2024年4月3日发(作者：雅阁十一代2021款报价图片)
2022-2023学年上海市松江一中高一下学期阶段测试1数学试题
一、填空题
1．角
2023?
是第__________象限角．
【答案】三
【分析】利用终边相同的角的表示判断出
2023?
与
223?
的终边相同，即可判断.
【详解】因为
2023??5?360??223?
，
所以
2023?
与
223?
的终边相同，为第三象限角.
故答案为：三
2．半径为2的扇形面积为
4π
，则扇形所对圆心角的弧度数为________．
【答案】
2π
1
S?
?
r
2
2
【分析】由扇形面积公式即可求解.
【详解】设扇形所对圆心角的弧度数为
?
，半径为
r
，
1
1
S?
?
r
2
4π
?
?
?
2
2
2
2
由扇形面积公式可得：，
解得
?
?2π
.
故答案为：
2π
3．若角
?
的终边过点
P(4,?3)
，则
sin
?
?cos
?
?
___________．
1
【答案】
5
##
0.2
【分析】由三角函数的定义求解即可.
sin
?
?
cos
?
?
【详解】
?
3
4
2
?
3
2
?
4
4
2
?
3
2
?
1
5
.
1
故答案为：
5
?
5π
?
?
3π
?
1
cos
?
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?
8
?
___________．
?
8
?
3
，则4．已知
1
【答案】
3
?
5π3π3π
??
5π
cos(
?
?
)
?
cosπ
?
(
?
?
)
??
cos(
?
?
)
cos(
?
?
)
??
888
??
8
【分析】利用诱导公式将转化求解.
cos(
【详解】因为
3π1
cos(
?
?
)
?
83
，又因为
所以
cos(
5π1
?
?
)
??
83
.
5π3π3π
??
?
?
)
?
cos
?
π
?
(
?
?
)
?
??
cos(
?
?
)
888
??
，
1
故答案为：
3
?
2
?
π
?
x
?
?
,π
?
,sinx
?
3
，则
x?
___________．
?
2
?
5．若（用符号
arcsin
表示)
π
?
arcsin
2
3
【答案】
【分析】根据反三角函数的定义即可求解.
?
π
??
π
?
?
x
?
?
,π
?
,
?
π
?
x
?
?
0,
?
?
2
??
2
?
【详解】
而
sinx?sin(π?x)?
π?x?arcsin
2
3
所以
22
x?π?arcsin
3
，即
3
.
2
3
故答案为：
π
?
arcsin
log
sin
?
?
1
?
cot
2
?
?
?
?
6．若为锐角，则____________.
【答案】-2
【分析】利用同角公式化简真数为:
(sin
?
)
,再用对数运算性质可得.
?
2
cos
2
?
?
log
sin
?
(1
?
)
2
2
log(1
?
cot
?
)
sin
?
sin
?
【详解】因为
?
log
sin
?
1
sin
2
?
?
log
sin
?
(sin
?
)
?
2
??2
.
故答案为:
?2
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系式以及对数的运算性质,属于基础题.
0
?
?
?
7．若
?
2
,
?
?
3
?
?
?
?
?
1
?
??
?
?
?
?
?
0,cos
?
?
?
?
?
,cos
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
2
2
?
___.
?
4
?
3
?
42
?
3
，则
?
53
【答案】
9
?
?
?
?
??
?
sin
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
，再根据【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出
?
42
?
，
?
4
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
?
4
??
42
?
?
利用两角差的余弦公式计算可得；
?
?
?
0
?
?
?
?
【详解】解：因为
?
?
?
1
,cos
?
?
?
?
?
2
?
4
?
3
，
?
?
??
?
?
22
sin
?
?
?
?
?
1
?
cos
2
?
?
?
?
?
3
，
??
4
?
所以
?
4
3
?
??
?
cos
??
0??
?
?
??
?
?
0
???
??
42
??
3
，所以
2
24422
因为，所以，所以，因为
?
?
????
6
?
??
??
??
?
sin
?
?
?
?
1
?
cos
2
?
?
?
?
3
?
42
??
42
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
?
4
??
42
?
?
?
?
?
所以
?
??
??
?
?
??
??
???
?
cos
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
sin
?
?
?
4
?
4
??
42
???
42
??
1322653
?????
