广东省深圳市龙华区新园学校2022-2023学年九年级上学期数学核心素养

2023年12月11日发(作者：雪佛兰科鲁兹2020)

北师大版九年级上册期末复习核心素养（五）

一、选择题

1. 如图所示为某几何体的示意图，则该几何体的主视图应为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据三视图的定义解题即可.

【详解】几何体的主视图就是从正面看所得到的图形，从正面看可得到图形是A．

故选A．

【点睛】本题考查简单组合体的三视图．属于比较基础的题型.

当x<0时，函数y=?A.

第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根据反比例函数的图象性质即可得出答案．

【详解】∵k=-5＜0

∴函数y=?又x<0

∴函数y=?故选C．

考点：反比例函数的图象性质

如果5的图象在（

）

xB.

第三象限 C.

第二象限 D.

第一象限

5的图象的两支分别在第二、四象限

x5的图象在第二象限

xac=，那么下列等式中不一定成立的是（

）

bda+ca=

b+dba+bc+d=A.

bda2c2C.

2=2

bdD. ad=bc 【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：A、∵cacaa+bc+d＝，∴＋1＝＋1，∴＝，故此选项正确；

bbdbddB、当b＋d＝0时此选项错误；

aca2c2a2c2C、∵＝，∴()＝()，∴2＝2，故此选项正确；

bdbdbdD、∵ac＝，∴ad＝bc，故此选项正确．

bd故选B．

如图，DE是?ABC的中位线，S1表示VADE的面积，S2表示四边形DBCE的面积,则S1:S2=（

）

1:2

【答案】B

【解析】

1:3 C.

1:4 D.

2:3

【分析】根据三角形的中位线定理，可得DE∥BC,DE=1BC，再证明2?ADE??ABC,DE:BC=1:2，根据相似三角形的性质求解即可．

【详解】?DE是?ABC的中位线，

1∴DE∥BC,DE=BC，

2∴?ADE??ABC,DE:BC=1:2，

∴它们的面积比是1：4，

S111==，

∴S24?13故选B．

【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方．

小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是（

）

3B.

3C.

9D.

2【答案】A

【解析】

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案．

【详解】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，

∴小华获胜的概率是：故选：A．

【点睛】此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

下列说法正确的是(

)

两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

任意两个等腰三角形相似

一元二次方程x2?ax?2=0，无论a取何值，一定有两个不相等的实数根

关于反比例函数y=【答案】C

【解析】

【分析】利用正方形的判定定理、相似三角形的判定定理、一元二次方程的解及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】A、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误；

B、等腰三角形的对应角不一定相等，故错误；

C、方程x2﹣ax﹣2＝0中△＝a2+8＞0，一定有两个不相等的实数根，故正确；

31=．

934，y的值随x值的增大而减小

xD、关于反比例函数y＝故选C．

4，在每一象限内y的值随x值的增大而减小，故错误，

x【点睛】本题考查了正方形的判定定理、相似三角形的判定定理、一元二次方程的解及反比例函数的性质，知识点比较多，较复杂．

如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（

）

A. 50

【答案】B

【解析】

B. 60 C. 70 D. 80

【分析】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可．

【详解】过E作EF⊥CG于F，

设投射在墙上的影子DE长度为x,由题意得：△GFE∽△HAB，

∴AB:FE=AH:(GC?x)，

则240:150=160:(160?x)，

解得：x=60.

故选B.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题突破口是过E作EF⊥CG于F.

某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（

）

x=40%+10%

22B.

100(1+40%)(1+10%)=(1+x)

(100+40%)(100+10%)=100(1+x)

22C.

(1+40%)(1+10%)=(1+x)

【答案】C

【解析】【分析】设平均每次增长的百分数为x，根据“某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x”，得到商品现在关于x的价格，整理后即可得到答案．

【详解】解：设平均每次增长的百分数为x，

∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，

∴商品现在的价格为：100(1+40%)(1+10%)，

∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x，

∴商品现在的价格为：100(1+x)，

∴100(1+40%)(1+10%)=100(1+x)2，

整理得：(1+40%)(1+10%)=(1+x)2，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．

一次函数y＝ax＋a(a为常数，a≠0)与反比例函数y＝大致为(

)

2a (a为常数，a≠0)在同一平面直角坐标系内的图像xA. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【详解】【分析】分两种情况分析：当a>0时，或当a<0时.

