经济数学基础(专科)复习资料x

2023年12月27日发(作者：奥迪s5落地多少钱)

《经济数学基础》课程复习资料

-、填空题:

1 ? *

x sin —

1 .极限1 im ----- 疋= _______ o

心0 sin %

2. 已知兀T 0时°, (1 + 67X2)3 - 1与COSX-1是等价无穷小，则常数沪 _____

)(C0SXA \'\" °已知 /(x) = |[G,X

；在兀=0 处连续，则 a= __________________ o

4. 设 /(x) = x2-3x4-2, WJ

f[f(x)] = _______________ o

5. 函数 /(兀,y) =6.

22 ln[(16-x -

y)(x + y2 -4)]的定义域为 __________ 。

2eyz,其中z = z(x,y)由x+y+z +尢yz = 0确定的隐函数，则一-

& (0.1)

x2 设u =

= ________

7. jx sin

2xdx =

2_。 8.设 /(x) = x2 4-

fMdx,则 /(x)=

9. __________________________________________________________ 在区间[0,刃-上曲线y = cosx, y = sin x Z间所围图形的面积为 ____________________________ 。

f4<0 r |

10. I

dx — — 9 则 k—

Jo 2

2 2

11. 设均匀薄片所占区域D为：^ + ^0则其重心处标为 ___________ o

za tr

12. 工收敛区间为 ____________ o

n=i

3\" ?

13.函数/(x)=『的Maclaurn级数为=

14. 函数f(x) = arctan

x展成x的幕级数为arc tan

x = _______

。

8 1

15. ______________________________________________ 设级数》〒收敛，则常数p的最大取值范围是 _______________________________________ o

;?=1

16. 微分方程4y\" - 20# + 25 = 0的通解为 ________ 。

17. 微分方程/-3/ + 2y = xev的特解形式为 ___________ 。

18. ]|||线尸f(Q过(0,-丄)点，其上任一点(兀,y)处切线斜率为xln(l+x2),则/(%)=_

19. 满足方程 /(兀)+ 2(丁

f(x)dx = x 的解是 /(x) = ________ 。2

2 3 4

21.行列式］

5 5 5

7 & 9第四行元索的代数余子式之和每+九+人3 +厲厂

6 4 1

1 1

a0、

也可逆，且C」

22. 1

a 1=0,则沪1 或二 __________

23?设也

24.设A, B为两个已知可逆矩阵,且1-B可逆，则方程A+BX二X的解X=_

2 -1

25?矩阵4

0 -3

2的秩为

26. 已知给定向疑q=(l 1 1), a2 =

(a 0

b), a. = (1 3 2),若少,冬,巾线性相关，则a, b满

足关系式 ______ o

27. 已知向量组⑴与向量组(II)可相互线性表示，则r⑴与r(II)Z间的大小关系为 ___________ 。

2& 向量组⑷=(一1,2,-1),Q

= (3,6,3),线性 ___________ 。

29. 若方程组Ar = 0有非零解，则A的列向量组线性 _______ 。

30. _________________________________________________________________ 设A为mxn矩阵，非齐次线性方程组有唯一解的充要条件r(A)r(Ab) = ________________________ 。

31. 如果线性方程组AX =方有解，则它有唯一解的充分必要条件是它的导出组AX =0 ______________ 。

kx+ y - 2x = 0

32. _____________________________________________________________ 若齐次线性方程组x+炒+ 2z = 0有非零解，且疋工1,贝必的值为 _________________________________ 。

kx + y + kz = 0

33. a, 0分别为实对称矩阵人的两个不同特征值入,禺所对M的特征向量，则Q与0的内积

(/〃)= ________

34. 二次型 /(Xj,x2,x3, x4) = _ + x2x3 的秩为 o

35?事件A、B相互独立,且知P(A)=0?2, P⑻二0.5,则P(AUB)= ___________ 。

36. 对同一冃标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击命中率分别为0. 4, 0. 5, 0.7,则在三次射击中恰

有一次击屮目标的概率为 _______ o

37. 若随机事件A和B都不发生的概率为p,则A和B至少冇一个发生的概率为 ______ 。

38. 在相同条件卜?，对目标独立地进行5次射击，如果每次射击命中率为0. 6,那么击屮目标k次的概率

为 ______ (0 < Z: < 5) o

39?设随机变量X服从泊松分布，H.P{X=1} = P{X = 2},则P{X=3}= _______________________ o

40.若二维随机变量(x,y)的概率密度为/(%,刃= ------------ 「 ----- - 则二维随机变量(x,y)的分布

? 兀~(16 + 兀「)(25 + 歹)

函数为 ______ o

二、单项选择题：

1 ?下列各对函数中，相同的是

A. /(x)二 JP\",g(x)二兀

f(x) = In x2, g(x) = 21n x

C. /(x) = lnx3,^(x) = 31nx

x2-l

[]

2.设函数/⑴的定义域是全体实数，贝IJ函数/(%) - /(-%)是

A.单调减函数 B.有界函数 C.偶函数

D.周期函数

[]

