2023年新高考1卷数学详细解析

2023年11月21日发(作者：吉利星越2022款)

2023年6月新高考1卷数学解析

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页；

非选择题部分2至4页．满分150分，考试时间120分钟．

选择题部分（共60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1：（2023年6月新高考1卷数学解析）

1：已知集合，，则（ ）

M=?2,?1,0,1,2

??

N=x|x?x?6?0

??

2

MN=

A.B.C.D.

??????

?2,?1,0,10,1,22

?

?2

?

解析：

N=??,?23,+?

()

??

，所以；故选．

MN=

?

?2

?

C

2：（2023年6月新高考1卷数学解析第2题）

2：已知，则（ ）

z=

A.B.C.D.

?ii1

1?i

z?z=

2+2i

0

解析：

1?i1

=?iz=

，所以；故选．

z?z=

?iA

2+2i2

3：（2023年6月新高考1卷数学解析第3题）

3：已知向量，．若，则（ ）

a=1,1b=1,?1

()()

a+b⊥a+b

??

A. B. C. D.

??

+=1+=?1=1=?1

????

）

解析：

++a?b+b=21+=0a+b?a+b=a

()()

????????

，所以；故选．

??

=?1

D

4：（2023年6月新高考1卷数学解析第4题）

xx?a

4：设函数在区间单调递减，则的取值范围是（ ）

fx=2

()

()

()

0,1

a

()()

??

()()()

22

A. B.C.D.

())

??,?2?2,02,+?

???

）

(

0,2

?

1 / 17

a

?1

，所以的取值范围是；故选易得，．

2

5：（2023年6月新高考1卷数学解析第5题）

xx

22

22

+y=1C:+y=1a?1C:

的离心率分别为，．若5：设椭圆，，则

ee

12

e=3e

21

12

2

()

a4

a=

（ ）

A.B.C. D.

23

3

236

）

解析：

323

a?1a?11

22

，，得易得，；故选，解得．

e=

2

23

aa2

e==

1

a=

6：（2023年6月新高考1卷数学解析第6题）

6：过点与圆相切的两条直线的夹角为.则

(0,?2)

x+y?4x?1=0

22

?

sin

?

=

A.1 B.C.D.

1510

44

6

4

M

解析：,故圆心,记,设切点为.

(x?2)+y=5

B(2,0)A(0,?2)

M,N

22

AB=22,BM=5

,故

AM=3,sin=sin?MBA==,cos=

sin=2sincos=

?

??

2AB2

AM35

2222

A

B

??

224

15

,故选B

N

解析：（直线与圆相交问题）

因为，设圆心，．设点，则．

()

x?2+y=5PC=22

2

C2,0P0,?2

()()

r=5

设过点的两条切线．则．则，

P

PA,PBAPB

?=

?

sin==

2

?

24

510

22

cos==

?

24

36

22

．

故．故选B

sin=2sincos=2??=

?

??

22444

10615

7：（2023年6月新高考1卷数学解析第7题）

??

S

7：记为数列的前项和,设甲:为等差数列:乙:为等差数列,则

S

n

????

aa

nn

n

??

n

??

n

间 2 / 17

数

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

解析1：

a

n

为等差数列,设其首项为,公差为,则，,

a

1

d

S=na+d,=a+d=n+a??=

n111

??

S

故为等差数列,则甲是乙的充分条件

??

n

??

n

SSS

n(n?1)n?1ddd

nn+1n

2n222n+1n2

SSnS?(n+1)Sna?S

nn+1nn+1nn+1

??

S

=?=

反之,为等差数列,即为常数,设为

??

n

t

n+1nn(n+1)n(n+

1)

n

??

即,故故

na?S

n+1n

=t

S=na?t?n(n+1)S=(n?1)a?t?n(n?1),n2

nn+1n?1n

n(n+1)

两式相减有:,对也成立,故为等差数列

a=na?(n?1)a?2tn?a?a=2t

nn+1n

n+1n

n=1

?

a

n

?

