T8联考2021届高三第一次联考数学试卷及答案

2023年12月5日发(作者：十万以内商务车哪款好)

广东实验中学 东北育才中学 石家庄二中 华中师大一附中

T8联考

西南大学附中 南京师大附中 湖南师大附中 福州一中

八校

2021届高三第一次联考

数学试题

命题学校：华中师大一附中

考试时间：2020年12月30日上午8:00—10:00 试卷满分150分 考试用时120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若z?1?i3?i，则z的虚部为

1?2i11A． B．i

552 C．3

5 D．i

352．已知集合A?{x|x?4x?3?0}，B?{x|x?m}，若AB?{x|x?1}，则

A．m?1

C．1?m?3

D．1?m?3

B．1?m?3

3．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为

?1313A． B．

82C．

3521181313 D．

42?x2?(a2?5a?4)x?3a,(x?1)?4．设f(x)??，若f(x)的最小值为f(0)，则a的值为

2?3, (x?1)?2x?x?1?A．0 B．1或4 C．1 D．4

5．已知?ABC中，AB?1，AC?3，cosA?1，点E在直线BC上，且满足：4BE?2AB??AC(??R)，则|AE|?

A．34 B．36 C．3 D．6

T8联考数学试题 第1页 共6页 y26．设双曲线x??1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于点A，32与双曲线的渐近线在第一象限交于点B，若BF1?BF2，则?ABF2的周长为

A．43?2 B．43?2

C．4?23

D．4?23

，则下列结论一定正确的是 7．已知?ABC中，角A，B满足sinA?cosB?A?B??2A．sinA?cosC B．sinA?cosB

C．sinB?cosA D．sinC?sinB

8．将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等．

建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为f(x)?acoshx，其中a为悬链线系aex?e?x数，coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为coshx?，相应地双曲正弦函数的函数2ex?e?x表达式为sinhx?．若直线x?m与双曲余弦函数C1和双曲正弦函数C2分别相交于点2A，B，曲线C1在点A处的切线与曲线C2在点B处的切线相交于点P，则

A．y?sinhxcoshx是偶函数 B．cosh(x?y)?coshxcoshy?sinhxsinhy

C．|BP|随m的增大而减小 D．?PAB的面积随m的增大而减小

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．已知圆x?y?2x?6y?a?0上至多有一点到直线3x?4y?5?0的距离为2，则实数a可能的取值为

A．5 B．6 C．7

10．下列命题中正确的是

22 D．10

A．?x?(0,??)，()?() B．?x?(0,1)，log1x?log1x

2311x111xC．?x?(0,)，()?x2 D．?x?(0,)，()?log1x

2232312x13x11．已知等比数列{an}首项a1?1，公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，函数T8联考数学试题 第2页 共6页 f(x)?x(x?a1)(x?a2)(x?a7)，若f?(0)?1，则

A．{lgan}为单调递增的等差数列 B．0?q?1

C．{Sn?a1}为单调递增的等比数列 D．使得Tn?1成立的n的最大值为6

1?q12．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ABC?90?，AB?BC?2，AA1?2，M是BC的中点，点P在线段B1N上，点Q在线段AM上，且AQ?N是AC11的中点，的交点，若PS//面B1AM，则

A．PS//B1Q

B．P为B1N的中点

C．AC?PS

2AM，S是AC1与AC13A1NPB1C1S2D．三棱锥P?B1AM的体积为

3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

AQCBM13．设随机变量X~B(n,)，Y?2X?1，若E(Y)?4，则n= ．

14．武汉某学校的四名党员教师积极参加党员干部下沉社区的活动，在活动中他们会被随机分配到A、B、C三个社区．若每个社区至少分配一名党员教师，且教师甲必须分配到A社区，共有

种不同的分配方案．

15．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，14122c2?a2?b22[ca?()]（其中S为三角形的面积，开平方得积．把以上文字写成公式，即S?42．在非直角?ABC中，a,b,c为内角A,B,C所对应的三边，若a?3，a,b,c为三角形的三边）且a?c(cosB?3cosC)，则?ABC的面积最大时，c? ．

16．已知函数f(x)?ae?ln为 ．

T8联考数学试题 第3页 共6页

xa?2(a?0)，若f(x)?0恒成立，则实数a的取值范围x?2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，{bn}的前n项和为Sn，且a1?b1?1，a2?a3?b3，a3?S3?b2．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）设cn?