3. 函数/(X)= X ---------

(G〉0,GH 1)

xa +1

A.是奇函数

C.既是奇函数乂是偶函数

4. 函数/(X)= xsin —在点兀=0处

5.已知lim(上一

-ax-b) = O

其屮/ b是常数,

心0

x+l

A. a=l, b=l B. a=T, b二 1 C. a=l, b=-l

D. a=-l, b二T

6.下列函数中，在给定趋势下是无界变虽且为无穷大的函数是

D? /W = ------- ,g(x) = x_l

%+l

x[]

B.是偶函数

D.是非寄非偶函数

[]

C.有定义但无极限

D.无定义且无极限

[]

A. y = xsin —(兀 T oo) B. y = n(_l) (TI —> oo) C. = In x(x —> +0)

7.下列结论中不正确的是

D. y = —cos —(XTO)

兀

[]

A. /(x)在无二无)处连续，则一定在兀。处可微 B.

f(x)在无= x()处不连续，贝ij一定在无)处不可导

C. 可导函数的极值点一定发生在其驻点上

D. 若f(x)在[a, b]内恒有f(x) < 0 ,则在[a, b]内函数是单调下降的

8.设函数 /(x) = <

0,x = 0,

兀工0?

，则/(x)在点尢=0处

B.极限存在但不连续 C.连续但不可导

D.可导

[]

A.极限不存在

9. 设F(x) = x \' \'，其中/(劝在点x = 0处可导，广(0)工0 J(0) = 0,则x = 0是尸(兀)的[]

(连续点 B.第一类间断点

C. 第二类间断点

10?两数/(兀)具有二阶导数，y = /(lnx),贝I」一d2y

dx 二

n,A. -/r(lnx)

-[xf(nx)-f(nx)]

C. -1 /w(ln

x) - /71n

x) |

—fn(nx)

11. 函数z = ln(x2 +

y~ — 2) +』4 -- y?的泄义域为

x2 + y2 ^2 B. x2 + y2 工 4

C. x2 + y2 > 2

12.

在x = O的某个领域内连续，且/(O) = O, lim

/⑷ =1,则在点兀=0处，/(%)

5 2 sin 2 兰2

A.不可导 B.可导，月?广(0)工0 C.取得极大值

13.

于(兀)，g(x)是大于零的可导函数，且广(兀)g(x) - /(劝債(兀)< 0 ,则当a

f(x)g(b) > f(b)g(x)

f(x)g(a) > f(a)g(x)C. /(x)g(x) >

f(b)g(b)

f(x)g(x)> f(a)g(a)

14. 函数z二兀\'一 y3 +3A:2 +3j2 一9兀的极值点有

A. (1,0)和(1,2) B. (1,0)和(1,4)

C. (1, 0)和(-3, 2)

15. 函数 /(x,

y) = x2 -ay2 (a>0 为常数)在(0,0)处

A.不取极值

B. 取极小值

C.取极人值

D. 是否取极值与a有关

16. 设随机变量X服从N(〃,4)，则P{X <2 + //}的值

A.随“增大而减小 B.随“增大而增大

C. 随“增大而不变

设随机变量X的分布律为P{x=k} = b^ (k = 1,2,…)，则

B. 0

[]

D. 2 < x2 + y2 < 4

设/(x)[]

D.取得极小值

设函数 []

[]

D. (-3, 0)和(-3, 2)

[]

D.随//减小而增大

17.

00 8 00 CO

18.设有一下命题：①若工仏“-1

+弘2“）收敛,则工血收敛。②若工如收敛，则工竝+1000收敛。

00 00 8

③若lim仏

> 1，则工冷发散。④若工仏+ vj收敛，则工Un

工匕都收敛。

齐一>8

n=i n=l n=l

/:=!

以上命题中正确的是

A.①② B.②③ C.③④

D.①④

00 Q0

19. 设级数?（-以色2”收敛，则级数?色

,7=1

〃=1

A.绝对收敛

B.条件收敛

C?发散 D?不确定

20. 微分方程(x+y)(dx-dy) = dx+dy的通解是

A.兀 + y+ ln(x+ y) =

c B. x-y+ ln(x+

y) = c

x+ y-ln(x+

y) = c D.

x- y-ln(x+ y) = c

21?设）/（兀）满足微分方程/-5/ + 5y = 0,

若f（x0） < O，r（xo） = 0,则函数/（兀）在点A.取极大值 B.取极小值

兀0 [C.附近单调增加

D.附近单调减少

4 2 2纠| 0

22.若\"12 =6,则

a22 2a2l 0的值为

a22

0 -2 -1

A. 12 B.-12 C. 18 D. 0

23. A, B为n阶矩阵，则下列结论正确的是

[

A.|-A|=|A|

|A+B|=|A|+|B|

C. |kA|=k|A| D. |AB|=|A||B|

24.要断言矩阵A秩为r, 只须条件（）满足即

[

A. A中有r阶子式不为可。0

B.A中任何r+1阶子式为0

C. A小不为0的子式的阶数小于等于r

D. A屮不为0的子式的最高阶数等于

\'1 3 -2 10_

25.矩阵 ° 1 1

的秩为

0 0 1 00

_0 1 0 00

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

26.设n阶非零方阵A、B满足等式AB=O,则

[

A. A = 0 或|B|=0 B. A=0 或 B=0

C. A+B=O D. |A|=0 H|B|=0

27.向量组少,也,…，匕线性相关的充分必要条件是

[]A. &1卫2,中含有零向量

B. 卬皿2，???，1中有两个向量的对应分量成比例

C. &|皿2,…,色小每一个向量都可由其余S-1个向量线性表示]

]