【详解】当a>0时，一次函数y＝ax＋a图象经过第一、二、三象限；反比例函数y＝限；

当a<0时，一次函数y＝ax＋a图象经过第二、三、四象限；反比例函数y＝所以，只有选项C符合条件.

故选C

【点睛】本题考核知识点：一次函数和反比例函数的图象.

解题关键点：熟记一次函数和反比例函数的性质.

10.

如图，矩形ABCD，AB=8，AD=14，点M，N分别为边AD和边BC上的两点，且MN//AB，a图象在第一、三象xa图象在第二、四象限.

x点E是点A关于MN所在的直线的对称点，取CD的中点F，连接EF，NF，分别将?EDF沿着EF所在的直线折叠，将?CNF沿着NF所在的直线折叠，点D和点C恰好重合于EN上的点G.以下结论中：

①EF⊥NF；②∠MNE=∠CNE；③?MNE∽?DEF；④四边形MNCD是正方形；⑤AM=5.其中正确的结论是(

)

①②

【答案】B

【解析】

①④ C.

①③⑤ D.

①④⑤

【分析】由折叠的性质得到∠DFE＝∠GFE，∠GFN＝∠CFN，根据平角的定义得到EF⊥NF；故①正确；连接AN，根据轴对称的性质得到∠ANM＝∠ENM，推出∠MNE≠∠CNE；故②错误；根据余角的性质得到∠DFE≠∠NEM，推出△MNE∽△DEF错误，故③错误；设DE＝x，根据相似三角形的性质得到CN＝8，推出四边形MNCD是正方形；故④正确；根据线段的和差得到AM＝6，故⑤错误．

【详解】∵由折叠的性质得，∠DFE＝∠GFE，∠GFN＝∠CFN，

∵∠DFE+∠GFE+∠GFN+∠CFN＝180°，

∴∠GFN+∠CFN＝90°，

∴∠NFE＝90°，

∴EF⊥NF；故①正确；

连接AN，

∵点E是点A关于MN所在的直线的对称点，

∴∠ANM＝∠ENM，

∴∠ANB＝∠CNE，

而四边形ABNM不是正方形，

∴∠ANB≠∠ANM，

∴∠MNE≠∠CNE；故②错误；

∵∠NEF≠90°，∠DFE+∠DEF＝90°，∠DEF+∠MEN≠90°，

∴∠DFE≠∠NEM，

∴△MNE∽△DEF错误，故③错误；设DE＝x，

∴BN＝AM＝14-x

，

214+x

，

∴CN＝14﹣BN＝2∴∠DEF＝∠CFN，

∵∠D＝∠C＝90°，

∴△DEF∽△CFN，

∴∵∠EFD+∠CFN＝∠EFD+∠DEF＝90°，

DFDE=

，

CNCF∵F是CD的在中点，

∴CF＝DF＝4，

4x=∴14+x4

，

2∴x＝2，x＝﹣16（不合题意舍去），

∴DE＝2，CN＝8，

∴CD＝CN，

∴四边形MNCD是正方形；故④正确；

∵CN＝DM＝8，

∴AM＝6，故⑤错误，

故选B．

【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换，正方形的判定，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

二、填空题

11.

若x=2是方程x2-x-c=0的一个根，则c=________．

【答案】2

【解析】

【分析】将x＝2代入方程得到c即可．【详解】∵x＝2是方程x－x?c

＝0的一个根，

∴4－2?c＝0，

解得：c＝2，

故答案为2.

【点睛】本题考查的是一元二次方程求解，熟练掌握一元二次方程是解题的关键.

12.

如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．

【答案】56

【解析】

【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．

【详解】如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB=68°．

∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，

∴∠EAF=2∠DAC=34°．

∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，

∴∠AEF=90°，

∴∠AFE=90°-34°=56°，

1∴∠α=56°．

故答案为：56．

13.

如图，在A时测得一棵大树的影长为4米，B时又测得该树的影长为6米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度是______．

【答案】6

【解析】

【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得代入数据可得答案．

【详解】解：根据题意，作△EFC；

EDDC=；即DC2=ED?FD，DCFD

树高为CD，且∠ECF=90°，ED=4，FD=9；

易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，

∴EDDC=

DCFD即DC2=ED?FD，

代入数据可得DC2=36，

DC=6；

故答案为：6．

【点睛】本题通过投影的知识结合三角形的相似，求树高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．

14.

