4×4分块矩阵的逆矩阵

2024年3月18日发(作者：斯柯达野帝质量怎么样)

第２２卷第１期　

牡丹江大学学报　

Ｊｏｕｒｎａ１　ｏｆ　Ｍｕｄａｎｊｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　

Ｖ０１．２２　Ｎｏ．１　

Ｊａｎ．　２０１　３　

２０１　３年１月　

文章编号：１００８—８７１７（２０１３）０１－０ｔ４７－０３　

４ｘ４分块矩阵的逆矩阵　

鲁翠仙李天荣　

（临沧师范高等专科学校数理系，　云南临沧６７７０００）　

摘要：本文讨论了某些４Ｘ　４阶分块矩阵的可逆性条件并给出了可逆时的求逆公式　

关键词：　逆矩阵；分块矩阵；可逆分块矩阵　

中图分类号：０１３文献标识码：Ａ　

Ｉ　Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｉ　

引理…设Ｍ＝ｌｌ　Ｄ　Ｅ

Ｇ　

　Ｆ

ＫＪ

　ｌ

　

，其中　，Ｅ，　为方阵．设ｃ和Ｅ—ＦＣ　Ｂ可逆，　则Ｍ可逆　

Ｇ—ＫＣ～Ａ一（　—ＫＣ—　）（　—ＦＣ—　）＿｜（Ｄ—ＦＣ—Ａ）可逆，且　

Ｍ－１：

Ｉ　Ｃ　Ｔ－

＋尸　Ｑ　尸　Ｉ

ｌＱ　Ｉ

　

　

其中Ｐ＝（－Ｃ－＇Ａ—ｃ—　，Ｑ＝　＿

Ｆ　Ｃ

１

一

ｃ一

，

］，　＝［　二Ｋ℃　Ｃ－　Ｉ　Ａ　Ｅ－一ＦＣ　－一＇，Ｂ　］　

Ａ　Ｂ　ｃ　Ｄ　

Ｅ　Ｆ　Ｇ　Ｈ　

引理㈦　设Ｓ＝　

，

Ｉ　Ｊ　Ｋ　Ｌ　

其中　，Ｆ，　，Ｑ分别为　，ｍ，ｓ，ｔ　阶方阵，　

Ｍ　Ｎ　Ｐ　Ｑ　

Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｇ，Ｈ，，，Ｊ，Ｌ，Ｍ，Ｎ，Ｐ分另０ｒｌｘｍ，　×ｓ，ｒｌｘｆ，ｍｘ　ｒｌ，ｍ×ｓ，ｍｘｆ，ＳＸ力，　

ＳＸｍ，ｓｘｔ，　Ｘ刀，ｔ×ｍ，ｔＸＳ矩阵．　

设Ａ，Ｆ—ＥＡ　Ｂ和　一１Ａ＿。Ｃ一（Ｊ一１Ａ　）（Ｆ—ＥＡ　）　（Ｇ—ＥＡ　Ｃ）可逆，则Ｓ可逆　

Ｑ—ＭＡ＿。Ｄ一（Ｎ—ＭＡ　Ｂ）（，一ＥＡ　Ｂ）　（Ｈ—ＥＡ　Ｄ）一［（Ｐ－ＭＡ　Ｃ）一（Ⅳ一ＭＡ　Ｂ）　

（Ｆ—ＥＡ　Ｂ）　（Ｇ—ＥＡ　Ｃ）］［（　一／１４　Ｃ）一（　—ＩＡ　）（Ｆ—ＥＡ　）　（Ｇ—ＥＡ　Ｃ）］一　［（三一／Ａ　Ｄ）　

一

（　一ＩＡ　）（Ｆ—ＥＡ　）　（　一ＥＡ　Ｊ［））］可逆，并且　

Ｓ－１：

ｌ１　一＋

Ｔ　

　Ｑｌ　Ｐ

Ｔ　Ｉ

１Ｔ—Ｉ　

　

