而大多答案都一笔带过,只给结果,请问应该用怎么样的思路去看待

2023年12月16日发(作者：本田crv参数配置表)

高中许多导数计算需要用到因式分解，而大多答案都一笔带过，只给结果，请问应该用怎么样的思路去看待

高中许多导数计算需要用到因式分解，而大多答案都一笔带过，只给结果，请问应该用怎么样的思路去看待？ -

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总的来说，因式分解真的不总是容易的。

我在暴力解几何题的时候，碰到了一个九次方程。

这个方程大概（我通过各种方法凑出了这个式子让它跟我见到过的相类似）长这样（按实际意义，x是一个正数）：

有奇次项偶次项，看不出系数有何种对称关系，就很硬的九次方程

这个时候怎么解决这个公式的因式分解问题呢？

方案一:猜根。作为最常用的方案，猜根有其独特的作用。

因为问题的需要，方程往往在一定范围内有解。在试图找到解决方法后，我们可以利用阶乘定理进一步运算方程。 猜根的技巧有很多：

1.若所有项系数之和为0，则x=1为一个解，若奇次项系数之和与偶次项系数之和相等，则x=-1为一个解。

2.如果是整系数多项式（有理多项式也适用），并且可能在Q内有根，用一个简单的定理就能看出该有理根最简分数形式的分子必整除常数项，分母必整除最高次项系数。

3.如果是类整系数多项式，比如我们举的例子，我们常常猜测它在Q(√3)内有根，即有形如a+b√3的根，其中a,b均为有理数。

4.利用题目原本意图。比如证明题，我们就可以将“想要求出的x”代入到式子中辅助因式分解的进行，只要进一步说明其他解不可能发生就可以了。另外这种情况下，还常常有多重根发生。

5.一元高次方程因式分解后除了带有你想要的解的一项之外的因式往往是恒大于零的，如果系数都不大，就有很大可能含有x^n+?+x+1的项，这时候不妨代入x^(n+1)=1，可以更快地看出这种关系。

（6.更进一步的关于复根的估计暂时不考虑）

不过，虽然大量的因式分解题都利用了猜根（因为它无论针对高低次方程都适用），可猜根并不常常可靠，哪怕是最简单的x^3+x=1，想要靠猜根解决它都基本是不可想象的（但理论上没什么是不能猜出来的）。

方案二:求根公式。这种格式可以完美地求解小于五度的方程。 美中不足的是对用户来说需要一定的计算量，甚至可能会造成决定性的麻烦，尤其是当用户对复数没有清晰的理解，问题恰好不符合某些特征的时候。

具体求解过程我实在没精力复述，贴一个链接供参考：

立正！如果不是真的无法继续操作，这个方案应该是最后的选择。但是学习高阶方程的解法还是有好处的。

备选方案3:替代方法。这种方法也是很常用的，往往也是最难掌握的(猜根法是不可预测的，不在考虑范围内)，这里只能举几个例子。

1.等比的系数。我们知道t^3-2t^2+t-2=(t-2)(t^2+1)显然有惟一解t=2，那么如果在原方程中令t=√3x，方程就变成了3√3x^3-6x^2+√3x-2=0，是不是一下就变成了一个乍看复杂而困难的方程？

这反过来启示我们，如果有一个数字q，使得一次项系数是q的倍数，二次项系数是q^2的倍数，…就可以做一个换元t=qx，使得方程的系数得到简化。

因为在解决实际问题时，你设置的元素可能与给定的数据有一定的比例关系，所以这种看似不靠谱的方案实际上使用频率比较高。

特别，当q=-1时，有时会起到一些意料之外的作用。

2.对称的系数。

解方程x^4-3x^3+3x^2-3x+1=0?(＊)时，我们注意到其系数依次为1,-3,3,-3,1，前后对称，于是左右同除x^2（显然x=0不是解），得到[x^2+x^(-2)]-3[x+x^(-1)]+3=0，而x^2+x^(-2)可用[x+x^(-1)]^2-2表示，于是原式转化为关于[x+x^(-1)]的二次方程，这就容易了。

可以看到并不仅局限于四次，任何偶数次方程若系数对称都可使用此法得到简化（需要掌握利用x+x^(-1)表示x^n+x^(-n)的能力），实际上奇数次也可使用此法，但由于某些原因（试试就知道了），使用后方程的次数不总能得到降低。

该法配合1有时有奇效，例如将(＊)中的x换为√2t的话将得到4x^4-6√2x^3+6x^2-3√2x+1=0这一已有相当复杂程度的方程，反过来解决该方程也只需要利用这两种方法就可以了。

3.奇奇怪怪的东西。总之，先把题目弄成多项式吧……

（4.三角换元等出现频率较少，高考范围内形式也常较明朗，这里暂时不考虑）

方案四：其它技巧。

1.(双，长)交叉乘法。初中的时候，所有的因式分解题都是用十字乘写的，没有进一步的处理。老师认为我流程不详细，无能为力。诚然，十字乘很难作为一个独立的方案存在，但对于初学者来说，掌握这种写法对于实际操作其实是有帮助的(虽然看起来有点笨，但对于一定数量的高中生来说还是有好处的，当然，不建议你真正精通之后再继续在纸上画大十字)。

另外，双十字和长十字也是可以掌握的(其实没什么区别，只是不知道为什么有两个名字)。至少算多了会对代数式乘法有个直观的认识。 2.某名其妙小公式法。比如x^n±y^n的因式分解啊，x^3+y^3+z^3-3xyz的因式分解啊，(x±y)^n的展开及对应的逆操作因式分解啊，(x1+x2+…xn)^2的展开及对应的逆操作因式分解啊，(x+y+z)^3的展开及对应的逆操作因式分解啊，都是可以了解下的。

对最开头的九次方程做因式分解：

由于较低次项的系数数字较大且有较多√3的幂因子，我们令x=√3t，得到：

约去公因子9，于是：

注意到其所有系数的和为0，故它有因式t-1，除去t-1，剩下（到此已有一根t=1对应x=√3）：

显然其各项系数之和为0，于是再次除去(t-1)得到（到此已有二重根t=1对应x=√3）：

这时我们发觉其较高次系数较大且含较高次√3的幂因子，于是再将√3t反向换为x，通分化简后得到：

我记得这个式子在x>0时是恒大于零的，接下来还有有很多精细的防缩，有空再更吧（没人看就不更了）。