2024年3月4日发(作者：如何下载车辆违章查询)

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题

一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

．．．（1）当x→0时，?(et?1)dt是x7的（ ）

0x23A.低阶无穷小

C.高阶无穷小

【答案】C

B.等价无穷小

D.同阶但非等价无穷小

x2??=2x(ex6?1)~2x7，即x2t3t3(e?1)dt【解析】当x→0时，?(e?1)dt是x7的高阶无穷小.

????0?0?故选C.

?ex?1，x?0?（2）函数f(x)=?x，在x=0处（ ）

?1,x=0?A.连续且取极大值

C.可导且导数为0

【答案】D.

B.连续且取极小值

D.可导且导数不为0

ex?1【解析】因为limf(x)=lim=1=f(0)，即f(x)在x=0连续；

x→0x→0xex?1?11f(x)?f(0)ex?1?x1x因为lim=lim=lim=，即f?(0)=.

2x→0x→0x→02x?0x?02x故选D.

（3）设函数f(x)=ax?blnx(a?0)有2个零点，则A.(e,+?)

【答案】A.

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b的取值范围是（ ）

a B.(0,e)

?1?C.?0,?

?e?

?1?D.?,+??

?e?

【解析】令f?(x)=a?bb=0得，x=.

xabbb?b?f??=b?bln?0，则ln?1，即?e，故选A.

aaa?a?（4）设函数f(x,y)可微，且f(x+1,ex)=x(x+1)2，f(x,x2)=2x2lnx，则df(1,1)=（ ）

+dy

【答案】C.

【解析】等式f(x+1,ex)=x(x+1)2两端同时对x求导可得

f1?(x+1,ex)+exf2?(x+1,ex)=(x+1)2+2x(x+1)

?dy D.?dy

①

等式f(x,x2)=2x2lnx两端同时对x求导可得

f1?(x,x2)+2xf2?(x,x2)=4xlnx+2x ②

分别将??x=0,?x=1,代入①②可得f1?(1,1)+f2?(1,1)=1,f1?(1,1)+2f2?(1,1)=2.

??y=0,?y=1联立可得f1?(1,1)=0,f2?(1,1)=1,df(1,1)=f1?(1,1)dx+f2?(1,1)dy=dy.

故选C.

（5）二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2?(x3?x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）

A.2,0 B.1,1 C.2,1 D.1,2

【答案】B.

2+2x1x2+2x2x3+2x1x3， 【解析】f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2?(x3?x1)2=2x2?1?1??011???????即A=?121?，故令特征多项式|?E?A|=??1??2?1?=?(?+1)(??3)=0，可得

?110???1?1??????特征值为0,?1,3，即二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.

故选B.

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??1T??1??T???（6）设(?1,?2,?3,?4)为4阶正交矩阵，若矩阵B=??2?，?=?1?，k表示任意常数，则?T??1?????3?线性方程组Bx=?的通解X=（ ）

A.?2+?3+?4+k?1

C.?1+?2+?4+k?3

【答案】D.

【解析】因为A=(?1,?2,?3,?4)为4阶正交矩阵，

所以向量组?1,?2,?3,?4是一组标准正交向量组，则r(B)=3.

??1T??T?又B?4=??2??4=0，所以齐次线性方程组Bx=0的通解为k?4.

?T???3???1T??1??T??而B(?1+?2+?3)=??2?(?1+?2+?3)=?1??=?，

?T??1?????3?

B.?1+?3+?4+k?2

D.?1+?2+?3+k?4

故线性方程组Bx=?的通解为x=?1+?2+?3+k?4，其中k为任意常数.

故选D.

?10?1??（7）已知矩阵A=?若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ为对2?11??，??12?5???角矩阵，则P,Q可以分别为（ ）

?100??101????A.?010,013????

?001??001??????100??100????B.?2?10,010????

??321??001??????100??12?3????D.??010?,?0?12?

?131??001?????

?100??101????C.??2?10?,?013?

??321??001?????

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【答案】C.

?10?1100??10?1100????【解析】(A,E)=??2?11010?→?0?13?210?

??12?5001??02?6101??????10?1100??100?????→?01?32?10?=(F,P)，则P=?2?10?.

?000?321???321??????1??0?F??0????E??1?0??0?0?1??100????1?3??010??101?00??000???????→??=??，即Q=?013?.

00??101??Q??001??????10013???001??01????故选C.

（8）设A,B为随机事件，且0?P(B)?1，下列命题中为假命题的是（ ）

A.若P(A|B)=P(A)，则P(A|B)=P(A)

B.若P(A|B)?P(A)，则P(A|B)?P(A)

C.若P(A|B)?P(A|B)，则P(A|B)?P(A)

D.若P(A|AB)?P(A|AB)，则P(A)?P(B)

【答案】D.

【解析】P(A|AB)=P(A(AB))P(A)=，

P(AB)P(A)+P(B)?P(AB)P(A|AB)=P(A(AB))P(AB)P(B)?P(AB)==.

P(AB)P(AB)P(A)+P(B)?P(AB)因为P(A|AB)?P(A|AB)，所以P(A)?P(B)?P(AB)，故选D.

