2023年12月14日发(作者：2010年路虎神行者2值多少钱)
2023届山东省潍坊市（安丘、诸城、高密）三县市高三10月联考数学试题
一、单选题
??11．已知集合A???1,1?，B??xx??1,x?Z?，则（
）
2??A．A?B??1?
C．A???RB????1?
【答案】B
【分析】计算绝对值不等式得到B???1,0,1?，从而进行交集，并集，补集相关计算.
【详解】由x?1131?1得：?1?x??1，所以??x?，
2222B．AUB???1,0,1?
D．??RA??B???1,0,1?
又因为x?Z，所以B???1,0?，
故A?B???1?，A错误；
AUB???1,0,1?，B正确；
A???RB???1?，C错误；
??A??B??xx?1?，D错误.
R故选：B
2．已知命题p：有的长方形是正方形，则（
）
A．?p：有的长方形不是正方形
C．?p：所有的长方形都是正方形
【答案】B
【分析】根据特称命题的否定，可得答案.
【详解】由题意，p：存在一个长方形，该长方形是正方形，?p：所有长方形都不是正方形.
故选：B.
3．已知数列?an?的前n项和为Sn，且满足Sm?Sn?Sm?n，若a1?2，则a20?（
）
A．2
【答案】A
B．4 C．20 D．40
B．?p：所有长方形都不是正方形
D．?p：不是长方形的图形都不是正方形 【分析】由Sm?Sn?Sm?n可得a20?S20?S19?S2?S1?S1?a1
【详解】a20?S20?S19?S18?S2??S18?S1??S2?S1?S1?a1?2.
故选：A
4．“关于x的方程a2?1?2没有实数解”的一个必要不充分条件是（
）
A．a?1
2?x?xB．a?1 C．a?1或a?1
2D．a?1或a?1
2【答案】C
【分析】先得到合要求的选项.
【详解】a2?1?2，因为2?1?0，所以a?x111?1?x?1，从而得到a?或a?1，进而判断出四个选项中，符222?12?11111?，?1?x?1，
因为2x?20?1，所以2x?1?2，0?x2?1222?1要想a2?1?2没有实数解，则a?由于a?由于a?由于a??x?x2xx?1?1，
x2?1?x?x1或a?1，
211或a?1?a?，故A不成立；
221或a?1?a?1，故B不成立；
21111或a?1?a?或a?1，且a?或a?1?a?或a?1，C正确；
2222D选项为充要条件，不合要求.
故选：C
5．偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学毕业生张华向银行贷款的本金为72万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，30年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n个月的还款金额为an元，则an?（
）
A．2288
【答案】D
【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出n个月的还款金额.
【详解】由题意可知：每月还本金为2000元，
设张华第n个月的还款金额为an元，
B．4872?8n C．4880?8n D．4888?8n 则an?2000???720000??n?1??2000???0.4%?4888?8n，
故选：D
6．已知函数f?x??ln?x?1??x?0?，将函数f?x?的图象绕原点逆时针旋转?????0,???角后得到曲线C，若曲线C仍是某个函数的图象，则?的最大值为（
）
A．
【答案】B
【分析】利用导数求出函数在原点的切线的斜率，即可求出其倾斜角，再结合函数图象及函数的定义判断即可.
【详解】解：因为f?x??ln?x?1??x?0?，所以f??x??1，则f??0??1．
x?1?4?6B．?
4C．?
3D．?
2即函数f?x??ln?x?1?在原点的切线OM的斜率k?1，所以?MOx?．
?2??MOx时，
由图可知：当函数图象绕坐标原点逆时针方向旋转时，旋转的角?大于旋转所得的图象与y轴就会存在两个交点，
此时曲线C不是函数的图象，故?的最大值是?2??MOx??4．
故选：B．
7．足球运动是目前全球体育界最具影响力的项目之一，深受青少年喜爱．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为（
）
A．1
271B．
9C．8
27D．16
27【答案】D
【分析】计算出每一种情况后，再求和即可.
【详解】由题意，根据第一次传给乙第二次传给甲或丙或丁第三次传给丙丁或甲丁或甲丙，第一次传给丙或丁第二次传给乙第三次传给甲或丙或丁，第一次传给丙或丁第二次传给甲丁或甲丙第三次传给乙分别求出概率，再求和可得答案. 122122116P=?1?+?×1+?×=.
333333327故选：D
8．已知a，b，c??e,???，ac?ca，clnb?blnc，则（
）
A．ea?clnb?eb?clna?ea?blnc
C．ea?clnb?ea?blnc?eb?clna
【答案】D
【分析】由题意变形得通过变形可知比较的是lnxlnalnclnb??，构造函数f?x??证得a?c?b，观察选项，xacbB．ea?blnc?ea?clnb?eb?clna
D．eb?clna?ea?blnc?ea?clnb
lnxlnalnblnc,,gx?的大小，故构造函数证得其单调递减，??eaebecex由此得到所比大小排序.
【详解】因为a，b，c??e,???，
所以由ac?ca两边取自然对数得lnac?lnca，即clna?alnc，故再由clnb?blnc得令f?x??lnalnc?，
aclnblnclnalnclnb???，故，
bcacblnx1?lnx?x?e?，则f??x??2?0，故f?x?在?e,???上单调递减，
xx又由上式可知f?a??f?c??f?b?，故a?c?b，
由四个选项的不等式同时除以ea?b?c可知，比较的是lnalnblnc,,的大小，
eaebec1xx1lnxe?elnx?lnx1?xlnx，
故令g?x??x?x?e?，则?xxg?x????ee2xexxex再令h?x??1?xlnx?x?e?，则h??x????lnx?1????lne?1???2?0，
故h?x?在?e,???上单调递减，
所以h?x??h?e??1?elne?1?e?0，故g??x??0，
所以g?x?在?e,???上单调递减，
又因为a?c?b，所以g?a??g?c??g?b?，即lnalnclnb?c?b，
eaee上述不等式两边同时乘以ea?b?c得，eb?clna?ea?blnc?ea?clnb.
故选：D.
二、多选题 9．某产品的质量指标值服从正态分布?50,?2?，则下列结论正确的是（
）
A．?越大，则产品的质量指标值落在?49.9,50.1?内的概率越大
B．该产品的质量指标值大于50的概率为0.5
C．该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等
D．该产品的质量指标值落在?49.9,50.2?内的概率与落在?50,50.3?内的概率相等
【答案】BC
【分析】对于A，根据标准差的性质分析判断，对于BCD，根据正态分布的性质分析判断即可.
【详解】对于A，?越大，则数据越分散，所以产品的质量指标值落在?49.9,50.1?内的概率越小，所以A错误，
对于B，因为产品的质量指标值服从正态分布?50,?2?，所以正态分布的图象关于直线x?50对称，所以该产品的质量指标值大于50的概率为0.5，所以B正确，
对于C，由选项B可知正态分布的图象关于直线x?50对称，所以该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等，所以C正确，
对于D，由选项B可知正态分布的图象关于直线x?50对称，所以由正态分布的图象可知该产品的质量指标值落在?49.9,50.2?内的概率大于落在?50,50.3?内的概率，所以D错误，
故选：BC
10．已知x?0，y?0，且x?2y?1，下列结论中正确的是（
）
1A．xy的最小值是
8B．2x?4y的最小值是22
D．x2?y2的最小值是
2512C．?的最小值是9
xy【答案】BC
【分析】根据基本不等式即可逐一求解.
【详解】由x>0,y>0，x?2y?1得x+2y?22xy?xy?成立，故A错误，
11，当且仅当x=2y=时等号821由于2x>0,4y>0，所以2x+4y?22x?4y=22x+2y=22，当且仅当x=2y=时等号成立，2故B正确，
?12?12y2x2y2xx>0,y>0，?=9，当且仅当x?y?时等号成立，?+??x+2y?=5++?5+2xyxy2?xy?故C正确，
2?11?x+y=?1?2y?+y=5y?4y+1=5?y??+?，故D错误，
5?55?222222故选：BC
11．已知xxyy??1，则关于函数y?f?x?说法正确的是（
）
94A．函数f?x?在R上为减函数
C．?x?0，使得f?x??0
【答案】AD
B．函数f?x?的图象的对称轴为y?x
2D．f?x???x
3【分析】利用不同象限表示不同的圆锥曲线图象可求解.
x2y2【详解】当x?0,y?0时，原等式化为??1，
94x2y2当x?0,y?0时，原等式化为??1，
94当x?0,y?0时，原等式化为y2x2??1，
49x2y2当x?0,y?0时，原等式化为???1，此方程无解，
94结合椭圆、双曲线的图象作出图象如下：
由图象可知，函数f?x?在R上为减函数，所以A正确；
第一象限的图象为椭圆的部分，不关于y?x，所以B错误；
函数图象不出现在第三象限，所以不存在x?0，使得f?x??0，
所以C错误；
y2x2x2y2因为第四象限部分双曲线??1的渐近线与第二象限的双曲线??1部分的渐499422近线都为y??x，所以结合函数图象f?x???x恒成立，所以D正确.
33故选:AD.
12．将各项均为正数的数列?cn?中的所有项按每一行比上一行多一项的规律排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数c1，c2，c4，c7，…构成数列?an?，各行的最后一个数c1，c3，c6，c10，…构成数列?bn?，第n行所有数的和为Sn?n?1,2,3,4,L?．已知数列?an?是公差为d的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为q的等比数列，且c1?1，c18?1117，c39?．则下列结论正确的是（
）
99
A．an?2n?1 B．b2023?c2023?1012
b?1?C．n???an?3?n
【答案】ABD
D．Sn??2n?1??3n?1?
2?3n?1【分析】由条件结合确定?bn?与?cn?的关系，根据等差数列通项公式和等比数列通项公式求出数列?an?的公差d，由此可得?an?的通项公式，再求公式求Sn，由此判断各选项.
【详解】由已知第n行有n个数，各行的最后一个数c1，c3，c6，c10，…构成数列?bn?，bn，并根据等比数列求和anb=c1+2+3+鬃?n=cn(n+1)所以b1?c1，b2=c1+2=c3，b3=c1+2+3=c6，???，由此可得n，所2以b2023=c1+2+3+鬃?2023=c2023(2023+1)=c2023?10122c，B对，又a1?c1，，a2=c11+=2，=cn(n-1)?(n-1)+1a3=c1+2+1=c6，???，由此可得an=c1+2+3+鬃+1，因为数列?an?是首项为1，2公差为d的等差数列，所以an=dn+1-d，所以a6=c16=5d+1，a9=c37=8d+1，由因为从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为q的等比数列，所以c18??5d?1?q2，c39??8d?1?q2，由已知可得?5d?1?q2?17112，?8d?1?q?，所以99n?11b?1?d?2，q?，所以an?2n?1，A正确，由已知bn=anqn-1，所以n???3an?3?骣骣11鼢1所以Sn=(2n-1)+(2n-1)+珑2n-1+鬃?()鼢珑珑桫桫33鼢32n-1
，C错误，(2n-1) 骣1÷1-?n÷??桫3÷(2n-1)(3-1)，D对，
Sn=(2n-1)=n-112?31-3故选：ABD.
n
三、填空题
x?1??2,x?0,f?log23??______． 13．已知函数f?x???fx?1,x?0,????【答案】31.5
2【分析】由1?log23?2结合条件x?0时，f(x)?f(x?1)化简可得f?log23??f?log23?2?，再由x?0时，f(x)?2x?1，结合对数运算性质求其值.
???上单调递增，所以log22?log23?log24，所以【详解】因为函数y?log2x在?0，1?log23?2，因为x?0时，f(x)?f(x?1)，所以f?log23??f?log23?1??f?log23?2?，因为x?0时，f(x)?2故答案为：x?1，所以f?log23??2log23?2?1?2log23?1?2log23?log22?2log2323?，
23.