则甲是乙的必要条件

故甲是乙的充要条件,故选

C

解析2：（数列与充要条件）

因为甲：为等差数列，设数列的首项，公差为．即，

????

aa

nn

a

1

d

S=na+d

n1

则，故为等差数列，即甲是乙的充分条件．

nn?1

()

2

S

n

()

n?1

dd

??

S

=a+d=n+a?

11

??

n

n222

?

n

?

SS

S

??

S

反之，乙：为等差数列．即，．

??

n

n+1nn

?=D=S+n?1D

1

()

n+1nn

?

n

?

即．

S=nS+nn?1D

n1

()

S=n?1S+n?1n?2D

n?11

()()()

．

当时，上两式相减得：．当时，上式成立．

n?2n=1

S?S=S+2n?1d

nn?11

()

所以．又为常数．所以为等差数列．故

a=a+2n?1Da

n1

()

a?a=a+2nD?a+2n?1D=2D

n+1n12

()

()

??

n

选C

8：（2023年6月新高考1卷数学解析第8题）

11

8：已知,则

sin(?)=,cossin=

????

cos(22)

??

+=

36

A.B.C.D.

7117

999

9

??

3 / 17

解析：（两角和差的三角函数）

111

因为，，则．

sin?=sincos?cossin=cossin=sincos=

()

??????

????

623

故．

sin+=sincos+cossin=+=

()

??????

2

112

263

2

??

21

即cos2+2=1?2sin+=1?2?=．故选B

()()

????

??

??

39

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9：（2023年6月新高考1卷数学解析第9题）

9： 一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则

x,x,…,xxx

121

66

A．的平均数等于的平均数

x,x,x,xx,x,…,x

2312

456

B．的中位数等于的中位数

x,x,x,xx,x,…,x

2312

456

C．的标准差不小于的标准差

x,x,x,xx,x,…,x

2312

456

D．的极差不大于的极差

x,x,x,xx,x,…,x

2345126

解析：，

x+x+x+xx+x+x+x+x+xx+x+x+x?2(x+x)

2345123456234516

?=?0

4612

所以A错误；因为是最小值，是最大值，所以的中位数的位置与的中位数的位

xxx,x,x,xx,x,…,x

162345126

置相同，所以B正确；因为是最小值，是最大值，距离数据的平均值大，即波动性大，所

xxx,x,…,x

16126

以标准差大，所以C错误；设的最小值，最大值，则，，

x,x,x,xxxx?x,x?x?x?x?x?x

23452512566152

所以D正确

故选BD

10：（2023年6月新高考1卷数学解析第10题）

10：噪声污染问题越来越受到重视用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数

.

L=20?lg

p

p

p

0

p(p?0)

00

是听觉下限阈值，是实际声压下表为不同声源的声压级：

p

.

4 / 17

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则

10m

p,p,p

1

23

A B C D

．．．．

p?pp?10pp=100pp?100p

1231

2302

解析：

L?L=20?lg?20?lg=20?lg?0

12

ppp

121

p

，，，所以正确；

??1

1

?p?p

12

A

ppp

002

p

2

1

pp

pp

22

1

p

2

L?L=20?lg??10?lgL=20?lg=40?=100

233

，，，所以错误；，，所

??e

2

B

33

pp2pp

0303

p

3

以正确；，，，所以正确

CD.

故选

ACD

L?L=20?lg?90?50=40?lg?2??100

12

ppp

111

ppp

222

11：（2023年6月新高考1卷数学解析第11题）

22

11,

：已知函数的定义域为，则（）

fx

()

R

fxy=yfx+xfy

()()()

A. B.

f0=0f1=0

()()

C.D.

fxfx

()()

是偶函数为的极小值点

x=0

解析：（抽象函数）

令，则，故A正确；令，则，即，故B正确；

x=y=0

f0=0f1=f1+f1f1=0

()()()()()

x=y=1

令，则，因为，所以；令，则

x=y=?1

f1=f?1+f?1f1=0f?1=0

()()()()()

y=?1

?

?

0,x=0

满足题意， ，故是偶函数，故C正确；令

f?x=fx=fxfx

()()()()

+xf?1

()

fx=

()

?