33339
53
故答案为：
9
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于中档题.
8．设
?ABC
的内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，若
b?c?2a,3sinA?5sinB
，则角
C
=__________.
2
?
【答案】
3
【分析】根据正弦定理到
3a?5b
，
c?
7
1
a
cosC??
5
，再利用余弦定理得到
2
，得到答案.
c?
7
a
5
.【详解】
3sinA?5sinB
，则
3a?5b
，
b?c?2a
，故
cosC
?
根据余弦定理：
2
?
故答案为：
3
.
a
?
b
?
c
?
2ab
222
a
2
?
9
2
49
2
a
?
a
2525
??
1
2
?
3
2
2a
?
a
C
?
5
3
.，故
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.
9．在
?ABC
中，角
A,B,C
所对应的边分别是
a,b,c
，满足
b?2acosC?2csinA
，则该三角形的形状
是__________．
【答案】等腰直角三角形
【分析】根据正弦定理，可得
C
?
?
4
，然后利用余弦定理可得
A?C
，最后可得结果.
【详解】由正弦定理及
2acosC?2csinA
， 得
sinAcosC?sinCsinA
?sinA?0
，
?cosC?sinC
，
?cosC?0
，
?tanC?1
?
C
?
?C?(0,
?
)
，
4
又
b?2acosC
，
?b?2a
222
由余弦定理
c?a?b?2abcosC
， 得
?
c
2
?
a
2
?
(2a)
2
?
2a
?
2acos
?
4
，
即
c?a,a?c
，
22
?
A
?
C
?
?
4
，
??ABC
为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形
10．已知
sin
?
?2sin
?
，
3cos
?
?2cos
?
，且
0?
?
?π
，则
?
=______．
π
3π
【答案】
4
或
4
.
【分析】两式平方相加从而得到角
?
的三角函数值,然后由角
?
的范围确定
?
的值.
2222
【详解】两式平方相加得
sin
?
?3cos
?
?2sin
?
?2cos
?
?2
,
即
sin
?
?31?sin
?
?2
2
?
2
?
, 则
sin
?
??
2
2
.
因为
0?
?
?π
,所以
sin
?
?
2
π
3π
?
?
2
,故
4
或
4
.
π
3π
故答案为：
4
或
4
.
11．在
?ABC
中，
cosB?
22
,AC?2,AB?m
3
，则下列结论正确的是____________．
①
?ABC
外接圆的面积为
9π
②若
m?33
，则
C?60?
③当
0?m?2
时，
?ABC
有一解
④
?ABC
的面积有最大值
3?22
【答案】①④
【分析】由正弦定理可判断①②，由余弦定理和基本不等式可判断④，由方程
a
2
?
42a
m?m
2
?4?0
3
的解的情况可判断③.
b2
??
2R
1
22
sinB
1
sinB?
cosB?
3
3
，由正弦定理得：
3
可知，【详解】由，所以
R?3
，
2
所以
?ABC
外接圆的面积
S?πR?9π
，①正确；
ACm
3
?
sinC?
2
，若
m?33
，由正弦定理得：
sinBsinC
，解得：
所以
C?60?
或
120?
（均符合题意），②错误；
222BC
?
AB
?
4
BC
2
?
AB
2
?
AC
2
2BC
?
AB
?
AC
2
≥
cosB
??
32BC
?
AB
，
2BC
?
AB2BC
?
AB
由，得
解得：
BC?AB?6(3?22)
，当且仅当
BC?AB?6?23
时取等号，
所以
S
△
ABC
?
111
BC?ABsinB??6(3?22)??3?22
223
，④正确；
BC
2
?
AB
2
?
4m
2
?
a
2
?
4
42a
cosB
??
a
2
?m?m
2
?4?0
2BC
?
AB2a
?
m
，得
3
，
当
?ABC
有一解时，关于
m
方程
m
2
?
42a
m?a
2
?4?0
3
只有一个正根
42a
2
4(36
?
a
2
)
2
??
(
?
)
?
4(a
?
4)
?
39
?
Δ
?
0
?
2
Δ?0
此方程有唯一正解等价于或
?
a
?
4
?
0
，又
a?0
，
解得：
0?a?2
或
a?6
，则③错误.
故答案为：①④
12．已知
A
?
x
1
,y
1
?