D?es，…心屮至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示

28. 线性方程组AX = B有唯一解，那么AX=O

A.可能有非零解 B.有无穷多解

C.无解

C.有非零解

D. 有唯一?解

[]

29. 线性方程组AX = 0满足结论

A.可能无解 B.只有0解

D. 一定有解

30.矩阵人_返

3 _2对应的实二次型为

[]

9 1

、~2

3 门

--0

2迈X\'X? +XjX3

-x^ - x2x3

x}x2 +x,x3 -3X22

-3X2X3

A.兀]+ —兀]兀2 + 2兀]兀3

C. V2X,X2 + 2兀1 兀3 +3X22

3X2X3

31.4、B为n阶方阵，4与B相似，则

A.它们的特征向量相同

C. 它们和似于n同一?对角阵

B.它们的特征矩阵相同

D.它们的特征值相同

2 1的特征向最，则? =

32.已知a = (l,k,iy是矩阵1

A.1 或 2 B. -1 或-2 C.1 或-2 D. T 或 2

33. 在某学校学生中任选一名学生，设事件A表示“选出的学牛是男生”，B表示“选出的学牛是三年生”，C表示“选出的学生是篮球运动员”，则ABC的含[

级学

义是

B.选出的学生是三年级男了篮球运动员

]

A.选出的学生是三年级男生

D.选出的学生是三年级篮球运动员

abcdef

34.行列式

-abdf C.

abdf

三、计算题：

1.在100km长的铁路线AB旁的C处冇一工厂，与铁路垂直距离为20km,由铁路B站向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价比为5:3。为节约运费，在铁路D处修一货物转运站。设AD距离为xkm,沿CD修一公路，试将侮吨货物的总运费y表示成x的函数。

2?判断下列两数的奇偶性：

(1)

/(x) = ^(2v + 2-v)

(2) /(x)=———+ sin

% +1

(3) /(x) = lg(7x2 +1 + x)

3.某年度季节性商品销售量在1刀1 口最低至6000,在7刀1 口最高至9000,销量Q在此两值Z间依止

弦曲线

改变，求Q作为时间t的函数表达式。

1 . 1

4?已知/(兀+ ―) = f+=,求两数/(兀)。

兀对

5?求下列函数的定义域：(1)

(2)

f(x) = arcsin — + lg(x +1)

求：(1) /(x+1),

f[f(x)] (2) /(兀)的反函数

x-l,x< 0,

x2,x>0

7 ?设事件A、B的概率分别是許斗求在下列三种晴况下P丽的值。

⑵ A\"

(3) P(AB)U

(1) A与B互斥

&设一个仓库中有十箱同样规格的产詁。已知其中有五箱.三箱、二箱依次是甲厂、乙厂.丙厂化产的,

且甲厂、乙厂、丙厂生产的该种产品的次品率依次为缶越弄从这十箱产品中任取-件产品

求取得正品的概率。

9.在某一车间里有12台车床，每台车床由于工艺上的原因，需要经常停不。设各台车床的停不(或开年)

是和互独立的。设每台车床在任-时刻处于停车状态的概率吋。计算在任-指定时刻车间里有2台

车床处于停车状态的概率。

10. 设某随机变量的分布函数为F(x) = A + Barctanx, W确定A,B的值。

11. 某工厂生产某产品，年产量为Q台，每台售价为250元。当年产量在600台以内时，可以全部售出，

经广告宣传后又可载多售出200台，每台平均广告费20元。若再多生产，本年就销不出去了。试建立本年的销售总收入R与年产量Q之间的函数关系。

12. 里昂混凝土公司是阿肯色州北部惟一的供应混凝土的垄断企业，企业的混凝土需求函数为

P = 110-42,公司的固定成本为400,每生产一个单位的混凝土需增加10个单位的成本，该公司的

最大生产能力为18,给出其总利润两数并计算盈亏平衡点处的产量及价格。

x,O

13.

lnx,l

14.

设/(x) =

i i ,求：(l)/(x)的定义域(2)/(0), /(I), /⑵。

已/(x) = sin

x, = 1 - x2,求卩(兀)的定义域。1& 求 lim

严、1

兀―>一1

x- -2x + l

八tanx

19.求 lim ------

兀->° %

15. 求lim(2x2 一兀 +

XT2

17.求 lim：2—Z

23 f +x_]2

2 sin

z f

小

20. ---------------- 求 lim

(ah H 0)

x->° sin

21 .求 limH竺

“0 %2

22.求 lim 1

XTO

23.求 lim

X-?OO

24.求 lim

25.讨论函数

%-l,x<0;

f(x) = <

2x-l,0

x + .x>.