2

xlnx,x?0

?

?

2

??

1

则当时，，，；令，，

x?0

fx=xlnx

()

f\'x=2xlnx+x?=x2lnx+1?0

()()

x?e0?x?e

22

f\'x?0

()

x

2

11

2

????

??

11

22

故在单调递减，单调递增，

fx

()

????

0,ee,+?

????

y

f(x)=xln|x|

2

且，又是偶函数，

limfx=lim=lim

()

x→0x→0x→0

+++

lnx

x

=lim=0

fx

()

11

x→0

+

?2

?2

32

xx

1

x

2

Ox

故图象如图所示，所以为的极大值点，故D错误；

fxfx

()()

x=0

故选：ABC.

解析：

5 / 17

选项A，令，则，则，故A正确；

x=y=0

f0=0?f0+0?f0f0=0

()()()()

选项B，令，则，则，故B正确；

x=y=1

f1=1?f1+1?f1f1=0

()()()()

选项C，令，则，则，

x=y=?1

f1=?1?f?1+?1?f?1

()()()()()

f?1=0

(

)

2

再令，则，即，故C正确；

y=?1f(?x)=f(x)

f(?x)=?1f(x)+xf(?1)

()

2

22

22

选项D，对式子两边同时除以，得到，，故可以设

xy?0

f(xy)f(x)f(y)

f(x)

=lnx,x?0

()

=+

x

2

xyxy

2222

?

xlnx,x?0

2

故可以得到，故D选项不正确；

fx=

()

?

x=00,

?

故选择ABC.

12：（2023年6月新高考1卷数学解析第12题）

12：下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:)的正方体容器（容器壁厚度忽略不计)内的有

m

A.直径为的球体B.所有棱长均为的四面体

0.99m

1.4m

D.底面直径为,高为的圆柱体C.底面直径为,高为的圆柱体

1.2m1.8m

0.01m0.01m

解析：

选项A，球直径为，故球体可以放入正方体容器内，故A正确；

0.99?1

选项B，选择连接正方体的面对角线，可以得到一个正四面体，其棱长为，故B正确；

2?1.4

选项C，底面直径，可以忽略不计，但高为，为正方体的体对角线的长，故C不正确；

0.01m

1.8?33

选项D，底面直径为,高为的圆柱体，其高度可以忽略不计，故D正确.

1.2?3

故选择ABD.

0.01m

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13：（2023年6月新高考1卷数学解析第13题）

13：某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并

且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有 种(用数字作答).

解析：

11

当从这8门课中选修2门课时，共有；当从这8门课中选修3门课时，共有

C?C=16

44

6 / 17

1221

C?C+C?C=48

4444

；综上，共有种.

64

故填：64.

14：（2023年6月新高考1卷数学解析第14题）

14：在正四棱台中，，，,则该棱台的体积为 .

ABCD?AAB=1BCD

AB=2

AA=2

1

11

1111

S

解析：

如图，将正四棱台补成正四棱锥，则,

ABCD?ABCD

AO=2

1111

6

1

，故, ，

V=S+S+SSh

1212

SA=22

OO=

1

3

2

()

D

1

A

1

O

1

B

1

C

1

V=2+1+2?1?=

1676

2222

.

326

76

. 故填：

6

(

)

D

O

A

B

C

15：（2023年6月新高考1卷数学解析第15题）

15：已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是_.

fx=cosx?1?00,2

()()

??

??

?

?

解析：（三角函数及其性质）

令，得，又，则，所以，即.

fx=cosx?1=0x?0,2

()

?

cosx142623

??

=????

??

?

???

x?0,2

??

????

故填：.

[2,3)

16：（2023年6月新高考1卷数学解析第16题）

xy

22

16：已知双曲线的左、右焦点分别为.点在上,点在轴

C:?=1a?0,b?0

22

()

F,F

12

AB

C

y

ab

上,,则的离心率为.

