2024年1月2日发(作者：新款吉普大切诺基)

2023年2月广东省普通高中学业水平考试模拟卷三数学试题一、单选题2A?B?{0,1,2,4,16}，则A?B?（1．已知集合A??2,0,a?，集合B??1，a?，）.A．?0?B．?4?C．?4?D．?2，1?（z3?i42．设复数z满足z?z?2i，z?2，复数z所对应的点位于第一象限，则A．）1?3i2B．3?i4C．?1?3i2)D．?x2,x?03．若f(x)??，则f(f(?2))等于(??x,x?0A．1B．2C．3D．4)24．已知等比数列?an?的公比为负数，且a3·a9?2a5，已知a2?1，则a1?(A．21B．?22C．22D．25．在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a?3，b?4，C?A．7B．13C．19?3，则c?（）D．37???6．已知sin??3cos??0，则cos?2????（）2??343A．?B．-C．555D．457．下列说法不正确的是（）A．命题“若x2?3x?2?0，则x?1”的逆否命题为“若x?1，则x2?3x?2?0”B．p?q为假命题，则p,q均为假命题C．若“x?1”是“x?1”的充分不必要条件2D．若命题p：“?x0?R，使得x0?x0?1?0”，则?p:“?x?R，均有x2?x?1?0”8．如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（）试卷第1页，共4页

A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE9．已知一组数据按从小到大的顺序排列为–8，–1，4，x，10，13，且这组数的中位数是7，那么这组数据的众数是A．7B．6C．4D．1010．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是2；14②当a??时，直线y?a(x?2)与黑色阴影部分有公共点；3③黑色阴影部分中一点?x，y?,则x?y的最大值为2．其中所有正确结论的序号是A．①B．②C．①③D．①②11．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不多于30分钟的概率为（A．12）B．13C．14D．16试卷第2页，共4页

?x?1?0?12．若实数x，y满足?x?y?1?0，则y的最大值是(?x?y?1?0?A．1B．2C．3)D．4已知F是椭圆C的一个焦点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，13．B是短轴的一个端点，????????且BF?2FD，则椭圆C的离心率为（）C．13A．33B．3D．314．设a?50.4,b?log0.30.4,c?log40.2，则a,b,c的大小关系是A．c?a?bB．b?a?cC．a?b?c）D．a?c?b1???15．已知cos??，????,0?，则tan?等于（3?2?A．?22B．22C．?24D．24第II卷（非选择题）二、填空题16．设函数f(x)??x2?2x?15，集合A??xy?f(x)?,B??yy?f(x)?，则如图中阴影部分表示的集合为__________．17．在?ABC中，AB???????6，AC?23，?BAC?45?，P是?ABC所在平面内任意一点，则PA?PB?PB?PC?PC?PA的最小值是________.18．过点O(0,0)作直线与圆(x?45)2?(y?8)2?169相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为______________.已知圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥侧面展开图的圆心角?的大小为_________．19．三、解答题20．已知0???ππ?22?，sin?????.443??试卷第3页，共4页

(1)求cos?的值；(2)若?π3???0，cos??????，求cos?的值.5221．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1?1，且a2，a5，a14成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；a(2)若bn?3n，求数列?an?bn?的前n项和Sn..试卷第4页，共4页

1．C【分析】根据A?B?{0,1,2,4,16}，求得实数a，即可求得集合A、B，再根据交集的运算即可得出答案.【详解】解：因为A?B?{0,1,2,4,16}，?a?16?a?4所以?2，解得a?4，或?2，无解，a?4a?16??所以A??2,0,4?,B??1,16?，所以A?B??.故选：C.2．B【分析】?2b?2?22设z?a?bi?a?R,b?R?，由题可得?a?b?4，即求.?a?0,b?0?【详解】设z?a?bi?a?R,b?R?，则z?a?bi，由复数z满足z?z?2i，z?2，复数z所对应的点位于第一象限，?2b?2?22则?a?b?4，解得a?3,b?1，?a?0,b?0?∴113?i??.z43?i故选：B.3．D【分析】由分段函数的解析式先求f??2?，再求f?f??2??即可.【详解】答案第1页，共11页

?x2,x?0由f?x???，可得f??2?????2??2.??x,x?02所以f?f??2???f?2??2?4.故选D.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值，属于基础题.4．B【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算作答.【详解】22222设等比数列?an?的公比为q(q?0)，a6?a3·a9?2a5，即a5q?2a5，则q2?2，解得q??2，而a2?1，所以a1?故选：B5．B【分析】直接运用余弦定理即可.【详解】22222依题意，由余弦定理：c?a?b?2abcosC?3?4?2?3?4cosa22??.q2?3?13，?c?13；故选：B.6．B【解析】根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】sin??3cos??0?tan??3，所以有：答案第2页，共11页

