2020年山东省淄博市中考数学试题及参考答案(word解析版)

2023年11月21日发(作者：丰田10万左右的车图片)

淄博市2020年初中学业水平考试

数 学 试 题

（满分120分，考试时间120分钟）

选择题（共48分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1．若实数a的相反数是﹣2，则a等于（ ）

A．2 B．﹣2 C． D．0

2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

3．李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本

校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，

6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（ ）

A．4，5 B．5，4 C．5，5 D．5，6

∠DCA等于（ ）

A．30° B．35° C．40° D．45°

5．下列运算正确的是（ ）

A．a+a＝a B．a?a＝a C．a÷a＝a D．（a）＝a

235235325235

D．（a）＝a，所以D选项错误；

236

6．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）

A． B． C． D．

4．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则

7．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）

A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE

C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED

8．化简+的结果是（ ）

A．a+b B．a﹣b C． D．

1

9．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其

两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值

为（ ）

A．36 B．48 C．49 D．64

10．如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若

半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（ ）

A．2π+2 B．3π C． D．+2

（第9题图） （第10题图）

11．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线

段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）

A．12 B．24 C．36 D．48

12．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC

＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）

A．a+b＝5c B．a+b＝4c C．a+b＝3c D．a+b＝2c

222222222222

（第11题图） （第12题图）

非选择题（共72分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．

13．计算：+＝ ．

14．如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝

2，则CF的长为 ．

2

15．已知关于x的一元二次方程x﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围

2

是 ．

16．如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将

△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过

点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN

＝ cm．

17．某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站

出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装

上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是 个．

三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（5分）解方程组：

19．（5分）已知：如图，E是?ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．

求证：△ABC≌△DCE．

20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北

斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择

一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有 人；

（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；

（3）最关注话题扇形统计图中的a＝ ，话题D所在扇形的圆心角是 度；

（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数

大约有多少？

3

21．（8分）如图，在直角坐标系中，直线y＝ax+b与双曲线y＝（k≠0）分别相交于第二、四

12

． 象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝

（1）求y，y对应的函数表达式；

12

（2）求△AOB的面积；

（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．

22．（8分）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B

方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B

的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，

解答下列问题：

（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？

（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工

效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？

23．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作

AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．

（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；

（2）求证：AB?AC＝2R?h；

（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．

4

24．（9分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的

抛物线y＝ax+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．

2

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是?OABC的面积的，求点R的坐标；

（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，

求点P的坐标．

答案与解析

选择题（共48分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1．若实数a的相反数是﹣2，则a等于（ ）

A．2 B．﹣2 C． D．0

【知识考点】相反数；实数的性质．

【思路分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．即可求出a的值．

【解答过程】解：∵2的相反数是﹣2，

∴a＝2．

故选：A．

【总结归纳】本题考查了实数的性质、相反数，解决本题的关键是掌握相反数的概念．

5

2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【知识考点】轴对称图形．

【思路分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答过程】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【总结归纳】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠

后可重合．

3．李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本

校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，

6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（ ）

A．4，5 B．5，4 C．5，5 D．5，6

【知识考点】中位数；众数．

【思路分析】根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可．

【解答过程】解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数

是5，

将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5．

故选：C．

【总结归纳】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解答的

前提，掌握计算方法是解决问题的关键．

4．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（ ）

A．30° B．35° C．40° D．45°

【知识考点】平行线的性质；多边形内角与外角．

【思路分析】由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得

∠CAB＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°．

【解答过程】解：∵AC⊥BC，

∴∠ACB＝90°，

6

又∵∠B＝50°，

∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，

∵CD∥AB，

∴∠DCA＝∠CAB＝40°．

故选：C．

【总结归纳】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数

是解答本题的关键．

5．下列运算正确的是（ ）

A．a+a＝a B．a?a＝a C．a÷a＝a D．（a）＝a

235235325235

【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．

【思路分析】A．根据合并同类项的定义即可判断；

B．根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断；

C．根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断；

D．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断．

【解答过程】解：A．a+a≠a，所以A选项错误；

235

B．a?a＝a，所以B选项正确；

235

C．a÷a＝a，所以C选项错误；

32

D．（a）＝a，所以D选项错误；

236

故选：B．

【总结归纳】本题考查了同底数幂的乘法和除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，解决本题

的关键是综合掌握以上知识．

6．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）

A． B． C． D．

【知识考点】计算器—三角函数．

【思路分析】根据计算器求锐角的方法即可得结论．

【解答过程】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺

序是：2ndF，sin，0，

∴按下的第一个键是2ndF．

故选：D．

【总结归纳】本题考查了计算器﹣三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器．

7．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）

A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED

7

【知识考点】全等三角形的性质．

【思路分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．

【解答过程】解：∵△ABC≌△ADE，

∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，

故选：B．

【总结归纳】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．

8．化简+的结果是（ ）

A．a+b B．a﹣b C． D．

【知识考点】分式的加减法．

【思路分析】根据同分母分式相加减的运算法则计算即可．同分母分式相加减，分母不变，分子

相加减．

【解答过程】解：原式＝＝＝＝a﹣b．

故选：B．

【总结归纳】本题主要考查了分式的加减，熟记运算法则是解答本题的关键．

9．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其

两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值

为（ ）

A．36 B．48 C．49 D．64

【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【思路分析】过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理

