2023年12月14日发(作者：长安铃木新奥拓哪里有卖)
北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二
数 学
2022.5
（考试时间120分钟满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
（1）设集合A??1,2,3,4?，B??xx?2?，则A?B?
（A）?1,2? （B）?3,4? （C）?2,3,4? （D）?1,2,3,4?
（2）在复平面内，复数（A）第一象限
i对应的点位于
1?i（C）第三象限 （D）第四象限 （B）第二象限
x2（3）已知双曲线C:2?y2?1(a?0)的一条渐近线方程为y?x，则C的离心率为
a（A）2 （B）3 （C）2
，则sin2??
（D）5
（4）已知角?的终边经过点（A）?24
25（B）?7
25（C）7
25（D）24
2522（5）过点（1,2）作圆x?y?5的切线，则切线方程为
（A）x?1 （B）3x?4y?5?0
（D）x?1或x?2y?5?0 （C）x?2y?5?0
（6）“m?n?0”是“(m?n)(log2m?log2n)?0”的
（A）充分而不必要条件
（C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
（7）已知l，m是两条不同的直线，?，?是两个不同的平面，下面正确的结论是
（A）若l//?，m//?，则l//m
（C）若l??，上l?m，则m//?
（B）若m//?，???，则m??
（D）若l??，m??，m??，则l??
1 / 9 （8）IS0216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A,B系列的纸张尺寸。设型号为A0，A1，A2，A3，A4，A5，A6的纸张的面积分别是a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6，它们组成一个公比为1的等比数列，设型号为B1，B2，B3，B4，B5，B6的纸张的面积分别是b1,b2,b3,b4,b5,b6，已2知bi2?ai?1ai(i?1,2,3,4,5,6)，则a4的值为
b5（C）2 （D）2 （A）1
2（B）2
2（9）已知M为△ABC所在平面内的一点，|MB|?|MC|?1，且AB?MB?MC,MB?MC??则CA?CB?
（A）0 （B）1 （C）3 （D）3
1，2（10）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为P?P0e?kt，其中P0，k是正的常数。如果在前10h污染物减少19%，那么再过5h后污染物还剩余
（A）40．5%
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡上
2（11）抛物线y?4x的准线方程是__________．
（B）54% （C）65.6% （D）72.9%
（12）在(x?x)5的展开式中，x3的系数是__________．（用数字作答）
（13）已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c，则能使__________．
cosAb?成立的一组A,B的值是cosBa（14）“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就。在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列?an?为2,3,3,4,6,4,5,10,…，则数列?an?的前10项和为__________；若am?10，m?N*，则m的最大值为__________．
2 / 9 （15）如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F,G分别为棱A1A,A1B1,A1D1上的点（与正方体顶点不重合），过A1作A1H?平面EFG，垂足为H．设正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，给出以下四个结论：
①若E,F,G分别是A1A,A1B1,A1D1的中点，则A1H?3
6②若E,F,G分别是A1A,A1B1,A1D1的中点，则用平行于平面EFG的平面去截正方体ABCD?A1B1C1D1，得到的截面图形一定是等边三角形；
③△EFG可能为直角三角形；
④1111．
???22A1E2A1F2AGAH11其中所有正确结论的序号是___________．
三、解答题：本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（16）（本小题13分）
已知函数f(x)?cos2?x?3sin?xcos?x?m(??0,m?R)。再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f(x)的解析式的两个作为已知。
（I）求f(x)的解析式及最小值；
（Ⅱ）若函数f(x)在区间[0, t](t>0)上有且仅有1个零点，求t的取值范围。
条件①：函数f(x)的最小正周期为?；
条件2：函数f(x)的图象经过点(0,)；
条件③：函数f(x)的最大值为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．
（17）（本小题14分）
如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，1232DD1?4,E,F分别是CC1,B1C1，的中点，
3 / 9 （I）求证：A1F//平面AED1；
（Ⅱ）设H在棱BB1上，且BH?1BB1，N为CD的中点，求证：
4NH?平面AED1；并求直线AN与平面AED1，所成角的正弦值．
4 / 9 （18）（本小题13分）
为实现乡村的全面振兴，某地区依托乡村特色优势资源，鼓励当地农民种植中药材，批发销售。根据前期分析多年数据发现，某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5000元，此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况
各年的平均每亩产量
频率
400kg
0.25
500kg
0.75
（注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量×批发价格-各年的平均每亩种植成本）
（I）以频率估计概率，试估计该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率；
（Ⅱ）设该地区某农民2022年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为X元，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知该地区某农民有一块土地共10亩，该块土地现种植其他农作物，年纯收入最高可达到45000元，根据以上数据，该农民下一年是否应该选择在这块土地种植此品种中药材？说明理由。
5 / 9
（19）（本小题15分）
x2y22已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个顶点为P(0,1)，离心率为．
ab2（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P作斜率为k1的直线l1交椭圆C于另一点A，过点P作斜率为k2(k2?k1)的直线l2交椭圆C于另一点B．若k1k2?1，求证：直线AB经过定点.