、
B
?
x
2
,y
2
?
是角
?
、
?
终边与单位圆的两个不同交点，且
x
1
y
2
?x
2
y
1
，则
2x
1
?x
2
?2y
1
?y
2
的最大值为___________．
【答案】
2
【分析】由三角函数的定义设出
A,B
的坐标，并根据
函数的性质求解最大值.
x
1
y
2
?x
2
y
1
的关系得出
?
?
?
?π
，再结合三角
?
x
2
?
cos
?
?
x
1
?
cos
?
?
?
y
?
sin
?
?
?
?
0,2π
?
y
1
?
sin
?
?
?
?
0,2π
?
?
【详解】可令（），
?
2
（），且
?
?
?
，
所以
A
?
cos
?
,sin
?
?
、
B
?
cos
?
,sin
?
?
，
由
x
1
y
2
?x
2
y
1
可得：
cos
?
sin
?
?sin
?
cos
?
?sin
?
?
?
?
?
?0
，
又因为
?
?
?
，所以
?
?
?
?π
，
所以
2x
1
?x
2
?2y
1
?y
2
?2cos
?
?cos
?
?2sin
?
?sin
?
?2cos
?
?cos
?
π+
?
?
?2sin
?
?sin
?
π+
?
?
?2cos
?
?cos
?
?2sin
?
?sin
?
π
??
?
sin
?
?
cos
?
?
2sin
?
?
?
?
4
??
π
?
?
4
时，取得最大值
2
.所以，当
故答案为：
2
.
二、单选题
13．“
x
?
2k
?
?
?
2
(k
?Z
)
”是“
sinx?1
”的（
）条件
C．充要D．既不充分也不必要A．充分不必要
【答案】A
【分析】由
B．必要不充分
sinx?1
，可得
x
?
k
?
?
?
2
(k
?Z
)
，分析即得解
【详解】由题意，若
反之，若
故“
x
?
2k
?
?
?
2
(k
?Z
)
，则
sinx?1
，即
sinx?1
，故充分性成立；
sinx?1
，则
sinx??1
，即
”是“
x
?
k
?
?
?
2
(k
?Z
)
，故必要性不成立；
x
?
2k
?
?
?
2
(k
?Z
)
sinx?1
”的充分不必要条件.
故选：A
14．已知
?
?
?
?
?
?
0,
?
4
??
，化简
2?2sin2
?
?1?cos2
?
的结果是（
）
B．
?2sin
?
C．
2cos
?
D．
?2cos
?
A．
2sin
?
【答案】B
【分析】由倍角公式化简即可.
?
π
?
?
?
?
?
0,
?
,
?
cos
?
?
sin
?
?
0
?
4
?
【详解】.
2?2sin2
?
?1?cos2
?
?2?sin
2
?
?2sin
?
cos
?
?cos
2
?
?1?2cos
2
?
?1
?2?(sin
?
?cos
?
)
2
?2cos
?
?2(cos
?
?sin
?
)?2cos
?
??2sin
?
故选：B
15．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物
AB，高为
15
?
3?1
?
m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶
C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为
（
）
A．20 m
【答案】D
B．30 mC．20
3
mD．30
3
m
【分析】根据题意结合正弦定理运算求解.
sin15
??
sin
?
45
??
30
?
?
?
sin45
?
cos30
??
cos45
?
sin30
??
23216
?
2
????
22224
，【详解】
由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，
15
AB
在Rt△ABM中，AM＝
sin
?
AMB
＝
?
3
?
1
?
?
30
6
?
2
4
2
，
AMCM
在△ACM中，由正弦定理得
sin?ACM
＝
sin?CAM
，
302
?
AM·sin
?
CAM
所以CM＝
sin
?
ACM
＝
1
2
2
2
?
60
，
在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝
故选：D.
60
?
3
2
＝30
3
.
222
16．在
?ABC
中，
a,b,c
分别是角
A,B,C
的对边，若
a?b?2023c
，则
2tanA
?
tanB
tanC
?
tanA
?
tanB
?
的值为
（
）
A．2021
【答案】B
2
222
【分析】根据
a?b?2023c
，利用余弦定理得到
2abcosC?2022c
，再利用三角恒等变换，结合
B．2022C．2023D．2024
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