计算出AB＝5，根据角平分线的性质得PE＝PC＝PD，设P（t，t），利用面积的和差得到×t

×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标

代入y＝中求出k的值．

【解答过程】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，

8

∵A（0，4），B（3，0），

∴OA＝4，OB＝3，

∴AB＝＝5，

∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，

∴PE＝PC，PD＝PC，

∴PE＝PC＝PD，

设P（t，t），则PC＝t，

∵S+S+S+S＝S，

△△△△矩形

PAEPABPBDOABPEOD

∴×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，

解得t＝6，

∴P（6，6），

把P（6，6）代入y＝得k＝6×6＝36．

故选：A．

【总结归纳】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析

式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．

10．如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若

半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（ ）

A．2π+2 B．3π C． D．+2

【知识考点】轨迹．

【思路分析】利用弧长公式计算即可．

【解答过程】解：如图，

点O的运动路径的长＝的长+OO+的长

＝+＝， +

故选：C．

【总结归纳】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

问题，属于中考常考题型．

11．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线

段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）

9

12

A．12 B．24 C．36 D．48

【知识考点】动点问题的函数图象．

【思路分析】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的

高为8（即此时BP＝8），即可求解．

【解答过程】解：由图2知，AB＝BC＝10，

当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），

当y＝8时，PC＝＝＝6，

△ABC的面积＝×AC×BP＝8×12＝48，

故选：D．

【总结归纳】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知

识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的

完整运动过程．

12．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC

＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）

A．a+b＝5c B．a+b＝4c C．a+b＝3c D．a+b＝2c

222222222222

【知识考点】三角形的重心；勾股定理．

【思路分析】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定

理得到4x+4y＝c，4x+y＝b，x+4y＝a，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c

222222222

的关系．

【解答过程】解：设EF＝x，DF＝y，

∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，

∴点F为△ABC的重心，AE＝AC＝b，BD＝a，

10

∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，

∵AD⊥BE，

∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，

在Rt△AFB中，4x+4y＝c，①

222

在Rt△AEF中，4x+y＝b，②

222

在Rt△BFD中，x+4y＝a，③

222

②+③得5x+5y＝（a+b），

2222

∴4x+4y＝（a+b），④

2222

①﹣④得c﹣（a+b）＝0，

222

即a+b＝5c．

222

故选：A．

【总结归纳】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：

1． 也考查了勾股定理．

非选择题（共72分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．

13．计算：+＝ ．

【知识考点】实数的运算．

【思路分析】分别根据立方根的定义与算术平方根的定义解答即可．

【解答过程】解：+＝﹣2+4＝2．

故答案为：2

【总结归纳】本题主要考查了立方根与算术平方根，熟记立方根与二次根式的性质是解答本题的

关键．

14．如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为 ．

【知识考点】平移的性质．

【思路分析】利用平移的性质得到BE＝CF，然后利用EC＝2BE＝2得到BE的长，从而得到CF

的长．

【解答过程】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．

11

∴BE＝CF，

∵EC＝2BE＝2，

∴BE＝1，

∴CF＝1．

故答案为1．

【总结归纳】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图

形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动

后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．

15．已知关于x的一元二次方程x﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围

2

是 ．

【知识考点】根的判别式．

【思路分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，

2

求出m的取值范围．

【解答过程】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m

∴△＝b﹣4ac＝（﹣1）﹣4×1×2m＞0，

22

解得m＜，

． 故答案为m＜

【总结归纳】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；

（2）△＝0?方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0?方程没有实数根．

16．如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直

线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，

连接MN，则MN＝ cm．

【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．

【思路分析】连接AC，FC，求出AC，利用三角形的中位线定理解决问题即可．

【解答过程】解：连接AC，FC．

由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，

∵FM⊥BE，

∴F．M，C共线，FM＝MC，

∵AN＝FN，

12

∴MN＝AC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，

∴AC＝＝＝10（cm），

∴MN＝AC＝5（cm），

故答案为5．

【总结归纳】本题考查翻折变换，矩形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．

17．某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站

出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装

上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是 个．

【知识考点】规律型：数字的变化类．

【思路分析】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，

再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．

【解答过程】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，

快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，

还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．

根据题意，完成下表：

服务驿站序号 在第x服务驿站启程时快递货车货包总数

1 n﹣1

2 （n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）

3 2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）

4 3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）

5 4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）

… …

n 0

由上表可得y＝x（n﹣x）．

当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x+29x＝﹣（x﹣14.5）+210.25，

22

当x＝14或15时，y取得最大值210．

答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．

故答案为：210．

【总结归纳】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函

数的最值在x＝﹣时取得．

三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

13

18．（5分）解方程组：

【知识考点】解二元一次方程组．

【思路分析】利用加减消元法解答即可．

【解答过程】解：，

①+②，得：5x＝10，

解得x＝2，

把x＝2代入①，得：6+y＝8，

解得y＝4，

所以原方程组的解为．

【总结归纳】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与

加减消元法．

19．（5分）已知：如图，E是?ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．

求证：△ABC≌△DCE．

【知识考点】全等三角形的判定；平行四边形的性质．

【思路分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠B＝∠DCE，

由SAS即可得出结论．

【解答过程】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠B＝∠DCE，

在△ABC和△DCE中，

∴△ABC≌△DCE（SAS）．

【总结归纳】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四

边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．

20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北

斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择

14

一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有 人；

（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；

（3）最关注话题扇形统计图中的a＝ ，话题D所在扇形的圆心角是 度；

（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数

大约有多少？

【知识考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．

【思路分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数；

（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统

计图补充完整；

（3）根据统计图中的数据，可以得到a和话题D所在扇形的圆心角的度数；

（4）根据题意和统计图中的数据，可以计算出计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人

数大约有多少．

【解答过程】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），

故答案为：200；

（2）选择C的居民有：200×15%＝30（人），

选择A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），

补全的条形统计图如右图所示；

（3）a%＝50÷200×100%＝25%，

话题D所在扇形的圆心角是：360°×＝36°，

故答案为：25，36；

（4）10000×30%＝3000（人），

答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．

15

【总结归纳】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，

利用数形结合的思想解答．

21．（8分）如图，在直角坐标系中，直线y＝ax+b与双曲线y＝（k≠0）分别相交于第二、四

12

． 象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝

（1）求y，y对应的函数表达式；

12

（2）求△AOB的面积；

（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．

【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【思路分析】（1）根据OC＝3，tan∠ACO＝，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B