FA⊥FB,FA=?FB

1122

2

C

3

解析1：（坐标法）

建立如图所示坐标系，依题意可以设，

F?c,0,Fc,0,B0,n

12

()()()

y

A

F

1

O

F

2

x

B

7 / 17

由，可得，

FA=?F

22

2

25

??

B

Ac,?n

??

3

33

??

又且，则

FA⊥FB,

11

FA=c,?n,FB=c,nFA?FB=c,?n?c,n=c?n=0

1111

????

????

822828

()()

22

????

333333

即，

n=4c

22

254

cn

22

又点在上，则，整理可得，代入，

A

C

99

ab

22

?=1

25c4n

22

9a9b

22

?

=1

n=4c

22

可得，即，解之得或（舍去），

25c16c16e

222

2

abe?1

?=925e?=9

222

e=

2

91

55

故.

e=

3

5

5

解析2：（解三角形）

y

A

F

1

O

F

2

x

B

由，得，设

FA=?FB

2

FA

2

2

22

3

FB3

=

FA=2x,FB=3x

22

2

由对称性可得，由定义可得，，设，则

FB=3xAF=2x+2a,AB=5x

11

?=

FAF

11

?

sin==?cos==,

??

3x342x+2a

5x555x

，解得，所以

x=a

AF=2x+2a,AF=2a

12

在中，则余弦定理可得，即可得

AFF

16a+4a?4c4

222

22

3

1

2

cos==

?

16a5

2

5c=9a

e=5

5

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17：（2023年6月新高考1卷数学解析第17题）

17：已知中，，．

?ABCA+B=3C

2sinA?C=sinB

()

（1）求；

sinA

（2）设，求边上的高．

AB=5

AB

解析：（解三角形）

8 / 17

（1）因为，，所以．即．．

ABCA+B=3C

++=

?

C=B+C=B=?C

?

444

33

??

????

??

??????

333

cosA?cossinA?A2sinAcos?cosAsin=sin2sinA?=sin

． ．即故

??????

444444

??????

得．又，．得．

sinA=3cosA

sinA+cosA=1

22

A?0,

()

?

sinA=

（1）解析：（恒等变形）

因为，所以，所以，所以

A+B=3C

A+B=3?A?B

()

?

A+B=C=

另外，由题意得：

2sin(A?C)=sinA+C

()

即

2sinAcosC?2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC

所以，所以

sinAcosC=3cosAsinCtanA=3tanC=3

所以

sinA=

310

10

310

10

?

3

?

44

（2）方法一：（正弦定理+面积法）

因为，所以，所以

tanA=3?0

所以，由解得

sinB=sinA+C=?+?=

()

所以

S=?5?210?=15

?ABC

??

42

?A?

cosA=

10

10

AC

AB

310210225

=

AC=210

sinBsinC

1021025

1310

210

1

设边上的高为，则，解得

AB

hh=6

?AB?h=15

2

综上，边上的高为

AB

6

方法二：（正弦定理+解三角形）

csinA

ac

=a=

=

．．因为．即． 由正弦定理得：

sinC

sinAsinC

5?

310

10

=35

sinA?sinCA?C

2

2

由（1）得，则是锐角，，

sinA=3cosA

cosA=

10

10

sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC

()

=?+?=

310210225

．

1021025

5?

25

310

5

=210=b=

．．故边上的高为 由正弦定理得：．得

=6bsinA=210?

AB

10

2

2

csinB

bc

=

sinC

sinBsinC

9 / 17

18：（2023年6月新高考1卷数学解析第18题）

18.,,

：如图，在正四棱柱分别是棱点中

ABCD?A,B,C,DAA,BB=4A,CCB,DDCDAA

2222111111111

AB=2

上

,.

AA=1,BB=DD=2,CC=3

2222

(1)证明

:;

BC∥AD

2222

（）点在棱上当二面角为时求

2,,.

P

BBP?AC?D

1222

150?

BP

2

证明：（）：方法一：如图，连接，在直角梯形中，易计算

1

AB

22

CDDC

1122

CD=2CB=2,AB=2,AD=2

22222222

，同理得，所以为平行四边形，

CBAD

2222

所以

BC∥AD

2222

.