在x二0及x=l处的连续性。

arcsin

26.求 lim

XT()

27.求lim岂匕

XT()

29 ?求 lim(l + 2x)sinv

ATO

Y2 — 5x + 4

30.计算极限忸

j9 + sin3兀 -3

兀

31?计算极限lim ?

XT4

x- -X-2

33. 研究函数f(x)二兀在x = 0处的可导性。

34. 研究函数/(x)=頁在兀=0处的可导性。

35.设 y = secx,求 y\"

36.设 y=

w，求 y\'

1 + tan x

，>= lnarctanf,求 y

38.设

y = ln(l-x2),求 y\"

32339.

fx. y) = x3 + x2 y3 - 2y2,求/；(2,1), /v(2,l)

41 ?求极限lim竺竺型

go %-sinx

40?设z = xy-3xy-xy + f 求|4，彩，吕彳，

ox dy oxdy dyox

42.求函数y

_143.求函数y =

X5-5Z + 5x3 +14在［-1, 4］上的极值

44.求不定积分 J (x + 1)2 - 2 cos

xlx

45.求不定积分f 2 a

J cos~ xsin~ x

47.求不定积分Jsin? xcos〉xdx

46.

求不定积分

48.求不定积分 jcos 3xcos

Ixdx

求 j

xedx

x50.求 j x5 In

xdx

丸计算极限吧

y = 2-x以及y轴所围成的闭区域。计算二重积分j](Fy + l)db, D是由直线y =

设菜种商品的需求最Q是价格P的函数，其需求最关于价格的变化率(即边际需求)为

OS\"霁許如果该商品的最大需求量为5。。。，那么：

(1) 试求需求量Q关于价格P的函数关系；(2)当价格从P=50降到P二20时，需求量增加了多少?

求方程^- = sin(x-y)的通解

60.求微分方程)严=的通解

计算行列式

62.计算行列式

1 2 3 4

1 0 2 1

D =

7 1 -3 7

的2 -1 1 0

的-3

4 -3

值

D =

1 2 0

值

-3 7

2 2

-1

1 2 0

计算行列式

64.解矩阵方程

b ?…

3厂-1 0 1)

D =

a ?…

?■的3 -3

、■ ? ??

X = 1 -1 0

? ?

■

值。

[丿

b ?… a0 1 -1

已知

ax = (1,2,-1),

a2 = (2,5,3),

也=(1,3,4),求 0 = 4勺 + Ge - 2&2)。

设n维向量ava2,a3线性无关,而px =ax +a2,/J2 =a2 + a3,/?3

=al +a3。试证明向量组队卩》P?

也线性无关。求解方6&解线性方程组

兀3 +

X4 = 0 x3 -

3X4 = 1

3X2

6X4 = 9

2%2 _ 兀3 + 2 兀4

2*3 + 3

无4

X] + 4兀2 — 7兀3 + 6兀4 = 0

求积分j

*dx

c . 二 4曲一3?2\"

55.求积分xe\'x~dx 56.求级数工&

n=l 5

00 1

5&求方程的通解y2 +兀$

= xy ?心

判断级数工一

(a > 0)的收敛性

n=l 1 + Q

dx dx

的值

V-3 -2

-4、

69.求矩阵A =

-2 2 -2

的特征值与特征向屋。

1 -4 -2

几―3

丿

2、

70. (1)若 4 ? ，3,则/T?

Bm （m为正幣数）：（2）设人0

-3 4

,求冶。

二

<0 4

371丿

.设P(B)=O. 3, P(AUB)=0.6,求P(AB)

72. 若4 = AnC,且P(A)二0.9, P(BUC)=0. 8,求P(A-BC)

73. 求抛物线y = 2-F和直线y = 2x + 2所围成的平面图形的面积。

74. 求抛物线b = 2兀和直线y = x-4所围成的平面图形的面积。

（5 一 2）兀］+ 2 兀2 + 2^3 = 0

75. 问兄为何值时，其次线性方程组｛ 2X,+（6-A）X2=0 有非零解。

2xt +（4- 2）兀3 = 0

76.设Ms）有二阶连续偏导数，

乙=/（兀_）5）,求活

77.对市场上的某种产品抽查两次，设A表示第一次抽到合格品，B表示笫二次抽到合格品。现给出事件A + B,AB,AB9AB,A + B：⑴说明上述各事件的意义；（2）说明哪两个事件是对立的。

参考答案

-、填空题:

2丄

3. e

4. 4x2 -18x + 20

5. {(%,训224 < x 4-

y < 16}

-—X cos

2x + 丄兀 sin 2x + 丄 cos

2x +

9. 2V2 10. 2

11.

12.