如图，已知正比例函数y＝kx（k≠0）和反比例函数y＝m（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点xB，则不等式kx＜m的解集是_____．

x 【答案】﹣2＜x＜0或x＞2．

【解析】

-1）【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B（2，，然后根据函数的图象的交点坐标即可得到结论．

【详解】∵正比例函数y＝kx（k≠0）和反比例函数y＝∴B（2，﹣1），

∴不等式kx＜m（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1），和点B，

xm的解集是﹣2＜x＜0或x＞2，

x故答案为﹣2＜x＜0或x＞2．

【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．

15.

如图，等边?OAB的边AB与y轴交于点C，点A是反比例函数y53(x>0)图像上的一点，且xBC=2AC，则等边?OAB的边长为______.

【答案】27

【解析】

【分析】设等边三角形的边长为b，过点A作x轴的平行线交y轴于点M，设AM=a

过点B作y轴的平行线交AM的延长线于点E，过点O作ON⊥AB与点N，AN=2AB=2b，ON=12113 b，2111AMACb=AN=b，AC=b，则CN=AN-AC=b，CM∥BE，则，则a，则AE=3a，可证=33AEAB6AEb13ONCN122283bb2=AE2+BE2，则b2==

，即2 BE= ABa+9a=，解得：，△ONC∽△AEB，a6=3AEEB333aBEa2，点A（a，7528253a

，即可求解．

），则AB2=a2+2=a3a【详解】设等边三角形的边长为b，过点A作x轴的平行线交y轴于点M，设AM=a

过点B作y轴的平行线交AM的延长线于点E，过点O作ON⊥AB与点N，

则AN=2AB=2b，ON=则CN=AN-AC=∵CM∥BE，

1113b，AC=b，

321b，

61AMACb=

，即a

，

∴=3AEABAEb∴AE=3a，

∵∠OCN=∠ACM=∠ABE，

∴△ONC∽△AEB，

13ONCNb

b=∴，即2，6=AEEB3aBE解得：BE=3a

3122282a+9a=a，

33∵AB2=AE2+BE2，即b2=∵点A（a，则AB2=a2+75282=a

2a353），

a解得：a2=3，则b=27

，

故答案为27

【点睛】本题为反比例函数综合运用，涉及到三角形相似、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质等，综合性很强，难度很大．

三、解答题 16.

解方程：5x2+2x?1=0．

【答案】x1=【解析】

【分析】利用公式法求解即可．

【详解】解：5x2+2x?1=0

?1+6?1?6，x2=．

55a=5，b=2，c=?1，

?=b2?4ac=24>0，

x?b±b2?4ac?2±26?1±6，

==2a105?1+6?1?6，x2=．

55∴x1=【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

0?1?17.

计算：8???+(3?π)?1?2

?2??1【答案】2

【解析】

【分析】首先计算二次根式、负指数、零指数幂，绝对值，再进行加减运算求出算式的值即可．

【详解】解：原式22?2+1?(2?1

)=22?2+1?2+1

=2．

【点睛】本题考查了二次根式、负指数、零指数幂、绝对值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

18.

深圳国际马拉松赛事设有A“全程马拉松”，B“半程马拉松”，C“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．

（1）小智被分配到A“全程马拉松”项目组的概率为

．

（2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率．【答案】（1）（2）1

3【解析】

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，可得共有9种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有3种，再由概率公式求解即可．

【小问1详解】

解：小智被分配到A“全程马拉松”项目组的概率为故答案为1；

31，

3【小问2详解】

解：画树状图如下：

由图可知共有9种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有3种，

∴小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为31=．

93【点睛】本题考查的是列表法与树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键是熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比．

19.

如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．

（1）求证：CE＝DE．

（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．

【答案】（1）见解析

（2）3

【解析】

【分析】（1）证△ABE≌△CBE（SAS），即可得出结论；

（2）连接AC交BD于H，先由菱形的性质可得AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，求出BH、EH的长，由勾股定理求出AH的长，再由勾股定理求出AB的长，即可得出结果．

【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，

在△ABE和△CBE中，

?AB=CB?∠CBE，

?∠ABE=?BE=BE?∴△ABE≌△CBE，

∴AE＝CE，

∵AE＝DE，

∴CE＝DE；

（2）如图，连接AC交BD于H，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，

∵CE＝DE＝AE＝1，

∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，

∴BH＝2BD＝1331，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝2，

2222AE?EH＝1?()＝22在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝123，

2在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝BH2+AH2＝()2+(∴菱形的边长为3．

3232＝，

3)2

【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和勾股定理是解题的关键．

20.