证明：（1）：方法二：易得，所以四边形是菱形，所以

AB=BC=CD=AD=5

22222222

ABCD

2222

BC//AD

2222

证明：（1）：方法三：

BC=BB+BC+CC=DD+AD+AA=AD?BC//AD

2221111222222222

解析：（）：方法一（向量法）如图，以为原点，分别以为轴建系，则

2

C

CD,CB,CC

1

x,y,z

A2,2,1,C0,0,3,D2,0,2,P0,2,t

222

()()()()

，

则，设分别为平面

ACADAPtnxyznxyz

2222211112222

=?2,?2,2,=0,?2,1,=?2,0,?1=,,,=,,

()()()()()

?

?2x?2y+2z=0

111

ACD,ACP

22222

的法向量，则，则，同理，则

?

n=1,1,2n=t?1,3?t,2

12

()()

?2y+z=0

?

11

36

=?t?4t+3=0

2

6?t?1+3?t+4

()()

22

2

，则或，则

t=1t=3

BP=2?t=1

2

.

注：第一问也可直接建系

C

1

D

1

C

2

A

1

B

1

P

B

2

C

1

D

1

C

2

A

1

B

1

P

B

2

D

2

C

D

A

2

A

D

2

B

C

D

A

2

B

A

10 / 17

解析：（）：方法二（几何法）（如上图）显然为正方形设与相

2 3,

ABCD

2222

ACBD

2222

交于点，因为二面角为所以直线与平面所成的角为

E

P?AC?DPAC

22222

15030

??

,

BE

2

易知所以点到平面的距离为

BE=2

2

,

BPAC

222

d=BEsin30=

12

?

2

2

由由

AB=AD=22?AE⊥BD

1212122

,

AC=AA=3?AE⊥AC

1212122

所以平面因为二面角为

AE⊥P?AC?D

1222

ABC

2

22

,

150

?

所以与平面所成的角为易知

AEPAC

122

60

?

,

AE=6

1

V

A?PAC

d

所以点到平面的距离为所以

A

1

,

PAC

22

d=AEsin60=

?

32

122

==3

2

21

2

Vd

B?PAC1

222

又由于到平面和平面的距离都为

CPAB

222

PAA

12

2

这里平面和平面重合

,

PAA

12

PAB

22

所以所以

S

S

PAA

12

PAB

22

=3

,

AA=3BP=3?BP=1

1222

也即为的中点或者的中点

P

BBP

2122

PBB

1

19：（2023年6月新高考1卷数学解析第19题）

19：已知函数.

fx=ae+a?x

()

()

x

（）讨论的单调性；

1

fx

()

（2）证明：当时，求证：.

a?0

fx?2lna+

()

3

2

（1）解析：（函数单调性）

由题知定义域为，且

R

f\'x=ae?1

()

x

当时，，故在上单调递减；

a?0

f\'x?0fx

()()

R

当时，，则；，则；

a?0x??lnax??lna

f\'x?0f\'x?0

()()

故在单调递减，在单调递增，

fx??,?lna?lna,+?

()()()

综上：当时，在单调递减；

a?0

fx

()

R

当时，在单调递减，在单调递增.

a?0

fx??,?lna?lna,+?

()()()

（2）解析1：（函数最值）

11 / 17

证明1：由（1）知：当时，

a?0

fx=f?lna=ae+a+lna=1+a+lna

()()

min

()

?lna2

12a?1

2

31

??

22

令，则，

ga=1+a+lna?2lna+=a?lna?

()

??

g\'a=2a?=

()

aa

22

??

当，得；当，得，故在单调递减，在单调递

g\'a?0g\'a?0

()()

a?0?a?

????

22

22

0,,+?

ga

()

????

????

22

22

????

??

2121

3

=?ln??0ga?g

增，故，所以，证毕.

()

??

fx?2lna+

()

??

2222

2

??

（2）解析2：（切线放缩）

证明2：因为 （）

fx=ae+a?x=e+a?x?x+lna+1+a?x=a+lna+1

()

()

xx+lna222

e?x+1

x

12a?1

2

31

??