的坐标，确定两个函数的关系式；

（2）由S＝S+S，进行计算即可；

△△△

AOBAOCBOC

（3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．

【解答过程】解：（1）设直线y＝ax+b与y轴交于点D，

1

在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．

∴OD＝2，

即点D（0，2），

把点D（0，2），C（3，0）代入直线y＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，

1

16

∴直线的关系式为y＝﹣x+2；

1

x+2得， 把A（m，4），B（6，n）代入y＝﹣

1

m＝﹣3，n＝﹣2，

∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），

∴k＝﹣3×4＝﹣12，

∴反比例函数的关系式为y＝﹣，

2

因此y＝﹣x+2，y＝﹣；

12

（2）由S＝S+S＝×3×4+×3×2＝9．

△△△

AOBAOCBOC

的解集为x＜﹣3． （3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞

【总结归纳】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线

段与坐标的相互转化是解决问题的关键．

22．（8分）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B

方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B

的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，

解答下列问题：

（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？

（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工

效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？

【知识考点】分式方程的应用；解直角三角形的应用．

【思路分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出

CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求

17

出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；

（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可

求出结果，最后检验并作答．

【解答过程】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，

在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝，BC＝1000千米，

∴CD＝BC?sin30°＝100×＝50（千米），

BD＝BC?cos30°＝100×＝50（千米），

在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），

AC＝＝50（千米），

∴AB＝50+50（千米），

+100﹣（50+50）＝50+50﹣50∴从A地到景区B旅游可以少走：AC+BC﹣AB＝50

≈35（千米）．

答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；

（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，

﹣＝50，

解得x＝＝0.54，

经检验x＝0.54是原分式方程的解．

答：施工队原计划每天修建0.54千米．

【总结归纳】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识，求三角形的边或高的问题一

般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．同时考查了分式方程的应用，解题

的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系，②列出方程，

③解出分式方程，④检验，⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．

23．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作

AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．

（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；

（2）求证：AB?AC＝2R?h；

（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．

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【知识考点】圆的综合题．

【思路分析】（1）连接OD，由角平分线的性质可得∠BAD＝∠CAD，可得＝，由垂径定

理可得OD⊥BC，可证OD⊥MN，可得结论；

（2）连接AO并延长交⊙O于H，通过证明△ACF∽△AHB，可得，可得结论；

（3）由“HL”可证Rt△DQB≌Rt△DPC，Rt△DQA≌Rt△DPA，可得BQ＝CP，AQ＝AP，可

得AB+AC＝2AQ，由锐角三角函数可得AD＝，即可求解．

【解答过程】解：（1）如图1，连接OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴＝，

又∵OD是半径，

∴OD⊥BC，

∵MN∥BC，

∴OD⊥MN，

∴MN是⊙O的切线；

（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，

∵AH是直径，

∴∠ABH＝90°＝∠AFC，

又∵∠AHB＝∠ACF，

∴△ACF∽△AHB，

∴，

∴AB?AC＝AF?AH＝2R?h；

（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC

延长线于P，连接CD，

∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD＝α，

∴＝，

19

∴BD＝CD，

∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，

∴DQ＝DP，

∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），

∴BQ＝CP，

∵DQ＝DP，AD＝AD，

∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），

∴AQ＝AP，

∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，

∵cos∠BAD＝，

∴AD＝，

∴＝＝2cosα．

【总结归纳】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和

性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键．

24．（9分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的

抛物线y＝ax+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．

2

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是?OABC的面积的，求点R的坐标；

（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，

求点P的坐标．

【知识考点】二次函数综合题．

【思路分析】（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，将点A的坐标代

入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，联立①②即可求解；

20

（2）△ADR的面积是?OABC的面积的，则×AD×|y|＝×OA×OB，则×6×|y|＝

×2×，即可求解；

RR

（3）∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，则△PRE为等腰直角三角形，当直线MD上存在唯一的

点Q，则RQ⊥MD，即可求解．

【解答过程】解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，

将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，

联立①②并解得，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x+x+③；

2

（2）由抛物线的表达式得，点M（1，3）、点D（4，0）；

∵△ADR的面积是?OABC的面积的，

∴×AD×|y|＝×OA×OB，则×6×|y|＝×2×，解得：y＝±④，

RRR

联立④③并解得或，

故点R的坐标为（1+，﹣）或（1，﹣）或（1，）或（1﹣，）；

（3）①当点P与M重合时，存在唯一的点Q（4，0）与D重合，此时符合题意，P（1，3）．

②根据对称性可知．P（1，﹣3），Q与D重合时，也符合题意．

③当点P是EM的中点，点Q是DM的中点时，也符合题意，此时P（1，）

综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，3）或（1，﹣3）或（1，）．

【总结归纳】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的

计算等，综合性强，难度较大．

21