18．（12分）已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0)的图像是由y?像向右平移anbn?15，Tn为数列{cn}的前n项和，求数列{}的前n项和Sn?．

5Tn?2an?1an?22sin(?x?)的图3??个单位得到的．

3（1）若f(x)的最小正周期为?，求f(x)的与y轴距离最近的对称轴方程；

（2）若f(x)在[

19．（12分）如图所示为一个半圆柱，E为半圆弧CD上一点，CD?5．

（1）若AD?25，求四棱锥E?ABCD的体积的最大值；

（2）有三个条件：①4DE?DC?EC?DC；②直线AD与BE所成角的正弦值为?2,?]上仅有一个零点，求?的取值范围．

2；

3③sin?EAB6?．

sin?EBA2请你从中选择两个作为条件，求直线AD与平面EAB所成角的余弦值．E

D

A

T8联考数学试题 第4页 共6页

CB20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：

垃圾量X

频数

[12.5,15.5) [15.5,18.5) [18.5,21.5)

[21.5,24.5)

[24.5,27.5)

[27.5,30.5)[30.5,33.5]

5 6 9 12 8 6 4

（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值x（精确到0.1）；

（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N(?,?)，其中2?近似为（1）中的样本平均值x，?2近似为样本方差s2，经计算得s?5.2．请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数．

（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望．

（参考数据：P(????X????)?0.6827；P(??2??X???2?)?0.9545；

P(??3??X???3?)?0.9974）

T8联考数学试题 第5页 共6页 x2y2221．（12分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)与抛物线M:y?4x有公共的焦点，且抛物线ab的准线被椭圆截得的弦长为3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的右焦点作一条斜率为k(k?0)的直线交椭圆于A,B两点，交y轴于点E，P为弦AB的中点，过点E作直线OP的垂线交OP于点Q，问是否存在一定点H，使得QH的长度为定值？若存在，则求出点H，若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知函数f(x)?lnx?m．

x2（1）当m?1时，求f(x)的最大值；

（2）讨论关于x的方程f(x)?m?lnx的实根的个数．

T8联考数学试题 第6页 共6页 2021届T8第一次联考数学试题参考答案

一、选择题：

题号

答案

1

A

2

B

3

C

4

C

5

D

6

C

7

C

8

D

9

BC

10 11 12

ABC BCD ACD

二、填空题：

13．6 14． 12

15． 3

16．(e,??)

部分选填题解答：

e2x?e?2x8．解：对于选项A：y?sinhxcoshx?是奇函数，所以A错误；

4ex?e?xey?e?yex?e?xey?e?y

对于选项B：coshxcoshy?sinhxsinhy????2222ex?y?e?x?y?ex?y?ey?xex?y?e?x?y?ex?y?ey?xex?y?ey?x????cosh(x?y)，

442所以B错误；

em?e?mem?e?m对于选项C、D：设A(m,)，B(m,)，

22em?e?mem?e?m则曲线C1在点A处的切线方程为：y??(x?m)，

22em?e?mem?e?m曲线C2在点B处的切线方程为：y??(x?m)，

22em?e?m2(em?e?m)2m2m联立求得点P的坐标为(m?1,e)，则|BP|?1?(e?，

)?1?2411S?PAB?|AB|?e?m，所以|BP|随m的增大而先减小后增大，?PAB的面积随m的22增大而减小，所以C错误，D正确．

11．解：令g(x)?(x?a1)(x?a2)(x?a7)，则f(x)?xg(x)，

?f?(x)?g(x)?xg?(x)，?f?(0)?g(0)?a1a2a1a2a7?1，因为{an}是等比数列，所以a7?a47?1，即a4?1?a1q3，a1?1，?0?q?1，B正确；

?{lgan}是公差为lgq的递减等差数列，A错误；

lgan?lga1qn?1?lga1?(n?1)lgq，aaaqaaqSn?1?1(1?qn?1)?1?qn?1，?{Sn?1}是首项为1?0，公比为q1?q1?qq?11?qq?1的递增等比数列，C正确；

