+4，
解得R=5．
答：⊙O的半径为5．
【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
222 23．在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC．
（1）如图1，以点B为旋转中心，将△EBC按顺时针方向旋转，得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），连接DE′．求证：DE′=DE；
（2）如图2，若∠ABC=90°，AD=4，EC=2，求DE的长．
【考点】旋转的性质；勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】（1）先根据旋转的性质得BE′=BE，∠E′BA=∠EBC，则∠E′BE=∠ABC，再利用∠DBE=∠ABC易得∠DBE′=∠DBE，根据“SAS”判断△BDE′≌△BDE，所以DE′=DE；
（2）以点B为旋转中心，将△EBC按顺时针方向旋转90°得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），如图2，利用等腰直角三角形的性质得∠BCE=∠BAD=45°，利用旋转的性质得∠BAE′=∠BCE=45°，AE′=CE=2，则∠DAE′=90°，在Rt△DAE′中利用勾股定理可计算出DE′=2，然后就根据（1）的结论即可得到DE=DE′=2．
【解答】（1）证明：∵以点B为旋转中心，将△EBC按顺时针方向旋转，得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），
∴BE′=BE，∠E′BA=∠EBC，
∴∠E′BE=∠ABC，
∵∠DBE=∠ABC，
∴∠DBE=∠E′BE，即∠DBE′=∠DBE，
在△BDE′和△BDE中，
，
∴△BDE′≌△BDE（SAS），
∴DE′=DE；
（2）解：以点B为旋转中心，将△EBC按顺时针方向旋转90°得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），如图2，
∵∠ABC=90°，BA=BC，
∴∠BCE=∠BAD=45°，
∵△EBC按顺时针方向旋转90°得到△E′BA，
∴∠BAE′=∠BCE=45°，AE′=CE=2，
∴∠DAE′=∠BAD+∠BAE′=90°，
22222在Rt△DAE′中，∵DE′=AD+AE′=4+2=20， ∴DE′=2，
由（1）的结论得DE=DE′=2．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理．
24．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）
【考点】扇形面积的计算；切线的判定．
【分析】（1）直线与圆的位置关系无非是相切或不相切，可连接OD，证OD是否与CD垂直即可．
（2）阴影部分的面积可由梯形OBCD和扇形OBD的面积差求得；扇形的半径和圆心角已求得，那么关键是求出梯形上底CD的长，可通过证四边形ABCD是平行四边形，得出CD=AB，由此可求出CD的长，即可得解．
【解答】解：（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OD
∵OA=OD，∠DAB=45°，
∴∠ODA=45°
∴∠AOD=90°
∵CD∥AB
∴∠ODC=∠AOD=90°，即OD⊥CD
又∵点D在⊙O上，∴直线CD与⊙O相切；
（2）∵⊙O的半径为1，AB是⊙O的直径，
∴AB=2，
∵BC∥AD，CD∥AB
∴四边形ABCD是平行四边形
∴CD=AB=2
∴S梯形OBCD===；
2∴图中阴影部分的面积等于S梯形OBCD﹣S扇形OBD=﹣×π×1=﹣．
【点评】此题主要考查了切线的判定、平行四边形的判定和性质以及扇形的面积计算方法．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．
25．如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x=2，
2∴设抛物线解析式为y=a（x﹣2）+k．
将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：
，
解得，
22∴y=﹣（x﹣2）+9=﹣x+4x+5．
（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．
2设P（x，﹣x+4x+5），
2如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=﹣x+4x+5，
2∴MN=ON﹣OM=﹣x+4x+4．
S四边形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME
=（PN+OF）?ON﹣PN?MN﹣OM?OE
=（x+2）（﹣x+4x+5）﹣x?（﹣x+4x+4）﹣×1×1
=﹣x+x+
=﹣（x﹣）+2222，
， ∴当x=时，四边形MEFP的面积有最大值为把x=时，y=﹣（﹣2）+9=此时点P坐标为（，）．
2．
【点评】此题考查抛物线与x轴的坐标特点，待定系数法求函数解析式，组合图形的面积，求得函数解析式，利用函数的性质解决问题．
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