[-33)

13. 1 + x -------

2/?+1

n+ ??? +

?,XG (-00,+00)

14.

15. p>T

「

18.

—(1 + x ) ln(l +

x — x )— x

20. (X-1)/

16.

y = (q

+c2x)e

2]_

1亠

19.

-e +兀_

rA_1 0、

23.

< 0沪丿

一 a + y = 0

21. 0

22. -2

24. (1-B)-1 A

25. 2

26. a-2b=0

27.相等

2&无关

33. 0

38. Cf0.6\'0.4\'

29.相关

34. 4

2 4e~39.

30. n

35. 0.6

31.仅有零解

36. 0. 36

32. -2

37. 1-p

F(x, v)=(丄 + 丄 arctan —)(— + — arctan

40.

—)

3.B

14. C 15. A 16. C

27. D 28. D 29. D

三、计算题:

二、单项选择题:

1.C 2.C

4.B

17. C

30. B

5.C

18. B

31. D

6.C

19. A

32. C

7. A 8.C

20. D 21.B

33. B 34. B

9. B

22. A

10. c 11.D

23. D 24. D

12. D 13. A

25. C 26. D

设公路上lkm/t货物运价为a元，那么铁路lkm/t的货物运价为爲元,

则|CD|

= A/X2+400 ,则

1?解:

Wy = — a(i00-x) + ayjx +400 , (05x5100)。

22. 解:

(1)

因为心）弓25心吩（2,+ 29〃），所以心冷（2PJ为偶函数。

(2) -------------------------- 因为 f(一兀)= --------- ——+ sin(—x)= sinx,所以/(一兀)H/(兀)，且/(一兀)工一/(x),故

(一兀)「+ 1 兀 +1

/(x) = —— + sin x为非奇非偶函数。

JT +1

(3) 因为 /(-X)= lg[J(-x)2 + 1

-x) = lg(vX2 4-1 -x) = lg

r————=一lg(J? + 1 +X)= -/(x), V

X + 1 + X

所以/(x) = lg(V X2 + 1 + X)为奇函数。

3. 解:设Q = osin伙f + b) + c,其中t以年初以来的月为单位计量。

2龙

因为周期T= 12个月，即 —— = 12,从而k=—；又因为振幅为9000-6000=3000，故a=1500, c二7500

； k 6

当t二0时，Q二6000为最小值，可取/? = --，则所求函数关系式为2 = 1500-sin(-Z-y)4-7500.

4. 解：f(x + -) = x2+-y = (x + 丄尸一2 令兀 + 丄=u,则得2f(u) = u-2,故/(X)

= X2-2O

5. 解：(1)耍使/ 1 有意义,必须4-〒〉0；耍使J7二[有意义，必须^-1>0,则函数的定义

(4 — x > 0

域为不等式组4 的解集，即为区间[1,2)。

[x-l>0

亠1

(2)函数的定义域为不等式组2 - 的解集(-1,2]0

x+1 >0

又因为0e{0},所以/(O) = 0.而2e(0,+oo),所以/(2) = 22+l = 5o

[(x + l)-l,x + l < 0

[x,x<-{,

6. 解：(1)y(x+i)= <

[(兀 + 1)~,兀 + 1 > 0 [(x + l)~,x> -1

/[/u)] =

/(x)-l,/(x)<0

/2(x),/(x)>0

2(x-l)-l,x< 0 Jx-2,x < 0, (x2)2,x> 0

x,x> 0

4当兀v 0吋，由y二兀一 1可解得兀=1 +

y(y <-1)；当兀> 0时，由y = x 解得

1 + x, x < -1,

Vx,x> 0

(2)

P(BA) = P(B- A) = P(B) - P(A)=丄—丄=丄

7.解：(1)

P(BA) = P(B)=-

2 3 6

(3)

P(B恥 P(B) — P(AB) = g

_1__3

8~8

&解：依次以人、?、岛表示诸事件“取得的这箱产品是甲厂、乙厂、丙厂生产”；以B表示事件“取

得的产甜为正晶”，于是

5 3 2 9 14

P(A)= —44) = 一，P(A) = —, P(B|A)= —,

P(BA2) = —9

P(BA.)=

—

勺 10

1 10 \" 15

按全概率公式,有

P(B) = P(B AJP(A)+

P(B A2)P(A2) + P(B A3)P(4)=0. 92

9.解：P?(2)=

1020

、2 j 1、10

— 1 一丄 =0」272。

2 I 3 H 3

10?解:F(-oo) = lim F(x) = lim

(A + Barctan

x) = A B = 0

X—>-OO x—>—8 9

F(+co) = lim F(x)

XT+8

lim (A + Barctan

x) = A ——B = 0

11.解:

(1)

0<2<600时，R(Q) = 2502 :

(2)

600<2<800时,R(Q) = 250x600 + (250-20)x(Q-600) =

230Q +12000 2 >800 时，R(Q) = =

(3)

196000

则所求函数关系为

R(Q)= 230Q + 12000,600

196000, g >800.