0?q?1，a1?1，a4?1，an?1，n?5时，0?an?1，Tn?1，

?n?3时，?n?4时，T7?a1a2a7?a4?1，?n?8时，Tn?T7a8a97an?T7?1，又T5?T7?1，

a6a7T6?T7?1，所以使得Tn?1成立的n的最大值为6，D正确．

a7T8联考数学试题答案第 1 页 共 8 页 12．解：对于选项A：连接交NS交AC于G点，连接BG，

则由AB?BC，AQ?22AM，可得BG必过点Q，且BQ?BG，因为PS?面BB1NG，33PS//面AMB1，面AMB1面BB1NG?B1Q，所以PS//B1Q，A正确；

PS//B1Q，??NPS??NBQ??B1QB，?Rt?PNS~Rt?QBB1，

PNNS1A1B1???，即PN?1BQ?1?2BG?1B1N，

PBQBB122233NC1?P为靠近N的三等分点，B错误；

对于选项C：AC?NG，AC?BG，

S?AC?面BB1NG，?AC?PS，C正确；

对于选项D：B1P//BQ，且B1P?BQ，?BB1PQ是矩形，

ABM112GQ?VP?AB1M?VB?AB1M?VB1?ABM??2??2?1?，D正确．

C32315．解：a?c(cosB?3cosC)，?sinA?sinC(cosB?3cosC)，

?sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC，

对于选项B：化简得cosCsinB?3sinCcosC，??ABC非直角三角形，?cosC?0，

?sinB?3sinC，即b?3c，

122c2?a2?b221?4c4?72c2?81，当且仅当c2?9，即c?3?S?[ca?()]?4224时，S有最大值．

ax?2?0，则ex?lna?lna?ln(x?2)?2，

16．解：?f(x)?ae?lnx?2两边加上x得到ex?lnx?x?lna?x?2?ln(x?2)?eln(x?2)?ln(x?2)，y?ex?x单调递增，?x?lna?ln(x?2)，即lna?ln(x?2)?x，

1?x?1?1?令g?x??ln(x?2)?x，则g??x??，?x?(?2,?1)时，g?(x)?0，

x?2x?1g(x)单调递增，x?(?1,??)，g?(x)?0，g(x)单调递减，

?lna?g(x)max?g(?1)?1，?a?e．

四、解答题：

17．解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，a2?a3?b3，a3?S3?b2，?d?q2

?q?2?q?0??，解得：或?（舍去），

?2d?4d?0???1?2d?1?q?q?q?an?4n?3，bn?2n?1．

…………………………4分

（2）{an}是等差数列，所以an?an?2?2an?1，又由（1）知：bn?2?2bn?1，

?cn?anbn?1(2an?1?an?2)bn?12bn?1bn?1bn?2bn?1?????，

……………6分

an?1an?2an?1an?2an?2an?1an?2an?1T8联考数学试题答案第 2 页 共 8 页 54n?5bn?2b22n?12???Tn?c1?c2??cn????，，

……8分

5Tn?22n?1an?2a24n?5512131n?1则Sn??9()?13()??(4n?5)()

①

2221?111Sn?9()3?13()4??(4n?5)()n?2

②

2222由①－②得：

1?11111Sn?9()2?4[()3?()4??()n?1]?(4n?5)()n?2

22222211[1?()n]122?(4n?5)(1)n?2?5?2[1?(1)n]?(4n?5)(1)n?2

?5()?4?4

1224221?2131

??(4n?13)(n?2)，

42131?Sn???(4n?13)()n?1．

…………………………10分

22

18．解：（1）因为f(x)的最小正周期为?，?2????，???2，

………2分

f(x)的图像是由y?2sin(?x?)的图像向右平移个单位得到，

33???f(x)?2sin[?(x?)?]，即f(x)?2sin(2x?)，

………4分

333??k?5??令2x??k??,k?Z，得f(x)的对称轴方程为x?，k?Z，…5分

32212k?5?k?5???|最小，

要使直线x?（k?Z）与y轴距离最近，则须|212212?k??1，此时对称轴方程为x??（2）由已知得：f(x)?令f(x)?0得：?x?????12，即所求对称轴方程为x???12．

……6分

2sin[?(x?)?]，

33????3?3??k?,k?Z，即k??x??3???3,k?Z，……8分

?T8联考数学试题答案第 3 页 共 8 页 ???k??????33??????2???(k?1)??????33??,k?Z，??0，

f(x)在[,?]上仅有一个零点，???22????(k?1)?????33????????3k?1?6k?2?0?2???6k?2??1?3k?1????6k?8

，??0，???6k?2，解得：?k?2，

3??23k?23k?2????