22

令，则，

ga=1+a+lna?2lna+=a?lna?

()

??

g\'a=2a?=

()

aa

22

??

当，得；当，得，故在单调递减，在单调递

g\'a?0g\'a?0

()()

a?0?a?

????

22

22

0,,+?

ga

()

????

????

22

22

????

??

2121

3

=?ln??0ga?g

增，故，所以，证毕.

()

??

fx?2lna+

()

??

2222

2

??

（2）解析3：（逆推分析）

当时，由（1）得，

a?0

f(x)=f(?lna)=1+a+lna

min

2

要证：，只需证：，

f(x)?2lna+1+a+lna?2lna+

?a??lna

2

33

2

22

1

，易证，

lna?a?1

2

即证：，成立

a??a?1?a?a+?0

22

11

22

2

3

111

??

因为，故成立，得证！

a?a+=a?+?0

??

f(x)?2lna+

2

224

??

2

（2）解析4：（同构+切线放缩）

证明3：当时，要证：，即证：

a?0

fx?2lna+ae+a?x?2lna+

()

只需证：，

e?x+lna+1+a?lna?1+a?0

x+lna222

()

33

()

x

22

11

)(

22

又因为，故；又，故，且

e?x+1

x

e?x+lna+1?0

x+lna

()

lnx?x?1

故显然成立，

e?x+lna+1+a?lna?1+a?0

x+lna222

()

11

)(

22

11

222

a?lna?1?0a?0

)(

22

12 / 17

所以，证毕.

fx?2lna+

()

3

2

20：（2023年6月新高考1卷数学解析第20题）

n+n

2

20：设等差数列的公差为，且.令，记，分别为数列，的前项

????

aa

nn

d

d?1

b=

n

ST

nn

??

b

n

n

a

n

和.

（1）若，，求的通项公式；

3a=3a+a

21333

S+T=21

??

a

n

（2）若为等差数列，且，求.

??

b

n

S?T=99

9999

d

（1）解析：（求通项）

nn+1d

()

n+nn+1

2

=b=

因为，故，即，故，所以，，

3a=3a+a3d=a=a+2da=da=nd

213311n

n

S=

n

ndd

2

T=

n

nn+3

()

2d

，又，即，故的，即，故或（舍）

S+T=21

33

3?4d3?6

1

??

a

n

+=21

2d?7d+3=0

2

d=3

d=

22d

2

通项公式为：.

a=3n

n

（2）解析1：（基本量法）

若为等差数列，则，即，即，所以或

??

b

n

2b=b+ba=d

2131

2?=+

2?31?23?4

22

a?3ad+2d=0

11

a+daa+2d

111

a=2da=da=ndS?T=99

11n9999

；当时，，，故，，又，即

b=

n

nn+1dnn+3

()()

n+1

S=T=

nn

d

2d2

99?100d99?10251

或（舍）； ，即，所以

d=1

?=99d=

50d?d?51=0

2

22d50

当时，，，故，，又，即

a=2dS?T=99

19999

a=n+1d

n

()

b=

n

nn+1

()

nn+3d

()

n

S=

n

T=

n

2d

d

2

99?102d99?10050

； ，即，所以（舍）或（舍）

?=99d=?

51d?d?50=0

2

d=1

22d51

综上：.

d=

51

50

（2）解析2：（方程思想）

若为等差数列，则（一次型），所以或，即或，

??

b

n

b==An+B

n

下同解析1.

（2）解析3：（基本量法）

212

6

n+n

2

易知，所以，，，

b=

n

b=b=

13

b=

2

aa+2d

111

a+d

a+n?1d

1

()

nn+1

()

a?d+nd

1

a?d=0d=a?da=da=2d

1111

13 / 17

因为是等差数列，所以，所以，

?

b

n

?

2b=b+b

2

13

12122

=+

a+da+2da

111

整理得.所以或.