收稿日期：２０１２—１１一Ｏ７　

基金项目：云南省教育厅科学研究基金重点项目（２０１２　Ｚ１５０Ｃ），云南省教育厅科学研究基金一般项　

目（２０１２　Ｙ２７３）　

作者简介：鲁翠仙（１９８Ｏ一），女，云南临沧人，临沧师范高等专科学校数理系讲师，研究方向：代　

数、计算方法。　

李天荣（１９８１一），男，云南临沧人，临沧市第一中学数学教师一级教师，研究方向：中　

学数学教学及理论研究。　，　，　

Ｉ　Ｆ—ＥＡ～Ｂ　Ｇ—ＥＡ～Ｃ　Ｈ—ＥＡ　Ｄ　Ｉ　

：

　ｌ一ＩＡ～Ｂ　Ｋ—ＩＡ　Ｃ　一ＩＡ—Ｄ　ｌ　

Ｉ　Ｎ—ＭＡ～Ｂ　Ｐ—ＭＡ　Ｃ　Ｑ—ＭＡ　Ｄ　Ｊ　

＝

［三　］，　。＝ｃ一　＿Ａ－ＩＣ＿Ａ－ＩＤ）　

Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ　

Ｅ　Ｆ　Ｇ　Ｈ　

定理　设Ｓ：　

，

其中Ｄ，Ｇ，　，　分别为　，ｍ，ｓ，ｔ　阶方阵，　

Ｉ　Ｊ　Ｋ　Ｌ　

Ｍ　Ｎ　Ｐ　Ｑ　

Ｃ，Ｂ，Ａ，Ｈ，Ｆ，Ｅ，Ｌ，Ｋ，，，Ｑ，Ｐ，Ⅳ分另Ｕ为　×，　，力×　，　×ｆ，　×　，，　×　，　×ｆ，　×，２，　

×ｍ，　×ｆ，ｔ×　，ｔ×ｍ，ｔ×　阶矩阵，　

设Ｄ，Ｇ—ＨＤ—Ｃ和Ｊ—ＬＤ～Ｅ一（Ｋ—ＬＤ—Ｃ）（Ｇ—ＨＤ　Ｃ）　（Ｆ—ＨＤ—Ｂ）可逆，则Ｓ可逆　

Ｍ—ＱＤ＿。Ａ一（Ｐ—ｐＤ＊１Ｃ）（Ｇ—ＨＤ　Ｃ）－１（Ｅ—ＨＤ　Ａ）一［（Ⅳ一ｐＤ＿１Ｂ）一（Ｐ—ＱＤ－１Ｃ）　

（Ｇ—ＨＤ一　Ｃ）－１（Ｆ—ＨＤＩ１　）】【（　—ＬＤ　）一（Ｋ—ＬＤ－１Ｃ）（Ｇ—ＨＤ　Ｃ）Ｉ１（Ｆ—ＨＤＩ１　）】　

【（，一ＬＤ　）一（　—ＬＤ－’Ｃ）（Ｇ—ＨＤ．１Ｃ）＿１（　—ＨＤ　）】可逆　

这时　

～

＝

［。　：葛　一。　：　］　

其中　

Ｉ　Ｅ—ＨＤ～Ａ　Ｆ—ＨＤ～Ｂ　Ｇ—ＨＤ　Ｃ　Ｉ　

：

Ｉ　Ｉ—ＬＤ　Ａ　一ＬＤ—Ｂ　Ｋ—ＬＤ　Ｃ　ｌ　

Ｉ　Ｍ—ＱＤ　Ｎ—ＱＤ～Ｂ　Ｐ—ＱＤ　Ｃ　Ｉ　

『－－ＨＤ　］　

Ｑｌ＝Ｉ—ＬＤ　Ｉ，　＝（－Ｄ～Ａ—Ｄ～Ｂ—Ｄ　ｃ）　

Ｉ—ＱＤ　｝　

Ｉｎ　Ｏ　０　０　

Ｃ　

ｊｎ　

Ｄ　

Ｄ　Ｄ　

一

ＨＤ　０　０　

Ｅ　Ｆ　

Ｇ　Ｈ　

ｌ二）　Ｉ　ｍ　

Ｄ　Ｄ　

证明：　因为　

一

ＬＤ一　０　ｊ　ｓ　０　

Ｉ　ｊ　Ｋ　Ｌ　

Ｄ　Ｄ　

Ｉ　ｓ　

（二）　

Ｍ　Ｎ　

Ｐ　Ｑ　

ｌ－Ｄ　Ａ－Ｄ　Ｂ　

—

一

ＱＤ　０　０　

Ｄ一　Ｃ　

Ｉｔ　

Ｃ　Ｄ　

Ｉｎ　ｏ　０　Ｄ　

Ｅ—ＨＤ一‘Ａ　

Ｆ—ＨＤ一　Ｂ　

Ｇ—ＨＤ一　Ｃ　０　

ｏ　Ｉ　ｍ　（＝）　

Ｄ　

Ｉ—ＬＤ一　Ａ　

一

ＬＤ一　Ｂ　

Ｋ—ＬＤ一　Ｃ　０　

（＝）　《二）　