???cos?2???2????sin2???2sin?cos?2sin?cos???2sin??cos2?2tan?1?tan2?63????.1?95??故选：B7．B【分析】由逆否命题定义知A正确；由且命题真假性的判定知B错误；由推出关系可知C正确；由特称命题的否定知D正确.【详解】对于A，由逆否命题定义知原命题的逆否命题为：若x?1，则x2?3x?2?0，知A正确；对于B，若p?q为假命题，则p,q一真一假或均为假命题，B错误；?“x?1”对于C，x?1?x?1，充分性成立；x?1?x?1或x??1?x?1，必要性不成立，是“x?1”的充分不必要条件，C正确；对于D，由特称命题的否定知?p：?x?R，均有x2?x?1?0，D正确.故选：B.8．C【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项.【详解】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选：C9．D【分析】答案第3页，共11页

直接利用中位数的定义列方程求出x?10，再根据众数的定义求解即可.【详解】因为?8,?1,4,x,10,13的中位数是7，所以1?x?4??7,?x?10，2∴这组数据有两10个，其他数据都是1个，所以这组数据的众数是10，故选D．【点睛】本题主要考查中位数与众数的定义，属于基础题.众数是一组数据中出现次数最多的数据，要求一组数据的众数只需看哪个数据最多即可.10．D【解析】4黑色阴影部分和白色部分面积相等，①中概率易求，由直线y??(x?2)与半圆3x2?(y?1)2?1的位置关系可确定②是否正确，点(x,y)在半圆x2?(y?1)2?1上时，x?y才能取最大值，求出这个最大值可判断③．【详解】由对称性知黑色阴影部分和白色部分面积相等，因此在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是1，①正确；2黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，其方程为x2?(y?1)2?1（x?0），直线4y??(x?2)的一般式方程为：4x?3y?8?0，d?34?1，说明直线y??(x?2)与342?323?8半圆x2?(y?1)2?1相切，②正确；点(x,y)在半圆x2?(y?1)2?1（x?0）上，设x?cos?,y?1?sin?,??[?x?y?cos??sin??1?2sin(????,]，22?4)?1，由??[?????3?,]得???[?,]，22444∴???4??2时，x?y取得最大值为2?1?1?2?1，③错．正确的有①②故选：D．【点睛】答案第4页，共11页

本题考查寓数学知识于数学文化之中，考查几何概型，考查直线与圆的位置关系，考查最值问题．本题属于中档题．11．A【分析】由题意知这是一个几何概型，利用对应时间长度的比，即可求出结果．【详解】由题意知这是一个几何概型，因为电台整点报时，所以事件总数包含的时间长度是60，又满足他等待时间不多于30分钟的事件包含的时间长度是30，故所求的概率值为P?故选：A．12．B【分析】画出约束条件的可行域，即可判断y的最大值的位置，求解即可．【详解】301?．602?x?1?0?实数x，y满足?x?y?1?0的可行域如图：?x?y?1?0?可行域是三角形的区域，A的纵坐标取得最大值，由x?y?1?0，可得x?1，y?2．故选B．【点睛】答案第5页，共11页?x?1

本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查．13．A【分析】????????由题意设椭圆的焦点在x轴上，F(c,0)，B(0,b)，设D(x,y)，由BF?2FD解得点D坐标，代入椭圆方程，化简即可求得离心率.【详解】22xy设椭圆的焦点在x轴上，方程为2?2?1(a?b?0)，F(c,0)，B(0,b)，abuuuruuur????????设D(x,y)，由BF?2FD，且BF?(c,?b),FD?(x?c,y)，故x?3c1?3c1?,y??b，D?,?b?，22?22?22由点D在椭圆上，?3c??1?c21?b????故?2??2?，整理得2?，??1a3a2b2故离心率e?故选：A.【点睛】c3，?a3方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e?c；a②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．14．C【分析】通过指数函数的单调性可得a?1，通过对数函数的单调性可得1?b?0，c?0，进而可得结果.【详解】∵a?50.4?50?1，b?log0.30.4?log0.30.3?1，b?log0.30.4?log0.31?0，即0?b?1，答案第6页，共11页

c?log40.2?log41?0，∴a?b?c，故选C.【点睛】本题考查了指数的运算法则、对数的运算法则与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．A【分析】由已知?角的余弦值及所在象限求其正弦值，进而可求tan?【详解】1???22由cos??，????,0?，知：sin???3?2?3∴tan??故选：A【点睛】sin???22cos?本题考查了利用同角三角函数关系求正切值，根据角的余弦值及所在象限求正弦值，由同角正切与正余弦关系求正切值16．[?5,0)?(3,4]【分析】集合A表示函数的定义域，集合B表示函数的值域，先求出两集合，而阴影部分表示的是从A?B中去掉A?B的部分即可.【详解】因为A?{x|?x2?2x?15?0}?[?5,3]，B?{y|y?16?(x?1)2}?[0,4]，所以A?B?[0,3],A?B?[?5,4]，因为阴影部分表示的是从A?B中去掉A?B的部分所构成的集合，所以阴影部分表示的集合为??5,0???3,4?，故答案为：??5,0???3,4?答案第7页，共11页

