2023数学新高考一卷题目

2023年12月27日发(作者：为什么很少人买小鹏汽车)

2023年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）数注意事项：学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M???2,?1,0,1,2?，N?xx?x?6?0，则M?N?（2??）A.??2,?1,0,1?B.?0,1,2?）C.0C.??2?D.22.已知z?A.?i1?i，则z?z?（2?2iB.i??????3.已知向量a??1,1?,b??1,?1?，若a??b?a??b，则（D.1????）A.????14.设函数f?x??2A.B.?????1x?x?a?C.???1D.????1）在区间?0,1?上单调递减，则a的取值范围是（???,?2?B.??2,0?C.?0,2?D.?2,???x2x225.设椭圆C1:2?y?1(a?1),C2:?y2?1的离心率分别为e1,e2．若e2?3e1,则a?a4（A.）233B.2C.3D.6）6.过点?0,?2?与圆x2?y2?4x?1?0相切的两条直线的夹角为?，则sin??（A.1B.154C.104D.64

7.记Sn为数列?an?的前n项和，设甲：?an?为等差数列；乙：{A.甲是乙的充分条件但不是必要条件C.甲是乙的充要条件8.已知sin??????,cos?sin??}为等差数列，则（n）B.甲是乙的必要条件但不是充分条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件131，则cos?2??2???（619D.?）．79B.19C.?79二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据x1,x2,???,x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,???,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,???,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,???,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,???,x6的极差用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp?20?lg10.噪声污染问题越来越受到重视．其中常数p0?p0?0?是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源燃油汽车混合动力汽车电动汽车与声源的距离/m101010声压级/dBp，p0）60?9050?6040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3，则（）．B.p2?10p3C.p3?100p0D.p1?100p2）．A.p1?p22211.已知函数f?x?的定义域为R，f?xy??yf?x??xf?y?，则（A.f?0??0B.f?1??0C.f?x?是偶函数D.x?0为f?x?的极小值点12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）B.所有棱长均为1.4m的四面体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体A.直径为0.99m的球体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14.在正四棱台ABCD?A1B1C1D1中,AB?2,A1B1?1,AA1?2,则该棱台的体积为______．15.已知函数f?x??cos?x?1(??0)在区间?0,2π?有且仅有3个零点,则?的取值范围是____．x2y216.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1,F2．点A在C上，点B在aby轴上，F1A?F1B,F2A??2F2B，则C的离心率为________．3??????????????????四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在?ABC中，A?B?3C,2sin?A?C??sinB．（1）求sinA；（2）设AB?5，求AB边上的高．18.如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB?2,AA1?4．点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上，AA2?1,BB2?DD2?2,CC2?3．（1）证明：B2C2∥A2D2；（2）点P在棱BB1上，当二面角P?A2C2?D2为150?时，求B2P．x19.已知函数f?x??ae?a?x．??（1）讨论f?x?的单调性；（2）证明：当a?0时，f?x??2lna?3．2

20.设等差数列?an?的公差为d前n项和．n2?n，且d?1．令bn?，记Sn,Tn分别为数列?an?,?bn?的an（1）若3a2?3a1?a3,S3?T3?21，求?an?的通项公式；（2）若?bn?为等差数列，且S99?T99?99，求d．21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知:若随机变量Xi服从两点分布，且P?Xi?1??1?P?Xi?0??qi,i?1,2,???,n，则?n?nE??Xi???qi．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E?Y?．?i?1?i?1?1?22.在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点?0,?的距离，记动点P的轨迹?2?为W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33．