()()

a?2da?d=0

11

a=2da=d

11

经检验，时满足题设，而不满足题设，舍去.

a=da=2d

11

故，.

a=nda=d?1

n1

nn+1nn+3

()()

n+1

d,T=S=

nn

，， 于是

d

22d

5151

而，所以，解得或（舍去）.

S?T=99

9999

50d?=1d=

d=?1

d50

b=

n

51

. 故的值为

50

（1）解析：

d

因为是等差数列，所以，可转换为，则，所以

??

a

n

3a=3a+aa=3d?a=a=dn

21331n

d

n+nn+n1

22

3

b===n+1

n

()

，因为，所以，即，两边同乘化

S+T=213a+3b=21

3322

3?2d+3?=21

d

d

adnd

n

简得，解得或者，因为，所以，则；

2d?7d+3=0?2d?1d?3=0

2

()()

d=

（2）解析：

1

d=3d?1d=3

a=3n

n

2

()

n+1?n

n+n

2

=b=

因为为等差数列且公差为，所以可得，则

??

a

n

d

a=dn+a?d

n1

n

dn+a?ddn+a?d

11

解法一：因为为等差数列，根据等差数列通项公式可知与的关系满足一次函数，所以上式中的分

??

b

n

b

n

n

母“”需满足或者，即或者；

dn+a?da?d=0a=da=2d

1111

d

=1

a?d

1

()

n+1?n

12

6

2

n+n

2

=b=

解法二：由可得，，，，因为为等差数列，

n

b=

1

b=

2

b=

3

??

b

n

a+2d

1

a+da

1

1

dn+a?ddn+a?d

11

所以满足，即，两边同乘化简得，

b+b=2b

132

2126

+=2?

aa+da+2d

111

()()

a?3ad+2d=0

11

22

aa+2da+d

111

解得或者；

a=da=2d

11

因为，均为等差数列，所以，，则等价于,

??

a

n

??

b

n

S=99aT=99bS?T=99a?b=1

9950995099995050

①当时，，，则，得

a=da=dn

1n

b=n+1a?b=50d?=1

n5050

151

()

dd

50d?d?51=0?50d?51d+1=0

2

()()

，解得或者，因为，所以；

d=d=

5151

d=?1d?1

5050

②当时，，，则，化简得

a=2d

1

a=dn+1

n

()

b=na?b=51d?=1

n5050

150

dd

14 / 17

51d?d?50=0?51d+50d?1=0

2

()()

，解得或者，因为，所以均不取；

d=?

50

d=1d?1

51

综上所述，.

d=

51

50

21：（2023年6月新高考1卷数学解析第21题）

21

：甲、乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若末命中则换为对

方投篮. 无论之前投篮情况如何,申每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确

定第1次投篮的人选, 第1次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5 .

(1) 求第2次投篮的人是乙的概率;

(2) 求第次投篮的人是甲的概率;

i

(3) 已知:若随机变量服从两点分布,且,,则

X

i

PX=1=1?PX=0=q

()()

111

i=1,2,,n

??

nn

EX=q

??

??

ii

. 记前次 (即从第1次到第次投篮) 中甲投篮的次数为,求.

n

Y

E(Y)

??

i=1i=1

解析：(1)第二次是乙的概率为

0.5?0.4+0.5?0.8=0.6

(2)第次是乙投球的概率为，则，

i

1?pp=0.6p+0.2（1?p）=0.4p+0.2

ii+1iii

21

构造等比数列，解得，

p+=（p+）=?

i+1i

??

?

53

则，又，，

p?=（p?）p?=

i+1i1

12111

1

p=

1

35363

2

i?1i?1

112121

????

p?=?p=?+

ii

????

，

365653

????

??

2

1?

??

n

1n52n

??

??

5

??

p=+=1?+E(Y)=p+p+

n12

??

??

(3) 当时，

631853

1?

2

??

??

??

5

n

n?N

?

当时，，符合上式

n=0

E(Y)=0

52n

??

??

故

E(Y)=1?+

??

??

1853

??

??

??

n

22：（2023年6月新高考1卷数学解析第22题）

22：在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为.

xOy

PPP

x

(0,

)

W

（1）求的轨迹方程.