17．?4【分析】利用余弦定理和勾股定理可知?ABC?90?，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，设P?x,y?，利用平面向量的坐标运算可将所求式子化为确定最小值.【详解】?3x?2???23y?2??4，由此可2由余弦定理得：BC2?AB2?AC2?2AB?ACcos?BAC?6?12?122??AB2?BC2?AC2，即?ABC?90?.2?6，2以B为坐标原点可建立如下图所示的平面直角坐标系：则A0,6，B?0,0?，C????6,0，设P?x,y?，???PA??x,6?y，PB???x,?y?，PC???????????6?x,?y，??PA?PB?PB?PC?PC?PA?x2?y6?y?x6?x?y2?x6?x?y6?y?3x2?26x?3y2?26y????????????3x?2????23y?2???4?2，???3x?2???2?0，???3y?2??2?0，?PA?PB?PB?PC?PC?PA??4，即PA?PB?PB?PC?PC?PA的最小值为?4.故答案为：?4.【点睛】本题考查平面向量数量积的最值的求解问题，解决此类问题通常可以采用建立平面直角坐标系的方式，利用平面向量的坐标运算来进行求解.答案第8页，共11页?

18．932【分析】根据圆的性质可求得最长弦和最短弦的长度，从而得到所有弦长为整数的直线条数，从中找到长度不超过14的直线条数，根据古典概型求得结果.【详解】由题意可知，最长弦为圆的直径：2r?2?13?26?O?0,0?在圆内部且圆心到O的距离为80?64?12?最短弦长为：2?169?144?10?弦长为整数的直线的条数有：2??25?10??2?32条其中长度不超过14的条数有：2??14?10??1?9条?所求概率：p?本题正确结果：【点睛】932932本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到过圆内一点的最长弦和最短弦的长度的求解；易错点是忽略圆的对称性，造成在求解弦长为整数的直线的条数时出现丢根的情况.19．?【解析】圆锥的底面半径为1，高为3，则圆的周长是2?，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.【详解】圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的母线长为12?(3)2?2，即展开后所得扇形的半径为2，圆锥底面圆的周长l?2?即为展开后所得扇形的弧长，所以根据弧长公式可知2??2?，解得???故答案为：?答案第9页，共11页

20．(1)(2)4?2628?230【分析】（1）先确定??πππ的范围，已知其正弦值求出余弦值，然后利用?????求解；444（2）先确定???的范围，已知其余弦值求出正弦值，然后利用????(???)并结合第（1）问的数据求解.【详解】（1）0???π?ππππ?，∴????，故cos?????0，所以4?4442?π?1??，4?3π???cos?????1?sin2???4?????π?π?π?ππ?π4?2??cos??cos????????cos????cos?sin????sin?；4?4?4?44?46????（2）因为0???又cos??????ππ3π，????0，则0?????，424π432，∴0?????，∴sin??????0，sin??????1?cos??????，525结合（1）中数据知，??sin??sin??????π???4?π???sin???4???π?π??cos?cos???4?4?2?221?4?2π?π???cos所以????6，2?334?4??28?2.30cos??cos??????sin?sin?????????????????cos?cos?21．(1)an?2n?1；(2)Sn?n?23?9n?1?8.【分析】（1）利用等比中项的概念可求出数列?an?的公差，然后利用等差数列的通项公式可求出答案；（2）根据分组求和的方法即可求出答案.答案第10页，共11页

【详解】2（1）设等差数列{an}的公差为d，因为a2，a5，a14成等比数列，所以a5?a2a14，2即?1?4d???1?d??1?13d?，因为d?0，所以解得d?2，所以an?2n?1.2n?1a2n?1（2）由（1）知an?2n?1，所以bn?3n?3，所以an?bn??2n?1??3，所以Sn??1?31???3?33??…????2n?1??32n?1?????1?3?…??2n?1?????31?33?…?32n?1??n?1?2n?1?3?1?9n?2?1?9?n2?3?9n?1?8.答案第11页，共11页

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