参考答案一、单选题1、【答案】C【解析】方法一：直接法∵N?x|x2?x?6?0=?x|x??2或x?3?，M???2,?1,0,1,2?，∴M?N???2?。方法二：代入验证法将M中的元素依次代入不等式x2?x?6?0验证，只有?2能使不等式成立，∴M?N???2?．故选C。2、【答案】A【解析】∵z?3、【答案】D???1?i??1?i???2i??1i1?i1?，∴z?i，则z?z??i．故选A。2?2i2?1?i??1?i?422??????a??b?1??,1??a??b??1??,1???，a?1,1,b?1,?1【解析】∵??，????，∴????????由a??b?a??b得a??b?a??b?0，即?1????1?????1????1????0，????????整理得????1．故选D。4、【答案】D【解析】函数y?2x在R上单调递增，而函数f?x??2x?x?a?在区间?0,1?上单调递减，aa2a2则有函数y?x(x?a)?(x?)?在区间?0,1?上单调递减，因此?1，解得a?2，224∴a的取值范围是?2,???.故选D。5、【答案】A4?1a2?123【解析】由e2?3e1得e?3e，∴.故选A。?3?2，而a?1，∴a?4a36、【答案】B2221【解析】方法一、∵x2?y2?4x?1?0，即?x?2??y2?5，2可得圆心C?2,0?，半径r?5，过点P?0,?2?作圆C的切线，切点为A,B，∵PC?22???2??22，则PA?可得sin?APC?522?2PC?r2?3，21036,cos?APC??，4422则sin?APB?sin2?APC?2sin?APCcos?APC?2?10615，??44422?6??10?1cos?APB?cos2?APC?cos2?APC?sin2?APC??????0，????4??4?4????即?APB为钝角，∴sin??sin?π??APB??sin?APB?方法二、圆x2?y2?4x?1?0的圆心C?2,0?，半径r?过点P?0,?2?作圆C的切线，切点为A,B，连接AB，15；45，

可得PC?22???2??22，则PA?PB?2222PC?r2?3，22因为PA?PB?2PA?PBcos?APB?CA?CB?2CA?CBcos?ACB且?ACB?π??APB，则3?3?6cos?APB?5?5?10cos?π??APB?，1?0，41即?APB为钝角，则cos??cos?π??APB???cos?APB?，4即3?cos?APB?5?5cos?APB，解得cos?APB??且?为锐角，∴sin??1?cos2??15；4方法三、圆x2?y2?4x?1?0的圆心C?2,0?，半径r?5，若切线斜率不存在，则切线方程为y?0，圆心到切点的距离d?2?r，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为y?kx?2，即kx?y?2?0，则2k?2k?12?5，整理得k2?8k?1?0，且??64?4?60?0设两切线斜率分别为k1,k2，则k1?k2??8,k1k2?1，可得k1?k2?∴tan???k1?k2?2?4k1k2?215，sin??15，cos?k1?k21?k1k2?15，即2sin??π?sin?222可得cos??，则sin??cos??sin???1，且???0,?，15?2?15则sin??0，解得sin??7、【答案】C15.故选B.4【解析】方法一、甲：?an?为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn?na1?因此{Sn(n?1)Snn?1ddSdd,?a1?d?n?a1?,n?1?n?，2n222n?1n2Sn}为等差数列，则甲是乙的充分条件；nSn?1SnnSn?1?(n?1)Snnan?1?SnS???反之，乙：{n}为等差数列，即为常数，设为t，n?1nn(n?1)n(n?1)n即nan?1?Sn?t，则Sn?nan?1?t?n(n?1)，有Sn?1?(n?1)an?t?n(n?1),n?2，n(n?1)两式相减得：an?nan?1?(n?1)an?2tn，即an?1?an?2t，对n?1也成立，因此?an?为等差数列，则甲是乙的必要条件，∴甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：?an?为等差数列，设数列?an?的首项a1，公差为d，即Sn?na1?则n(n?1)d，2SSn(n?1)dd?a1?d?n?a1?，因此{n}为等差数列，即甲是乙的充分条件；n222nSSSS反之，乙：{n}为等差数列，即n?1?n?D,n?S1?(n?1)D，nn?1nn