6 / 9 （20）（本小题15分）
已知函数f(x)?xsinx?cosx．
（I）当x?(0,?)时，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）设函数g(x)??x2?2ax若对任意x1?[??,?]，存在 x2?[0,1]，使得成立，求实数a的取值范围。
7 / 9
1f?x1?g?x2?
2?
（21）（本小题15分）
已知集合A??????x1,x2,x3,x4?,xi?N,i?1,2,3,4?．对集合A中的任意元素???x1,x2,x3,x4?，定义T(?)??x1?x2,x2?x3,x3?x4,x4?x1?，当正整数n?2时，定义Tn(?)?T?Tn?1(?)?
?约定T1(?)?T(?)?．
（I）若??(2,0,2,1),??(2,0,2,2)，求T4(?)
和T4(?)；
（Ⅱ）若???x1,x2,x3,x4?满足xi?{0,1}(i?1,2,3,4)
且T2(?)?(1,1,1,1)，求?的所有可能结果；
（Ⅲ）是否存在正整数n使得对任意???x1,x2,x3,x4??A?x1x2x4x3?都有Tn(?)?(0,0,0,0)？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由． 8 / 9 北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二
数学 参考答案
2022.5
一、选择题：（本题满分40分）
题号
答案
1
B
2
B
3
A
4
A
5
C
6
A
7
D
8
C
9
D
10
D
二、填空题：（本题满分25分）
题号
答案
11 12 13
A?B??（答案不唯一）
614
52 45
15
①④
x??1
5
三、解答题：（本题满分85分）
（16）（本小题13分）
解：由题可知，f(x)?cos2?x?3sin?xcos?x?m
?311sin2?x?cos2?x?m?
222π1
?sin(2?x?)?m?．
62选择①②：
（Ⅰ）因为T?2π?π，所以??1．
2?11，所以m??．
22又因为f(0)?1?m?π所以f(x)?sin(2x?)．
6当2x?πππ?2kπ?，k?Z，即x?kπ?，k?Z时，623f(x)??1.
所以函数f(x)的最小值为?1． .............................................................9分
π（Ⅱ）令sin(2x?)?0，
6则2x?π?kπ，k?Z，
6kππ?，k?Z．
2121
所以x? 当k?1,2时，函数f(x)的零点为5π11π,，
1212由于函数f(x)在区间[0,t]上有且仅有1个零点，
所以5π11π≤t?．
12125π11π,)． ...........................................................13分
1212所以t的取值范围是[选择①③：
（Ⅰ）因为T?2π?π，所以??1．
2?33?，
22又因为函数f(x)的最大值为m?所以m?0．
π1所以f(x)?sin(2x?)?．
62当2x?πππ?2kπ?，k?Z，即x?kπ?，k?Z时，
623πsin(2x?)??1，
6所以函数f(x)的最小值为?1?π1（Ⅱ）令sin(2x?)??0，
6211??． ...............................................9分
22则2x?π7π11?2kπ+π，k?Z，或2x??2kπ+π，k?Z，
6666π5，k?Z，或x?kπ+π，k?Z．
26所以x?kπ+π5π当k?0时，函数f(x)的零点分别为,，
26由于函数f(x)在区间[0,t]上有且仅有1个零点，
所以π5π≤t?．
26π5π所以t的取值范围是[,)．...............................................................13分
26（17）（本小题14分）
解：（Ⅰ）连接A1D，设A1DAD1?O，连接OE,EF,B1C．
在长方体ABCD?A1B1C1D1中，因为A1B1∥CD，且A1B1?CD，
2
所以四边形A1B1CD是平行四边形．
所以A1D∥B1C,且A1D?B1C．
因为E，F分别是CC1,B1C1的中点，
所以FE∥B1C,且FE?1B1C．
2在矩形A1ADD1中,O是A1D的中点，
所以AO,且AO?FE．
11∥FE所以四边形AOEF是平行四边形．
1所以A1F∥OE．
因为A1F?平面AED1,OE?平面AED1,
所以A1F∥平面AED1． ........................................................................5分
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,4)，
E(0,2,2)，H(2,2,1),N(0,1,0).
所以AD1?(?2,0,4)，D1E?(0,2,?2)．
设平面AED1的一个法向量为m?(x,y,z)，
??m?AD1?0,??2x?4z?0,则?即?
2y?2z?0.??m?D1E?0,?令z?1，则x?2，y?1．
所以m?(2,1,1)．
因为NH?(2,1,1)，
所以NH=m.
所以NH?平面AED1.
因为m?(2,1,1)，NA?(2,?1,0)．
设AN与平面AED1所成角为?，则
sin??|cos?NA,m?|?|NA?m||4?1?0|30??．
10|NA|?|m|4?1?4?1?130．........................................14分
10即AN与平面AED1所成角的正弦值为（18）（本小题13分）
解：（Ⅰ）设事件A：该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入．
所以P(A)?0.75?0.6?0.45．.................................................................3分
3
（Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为3000，5000，7500．
P(X?3000)?0.25?0.4?0.1，
P(X?5000)?0.75?0.4?0.25?0.6?0.45，
P(X?7500)?0.75?0.6?0.45．
所以X的分布列为
0.1 0.45 0.45
的数学期望E(X)?3000?0.1?5000?0.45?7500?0.45?5925．
X
P
3000 5000 7500
所以X ..............................................................................................................10分
（Ⅲ）选择种植此品种中药材.理由如下：
以第（Ⅱ）问的期望作为决策依据，
则种植10亩中药材年纯收入为5925?10?59250?45000，
所以该农民下一年应该选择在这块土地种植此品种中药材． ...................13分
参考1：
选择种植此品种中药材.理由如下：
由（Ⅱ）知种植中药材纯收入高于45000元的概率为0.45+0.45=0.90，比纯收入低于45000元的概率要大，所以该农民下一年可以选择在这块土地种植此品种中药材．
参考2：
不选择种植此品种中药材.理由如下：
由（Ⅱ）知种植中药材收入高于45000元的概率为0.45+0.45=0.90，纯收入低于45000元的概率虽只有0.1，但概率小的事件也可能发生，所以该农民下一年可以不选择在这块土地种植此品种中药材．
（其他解答酌情给分）
（19）（本小题15分）
?b?1,?2?c,解：（Ⅰ）由题意知
??解得a?2，b?1．
a2??a2?b2?c2,?x2所以椭圆C的方程为?y2?1． ........................................................4分
2（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，x1?0，x2?0，
则k1?y1?1y?1，k2?2，
x1x24
若x1?x2，则y1?y2或y1??y2．
当x1?x2，y1?y2时，k1?k2，不合题意，
当x1?x2，y1??y2时，k1k2?1?1，不合题意．
2所以直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y?kx?m．
??y?kx?m,222由?2得(1?2k)x?4kmx?2m?2?0，
2x?2y?2?0????16k2m2?4(1?2k2)(2m2?2)?8(2k2?m2?1)?0．
2m2?24km则x1?x2??，x1x2?，且m2?1．
221?2k1?2k因为k1k2?1，
所以y1?1y2?1(kx?m?1)(kx2?m?1)??1，即1?1，
x1x2x1x2所以(k2?1)x1x2?k(m?1)(x1?x2)?(m?1)2?0，
2m2?24km所以(k?1)?k(m?1)(?)?(m?1)2?0，
221?2k1?2k2所以(m?1)(?m?3)?0，
所以m??3或m?1（舍）．
所以直线AB经过定点(0,?3)．.............................................................15分
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为f(x)?xsinx?cosx，
所以f?(x)?sinx?xcosx?sinx?xcosx．
当x?(0,??时，f?(x)与f(x)的变化情况如表所示：
x
f?(x)
f(x)
?(0,)
2?
2?(??)
2?
?
单调递增
0
?
2单调递减
?所以当x?(0,??时，函数f(x)的单调递增区间为(0,)，
2?函数f(x)的单调递减区间为(??)． ......................................................6分
2（Ⅱ）当x?[??,?]时，f(?x)?f(x)，所以函数f(x)为偶函数．
??所以当x?[??,?]时，函数f(x)的单调递增区间为(????)，(0,)，
225
??函数f(x)的单调递减区间为(?,0)，(??),
22???所以函数f(x)的最大值为f(?)?f()?．
222设h(x)?11?1f(x)，则当x?[??,?]时，h(x)max???．
2?2?24对任意x1?[??,?]，存在x2?[0,1]，使得h(x1)≤g(x2)成立，
等价于h(x)max≤g(x)max．
（1） 当a≤0时，函数g(x)在区间[0,1]上的最大值为g(0)?0，不合题意．
（2） 当0?a?1时，函数g(x)在区间[0,1]上的最大值为g(a)?a2，
则a2≥所以111，解得a≥或a≤-，
2241≤a?1．
2（3） 当a≥1时，函数g(x)在区间[0,1]上的最大值为g(1)?2a?1，
15则2a?1≥，解得a≥，
48所以a≥1.
1综上所述，a的取值范围是[,??)． .....................................................15分
2（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）当??(2,0,2,1)时，
T(?)?(2,2,1,1)，T2(?)?(0,1,0,1)，
T3(?)?(1,1,1,1)，T4(?)?(0,0,0,0)；
当??(2,0,2,2)时，
T(?)?(2,2,0,0)，T2(?)?(0,2,0,2)，
T3(?)?(2,2,2,2)，T4(?)?(0,0,0,0)．..................................................4分
（Ⅱ）因为??(x1,x2,x3,x4)，所以T(?)?(|x1?x2|,|x2?x3|,|x3?x4|,|x4?x1|)，
又因为T2(?)?(1,1,1,1)，所以
?|x1?x2|?|x2?x3|?1,??|x2?x3|?|x3?x4|?1,
?|x?x|?|x?x|?1,?3441??|x4?x1|?|x1?x2|?1.因为xi?{0,1}(i?1,2,3,4)，
6
当x1?0时，|x4?x1|?|x1?x2|?|x4?x2|?1，
当x1?1时，|x4?x1|?|x1?x2|?|(1?x4)?(1?x2)|?|x2?x4|?1．
同理，当x2?0或1时，都有|x1?x2|?|x2?x3|?|x1?x3|?1；
当x3?0或1时，都有|x2?x3|?|x3?x4|?|x2?x4|?1；
当x4?0或1时，都有|x3?x4|?|x4?x1|?|x3?x1|?1．
?|x1?x2|?|x2?x3|?1,??|x?x|?1,?|x2?x3|?|x3?x4|?1,所以?等价于?13
|x?x|?1.?24?|x3?x4|?|x4?x1|?1,??|x4?x1|?|x1?x2|?1所以x1?x3，x2?x4．
当x1?0,x2?0时，经检验??(0,0,1,1)符合题意，
当x1?0,x2?1时，经检验??(0,1,1,0)符合题意，
当x1?1,x2?0时，经检验??(1,0,0,1)符合题意，
当x1?1,x2?1时，经检验??(1,1,0,0)符合题意．
所以?的所有可能结果为(0,0,1,1)，(0,1,1,0)，(1,0,0,1)，(1,1,0,0)． .....10分
（Ⅲ）存在正整数n使得Tn(?)?(0,0,0,0)，
且n的所有取值为n?N?n≥6.理由如下：
若??(x1,x2,x3,x4)?A满足x1x2x4x3，
则T(?)?(x1?x2,x2?x3,x4?x3,x1?x4)，
T2(?)?(|x1?x3?2x2|,x2?x4,|x1?x3?2x4|,x2?x4)．
??设a?|x1?x3?2x2|，b?|x1?x3?2x4|，
则T3(?)?(|x2?x4?a|,|x2?x4?b|,|x2?x4?b|,|x2?x4?a|)．
设c?||x2?x4?a|?|x2?x4?b||，
则T4(?)?(c,0,c,0)，T5(?)?(c,c,c,c)，T6(?)?(0,0,0,0)．
所以，对满足x1x2x4x3的任意??(x1,x2,x3,x4)?A，都有T6(?)?(0,0,0,0)．
当正整数n7时，Tn(?)?(0,0,0,0).
当??(6,3,1,2)时，
T????(3,2,1,4)，T2????(1,1,3,1)，
T3????(0,2,2,0)，T4????(2,0,2,0)，
T5????(2,2,2,2)，T6????(0,0,0,0).
7
所以n的所有取值为{n?N?|n6}． ......................................................15分
8
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