12. 解：收入函数与成木函数分别为

R(Q) = PQ = ilOQ-4Q, C(2) = 400 +10go

该公司的利润函数为 L(e)=

R(Q)-C(e)= -4g2 +1002-400(0

⑻ 令L(g) = 0,得盈亏平衡时的产量<2 = 5(2 = 2 0舍去)，此时价格p二90。

13. 解：(1)于(兀)的定义域为[0,l]u(l,e) = [0^)o

(2) v0

2*:

14. 解：= sin(p(x) = 1 -x2, /.(p(x) = arcsin(l-x2),故?(x)的定义域为一血

15.解:

lim(2x2 -x + 3) = lim-limx+lim3 = 21imx2 -2 + 3 = 9

x->2 x->2

XT2 A->2

A->2

16?解：lim(3x2-l) = 3(-l)2-l = 2

XT-1

lim(3x2-l)

lim (兀？ _ 2兀 +1) = (— 1尸一 2(—1)

+1 = 4 H 0

XT-1

lim(x2 一 2x + l)

XT-1

17 ?解：因为lim(x2+x-12) = 0所以不能直接用四则运算。但当XT3时，总有兀工3,

XT3

2 1

4~ 2

故 lim；J —6

恤(-3)(兀+ 2)二恤出二

兀-3

X^+X-12

XT3(X_3)(兀+ 4) XT3JV + 4 7

1&解:

lim—— = lim

x — 2

L二丄，故lim

19.

解:

24.解:

25?

解:

26?解：令

XT2

X -4 XT2 x + 2 4

?YT2

sinor

“

-ax

lim

tan 兀“ w a

XTO-

------ = lim ----------------

sinx 1

XTO

-- 1

XX COS X

20.解：v smax

lim --------- = lim

/7Y

go sin

bx---------------

=—bxsm bx

決 b

当XT oo时，函数是两个无穷大量之商，不能直接用四则运算法则。

2 2_丄+丄

/ 2 兀__兀 + 3

x x2 2

但 lim ----- ---------- = lim

/(0) = -1, lim/(x)= lim(x-l) = -l, lim/U) = lim(2x-l) = -1,28 3对+2兀一1 38

———2 _ 1

2贝|」/(兀)在乳AT(r A->0~

x x

=0处连续。

X->0+ XT(r

/(I) = 12 +1 = 2, lim

f(x) = lim(2x-l) = 1, lim

广

f(x)XT = lim(x2 广

+ 1) = 2 ,则 /(兀)在兀=1 处不 .v->r

XT连续。

u = arcsinx,则兀=sin %。由arcsinx的连续性，在XTO时，UTO,则

lim -arcsin

----------

= lim大TO 兀

“TO— sin

解:

丄 ?

..ln(l + x)

v = In e = 1 =limln(l + x)=In lim(l + x)lim -----------

A->0

解：令e-l = tf 则兀= ln(l + /),且当XTO 吋，f — 0,则limU^ = lim—-—

XTO

%in(l + r)伽n(l + /)

x2x_

J_ sin

=lim (1 +

2x)2x

XTO

x-H解:

lim(l + 2x)sinx

lim(l+2x)2x)sinx

x->0

解:

..V9 + sin3x-3 lim

A->()

lim

(V9 + sin3x - 3)(79 +sin 3x + 3)

-sin3x lim x

x—>()

A->()

x(v9 + sin 3x + 3)

解:

lim..—— ------------

5x + 4

lim

XT4 (x - 4)(兀-3) XT4 X-3

1)=恤1 = 3

x-l

X-

-X-2解:

lim

(3-x 1

怙(3-x)-(x+l) = Hm 三

ATI

(X-1)(X+1) XT1 X+l

解:

於(°)仙

.f(0+心KO)

=lim ------- = 1

2->o+

以+ 叭 lim 凹“1

心->0一 Arx

(厂 Ax

两者不相等，所以f(x) =

x在x = 0处不可导。

解:

因为 lim

/(0 + 心)-/(()) = hm 辿二9 = 8,所以广(0) = oo

AXTO A

AXT(T

解:

(secx)\'

(cosx)fcosx

-----

cos

x --- =sec

x tan

解:

, (sec兀)\'(1 + tan

x) -sec(l + tan

x)9 sec兀(tan

x + tan

x2 - sec2

y =

(1 + tan x)2 *

(1 + tan

x)2

儿=(lnw)M (arctan v)v

l + v

2(X2解：因为y=—^(i-x2y=^-

-1)-2X-2X

— X X

—1

j9 + sin 3x +3

sec x(tanx-l)

(1 + tan x)2

-2(X2+1)

(宀IF

解:

力(兀,y) = 3x2 +

2xy

3fy(x9 y) = 3xy-4y 所以 ?(2,1) = 16 人(2,1) = 8

給2—券?

茨=2—18?