即Sn?nS1?n(n?1)D，Sn?1?(n?1)S1?(n?1)(n?2)D，当n?2时，上两式相减得：Sn?Sn?1?S1?2(n?1)D，当n?1时，上式成立，于是an?a1?2(n?1)D，又an?1?an?a1?2nD?[a1?2(n?1)D]?2D为常数，因此?an?为等差数列，则甲是乙的必要条件，∴甲是乙的充要条件。故选C。8、【答案】B11，而cos?sin??，6321∴sin?cos??，则sin(???)?sin?cos??cos?sin??，232212∴cos(2??2?)?cos2(???)?1?2sin(???)?1?2?()?。故选B。39二、多选题【解析】∵sin(???)?sin?cos??cos?sin??9、【答案】BD【解析】对于选项A：设x2,x3,x4,x5的平均数为m，x1,x2,???,x6的平均数为n，x1?x2?x3?x4?x5?x6x2?x3?x4?x52?x1?x6???x5?x2?x3?x4?，??6412∵没有确定2?x1?x6?,x5?x2?x3?x4的大小关系，∴无法判断m,n的大小，则n?m?如：1,2,3,4,5,6，可得m?n?3.5；例如1,1,1,1,1,7，可得m?1,n?2；如1,2,2,2,2,2，可得m?2,n?11；故A错误；6对于选项B，不妨设x1?x2?x3?x4?x5?x6，可知x2,x3,x4,x5与x1,x2,???,x6的中位数均为x3?x4，故B正确；2对于选项C：∵x1是最小值，x6是最大值，则x2,x3,x4,x5的波动幅度不大于x1,x2,???,x6的波动幅度，即x2,x3,x4,x5的标准差不大于x1,x2,???,x6的标准差，例如2,4,6,8,10,12，则平均数n?标准差s1?1?2?4?6?8?10?12??7，61?222222??105，2?7???4?7???6?7???8?7???10?7??12?7????6?34,6,8,10，则平均数m??4?6?8?10??7，标准差s2?1?22221054?7???6?7???8?7???10?7???5，∵?5即s1?s2；故C错误；???4314对于选项D：不妨设x1?x2?x3?x4?x5?x6，则x6?x1?x5?x2，当且仅当x1?x2,x5?x6时，等号成立，故D正确；综上选BD。10、【答案】ACD【解析】由题意可知：Lp1??60,90?,Lp2??50,60?,Lp3?40，对于选项A：可得Lp1?Lp2?20?lgp1pp?20?lg2?20?lg1，p0p0p2

∵Lp1?Lp2，则Lp1?Lp2?20?lgpp1?0，即lg1?0，p2p2p1?1且p1,p2?0，可得p1?p2，故A正确；∴p2对于选项B：可得Lp2?Lp3?20?lgpp2p?20?lg3?20?lg2，p0p0p3p2p1?10，即lg2?，p32p3∵Lp2?Lp3?Lp2?40?10，则20?lg∴p2?e且p2,p3?0，可得p2?ep3，当且仅当Lp2?50时，等号成立，故B错误；p3p3pp?40，即lg3?2，∴3?100，即p3?100p0，故C正确；p0p0p0p1p120?lg?40，L?L?90?50?40，且p1，则p2p2p2对于选项C：∵Lp3?20?lgLp1?Lp2?20?lg对于选项D：由选项A可知：即lgp1p?2，可得1?100，且p1,p2?0，∴p1?100p2，故D正确；综上，选ACD。p2p211、【答案】ABC【解析】(方法一)∵f(xy)?y2f(x)?x2f(y)，对于A，令x?y?0，f(0)?0f(0)?0f(0)?0，故A正确.对于B，令x?y?1，f(1)?1f(1)?1f(1)，则f(1)?0，故B正确.对于C，令x?y??1，f(1)?f(?1)?f(?1)?2f(?1)，则f(?1)?0，令y??1,f(?x)?f(x)?x2f(?1)?f(x),又f(x)定义域为R,∴f(x)为偶函数,故C正确.对于D，不妨令f(x)?0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.(方法二)因为f(xy)?y2f(x)?x2f(y)，对于A，令x?y?0，f(0)?0f(0)?0f(0)?0，故A正确.对于B，令x?y?1，f(1)?1f(1)?1f(1)，则f(1)?0，故B正确.对于C，令x?y??1，f(1)?f(?1)?f(?1)?2f(?1)，则f(?1)?0，令y??1,f(?x)?f(x)?x2f(?1)?f(x),又f(x)的定义域为R,∴f(x)为偶函数,故C正确，对于D，当x2y2?0时，在f(xy)?y2f(x)?x2f(y)两边同时除以x2y2，?x2lnx,x?0f(xy)f(x)f(y)f(x)得22?2?2，故可以设2?lnx(x?0)，则f(x)??，xyxy0,x?0x?2当x?0时，f(x)?x2lnx，f??x??2xlnx?x?1?x(2lnx?1)，x1令f??x??0，得0?x?e?12；令f\'(x)?0，得x?e?2；??1???1?2故f(x)在?0,e?上单调递减，在?e2,???上单调递增，????∵f(x)为偶函数，1????1??2∴f(x)在??e,0?上单调递增，在???,e2?上单调递减，????显然，此时x?0是f(x)的极大值，故D错误。综上，选ABC。

12、【答案】ABD【解析】对于选项A：∵0.99m?1m，即球体的直径小于正方体的棱长，∴能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B：∵正方体的面对角线长为2m，且2?1.4，∴能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项C：∵正方体的体对角线长为3m，且3?1.8，∴不能够被整体放入正方体内，故C正确；对于选项D：∵正方体的体对角线长为3m，且3?1.2，设正方体ABCD?A1B1C1D1的中心为O，以AC1为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心O1到正方体的表面的最近的距离为hm,如图，结合对称性可知OC1?133C1A?,C1O1?OC1?OO1??0.6，2223C1O1h10.6?0.6?h???0.34?0.01，则，即h，解得?2AA1C1A2313∴能够被整体放入正方体内，故D正确；综上，选ABD。三、填空题13、【答案】6411【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C4C4?16种；12（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C4C4?24种；21②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C4C4?24种；综上所述：不同的选课方案共有16?24?24?64种。故答案为64。14、【答案】76。6【解析】如图，过A1作A1M?AC，垂足为M，易知A1M为四棱台ABCD?A1B1C1D1的高，∵AB?2,A1B1?1,AA1?2，则A1O1?11211A1C1??2A1B1?,AO?AC??2AB?2，222221612?AC?A1C1??,则A1M?A1A2?AM2?2?2?2，22故AM?167676∴所求体积V??(4?1?4?1)?。故答案为。?632615、【答案】[2,3)。【解析】∵0≤x≤2π，∴0≤?x≤2?π，令f(x)?cos?x?1?0，则cos?x?1有3个根，令t??x，则cost?1有3个根，其中t?[0,2?π]，结合余弦函数y?cost的图像性质可得4π?2?π?6π，故2???3，综上，答案为[2,3)。

16、【答案】35。5【解析】方法一、依题意，设AF2?2m，则BF2?3m?BF1,AF1?2a?2m，在Rt?ABF1中，9m2?(2a?2m)2?25m2，则(a?3m)(a?m)?0，故a?m或a??3m（舍去），∴AF1?4a,AF2?2a，BF2?BF1?3a，则AB?5a，故cos?F1AF2?AF1AB?4a4?，5a516a2?4a2?4c24c35∴在△AF1F2中，cos?F1AF2?.?，整理得5c2?9a2，故e??2?4a?2a5a5方法二、依题意，得F1(?c,0),F2(c,0)，令A?x0,y0?,B(0,t)，??????522????2∵F2A??F2B，∴?x0?c,y0?????c,t?，则x0?c,y0??t，3333?????????8????????2?8222又F1A?F1B，∴F1A?F1B??c,?t??c,t??c?t?0，则t2?4c2，3?33?325242ct25c24t225c216c2又点A在C上，则9，整理得?2?1，则?2?1，22?92?19a9b9a9b2ab∴25c2b2?16c2a2?9a2b2，即25c222整理得25c4?50c2?9a4?0，则5c?9a??c2?a2?16a2c2?9a2c2?a2，2???5c?a2?0，解得5c2?9a2或5c2?a2，???又e?1，∴e?四、解答题3553535或e?（舍去），故e?。故答案为。5555310；（2）6。1017、【答案】（1）π,又2sin(A?C)?sinB?sin(A?C)，4?2sinAcosC?2cosAsinC?sinAcosC?cosAsinC，?sinAcosC?3cosAsinC，【解析】（1）?A?B?3C,?π?C?3C,即C??sinA?3cosA，即tanA?3，∴0?A?（2）由（1）知，cosA?π3310?，?sinA?.21010110?10，1023101025，(?)?210105由sinB?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC?由正弦定理，cb?，可得b?sinCsinB5?11?AB?h?AB?AC?sinA，?h?b?sinA?210?310?6.2210255?210，22

18、【答案】（1）详细证明过程见解析；（2）1。【解析】（1）以C为坐标原点，CD,CB,CC1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1)，?????????????????????????B2C2?(0,?2,1),A2D2?(0,?2,1)，?B2C2∥A2D2，又B2C2，A2D2不在同一条直线上，?B2C2∥A2D2。（2）设P(0,2,?)(0???4)，?????????????????则A2C2?(?2,?2,2),PC2?(0,?2,3??),D2C2=(?2,0,1)，?设平面PA2C2的法向量n?(x,y,z)，?????????n?AC?22??2x?2y?2z?0y?3??,x???1?则??????，令z?2，得，?n?(??1,3??,2)，n?PC??2y?(3??)z?0?2?设平面A2C2D2的法向量m?(a,b,c)，??????????m?AC?22??2a?2b?2c?0??????b?1,c?2则??,令a?1，得，?m?(1,1,2)，m?DC??2a?c?0?22????n?m???63?cosn,m??????cos150??，2nm64?(??1)2?(3??)2化简可得，?2?4??3?0，解得??1或??3，???P(0,2,1)或P(0,2,3)，?B2P?1.19、【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析。xx【解析】（1）∵f(x)?ae?a?x，定义域为R，∴f??x??ae?1，??x当a?0时，由于ex?0，则aex?0，故f??x??ae?1?0恒成立，∴f?x?在R上单调递减；x当a?0时，令f??x??ae?1?0，解得x??lna，当x??lna时，f??x??0，则f?x?在???,?lna?上单调递减；当x??lna时，f\'(x)?0，则f?x?在??lna,???上单调递增；综上：当a?0时，f?x?在R上单调递减；当a?0时，f?x?在???,?lna?上单调递减，f?x?在??lna,???上单调递增.?lna?a?lna?1?a2?lna，（2）方法一、由（1）得，f?x?min?f??lna??ae??要证f(x)?2lna?231322，即证1?a?lna?2lna?，即证a??lna?0恒成立，222112a2?1令g?a??a??lna?a?0?，则g??a??2a??，2aa令g??a??0，则0?a?22；令g??a??0，则a?；22?2??2?0,,??∴g?a?在?上单调递减，在????2??2?上单调递增，????

∴g?a?min?2??2?12?g????ln?ln2?0，则g?a??0恒成立，????2??2?22????23恒成立，证毕.2xx方法二、令h?x??e?x?1，则h??x??e?1，∴当a?0时，f(x)?2lna?x由于y?ex在R上单调递增，∴h??x??e?1在R上单调递增，0又h??0??e?1?0，∴当x?0时，h??x??0；当x?0时，h??x??0；∴h?x?在???,0?上单调递减，在?0,???上单调递增，故h?x??h?0??0，则ex?x?1，当且仅当x?0时，等号成立，∵f(x)?ae?a?x?ae?a?x?e?x?x2x?lna?a2?x?x?lna?1?a2?x，当且仅当x?lna?0，即x??lna时，等号成立，∴要证f(x)?2lna?233122，即证x?lna?1?a?x?2lna?，即证a??lna?0，222112a2?1令g?a??a??lna?a?0?，则g??a??2a??，2aa令g??a??0，则0?a?∴g?a?在??0,??22；令g??a??0，则a?；22?2?2?,????上单调递减，在??2?上单调递增，2????2∴g?a?min?2??2?12?g????ln?ln2?0，则g?a??0恒成立，????2??2?22????3恒成立，证毕.25120、【答案】（1）an?3n；（2）d?。50∴当a?0时，f(x)?2lna?【解析】（1）?3a2?3a1?a3，?3d?a1?2d，解得a1?d，?S3?3a2?3(a1?d)?6d，又T3?b1?b2?b3?即2d2?7d?3?0，解得d?3或d?926129???，?S3?T3?6d??21，d2d3ddd1（舍去），?an?a1?(n?1)?d?3n.212212（2）?{bn}为等差数列，?2b2?b1?b3，即??，a2a1a3?6(116d1?)??，即a12?3a1d?2d2?0，解得a1?d或a1?2d，a2a3a2a3a1?d?1,?an?0，又S99?T99?99，由等差数列性质得99a50?99b50?99,即a50?b50?1，?a50?25502?1，即a50?a50?2550?0，解得a50?51或a50??50（舍去）a50当a1?2d时，a50?a1?49d?51d?51，解得d?1，与d?1矛盾，无解；

当a1?d时，a50?a1?49d?50d?51，解得d?5151.综上，d?。50501?2?21、【答案】（1）0.6;（2）???6?5?i?1n5??2??n1?;（3）E(Y)??1?????。18?3??5???3【解析】（1）记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，∴P?B2??P?A1B2??P?B1B2??P?A1?P?B2|A1??P?B1?P?B2|B1??0.5??1?0.6??0.5?0.8?0.6.（2）设P?Ai??pi，依题可知，P?Bi??1?pi，则P?Ai?1??P?AiAi?1??P?BiAi?1??P?Ai?P?Ai?1|Ai??P?Bi?P?Ai?1|Bi?，即pi?1?0.6pi??1?0.8???1?pi??0.4pi?0.2，构造等比数列?pi???，12?1?12?pi???，解得???3，则pi?1?3?5?pi?3?，5??1?11121?又p1?,p1??，∴?pi??是首项为,公比为的等比数列，3??23656设pi?1???11?2?1?2?∴pi?????,pi????36?5?6?5?i?1i?11?．31?2?（3）∵pi????6?5?i?11?，i?1,2,???,n，∴当n?N*时，3nn?2??n，??????5???3?2?1???15?n5??E?Y??p1?p2???pn?????126318??1?55??2?E(Y)?（4）∴?1???18???5?222、【答案】（1）y?x?n?n??．??31；（2）见解析。42211122??【解析】（1）设P(x,y),则y?x??y??,化简得y?x?，故W:y?x?.442??1??21??21??2（2）方法一、设矩形的三个顶点A?a,a??,B?b,b??,C?c,c??在W上,且a?b?c，4??4??4??易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则kAB?kBC??1,a?b?b?c,令b2?kAB?1?21???a??，4?4??a?b?m?0b?a1，n同理令kBC?b?c?n?0，且mn??1，则m??1设矩形周长为C,由对称性不妨设|m|?|n|，kBC?kAB?c?a?n?m?n?，则n11??C?|AB|?|BC|?(b?a)1?m2?(c?b)1?n2?(c?a)1?n2??n??1?n2，其中n?0。2n??

221??1?1??1?2??2?易知?n??1?n?0，则令f(x)??x??1?x,x?0,f(x)?2?x???2x??,n??x?x??x?????2令f?(x)?0，解得x?，2?2?f(x)单调递减，?0,当x???2??时，f(x)?0，此时???2?f(x)单调递增，?,??当x????2?，f(x)?0，此时???2?2712733?则f(x)min?f?，故,即C?33.C????2?4242??当C?33时,n?2,m??2,且(b?a)1?m2?(b?a)1?n2，2即m?n时等号成立，矛盾，故C?33,得证。1??2方法二、不妨设A,B,D在W上，且BA?DA，依题意可设A?a,a??，4??易知直线BA、DA的斜率均存在且不为0，则设BA,DA的斜率分别为k和?由对称性，不妨设k?1，2直线AB的方程为y?k(x?a)?a?1，k1，41?2y?x???4则联立?得x2?kx?ka?a2?0，?y?k(x?a)?a2?1?4???k2?4?ka?a2???k?2a??0，则k?2a，则|AB|?1?k2|k?2a|，2同理|AD|?1?11?2a，k2k11?2ak2k?|AB|?|AD|?1?k2|k?2a|?1???11?1?k2?k?2a??2a??1?k2k??kk??2?1?k?k223(m?1)31令k?m，则m??0,1?，设f(m)??m2?3m??3，mm11(2m?1)(m?1)2?f(m)?0m?则f(m)?2m?3?2?，令，解得，22mm?1?当m??0,?时，f?(m)?0，此时f(m)单调递减，?2???1?当m??,???，f?(m)?0，此时f(m)单调递增，?2?

?1?2733则f(m)min?f???，?|AB|?|AD|?，?2?422但1?k|k?2a|?1?11?2a?1?k22kk?1|k?2a|??2a?k???，?此处取等条件为k?1，与最终取等时k?332不一致，故AB?AD?.22方法三、为了计算方便,我们将抛物线向下移动1个单位得抛物线W?:y?x2,4矩形ABCD变换为矩形A?B?C?D?,则问题等价于矩形A?B?C?D?的周长大于33.设Bt0,t0,At1,t1,Ct2,t2,根据对称性不妨设t0?0.????2??2??22?则kA?B??t1?t0,kB?C??t2?t0,由于A?B??B?C?,则由于A?B??1??t1?t0?t1?t0,B?C??1??t2?t0?t1?t0??t2?t0???1.?2t2?t0,且t0介于t1,t2之间,22则A?B??B?C??1??t1?t0?t1?t0?1??t2?t0?t2?t0.令t2?t0?tan?,?π?t1?t0??cot?,???0,?,则t2?tan??t0,t1??cot??t0,从而?2?A?B??B?C??1?cot2??2t0?cot???1?tan2??tan??2t0?1?1?故AB?BC?2t0??sin?cos?????cos?2t0(cos??sin?)sin3??cos3??sin??2??。??2sin?cos?sin2?cos2??cos?sin??π?sin3??cos3?sin?cos?12??????0,①当?时,AB?BC???2?2?2?22?222?4?sin?cos?cos?sin?sin?cos?sin2?②当???,?时,由于t1?t0?t2,从而?cot??t0?t0?tan??t0,?42?从而????ππ?cot?tan?tan??t0?又t0?0,故0?t0?,222??2t0(cos??sin?)sin3??cos3??∴AB?BC?sin?cos?sin2?cos2?sin?(cos??sin?)(sin?cos?)sin3??cos3?1cos?????sin2?cos3?sin2?cos2?cos?sin2??sin?sin??2cos?2222?2?1?cos2???1?cos2???2cos2?3?2??1?cos2????1?cos2???2cos2??????3???2?2????3?3?332，当且仅当cos??333时等号成立，故A?B??B?C??，故矩形周长大于32。23