如图，已知Rt△ABO，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=23，反比例函数y=k(x＞0)的图象经过OA的中点C，交AB于点D.

x（1）求反比例函数y=k的表达式；

x（2）求△OCD的面积；

（3）点P是x轴上的一个动点，请直接写出使△OCP为直角三角形的点P坐标.

【答案】（1）y【解析】

333（2）面积为；（3）P（2，0）或（4，0）

(x>0)；x4【分析】（1）解直角三角形求得AB，作CE⊥OB于E，根据平行线分线段成比例定理和三角形中位线的性质求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；

（2）补形法，求出各点坐标，S△OCD

=S△AOB-S△ACD- S△OBD；

（3）分两种情形：①∠OPC=90°．②∠OCP=90°，分别求解即可．

【详解】解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=23，

∴AB=3 OB=2，

3作CE⊥OB于E，

∵∠ABO=90°，

∴CE∥AB，

∴OC=AC，

∴OE=BE=2OB=3，CE=2AB=1，

∴C（3，1），

∵反比例函数y=11k（x＞0）的图象经过OA的中点C，

x∴1=k，∴k=3，

3∴反比例函数的关系式为y=3；

（2）∵OB=23，

∴D的横坐标为23，

代入y=13得，y=2，

x1∴D（23，2），

∴BD=2，

∵AB=2，

∴AD=113，

2111∴S△OCD

=S△AOB-S△ACD- S△OBD =2OB?AB-2AD?BE-2BD?OB=33

4（3）当∠OPC=90°时，点P的横坐标与点C的横坐标相等，C（2，2），

∴P（2，0）．

当∠OCP=90°时．

∵C（2，2），

∴∠COB=45°．

∴△OCP为等腰直角三角形．

∴P（4，0）．

综上所述，点P的坐标为（2，0）或（4，0）．

【点睛】本题主要考查的是一次函数、反比例函数的综合应用，列出关于k、n的方程组是解答问题（2）的关键，分类讨论是解答问题（3）的关键．

21.

某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．

（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？

（2）在（1）的条件下，当该种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？

（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．

【答案】（1）每个背包售价应不高于55元

（2）当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元

（3）这种书包的销售利润不能达到3700元

【解析】

【分析】（1）设每个背包的售价为x元，根据题意，列出一元一次不等式进行求解即可；

（2）利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，进行求解即可；

（3）利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，进行求解即可；

【小问1详解】

x?40??×20?个，

解：设每个背包的售价为x元，则月均销量为?280?2??x?40×20≥130，

依题意，得：280?2解得：x≤55；

∴每个背包售价应不高于55元；

【小问2详解】

x?40??×20?=3120，

解：依题意，得：(x?30)?280?2??整理，得：x2?98x+2352=0，

解得：x1=42，x2=56（不合题意，舍去）．

答：当该种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．

【小问3详解】

依题意，得：(x?30)(280?x?40×20)=3700，

2整理，得：x2?98x+2410=0．

??=(?98)2?4×1×2410=?36<0，

∴该方程无解，

∴这种书包的销售利润不能达到3700元．

【点睛】本题考查一元一次不等式的应用和一元二次方程的应用。根据题意，正确的列出不等式和一元二次方程，是解题的关键.

22.

问题背景

如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF=系．

1α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关2

（1）特殊情景

在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．

（2）类比猜想

类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．

（3）解决问题

如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD=2，请直接写出DE的长．

【答案】（1）BE+DF＝EF；（2）成立；（3）DE=【解析】

【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，由旋转的性质可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG，根据∠EAF=2∠BAD可得∠BAE+∠DAF＝45°，即可得出∠∠EAF＝∠FAG，利用SAS可证明△AFE≌△AFG，可得EF=FG，进而可得EF=BE+FD；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，由旋转的性质可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，根据∠BAD＝α，∠EAF=152

311α可得∠BAE+∠FAD=α，进而可证明∠FAH＝∠EAF，利用SAS可证明22△AEF≌△AHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′，由旋转的性质可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝42，即可求出∠E′BD＝90°，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得DE＝DE′，利用勾股定理求出DE的长即可的答案.

【详解】解：（1）BE+DF＝EF，

如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，

∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，

∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．

由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．

∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣2∠BAD=90°-45°＝45°，

∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，

∴∠EAF＝∠FAG，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF＝FG．

又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴BE+DF＝EF，