2022-2023学年北京市丰台区高一下学期期中阶段测试数学试题【含答案

2023年12月14日发(作者：特斯拉2023预售款)

2022-2023学年北京市丰台区高一下学期期中阶段测试数学试题一、单选题1．向量??a?b?23π????，a与b的夹角为4，则a?b等于（

）A．?22【答案】AB．22C．?2D．4??【分析】利用向量数量积定义即可求得a?b的值.??a?b?23π??，a与b的夹角为4，【详解】向量??3πa?b?2?2?cos??224则故选：A2．化简1?2sin10?cos10?等于（

）A．sin10??cos10?C．cos10??sin10?【答案】CB．sin10??cos10?D．?sin10??cos10??π?x??0,??4?，则cosx?sinx，即可得出答【分析】由同角三角函数的平方关系化简已知式，再结合案.【详解】1?2sin10?cos10???sin10??cos10??2?sin10??cos10?，?π?x??0,??4?，则cosx?sinx，由三角函数的图象可知：当所以sin10??cos10??cos10??sin10?.故选：C.3．在三角形ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若sinC的值为（

）c?3,a?2,sinA?13，则角1A．6【答案】C2B．91C．2D．1【分析】由正弦定理得到答案.23?1ac1sinCsinC??2.【详解】由正弦定理得sinAsinC，即3，解得故选：Cπ??y?sin?2x??6?的图象（

）?4．函数A．关于直线x?π3对称B．关于直线x??π3对称?π??,0?C．关于点?6?对称【答案】B【分析】根据选项，采用代入法，判断选项.?π??,0?D．关于点?3?对称ππ?5π?π??πf???sin?2????sin??1x?36?6?3对称，故A错误；【详解】A.?3?，所以函数不关于直线??π?π??π??π?πf????sin?2???????sin?????1x??2???3?6?3对称，故B正确；B.

?3?，所以函数关于直线ππ?π?π???π?f???sin?2????sin?1?0?,0?6662??C.

??，所以函数不关于点?6?对称，故C错误；ππ?5π?π???π?f???sin?2????sin?0?,0?3366????D. ，所以函数不关于点?6?对称，故D错误；故选：B5．函数f?x??sinx的一个单调递减区间是（

）?????,???2?A．??3????,?2?C．???3???,?B．?44??3???,2???D．?2【答案】D【分析】由y?sinx的图象与性质得f(x)的单调减区间.?π??kπ,π?kπ??f(x)?sinx?，k?Z，所以D【详解】由y?sinx的图象与性质，的单调减区间为?2符合题意.故选：D.6．如图，函数（

）f?x?的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则f?x?的解析式可以是2π??f?x??sin?2x??3??A．π??f?x??cos?2x??3??C．π??f?x??sin?2x??3??B．π??f?x??cos?2x??6??D．【答案】B【分析】将图象上特殊点的坐标代入选项进行排除，由此得出正确选项.?π??π?f???sin????1?2?，不正确；【详解】对于A选项，由于?12??π?f???cosπ?0对于C选项，由于?3?，不正确；5π?π?f???cos?036对于D选项，由于??，不正确；函数f?x?的图象上特殊点代入B检验，都满足，故B正确.故选：B7．已知函数①函数f?x??cos2x?sinx2，给出下列四个结论：f?x?的最小正周期为2π； ②函数③方程f?x?为偶函数；f?x??32有无穷多个实根；

πg?x??sin2xf?x?④将函数的图象向右平移4个单位长度后，所得图象与图象重合. 其中，所有正确结论的序号是（

）A．①③【答案】C【分析】先根据二倍角得余弦公式化一，再根据余弦函数得周期性即可判断①，根据余弦函数的奇偶性即可判断②；根据余弦函数的值域即可判断③；根据平移变换结合诱导公式即可判断④.【详解】f?x??cos2x?sinx2?cos2xB．②③C．②④D．①④，2π?π2，故①错误；对于①，函数对于②，因为对于③，因为f?x?的最小正周期为T?f??x??cos2x?f?x?，所以函数f?x?为偶函数，故②正确；，所以方程πf?x?对于④，将函数的图象向右平移4个单位长度后，f?x??cos2x???1,1?f?x??32无实根，故③错误；π?π???y?cos2?x???cos?2x???sin2x?g?x?4?2???得，故④正确.故选：C.8．已知函数f?x??sin2x，x??a,b?，则“b?a≥?2”是“f?x?的值域为??1,1?”的（

）A．充分而不必要条件C．充分必要条件【答案】BB．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】利用特殊值法判断充分性不成立，再利用正弦型函数的单调性可判断必要性成立，由此可得出结论.【详解】充分性：取a?0，b??2，则b?a≥????x??0,??2?，则2x??0,??，可得2成立，此时f?x??sin2x??0,1?，充分性不成立；必要性：函数因为函数f?x??sin2x的最小正周期为T?2???2，f?x?在?a,b?上的值域为??1,1?，当函数f?x?在?a,b?上单调时，b?a取得最小值，且有b?a?T??22，必要性成立.b?a≥?2”是“f?x?的值域为??1,1?”的必要而不充分条件.因此，“故选：B.【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.9．已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形所在平面上的动点，且值是（

）A．0【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，由直线与圆的位置关系求解.【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：B．4C．42D．8????BP?2????????，则DB?AP的最大????BP?2?x?2?，得到2?y2?2????????，再根AP?DB?2x?2y，利用则则A?0,0?,B?2,0?,D?0,2?，设P?x,y?，，????????????AP??x,y?,DB??2,?2?,BP??x?2,y?????BP?2因为?x?2?，所以2?y2?2，所以点P的轨迹是以?2,0?为圆心，以2为半径的圆，????????AP?DB?2x?2y，令t?2x?2y，因为圆心?2,0?到直线t?2x?2y的距离为?2?0?t?8，d?4?t22，4?t则22????????DB?AP所以的最大值是8，故选：Dfx?sin?x?3cos?x(??0)10．如果函数??的两个相邻零点间的距离为2，那么f?1??f?2??f?3????f?9?的值为（

）．C．3D．?3A．1【答案】AB．?1【分析】利用辅助角公式化简函数f(x)，由已知求出?，再结合函数式计算作答.2πππ???f(x)?2sin(?x?)f(x)??0T2，3T?4【详解】依题意，，函数的周期，而，则ππf(x)?2sin(x?)23，f(1)?f(3)?2sin5π11π4π7π?2sin?0f(2)?f(4)?2sin?2sin?06633，，5π?16.所以f?1??f?2??f?3????f?9??f(1)?2[f(1)?f(2)?f(3)?f(4)]?f(1)?2sin故选：A二、填空题?π3π?x??,??22?，则x?____.11．若tanx?1，5?5?【答案】4/4【分析】根据正切函数值求解即可.x??π3π?π5πx??,??kπ,?k?Z?x??22?，故44.，又【详解】tanx?1则5π故答案为：4三、双空题12．已知????,0?2?π?π???3cos?????sin???4?____.??，且5，则sin2??_____；727210/10【答案】

?2425/?0.96 π??cos????4?的?【分析】利用二倍角正弦公式即可求得sin2?的值，利用两角和的余弦公式即可求得值.【详解】因为????,0?2?π??34sin???cos???，且5，则5，24?3?4sin2??2sin?cos??2???????25?5?5则π?22242?3?72?cos?????cos??sin?????????4?22252?5?10?2472故答案为：25，10?四、填空题13．已知向量【答案】31【分析】结合平面向量的数量积的运算律，利用平面向量的模公式求解.π??【详解】解：因为向量，a与b的夹角为6，??2??2?2???22a?b?2a?b?4a?4a?b?b所以，??a?2,b?3??π??2a?b?，a与b的夹角为6，则_________.??a?2,b?3???4?22?4?2?3?cos所以??2a?b?31π?6???31，32，故答案为：312y??sinx?sinx?1的最大值为______.14．函数5【答案】4/1.252【分析】利用二次函数性质即可求得函数y??sinx?sinx?1的最大值155y??sin2x?sinx?1??(sinx?)2??244【详解】又?1?sinx?1，则当2sinx?12时，5函数y??sinx?sinx?1的最大值为45故答案为：415．如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动．当圆M滚动到圆M?时，3π圆M?与直线l相切于点B，点A运动到点A?，线段AB的长度为2，则点M?到直线BA?的距离为

_____．21222【答案】/3【分析】根据条件可得圆旋转了4圆周，作图可得到?A?M?B是等腰直角三角形，进而可求得M?到BA?的距离．【详解】根据条件可知圆周长为2π，∵AB?3π33??2π24，故可得圆旋转了4圆周，A?位置如图：?则?A?M?B?90，则?A?M?B是等腰直角三角形，则M?到BA?的距离d?22r?22，2故答案为：2．五、双空题16．已知矩形ABCD中AB?2，AD?1，当每个?i(i?1,2,3,4,5,6)取遍?1时，?????????????????????????1AB??2BC??3CD??4DA??5AC??6BD【答案】 0

的最小值是_____，最大值是_______．217【解析】建立直角坐标系，向量坐标化求模长的最值即可B?2,0?,C?2,1?,D?0,1?【详解】建立如图所示坐标系： ,则????????????????????????|?1AB??2BC??3CD??4DA??5AC??6BD??1?2,0???2?0,1???3??2,0???4?0,?1???5?2,1???6??2,1???2?1?2?3?2?5?2?6,?2??4??5??6?由题意若使模长最大，则不妨设为?1??3??2,?2??4??2,

?1??3?2,?2??4?2,?????????????????????1AB??2BC??3CD??4DA??5AC??6BD则当当??????4?2?5?2?6,2??5??6??5??6?2,?5??6?0时模长最大为217?1??1,?2?1,?3?1,?4?1,?5?1,?6??1时模长最小值为0故答案为：0；

217【点睛】本题考查向量坐标化的应用，建立坐标系是关键，考查推理能力，考查计算与推理能力，是难题六、解答题43?cos???5.2，17．已知cos?π???tan?2π????π?sin?????2?(1)求的值；????π??tan????4?的值；(2)求?(3)求cos2??sin2?的值.3【答案】(1)4(2)717(3)25?【分析】（1）利用同角三角函数关系求出sin?,tan?，最后利用诱导公式即可；（2）利用两角和与差的正切公式即可；（3）利用二倍角的正弦和余弦公式即可.3?4?43πsin???1??????cos???π???5，?5?5，则2，【详解】（1）因为所以所以cos?π???tan?2π????cos???tan??3??tan??cos?4?π?sin?????2?2tan??34，π3?1π??44tan???????7π34??1?tan?tan1??144（2）.tan??tan（3）因为π???43π3cos???sin???5，2，5，2217?4??3??4?cos2??sin2??2cos??1?2sin?cos??2?????1?2??????????25?5??5??5?所以18．已知????????????OA???2,1?,OB??0,4?,OC??x,3?.????????(1)求向量OA和OB所成角的余弦值；????????AC?AB(2)若，求实数x的值；????????(3)若向量OA在OC方向上的投影的数量为1，求实数x的值.5【答案】(1)5(2)x??5(3)x?0【分析】（1）由向量数量积的定义及坐标表示求解；（2）由向量垂直的坐标表示求解；（3）根据投影数量的概念计算．????????????????OA?OB?2?0?1?45cosOA,OB???????????55?4OAOB【详解】（1）；????????AC??x?2,2?,AB??2,3?（2），????????????????AC?ABAC?AB?0，为，所以所以2?x?2??6?0，所以x??5；????????（3）向量OA在OC方向上的投影数量为所以x?0或x?4（舍）????????OA?OC?2x?3?1?????2OCx?9?π??π?f?x??4sin?2x????????0??,23??.?2?，且图象经过点?419．已知函数(1)求?的值；(2)求f?x?图象的对称中心坐标；?5π?x??,π??12?，求函数f?x?的最大值和最小值.(3)若π【答案】(1)6??kππ???,0?(2)?212?，k?Z(3)最大值为23，最小值为?4【分析】（1）直接代入点可解得?.（2）令2x?π?kπ6，k?Z可得对称中心的横坐标.（3）结合正弦函数的单调性可直接判断函数在什么位置取得最大值最小值.?π?,23??f?x??，【详解】（1）因为函数的图象经过点?4?π??π?f???4sin?????23?2?所以?4?，所以所以cos??π3????02，又2，???π6π??f?x??4sin?2x??6??（2）由（1）知：2x?πkππ?kπx??k?Z6212，k?Z，得令?kππ???,0?所以对称中心：?212?，k?Zπ?2π11π??5π?x??,π?2x???,6?36??12?，所以?（3）因为π2π5π?x?12时，f?x?取最大值为23，63即所以当π3π5π2x??x?62即6时，f?x?取得最小值为-4.当2x?π??f?x??2sinxcos?x??4?.?20．已知函数?π?f???(1)求?4?的值；(2)求f?x?的单调区间；?π??x??0,??2?，关于x的方程f?x??a?0都有解，求实数a的取值范围.(3)若对?π?f?????2【答案】(1)?4?3ππ?π5π???kπ?,kπ?,k?Zkπ?,kπ?,k?Z????8888????(2)增区间为，减区间为?2??2,1???2??(3)?π?f???【分析】（1）利用特殊角三角函数值即可求得?4?的值；（2）利用整体代换法即可求得f?x?的单调区间；?π?0,?f?x??（3）求得在?2?上的值域，进而求得实数a的取值范围.?2??π??π??ππ?f????2sin???cos?????2????1??2???44442????????【详解】（1）π?ππ???f?x??2sinxcos?x???2sinx?cosxcos?sinxsin?4?44???（2）?2sinxcosx?2sin2x?222sin2x?cos2x?222π?2π?2???sin?2x???f(x)?sin?2x???4?2，所以4?2，??由2kπ?πππ3ππ?2x??2kπ?kπ??x?kπ?242，可得883ππ??kπ?,kπ?,k?Z??f(x)88?则增区间为?；2kπ?由π5πππ3πkπ??x?kπ??2x??2kπ?88242，可得π5π??kπ?,kπ?,k?Z??f(x)88?则减区间为?；π?π5π??π?2x???,?x??0,?4?44?（3）因为?2?，所以?π??2??2?sin?2x?????,1?f?x????2,1??4??2?2???则，则?π??x??0,??2?，方程f?x??a?0都有解因为?2??2,1???2?f?x??a?a即有解，所以的取值范围是.π?π???f?x??asin?2x???2cos2?x??(a?0)6?6???21．已知函数，且满足______________.(1)求函数f?x?的解析式及最小正周期；(2)若关于x的方程f?x??1?00,m?在区间?上有两个不同解，求实数m的取值范围.?π??,0?f?x?f?x?从①的最大值为1，②的图象过点?6?，这两个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答.（注：如果两个条件都选分别解答，按第一个解答计分.）π??f?x??2sin?2x???16?，最小正周期T?π?【答案】(1)4π7π?m?3(2)3π????a?1?sin?2x???1f?x?6?，即可求最小正周?【分析】（1）应用二倍角余弦公式、诱导公式化简期，再根据所选条件求参数a，写出解析式.π??sin?2x???16?在区间?0,m?上有两个不同解，结合正弦型函数性质列不等式求m范围.（2）由题意?π?π?π?π?????f?x??asin?2x???cos2?x???1?asin?2x???cos?2x???16?3?6?6?????【详解】（1）因为π???π?π?π???asin?2x???cos??2x?????1??a?1?sin?2x????16?6?2?6?，????所以函数f?x?的最小正周期T?π，因为a?0，所以函数f?x?的最大值为a.π??f?x??2sin?2x???16?；