222

-^- = 6xy-9y - i dydx

「 x(l -cosx) - 1 -cosx + xsinx … sinx + sinx + xcosx

lim

解:

lim --------------- = lim -------------------

sin x

“->() x-sinx

XT() l-cos 兀

解:

XHO时，

2=lim 2 +

x->0

― ----- COS X

sinx )

兀=o吋，y(o)不存在。令y = o得驻点兀=2

? 3 3 3奴

分析可知，极人值y(0) = 0 ；极小值y(2) = --V4

解:

# = 5x4 一 20x3 +1=5x2 (x 一 1)(兀-3)

令/ = 0 ,得驻点%! = 2 , x2 =L x3 = 3 ,而端点分别为x4 =-1, x5 = 4,比较各点函数值得

最小值),(3) = -13,最大值y(4) = 78 o

解:

=+ AZZX+ f

dx - 2 f cos

clx = — x +x +x-2sinx + C

32解:

dx r cos2 x + sin2

cos2^sin2ZJ cos^sin2^X =

J (sec2

x + esc2

x)dx = tan x - cot x + C

解:

訂气严yyw心

l + x

2ZE丿

Y 十

s+c

2 兀cos\'

xdx= fsin2 x(l-sin2 x)2t/(sinx) =—sin3 x-—sin2\' x + —sin7

x + C

J 3 5 7 sin解:

解:

cos 3x cos

2xdx

~ (cos x + cos

5x)dx ~

cos

xdx + — [ cos

5xd (5x) = — sin x + — sin

5x + C

10J 2 10==

49?解：设u = = edx ,则du = dx,v = e

9由分部积分得

xxxxxxx

xedx = j

xde = xe - j

edx = xe - e + C = (x -

V)e + C

50.

解：由分部积分得J x5 In

xdx = j In

c r6

= — x nx- I ——6

51 ?

解:

52?

解:

53?

解:

54?

解:

56.解：因为等比级数》匕

57?解：

d(lnx)

」6

= lx6lnx-lf^ = l/lnx-

?L f sin

rdt

lim-—— =lim --------------- ——“

=sin—limx -2x—— 1“ sinx 1-—=-

xb oo 3 Z)兀 3

D = {(x,y)x< y <2-x,0

得JJ(x2y + l)db = ? J \'(兀2)； + 1)^ =(2(1 — 兀 + 兀2

-x^)dx = —

0 \'

0 6

(1)

由于该商品的最人需求最为5000,即Q(0)=5000,于是所求的需求函数为Q(P) - 2(0) = f

Qx)dx,即 2(P) = 2(0) 4-『

5(1+

6x + 25

兀°

-152)

A/X

5000-|ln(l + P2)-5 arctan

P 一 1 oVF

(2)

当价格从P=50降到P二20时，需求量增加的数量为

2(20)-2(50) = 5000 —?ln(l + 尸)—5arctan P — 10何]20

= 2642

x —

clx =

xe~x dx = jxe

-X

ln3-l

—^ + c

55.解:

A W + l Q a\"

g ( A

所以有》

”=i ?

”=1

5“

n=l

(1)

当0VQV1时,

lim—

1H0,

“TOO ] + /

当

G = 1II寸，丄厶0,工

lim

〃乞1 + / 2

心市发散厶

;

(3)

,由工-收敛知,

du=-^xz

4霑-3》<2

：丫”=1 J

15丿

；?=i IQ

丿

(y^_,dy_y dy

- -p- ---

------- ----------

58?解：将原方程两端同除以/得:

dx x dx----

\'兀丿

令\"厶尸％包=比+兀空

x dx dx

代入上式得ir+u + x—

分离变量得-dx = --du, nx = u-nu + C 将

u = ^-代入，得 lny 二丄+ C

59.解：令u = x-y ,则y = x-u.— = -—,于是原方程变为1 一 — = sinu dx dx dx

分离变量且积分，得f—i—du=dx

J 1 - sin

u 」

即 tan

u +

cosw

---- = x + C

将u =兀一y代回,得原方程通解为tan(x-y) + sec(x-y)-x = C

60.解：= j

xexdx =兀『一 “ +

yf = j

(xeK 一

ex + C^dx = xex 一

2ex + Cxx + C2

61. M： D = 1x196-2x0 + 3x0-4x196 = -588

62.-2

解:

D = (-l)

-8

1 -1

= -10

a + (n-l)b

b…

…b

0 …

a + (n-)b

a …

…b

a-h …

63.解：D =

?? ? ?■= a + {n-??

? ?

■

= [a^(n-l)b]

? ?

a + {n-)b

b…

Y)b],? ? ? ■

? ?

