北京市海淀区2022-2023学年高二上学期期末练习数学试题(含答案解析

2023年12月27日发(作者：男的开a3会不会被笑话)

北京市海淀区2022-2023学年高二上学期期末练习数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在复平面内，复数(2?i)(1?3i)对应的点位于（A．第一象限B．第二象限）D．第四象限C．第三象限）2．经过点P(?1,0)且倾斜角为60?的直线的方程是（A．3x?y?1?0C．3x?y?3?0B．3x?y?3?0D．x?3y?1?0）?3．已知直线l经过点A(1,1,2),B(0,1,0)，平面?的一个法向量为n?(?2,0,?4)，则（A．l∥?C．l??B．l??D．l与?相交，但不垂直?1?4．已知抛物线y2?ax上的点M?,y0?到其焦点的距离是1，那么实数a的值为（）?2?11A．B．2C．1D．24??????????????????????????5．在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，点M满足2AM?AC．若A1B1?a,A1D1?b,A1A?c，?????则下列向量中与B1M相等的是（1?1??A．a?b?c221?1??C．?a?b?c22）1?1??B．a?b?c221?1??D．?a?b?c22）6．已知直线l:y?kx?b，eO:x2?y2?1，则“|b|?1”是“直线l与?O相交”的（A．充分而不必要条件C．充分必要条件B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件7．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，直线l是底面ABCD所在平面内不过C的一条动直线，?，则sin?的最小值是（记直线AC1与直线l所成的角为A．33）D．63B．21C．228．已知A，B（异于坐标原点）是圆(x?2)2?(y?1)2?5与坐标轴的两个交点，则下列点M中，使得△MAB为钝角三角形的是（）试卷第1页，共4页

A．M(0,0)C．M(2,1?5)?32?MB．?4,?2??D．M(1,22)，9．“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线PM,PN，则?MPN就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是（）A．QB．RC．SD．T10．如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别为BD1,B1C1的中点，P为正方体ABCD?A1B1C1D1表面上的动点．下列叙述正确的是（）A．当点P在侧面AA1D1D上运动时，直线CN与平面BMP所成角的最大值为B．当点P为棱A1B1的中点时，CN∥平面BMPC．当点P在棱BB1上时，点P到平面CNM的距离的最小值为D．当点P?NC时，满足MP?平面NCP的点P共有2个66?2二、填空题311．若复数z满足?1?i??z?i，则z?．试卷第2页，共4页

12．已知直线l1:ax?y?2?0，直线l2:x?(a?1)y?1?0．若l1?l2，则实数a?．x2y213．已知双曲线2?2?1的渐近线为y??2x，则该双曲线的离心率为．abx2y214．已知椭圆M:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1，F2.A(0,b)，且△AF1F2是ab面积为3的正三角形．过F1垂直于AF2的直线交椭圆M于B，C两点，则?ABC的周长为．15．古希腊数学家阿波罗尼斯在其著作《圆锥曲线论》中，系统地阐述了圆锥曲面的定义和利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法，并探究了许多圆锥曲线的性质．其研究的问题之一是“三线轨迹”问题：给定三条直线，若动点到其中两条直线的距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数，求该点的轨迹．小明打算使用解析几何的方法重新研究此问题，他先将问题特殊化如下：1111x?，l2:y??x?，l3:x?1，动点P到直线l1、l2和l3的距离2222d1d21ddd分别为1、2和3，且满足2?，记动点P的轨迹为曲线C．给出下列四个结论：d35给定条直线l1:y?①曲线C关于x轴对称；②曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为2；2③平面内存在两个定点，曲线C上有无数个点P到这两个定点的距离之差为2；④d1?d2的最小值为25．5其中所有正确结论的序号是．三、解答题16．已知直线l1:y?1与直线l2:y?kx?2交于点A，点A关于坐标原点的对称点为C，点B在直线l1上，点D在直线l2上．(1)当k?1时，求点C的坐标；(2)当四边形ABCD为菱形时，求k的值．17．已知曲线M上的任意一点到点(1,0)的距离比它到直线x??2的距离小1．(1)求曲线M的方程；(2)设点E(0,1)．若过点A(2,1)的直线与曲线M交于B，C两点，求?EBC的面积的最小值．18．如图，在四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，点F为PD的中点．试卷第3页，共4页

(1)已知点G为线段BC的中点，求证：CF∥平面PAG；(2)若PA?AB?2，直线PC与平面ABCD所成的角为30?，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择几个作为已知，使四棱锥P?ABCD唯一确定，求：（ⅰ）直线CD到平面ABF的距离；（ⅱ）二面角B?AF?C的余弦值．条件①：PA?平面ABCD；条件②：AD?22；条件③：平面PAB?平面PAD．x2y219．已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的焦距为2，长轴长为4．ab(1)求椭圆E的方程；(2)过点M(?3,0)且与x轴不重合的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，点B关于x轴的对称点为B?．问：平面内是否存在定点P，使得B?恒在直线PC上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．试卷第4页，共4页

参考答案：1．A【分析】计算得到复数的代数形式，即可得答案.【详解】(2?i)(1?3i)?2?6i?i?3?5?5i其对应的点?5,5?位于第一象限故选：A.2．B【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程；【详解】由倾斜角为60?知，直线的斜率k?3，因此，其直线方程为y?0?3(x?1)，即3x?y?3?0故选：B3．B【分析】根据平面?的法向量与直线l的方向向量的关系即可求解.【详解】因为直线l经过点A(1,1,2),B(0,1,0)，?????所以AB?(?1,0,?2)，又因为平面?的一个法向量为n?(?2,0,?4)，?????且n?2AB，所以平面?的一个法向量与直线l的方向向量平行，则l??，故选：B.4．D【分析】利用抛物线焦半径公式可直接构造方程求得结果.a?a?【详解】由抛物线方程知：抛物线焦点为F?,0?(a?0)，准线为x??，4?4?1a由抛物线定义知：MF???1，解得：a?2.24故选：D.5．C【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得.答案第1页，共12页

【详解】?????????由点M满足2AM?AC，所以M为AC中点，因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为BD中点,?????1????1????????1??所以BM?BD?(BA?BC)?(?a?b)，222???????????????1??1?1??所以B1M?B1B?BM?c?(?a?b)??a?b?c.222故选：C6．A【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到结果.【详解】由题意可得直线l:y?kx?b与eO:x2?y2?1相交，则bk2?1?1?b2?k2?1当|b|?1时，满足b2?k2?1，即“|b|?1”是“直线l与?O相交”的充分条件；当直线l:y?kx?b与eO:x2?y2?1相交时，不一定有|b|?1，比如b?2,k?3也满足，所以“|b|?1”是“直线l与?O相交”的充分不必要条件.故选:A.7．Asin????，【分析】过C作l的平行线，过A1作该平行线的垂线，垂足为P，则?ACP1|A1P|，|A1C|根据|A1P|?|A1A|可求出结果.【详解】如图：过C作l的平行线，过A1作该平行线的垂线，垂足为P，答案第2页，共12页

??，所以sin??则?ACP1|A1P|，|A1C||A1P|?|A1A|?1，设正方体的棱长为1，则|AC1|?3，所以sin??|A1P|13??，当且仅当P与A重合时，取得等号，|A1C|333.3所以sin?的最小值是故选：A8．D【分析】先求出直线AB的方程，确定弦AB为该圆的直径，再判断A，B，C，D各选项中的点M与圆的位置关系，即可确定△MAB的形状，从而得解．【详解】由A，B（异于坐标原点）是圆(x?2)2?(y?1)2?5与坐标轴的两个交点，不妨得A(0,2)，B(4,0)，则直线AB的方程为y??1x?2，2显然圆心(2,1)在直线AB上，即弦AB为该圆的直径，对于A，(0?2)2?(0?1)2?5，即M(0,0)在圆上，则△MAB为直角三角形，故A错误；对于B，(4?2)2?(?32?32即M?4,且M在点B上方，在直线y?2x?2?1)2?5，?在圆外，22??的下方，则△MAB为锐角三角形，故B错误；对于C，(2?2)2?(1?5?1)2?5，即M(2,1?5)在圆上，则△MAB为直角三角形，故C错误；对于D，(1?2)2?(22?1)2?5，即M(1,22)在圆内，则△MAB为钝角三角形，故D正确．故选：D．9．A【分析】连接点P和椭圆的左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点P位于条答案第3页，共12页

件中点Q处，对火星的观测角最大.【详解】设火星半径为R，椭圆左焦点为F1，连接PF1，则?MPN?2?MPF1，因为sin?MPF1?R，所以PF1越小，?MPF1越大，?MPN越大，PF1所以当点P位于条件中点Q处，对火星的观测角最大.故选：A.10．C【分析】NC与MB不可能垂直，故选项A错误；平移NC与平面相交于一点H，故选项B错误；利用体积相等即可求出点P到平面CNM的距离的最小值为6判断选项C，当点6P?NC时，满足MP?平面NCP的点P共有1个.当点P为平面BCC1B1的中心时，故判断选项D【详解】由于线面角的最大值为?，2?.选项A错误；2?NC与MB不可能垂直，故直线CN与平面BMP所成角的最大值达不到取DC的中点为H，A1B1的中点为Q,连接A1C1,B1D1相交于点O，连接OH,ON,?ON//HC且ON?HC故OH//NC答案第4页，共12页

?H?平面HBQD1,OH?面HBQD1，故CN不能与平面BMP平行，故选项B错误；?VP?CNM?VM?PNC1111??1?，M到平面PNC的距离始终为，P运动到点B1时，故当点取得最小值为△PNC22241111?S?CNM?h故VP?CNM?VM?PNC?S?PNC??32243?MC?325,NC?,,MN?2221326S?MNC????2228故h?6，故选项C正确.6当点P?NC时，满足MP?平面NCP的点P共有1个.当点P为平面BCC1B1的中心时，故选项D错误故选：C.11．212/22【分析】利用复数的四则运算化简复数z，利用复数的模长公式可求得z.22?i?1?i?i31111????????i，因此，z?????????2.【详解】由题意可得z?1?i?1?i??1?i?222?2??2?故答案为：2.2112．?/?0.52【分析】直接根据两直线垂直的公式计算即可.【详解】由l1?l2得a??a?1??0，解得a??故答案为：?13．32bb【分析】根据渐近线方程可得：?2，进而得到e?1?2?1212x2y2【详解】因为双曲线2?2?1的渐近线为y??2x，abbc所以?2，则e??aac2a2?b2b2??1?2?a2a2a3，答案第5页，共12页

故答案为：3.14．8【分析】由△AF1F2面积为3，且其为正三角形，可得a.后由中垂线性质结合椭圆定义可得答案.【详解】如图，设OF2?c，则a2?b2?c2，因△AF1F2面积为3，且其为正三角形，又OA?b，?b?3c???b?3??则?1，则a?2.c?1????2c?b?3?2又直线BC过F1，与AF2垂直，△AF1F2为正三角形，则直线BC为AF2中垂线，?FC，则AB?BF2，AC?CF2，又BC?BF11?FC?F2C，又C，B在椭圆上，则由椭圆定义有故?ABC的周长C?BF2?BF11C?4a?8.故答案为：815．①③④【分析】设点P?x,y?，求出点P的轨迹方程，根据曲线对称性的定义可判断①；化简曲线C的方程，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可判断②；化简曲线C的方程，根据双曲线的定义可判断③；对点P的位置进行分类讨论，利用二次函数的基本性质可求得d1?d2的最小值.【详解】直线l1的方程为x?2y?1?0，直线l2的方程为x?2y?1?0，设点P?x,y?,x?1，则d1?x?2y?15，d2?x?2y?15，d3?x?1，答案第6页，共12页

d1d2x?2y?1?x?2y?11?，化简可得?x?1?2?4y2??x?1?2.所以，2?2d355?x?1?对于①，在曲线C上任取一点P?x,y?，则点P关于x轴的对称点为P1?x,?y?，2所以，?x?1??4???y???x?1??4y??x?1?，故点P1在曲线C上，①对；2222对于②，设点P?x,y?.当?x?1??4y2时，则曲线C的方程可化为?x?1??4y2??x?1?，可得y2?x，222设坐标原点为O，则OP?x2?y2?x2?x?0，2且原点坐标满足方程?x?1??4y??x?1?，此时22d1d21?有意义，②错；d32522对于③，当?x?1??4y2，则曲线C的方程可化为4y2??x?1???x?1?，2y2y22??6?6??x?1?x2?1F0,0,?整理可得1，取双曲线1的焦点F1?、???2????，22????22根据双曲线的定义可知，曲线C上有无数个点P，使得PF1?PF2?2对于④，当点P在抛物线y2?x上，且x?1时，1?2，③对；2d1?d2?x?2y?1?x?2y?15?y2?2y?1?y2?2y?152?y2?1?25，??55当且仅当y?0时，等号成立，y212?x2?12当点P在双曲线1的上支时，则y?，且y?x?1且x?1，222??此时，d?d?x?2y?1?x?2y?1?125因为x?2?x2?1??1?x?2?x2?1??15，?2?x?1?2?2??x?1???x?1??0，22所以，2x2?1?x?1且2x2?1???x?1?，????故d?d?12x?2?x2?1??1?x?2?x2?1??15?2?x2?1???x?1??2?x2?1???x?1?5?22?x2?1?5?22210，?55答案第7页，共12页

当且仅当x?0时，等号成立；y2?x2?1210当点P在双曲线1的下支时，同理可求得d1?d2的最小值为.52综上所述，d1?d2的最小值为故答案为：①③④.25，④对.5【点睛】关键点点睛：本题考查曲线有关几何性质的应用，解题的关键在于根据题中的几何关系求出曲线的方程，并对曲线的方程进行化简，进而通过曲线的方程对曲线的几何性质进行分析求解.16．(1)C??3,?1?(2)k??3【分析】（1）当k?1时，联立直线l1、l2的方程，求出点A的坐标，再利用对称性可得出点C的坐标；1（2）求出点A的坐标，设点B?t,1?，求出点D的坐标，根据点D在直线l2上可得出t??，k由菱形的几何性质可得出OA?OB，根据斜率关系可得出关于k的等式，即可得解.?x?3?y?1【详解】（1）解：当k?1时，直线l2的方程为y?x?2，联立?可得?，即点A?3,1?，y?1y?x?2??因为点A关于坐标原点的对称点为C，故点C的坐标为??3,?1?.（2）解：若k?0，则l1//l2，不合乎题意，所以，k?0，3??y?1?x??3?k，即点A?,1?，联立?可得??k??y?kx?2??y?1设点O为坐标原点，则kOA?1k?33，k设点B?t,1?，因为四边形ABCD为菱形，且AC的中点为O，则BD的中点为O，所以点D??t,?1?，因为点D在直线l2上，所以，?kt?2??1，则t??1?1?，即点B??,1?，k?k?答案第8页，共12页

所以，kOB?1??k1，?kk2????1，解得k??3.3由菱形的几何性质可知OA?OB，所以，kOAkOB17．(1)y2?4x(2)27【分析】（1）利用抛物线的定义即可求解；（2）设直线BC的方程，联立直线与抛物线的方程，可知?EBC的面积S?y1?y2，结合韦达定理及二次函数求最值，即可得解.【详解】（1）由已知得，曲线M上的任意一点到点(1,0)的距离与它到直线x=?1的距离相等，所以曲线M的轨迹是以(1,0)为焦点，x=?1为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2?4x（2）设B?x1,y1?，C?x2,y2?显然，过点A(2,1)的直线BC斜率不为0，设其方程为x?my?2?m?x?my?2?m2联立?2，整理得y?4my?4?m?2??0?y?4x1??其中??16m?16?m?2??16?m?m?2??16?m???28?0，2??222由韦达定理得：y1?y2?4m，y1y2?4?m?2?，所以?EBC的面积S?1?EA?y1?y2?y1?y2?222?y1?y2??4y1y221?7??16m?16?m?2??4m?m?2?4?m???2?4?2当m?177时，Smin?4?4??27242所以?EBC的面积的最小值为2718．(1)证明过程见详解答案第9页，共12页

(2)（ⅰ）2615；（ⅱ）.35【分析】(1)取AD的中点E，连接EF，EC，AG，PG，利用中位线证明EF//平面PAG，再利用平行四边形对边平行证明CE//平面PAG，然后利用面面平行的判定得到平面PAG//平面EFC，最后由面面平行得到证明即可；(2)选择条件①和③（ⅰ）设点D到平面ABF的距离为h，利用等体积法即可求解；（ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，分别求出两个平面的法向量，进而求解即可.【详解】（1）取AD的中点E，连接EF，EC，AG，PG；因为E,F分别为PD,AD的中点，所以EF//PA，PA?平面PAG，EF?平面PAG，所以EF//平面PAG，又因为G,E分别为BC,AD的中点，四边形ABCD为平行四边形，所以AE//GC且AE?GC，则四边形AGCE为平行四边形，所以CE//GA，GA?平面PAG，CE?平面PAG，所以CE//平面PAG，因为CE?EF?E，CE,EF?平面EFC，所以平面PAG//平面EFC，因为FC?平面EFC，所以FC//平面PAG.（2）选择条件①和③（ⅰ）因为PA?平面ABCD，所以?PCA即为直线PC与平面ABCD所成的角，由题意可知：?PCA?30?，又PA?AB?2，所以AC?23.因为平面PAD?平面PAB，且平面PAD?平面PAB?PA，因为PA?平面ABCD，所以AB?PA，所以AB?平面PAD，AD?平面PAD，所以AB?AD,则四边形ABCD为矩形，因为AB?2,AC?23，所以AD?AC2?CD2?22，设点D到平面ABF的距离为h，由AB?平面PAD可知：AB?AF，答案第10页，共12页

在Rt△PAD中，PD?PA2?AD2?23，因为F为PD的中点，所以AF?所以S?ABF?1PD?3，21111AB?AF??2?3?3，S?ABD?AB?AD??2?22?22，2222因为DC//AB，AB?平面ABF，DC?平面ABF，所以DC//平面ABF，所以点D到平面ABF的距离也就是直线CD到平面ABF的距离.111因为VD?ABF?VF?ABD，即S?ABF?h?S?ABD?AP，3321126也即?3?h??22?1，所以h?333故直线CD到平面ABF的距离为26.3（ⅱ）由（ⅰ）可知：AB，AP，AD两两垂直，分别以AB，AP，AD所在直线为x轴，z轴，y轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，F(0,2,1)，C(2,22,0)，则????????????，，AB?(2,0,0)AF?(0,2,1)AC?(2,22,0)，???设平面ABF的法向量为m?(x1,y1,z1)，平面AFC的法向量为n?(x2,y2,z2)，??????????2y1?z1?0?m·AF?0z?2?则有?????，也即?，令1，则m?(0,?2,2)；2x?0m·AB?0???1?????????n?·AF?0?2y2?z2?0则有??????，也即?，令z1?2，则n?(2,?2,2)，???n·AC?0?2x2?22y2?0???m?n???615?则cos?m,n??????，52?4?4?2?4mn由图可知：二面角B?AF?C为锐二面角，答案第11页，共12页

所以二面角B?AF?C的余弦值为15.5x2y219．(1)??143?4?(2)存在，P??,0??3?【分析】（1）根据条件求出a,b,c，即可得椭圆E的方程；22（2）直线l为x?ty?3，B?x1,y1?,C?x2,y2?，消去x得?3t?4?y?18ty?15?0，利用点B?,C写出直线B?C的方程，利用韦达定理整理变形可得直线过定点.【详解】（1）由已知得2c?2,2a?4，则c?1,a?2，?b2?a2?c2?3x2y2椭圆E的方程为??1；43（2）设直线l为x?ty?3，B?x1,y1?,C?x2,y2?，则B??x1,?y1??x?ty?3?22联立?x2y2，消去x得?3t?4?y?18ty?15?0，?1??3?452????18t??603t2?4?0，解得t2?3??18t15,y1y2?2，23t?43t?4y2?y1?x?x2??y2又直线B?C的方程为y?x2?x1则y1?y2??y?y2?y1yx?yxy?yxy?xyy?yx?2212?y2?21x?1221?21x2?x1x2?x1x2?x1x2?x1x2?x1?x1y2?x2y1?x???y2?y1??152x1y2?x2y1?ty1?3?y2??ty2?3?y12ty1y2?3?y1?y2?3t?4?3??4???2t?又，18ty2?y1y2?y1y2?y133t2?4?y?y2?y1??x?x2?x1?4??4??，恒过定点??,0?3??3??4?故存在定点P??,0?，使得B?恒在直线PC上.?3?答案第12页，共12页