?若选①，则a?1，函数若选②，则?a?1?sin??2??π?ππ??f?x??2sin?2x???1???1?16?；66??，得a?1，故函数π??sin?2x???1f?x??16?在区间?0,m?上有两个不同解，（2）由得：?π?ππ?2x????,2m??x??0,m?6?66?，当时，4π7π5ππ9π?m??2m??3.62，解得3所以222．在?ABC中，?ABC?2π3，AB?BC?4.????????(1)求CB?CA的值；????????ACBCCP?AP(2)如图，动点P在以B为圆心，为半径的劣弧上运动，求的最小值.【答案】(1)24(2)?8【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合数量积公式求解即可；????????π??CP·AP??16sin?????8P?4cos?,4sin??6??（2）建立直角坐标系，设，进而可得，再结合角度范围与三角函数的取值范围求解即可.????????2πBC·BA?4?4?cos??83【详解】（1）因为，????????????2????????????????????CB?CA?CB?BA?BC??BC?BA?BC?8?16?24所以??（2）建立如图所示的直角坐标系，则因为B?0,0?,C?4,0?，?ABC?2π,AB?4A?2,233，根据三角函数定义，，??而点P在以B为圆心，BC为半径的劣弧AC上运动，可设所以P?4cos?,4sin??，其中???0,?2π??3??.????????CP?AP??4cos??4,4sin???4cos??2,4sin??23???16cos2??8cos??8?16sin2??83sin?π????16sin?????86???8cos??83sin??8?，因为???0,π?π5π?π??1???2π????,sin??????,1????66663??，所以??，???2?，π????????3时，CP?AP取得最小值?8，当????????所以CP?AP的最小值为?8.??