6k?8?2???25k?Z，?k?1，?1???．

……12分

2

19．解：（1）在平面EDC内作EF?CD于点F，因为平面ABCD?平面EDC，平面ABCD平面EDC?DC，所以EF?平面ABCD，

……2分

因为E为半圆弧CD上一点，所以CE?ED，

11CE?ED25??CE?ED， ……4分

?SABCD?EF??5?25?3E33CD222因为CE?ED?CD?5，

DC25CE2?ED225555F?VE?ABCD?????，

3232310当且仅当CE?ED?时等号成立，

2AB55G所以四棱锥E?ABCD的体积的最大值为． ……6分

322（2）由条件①得：4|DE||DC|cos?CDE?|CE||DC|cos?DCE，即4DE?CE，所以VE?ABCD?所以2DE?CE，又因为DE?CE?5，所以DE?1，CE?2，

由条件②得：因为AD//BC，BC?平面DCE，所以?CBE为直线AD与BE所成角，且sin?CBE?2222CECE?，，

?tan?CBE?3BEBC5x2?CE23sin?EABEB6?，

??由条件③得：，设AD?x，则22x?DE2sin?EBAEA2T8联考数学试题答案第 4 页 共 8 页 CE2，所以AD?BC?5，

?tan?CBE?BC5x2?CE23若选条件①③，则DE?1，CE?2，且2?，所以AD?BC?x?5，

2x?DE22x?CE23CE222若选条件②③，则，且2，?DE?CE?5，

?tan?CBE?2x?DE2x5若选条件①②，则DE?1，CE?2，且所以AD?BC?x?5，

即从①②③任选两个作为条件，都可以得到AD?BC?5， ……9分

下面求AD与平面EAB所成角的正弦值：

方法一：设点D到平面EAB的距离为h，AD与平面EAB所成角为?，则由

215，

??5?5，所以h?S25?EAB作FG?AB于点G，连接EG，则由EF?平面ABCD知FG是EG在平面ABCD内的射影，所以EG?AB，

111229，

?S?EAB??AB?EG??5?EF2?FG2??5?()2?(5)2?22225VD?EAB?VE?DAB得：h?S?EAB?EF?S?DAB??h?5S?EAB?h225，?sin??，

?AD2929529． ……12分

29zDE所以AD与平面EAB所成角的余弦值为方法二：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(5,0,0)，D(0,0,5)，E(525,,5)，

55525?AE?(,,5)，AB?(5,0,0)，

55设平面EAB的法向量为m?(x,y,z)，

FC?525x?y?5z?0?则?5，

5?5x?0

?5令z?1，则m?(0,?,1)，?cos?AD,m??2AD与平面EAB所成角?yABx55?1?254?2，

29?2??AD,m?，

所以AD与平面EAB所成角的余弦值为529．

29T8联考数学试题答案第 5 页 共 8 页 20．解：（1）由频数分布表得：

14?5?17?6?20?9?23?12?26?8?29?6?32?4?22.76?22.8，

50所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨． ……3分

（2）由（1）知??22.8，s?5.2，???s?5.2，

1?0.6827?P(X?28)?P(X????)??0.15865， ……5分

2320?0.15865?50.768?51，

x?所以这320个社区中 “超标”社区的个数为51． ……7分

（3）由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，

1423C4C4C4C431所以Y的可能取值为1,2,3,4，且P(Y?1)?，?P(Y?2)??，

5C814C8573241C4C43C4C41，P(Y?3)??P(Y?4)??， ……10分

55C87C814所以Y的分布列为：

Y

P

1 2 3 4

1

143

73

71

14?E(Y)?1?

13315?2??3??4??． ……12分

1477142x2y221．解：（1）2?2?1与y2?4x有相同的焦点，所以a2?b2?1

①，

ab2b2又?抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3，??3

②，

ax2y2解①②得a?2，b?3，所以曲线C的方程为??1．

……4分

43（2）设直线AB:y?k(x?1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

?x2y2?1??联立直线与椭圆方程?4，消去y得：(3?4k2)x?8k2x?4k2?12?0，

3?y?k(x?1)?8k24k2?12则x1?x2?，x1x2?，

……6分

223?4k3?4ky1?y2x1?x2?3kx1?x24k2??k(?1)?，，

??22223?4k23?4k34k2?3kOP:y??x

③，

……7分

，直线,)?P的坐标为(224k3?4k3?4k直线AB方程y?k(x?1)中令x?0得y??k，?E的坐标为(0,?k)，

T8联考数学试题答案第 6 页 共 8 页 4kx?k

④，

……8分

33329222将③④联立相乘得到y??x?x，即(x?)?y?，

486433所以点Q的轨迹为以(,0)为圆心，为半径的圆，

……10分

8833所以存在定点H(,0)，使得QH的长为定值．

……12分

88因为直线EQ?OP，?EQ的直线方程为y?