（9）设(X1,Y1),(X2,Y2),2,(Xn,Yn)为来自总体N(?1,?2;?12,?2;?)的简单随机样本，令第 4 页 共 11 页

1n1n?=X?Y，则（ ）

?=?1??2，X=?Xi，Y=?Yi，?ni=1ni=12?12+?2??A.E(?)=?,D(?)=

n2?12+?2??C.E(?)??,D(?)=

n

2?12+?2?2??1?2??B.E(?)=?,D(?)=

n2?12+?2?2??1?2??D.E(?)??,D(?)=

n【答案】B.

【解析】因为(X,Y)服从二维正态分布，所以X,Y均服从二维正态分布，则

X?Y也服从二维正态分布，即

?)=E(X?Y)=E(X)?E(Y)=???=?,E(?122?12+?2?2??1?2

?D(?)=D(X?Y)=D(X)+D(Y)?cov(X,Y)=.n故选B.

（10）设总体X的概率分布为P{X=1}=1??1+?,P{X=2}=P{X=3}=，利用来自总体的24样本值1,3,2,2,1,3,1,2可得?的最大似然估计值为（ ）

A.

14 B.

38 C.

12 D.

52【答案】A.

?1????1+??【解析】似然函数L(?)=????,

?2??4??1????1+??取对数得lnL(?)=3ln??+5ln??.

24????35求导得1dlnL(?)31=+5=0，即?=.故选A.

4d???11+?二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（11）若y=cose?x，则1e 【答案】2esindy=?sine?dx???e??dy??2x?dx11e.

=2esindydx=x=1.

【解析】xx?x?1第 5 页 共 11 页

（12）?55x|x?9|2dx=.

【答案】6.

【解析】?35x9?x2dx+?53?13d(9?x2)15d(x2?9)dx=+?=6.

2?5322229?xx?9x?9x（13）设平面区域D由y=xsin?x(0?x?1)与x轴围成，则D绕x轴旋转所围成的旋转体体积为 .

【答案】?.

411【解析】V=??0(xsin?x)2dx=??0xsin2?xdx=（14）?yt=t的通解为yt= .

?x=t1=2?0xsin2tdt=?4.

【答案】y=y*+y=t2?t+C，C为任意常数.

【解析】y=C,y*=(at+b),(t+1)(a(t+1)+b)?t(at+1)=t,2at+a+b=t,a=,b=?,11y=y*+y=t2?t+C，C为任意常数.

221212121212xx1x（15）多项式f(x)=212?112x2?1中x3项的系数为 .

x11x【答案】?5.

xx1x【解析】f(x)=212?112xx2?112?11x?11x22?1=x1x1?x2x1?211?2x11x.

x1?11x21x3?1x2?111x所以展开式中含x3项的有?x3,?4x3，即x3项的系数为?5.

（16）甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X和Y的相关系数为 .

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1【答案】.

5【解析】联合分布律：

?(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)??0?,X~?(X,Y)~?31131??????5510??2?10cov(X,Y)=1??0??1?Y~?1??2??21??1?，

?2?1111,DX=,DY=, 即

?x?=.

20445三、解答题：17—22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本题满分10分）

11已知lim[?arctan+(1+|x|x)]存在，求?的值.

x→0x【答案】?=11(?e).

?e1???1x【解析】要想极限存在，则左右极限相等，又因为lim?arctan+(1+|x|)??=?+e.

x→0+x??21????11?1?1?1x，从而，?+e=??+?=lim?arctan+(1+|x|)=??+????e?.

x→0??22ex2e?e???（18）（本题满分12分）

(x?1)2+y2求函数f(x,y)=2ln|x|+的极值.

2x2【答案】(?1,0)处取极小值2；(,0)处取极小值?2ln2.

?2x2+x?1?y2f?==0,?3?2x2+x?1?y2=0,1?xx【解析】?即?得驻点(?1,0)，(,0).

2?y=0.?f?=y=0,y?x2?1212第 7 页 共 11 页

?(4x+1)x?3(2x2+x?1?y2)??=,?fxx4x??2y???=3,

?fxyx??1??f=?yyx2.?B=0,C=1,AC?B2=3?0,A?0， 驻点(?1,0)处A=3,?故f(x, y)在(?1,0)处取极小值2.

驻点(,0)处A=24,B=0,C=4,AC?B2=3?0,A?0，

故f(x, y)在(,0)处取极小值?2ln2.

（19）（本题满分12分）

设有界区域D是圆x2+y2=1和直线y=x以及x轴在第一象限围成的部分，计算二重积分(x+y)22??e(x?y)dxdy.

D2121212111【答案】e2?e+.

848【解析】??eD(x+y)21221?(x?y)d?=?4cos2?d??er(cos?+sin?)r2dr2

020221221?=?4cos2?d??er(cos?+sin?)r2dr2

020?0=?4cos2?d??eu(cos?+sin?)udu.

012?10ueu(cos?+sin?)du===21(cos?+sin?)41(cos?+sin?)4?10(cos?+sin?)2ueu(cos?+sin?)du(cos?+sin?)2

tetdt

2?(cos?+sin?)20211(cos?+sin?)2?e(cos?+sin?)?1?.

e??(cos?+sin?)2(cos?+sin?)4?第 8 页 共 11 页

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