2101??14．在?x??y?的展开式中，xy7的系数为______．
x??【答案】?360
11???k?【分析】?x??y?展开通项为Tk?1?C10?x??x?x???1010?k1?7??y?，可得T8?C??x????y?x??k71031??包含xy，再求出?x??展开项x的系数即可
x??731??【详解】由二项式展开项通项公式可得Tk?1?C?x??x??k1010?k??y?k
，故只有1?7?T8?C?x????y?包含xy7，
x??71031??m3?m?1?m3?2m又?x??展开项通项公式为Sm?1?C3，故当m?1时，xy7的系数为x???C3xx??x??3m?-1?77C10C13??360. 故答案为：?360
15．已知数列?an?满足a1?1，anan?1?2n，则数列?an?的前2n项和S2n?______．
n【答案】3?2?1?
n?1【分析】当n?2时，可知an?1an?2，进而可知anan?1a?2，即n?1＝2，从而可知{an}an?1an?1an的奇数项和偶数项都是等比数列，进而分奇偶两部分，可求出S2n.
n【详解】由a1?1，anan?1?2，得a2?2.
当n?2时，an?1an?2n?1aanan?12n?n?1?2，即n?1?2，
，所以an?1an?1an2所以{an}的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列.
1?(1?2n)2?(1?2n)??3?2n?3?3(2n?1).
则S2n?1?21?2n故答案为：3?2?1?.
16．进入秋冬季以来某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为10%，且每人是否感染这种病毒相互独立．为确保校园安全，某校组织该校的3000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测3000次，但实际上在检测时都是随机地按k?1?k?10?人一组分组，然后将各组k个人的检测样本混合再检测．如果混合样本呈阴性，说明这k个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次．当检测次数最少时k的值为______．
参考数据：
0.92?0.810，0.93?0.729，0.94?0.656，0.95?0.590，0.96?0.531，0.97?0.478，0.98?0.430，0.99?0.387，0.910?0.349．
【答案】4
【分析】设每个人检测次数为X，若混合为阴性，则X?11；若混合为阳性，则X??1.
kk1?1???依次求出P?X??、P?X??1?、E?X?，则当E?X?最小时，检测次数最少，最后k?k???研究E?X?的最小值即可
【详解】设每个人检测次数为X，若混合为阴性，则X?11；若混合为阳性，则X??1.
kk1?1???kk则P?X???0.9，P?X??1??1?0.9，k?k???E?X??1?1??1??1?1?P?X?????1??P?X??1???1?0.9k，
k?k??k??k?k故当E?X?最小时，检测次数最少.
当k?2时，E?X??0.69；当k?3时，E?X??0.604；当k?4时，E?X??0.594；当k?5时，E?X??0.61；当k?6时，E?X??0.636；
当k?7时，E?X??0.665；当k=8时，E?X??0.695；当k?9时，E?X??0.724；当k?10时，E?X??0.751.
故当k?4时，E?X??0.594最小.
故答案为：4
四、解答题
17．已知数列?an?中，a1?2，当n?2时，?n?1?an?2nan?1．
(1)求数列?an?的通项公式；
(2)设cn?n?n?9?，数列?cn?中是否存在最大项与最小项？若存在，求出最大项与最小an项；若不存在，说明理由．
n【答案】(1)an?n?2
(2)存在，最小项为c1??4，最大项为c10?c11?
1
1024?a?【分析】(1)由递推式证明数列?n?为等比数列，根据等比数列通项公式求其通项，再?n?求数列?an?的通项公式；(2)研究数列的单调性，由此确定其最值.
【详解】(1)因为当n?2时，有?n?1?an?2nan?1，所以令bn?ana?2n?1，
nn?1bnaan?2，n?2，所以数列?bn?为，则bn?2bn?1，n?2，又b1?1?2，所以nb1n?1等比数列，公比为2，首项为2，
nn所以bn?2，所以an?n?2，
(2)由（1）知cn?n?n?9?n?9n?8?n，得cn?1?n?1，
an22cn?1?cn?n?8n?9n?8?2n?1810?n?n??n?1，
2n?122n?12当n?10时，cn?1?cn?0，cn?1?cn，即c11?c10；
当n?10时，cn?1?cn?0，cn?1?cn，即c10?c9?c8?L?c2?c1；
当n?10时，cn?1?cn?0，cn?1?cn，即c11?c12?c13?L，
所以数列?cn?是先增后减，最大项为c10?c11?11?，
1021024因为当1≤n≤9时，cn?0且数列?cn?是单调递增；当n≥10时an?0，
所以数列?cn?的最小项为c1??8??4．
218．从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记Ai表示事件“第i次摸到红球”，i?1,2,,7．
(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；
(2)记P?A1A2A3?表示A1，A2，A3同时发生的概率，P?A3A1A2?表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率．
①证明：P?A1A2A3??P?A1?P?A2A1?P?A3A1A2?；
②求P?A3?．
【答案】(1)2
(2)①证明见解析，②
【分析】（1）所求概率为P(A2|A1)，由条件概率的公式计算.