22．解：（1）当m?1时，f(x)?令f?(x)?0，得x?e?12lnx?12lnx?1?，， ……………1分

?f(x)??x2x3?12，?0?x?e时，f?(x)?0，f(x)单调递增，x?e?12?12时，e． ………………4分

22m(x?1)m(x2?1)（2）由f(x)?m?lnx得lnx?，

?0，令g(x)?lnx?22x?1x?1所以方程f(x)?m?lnx的实根的个数即为函数g(x)在(0,??)上的零点的个数，

g(1)?0，?x?1是函数g(x)的一个零点， ………………5分

1m(2?1)11m(x2?1)x??lnx???g(x)，?g(x)在(0,1)(1,??)上又g()?ln?21xxx?1?12x的零点互为倒数，下面先研究g(x)在(1,??)上的零点的个数：

f?(x)?0，f(x)单调递减，?f(x)max?f(e)?14mx(x2?1)2?4mx2g?(x)??2?(x?1)， ………………6分

222x(x?1)x(x?1)m(x2?1)（i）若m?0，则x?1时，g(x)?lnx??0，?g(x)在(1,??)上的没有零2x?1点； ………………7分

(x2?1)2?4mx2(x2?2mx?1)(x2?2mx?1)（ii）若m?0，则g?(x)?

?(x?1)，x(x2?1)2x(x2?1)2令h(x)?x?2mx?1(x?1)，

①??4m?4?0，即0?m?1时，h(x)?0，?g?(x)?0，g(x)在(1,??)上递增，

2?g(x)?g(1)?0，?g(x)在(1,??)上的没有零点； ………………9分

②??4m?4?0，即m?1时，h(x)?0有两个不等实根x1,x2，且x1x2?1，

?大根x2?m?m?1?1，小根0?x1?1，

?x?(1,x2)时，h(x)?0，g?(x)?0，g(x)单调递减，x?(x2,??)时，h(x)?0，

g?(x)?0，g(x)单调递增，?g(x2)?g(1)?0，

T8联考数学试题答案第 7 页 共 8 页 m(e2m?1)2m又g(e)?m???0，?g(x)在(1,x2)上恒小于0，在(x2,??)上e2m?1e2m?1m存在唯一x0?(x2,e)使得g(x0)?0，?g(x)在(1,??)上仅有一个零点x0，……11分

因为g(x)在(0,1)(1,??)上的零点互为倒数，且g(1)?0，所以m?1时，g(x)仅有一个零点；m?1时，g(x)有三个零点．

综上：m?1时，方程f(x)?m?lnx仅有一个实根；

m?1时，方程f(x)?m?lnx有三个实根．

……………12分

m(x2?1)参考解法二：由f(x)?m?lnx得lnx??0，x?1显然是该方程的一个根；

x2?1m………………5分

(x2?1)lnx(x2?1)lnx，令h(x)?x?1时，方程等价于m?(x?0,x?1)，

22x?1x?1x4?1?4x2lnxx12??(4lnx?x?)，

……………6分

则h?(x)?x(x2?1)2(x2?1)2x21422(x2?1)22令?(x)?4lnx?x?2，则??(x)??2x?3???0，

3xxxx?x?0时，?(x)单调递减，

……………7分

?0?x?1时，?(x)??(1)?0，h?(x)?0，h(x)单调递减，x?1时，?(x)??(1)?0，h?(x)?0，h(x)单调递增，

y

……………8分

由x???时，h(x)???，

y?mx?0时，h(x)???

1x?1时，h(x)?1，

可画出h(x)的大致图像如图所示：

xO1

（注：此处用到了高中教材中没有涉及到的函数极限知识，可酌情扣2—3分）

结合图像得：m?1时，方程m?h(x)有两个实根；m?1时，方程m?h(x)没有实根；

综合得：m?1时，方程f(x)?m?lnx仅有一个实根；

m?1时，方程f(x)?m?lnx有三个实根．

……………12分

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