Ｉ　ｓ　

Ｄ　

Ｍ—ＱＤ一　Ａ　

Ｎ—ＱＤ一　Ｂ　

Ｐ—ＱＤ一　Ｃ　０　

一

Ｄ一　一Ｄ一　

—

Ｄ一　Ｃ　Ｉ｜　

１４８　

Ｉ　Ｄ　Ｄ　Ｄ　Ｄ］　

一

Ｉｆ　ＩＥ－—ＬＨＤＤ－～￣

Ａ　

Ａ　Ｆ

Ｊ－ＬＤ－

—ＨＤ～

Ｉ

Ｂ　

Ｂ　Ｇ

Ｋ－ＬＤ－

—ＨＤ　

１Ｃ

Ｃ

．

　

。　

０　ｆ　ｒＤ　

０

Ｄ

．

］

』

　

Ｌ一Ｍ　ＱＤ　Ａ　　～　Ｎ—ＱＤ　Ｂ　Ｐ－ＱＤ　Ｃ　０ｊ

一

一

。

，

　

其

中　ｆ

ｆ＿　肋　

，一ＬＤ～Ａ　一Ｌ

一Ｈ

Ｄ＿

Ｄ　

。Ｂ　Ｋ—Ｌ

Ｇ—ＨＤ　ｃ］

Ｄ—Ｃ　ｆ

　

，于是　可逆§Ｄ，　可逆　

ｌＭ—Ｑ　～Ａ　Ｎ—ＱＤ～Ｂ　Ｐ—ＱＤ—Ｃ　ｆ　

Ｄ，Ｇ—ＨＤ　Ｃ和　一ＬＤ～Ｅ～（Ｋ－ＬＤ～Ｃ３（

Ｃ　Ｇ　

Ｇ—ＨＤ一　０～

Ｐ　

　一ＨＤ一　）可逆《＝＞　

—

ＱＤ一＇Ａ－（Ｐ—ＱＤ－＇Ｃ）（Ｇ一－　Ｃ）一。　

Ｄ　Ｑ　

１

一ＨＤ－

，　¨¨

　）～【

¨

ｒ

　

—　

一

ＱＤ－’ａ）－（Ｐ一　－Ｏ（ａ—ＨＤ－－　Ｏ一】　

一

肋　］［（　一ＬＤ一　一　一ＬＤ～　Ｃ）（Ｇ一＇ｒｆＯ－

＋

－

　

　６３一　一ＨＤ－　一。　

—

ＬＤ－　Ａ）－（Ｋ一　

（Ｇ—ＨＤ－－　Ｏ　（Ｅ—ＨＤ－－　）】可逆，且有　

时　

Ｄ］ｆ

ｆ

　

－Ａ　Ｂ　

Ｆ　

Ｉ～　ｊ　Ｊ　

ｌＭ　Ｎ　

州　

＝

ｆｌ

ｌ—

—

Ｅ

ＩＡ

Ａ

　ｆ

　Ｉ　

，　＝（一Ａ～Ｂ—Ａ－＇Ｃ一　一　Ｄ）　

一　

Ｊ　

［三

［　叶ｓ　０　［　ｏ。ｊＴ　ＬＱ　，　“　＋，］＝［　］　一　］［　０＋

。＋，

－　

一

，　一　

］［　三，］＝［。一Ｔ。＋－ＩＱ￣　一，　Ｔ一－。Ｉ］　

］　

Ｉ　Ｅ—ＨＤ～Ａ　Ｆ—ＨＤ～Ｂ　Ｇ—ＨＤ　ｃ］　

＝

ｆ　Ｉ—ＬＤ～Ａ　Ｊ—ＬＤ～Ｂ　Ｋ—ＬＤ—ｃ　Ｉ　

１．Ｍ一９．Ｄ～Ａ　Ｎ一９．Ｄ～Ｂ　Ｐ—ＱＤ　Ｃ　Ｊ　

ｒ

【卜Ｌ＿

　一］

＝

Ｑ

Ｄ—Ｊ

　

Ｄ　Ｊ　

，　＝（一Ｄ～Ａ—Ｄ—Ｂ—Ｄ—ｃ）　

一

Ｔ一。可以由引理求出

．　

参考文献：　

【［　２］量翠仙·高明３×３分块矩阵的逆矩阵［Ｊ］．临沧师范高等专科学校学报，２０１０，（２）：１２０．

．

逆矩阵的求法［Ｊ］．阴山学刊，２００６

２０（２）：１４—１６．　一　

１２１．　

，

［３］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组－高等代数［Ｍ］

．

北京：北京大学出版社．２００３．　

１４９