… a

? ?0

?…

= [d + (〃 —1)切(d —旷。

\'2

3-1

<-3 4

9、

64.解：

3 -3

、

5 9

1~~3-3

-12丿

<-1

丿<3 -6

故T

65.解：3e = (3,6厂3) 2色=(4」0,6) — 2% =(—1，—4,—9)

4^3=(4,12,16)

厂-3

9、厂-1

< 7 5

-12、

-3 5 9 1 -1 0

8 4 -12

-6

-12丿

j丿

「9

-6

15丿

故 0 = 4a3 + (3Q] -

2a2) = (3,&7)0

■■

■

a-b

k}+ k3 =0

因a{,a2,a3线性无关，故有土+心二。

此方程只有零解k=k2=%=0

+ 心二 0

所以0],02，03线性无关

解：对增广矩阵（A,b）施行初等变换:

+可见

R(A) = R(A兀I

=兀2

+兀-

9b) = 29

故方程组有解,

并有

兀3

=2X4+

—

取

x2 =x4 = 0

f 则兀1 = x3

即得方程组的一个解zf =

丄

/ X

在对应的齐次线性方程组

卩*+\"中，取及

x =

3X4

〔J「

即对应的齐次线性方程组的基础解系6 =

0 2

o 1 ‘

丁?是所求通解心心e/?）

(

1 - 1 -1

、3

-1

丄

(A/2)=

1 - 1 1 -3 1

0 0 1 -2

1 - 1 -2

0 0 0 0

~2>

)

1°丿

67.

68?解：A =

-3

-5

-6

=27

8 1

-3

-5

-6

|A| =

69.解：因

.解：2 2

-5 2 -1 2

4 6

0 4 -7 6

2 8

-5 1

|A|

1 9

0 -6

-3

-6

0 -5

-1 2

= -108

-5

-27

1 0

-7 6

1 -5 8

-3 0 9

2 -1 -5

=27

于是方程组有解西=3,勺=一4,兀=一 =1。

4 -7 0

A的特征值为人=8,易=入=-1

(二重)

-2 -4

对于& =8,解方程组(8E-A)x= -2

-2 x2 =0 得基础解系P} = (2,1,2)7,

5丿g),一4

-2

所以A的对应于人=8的全部特征向量为心1 ，其中心为非0任意常数。

厂_4 -2 _4、 /

对于人二入=_],解方程组(人? —A)兀

-2 -1 -2

尢2

-4 -2 _4‘

得基础解系P2 = (1,0,-1)丁，P3 = (1,-2,0)y ,故A的对应于入二入二-1的全部特征向量为

di )

=、

“2

马 +

“3

码“2

+ kq

-2

,其中比2,他不同时为

1—丿<0 >

零。

( /

1)证因为A?B,所以有可逆矩阵P,使得P\'}AP = B

于是B 故 ?Bm

(2)由|2E-A|=(A-1)(22 -25)得的特征值为^=1,^=5,^= -5,

可求得入，希，希的特征向量分别为(W)r,p2= (2,1,2/,p3= (1-2,1/

<1 2 1、

‘1 )

,有

P AP = =

l而且是线性无关的，对于p=

0 1 -2

<0 2 1?

q o 5皿 -1、

因此人皿之戶人厂丁“二戶人说/^二0 5,(X) 0

0 0 5I0()

71 .解：P(AUB) = P(A) +P(B)-P(AB),?.? ABu A,P(A) —P(AB)二P(AUB)UP(B)

又由KB = A-AB=>P(AB) = P(A-AB) =0. 6-0. 3=0. 3

72.解：由An 3, AoC,知A = BC=>P (A-BC) = KA) -P (BC)

BUC=> BC, P (BUC) =P(BC) =1-P (BC)

且P(A) =0.9, P (BUC)二0?8nP (A-BC) =0. 9-0. 2=0. 7

73.解：先求出抛物线和直线的交点。解方程组~得交点为(0,2),(-2,-2)

y = 2x + 2

y = 2x2积分变量在-2与0Z间，抛物线y=2-x2位于直线y = 2x + 2上方，所围成图形的面积A为

A = f2(2-?-(2x

+ 2))dx

訂：(-宀2皿弓

y =

x-4

74?解：先求抛物线和直线的交点。解方程组r

2 ,得交点(&4),(2,-2)。直线y = x-4位于抛物

y =2x

线y2=2x的右方，取y为积分变量，积分区间为[-2, 4],贝U所求的面积A为

-2

=18

5-A

75.解：方程组的系数行列式为：|A|= 2

2 2

6-/1 0 =(5-2)(6-2)(4-刃，若方程组侑非零解,

0 4-2

则它的系数行列式|A|=0,从而^^=2,^=5^=8,其次线性方程组有非零解。

76.解：令u = x-y,v = xy ,则 z = /(w, v)于是冬二％毁+ %{ = f； + yf；

ex du ox ov ex

&Z二『 |

眇2二旷1加|旷1创| (旷2加|旷2

dx dx ex du dx dv dx du dx dv dx

77.解：(1)

A + B表示在两次抽査中至少一次抽到合格品，即第一次抽到合格品或第二次抽到合格品，

或两次都抽到合格品；

AB表示两次都抽到合格品；瓜B表示第一次未抽到合格品而第二次抽到合格品；瓜万表示两次都未抽到合格品；A+B表示两次中至少一次未抽到合格品。

(2) v

A+B = A B,而4 + B是而的对立事件，故A +

B^AB是对立事件；又~AB=A + B

f而入斤是AB的对立事件，故AB与A + B是对立事件。?

2 o %

(4 + %~) arctan —

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