W

（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于.

ABCDWABCD

33

1

2

15 / 17

1

1

??

2

解析：（1）设，则，化简得.

P(x,y)

|y|=

x+y?

2

??

y=x+

4

2

??

或者利用抛物线的定义可知，点在以为焦点，轴为准线的抛物线上，其中

P

F(0,

)

x

p=

从而，故的轨迹方程为.

x=2p(y?)=yy=x+

?

22

2

1

2

1

2

111

444

W

（2）方法一：不妨设三点在W上，且有

A,B,D

BA⊥DA

设，设直线的斜率分别为，由对称性不妨设，

A(a,a+k,?

）

BA,DA

2

11

4k

k?1

1

?

2

y=x+

?

?

4

联立方程可得

?

?

y=kx?a+a+

().

2

1

?

4

?

x?kx+ka?a=0

22

由韦达定理得

x+x=k,?Bk?a?(k?a)+

AB

??

??

??

22

1

.|AB|=1+k|k?2a|

4

同理可得

AD=1+??2a=1++2a

1111

kkkk

22

111

22

+2a?1+k(|k?2a|++2a)|AB|+AD=1+k|k?2a|+1+

所以

2

kkk

1(1k)

+

23

?+?+=

1k|k|

kk

2

2

(1+m)1(2m?1)(m+1)1

32

2

设，可得

f(m)==m+3m++3f(m)=2m+3?=

?

22

mmmm

可知在，所以在上的最小值为，

f(m)f(m)(0,1)

(0,)?,(,1)?f()=

所以，收于两处取等的条件不一致，

|AB|+AD=f(k)?3

2

11127

2224

3

2

所以矩形的周长为

2(|AB|+AD)?33

（2）方法二：为了计算方便，我们将抛物线向下移动个单位得抛物线，矩形变换

1

2

W\':y=x

ABCD

4

为矩形，则问题等价于矩形的周长大于.

A\'B\'C\'D\'A\'B\'C\'D\'

33

16 / 17

y

D

C

y

D\'

C\'

A\'

A

B

O

x

B\'

Ox

222

设，根据对称性不妨设.则，由于

B\'(t,t),A\'(t,t),C\'(t,t)

001122

t?0k=t+t,k=t+t

0A\'B\'10B\'C\'20

A\'B\'⊥B\'C\'

，则.

(t+t)(t+t)=?1

1020

由于，，且介于之间，则

|A\'B\'|=1+(t+t)|t?t||B\'C\'|=1+(t+t)|t?t|

10102020

tt,t

012

22

|A\'B\'|+|B\'C\'|=1+(t+t)|t?t|+1+(t+t)|t?t|

10102020

22

.令，

tttan

20

+=

?

t+t=?cot,?(0,

10

??

)

，则，从而

ttant

20

=?

?

t=?cot?t,

1

?

0

2

|A\'B\'||B\'C\'|1cot(2tcot)1tan(tan2t)

+=++++?

22

????

00

.

?

11sincossin+cos

????

2t(cos?sin)

0

??

33

?)++=+|A\'B\'|+|B\'C\'|=2t(

故

0

sincoscossinsincossincos

????????

2222

①当时，

?

?(0,]

?

4

12

sin+cossincos

33

????

|A\'B\'|+|B\'C\'|?=+

?2=2?22

；

2222

sincoscossin

????

sincossin2

???

②当时，由于，从而，从而

?

?(?t?,)?

??

cottan

??

0

t?t?t

10

2

?????

cottttant

??

000

2422

2t(cos?sin)

0

??

sin+cos

33

??

tan

?

+|A\'B\'|+|B\'C\'|=

又，故，由此

t?0

0

0?t?

0

2

sincossincos

????

22

sin(cos?sin)(sincos)sin+cos1cos

????????

33

?+=+

sincossincoscossin

23222

??????

=?=

2233

sinsin?2cos2

222

???

??

2

??

??

3

3

综合上述，矩形的周长大于

A\'B\'C\'D\'

33

17 / 17