(2) ①由条件概率的公式计算推导可证, ②由①的结论,分类计算所求概率.
3
714?3p(A1A2)7?61??；
【详解】(1)由条件概率公式可得P(A2|A1)?4p(A1)27所以第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率为2；
(2)①由条件概率乘法公式
1P(A3|A1A2)?由P(A2|A1)?P(A1A2A3),可得P(A1A2A3)?P(A1A2)P(A3|A1A2),，
P(A1A2)P(A1A2),可得P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1),
P(A1)所以P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2);
②由①可得P?A3??P?A1A2A3??PA1A2A3?PA1A2A3?PA1A2A3
=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)???????P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?P(A1)P(A2|A1)P(A2|A1A2)
332?????????????，所以P?A3??．
76576576576577
3219．已知函数f?x??x?ax?bx?1，其中a?0．
?1?(1)若函数f?x?的单调减区间为??,1?，求实数a，b的值；
?3?(2)若b?a2，已知曲线y?f?x?在点??a,f??a??处的切线与y轴的交点为?0,m?，求9m?的最小值．
a【答案】(1)a?1，b?1
(2)13
?1?【分析】(1)由已知f??x??0的解集为??,1?，根据二次方程和二次不等式的解的关系?3?993求a，b的值；(2)根据导数的几何意义确定a,m的关系，由此可得m??3a?1?，aa利用导数求其最小值．
322【详解】(1)因为f?x??x?ax?bx?1，所以f??x??3x?2ax?b，
?1??1?已知函数f?x?的单调减区间为??,1?，故f??x??0的解集为??,1?，
?3??3???1?1?1?f?????0,?3??2a??b?0,3所以??3?故?9解得a?1，b?1，
??f??1??0,?3?2a?b?0,?2当a?1，b?1时，f??x??3x?2x?1??3x?1??x?1?，
1?1?当x??时，f??x??0，函数f?x?在???,??单调递增，
33??1?1?当??x?1时，f??x??0，函数f?x?在??,1?单调递减，
3?3????单调递增，
当x?1时，f??x??0，函数f?x?在?1，满足已知条件，故a?1，b?1； 22(2)因为b?a2，所以f??x??3x?2ax?a，可得f???a??3??a??2a???a??a2?4a2，2即k?4a2，
又由f??a????a??a???a??a2???a??1??a3?1，
32得切线方程为y???a?1??4a?x?a?，即y?4a2x?3a3?1，
32令x?0，可得y?3a3?1，即m?3a3?1，则m?399?3a3?1?，
aa999a4?92令g?a??3a?1?，a?0，可得g??a??9a?2?，a?0，
aaa2令g??x??0，即9a4?9?0，解得a?1，令g??x??0，即9a4?9?0，解得0?a?1，
所以函数g?a?在区间?0,1?单调递减，在区间?1,???单调递增，
所以当a?1时，函数g?a?取得最小值，最小值为g?1??3?1?9?13．
20．一工厂为了提高生产效率，对某型号生产设备进行了技术改造，为了对比改造前后的效果，采集了20台该种型号的设备技术改造前后连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下表：
设备1
编号
改2造2
前
改2造8
后
(1)根据所给数据，完成下面的2?2列联表，并判断能否有99%的把握认为技术改造前与技术改造后的连续正常运行时间有差异？
设备连续正常运行天数超过30
天 天 计
设备连续正常运行天数未超过30合3 9 6 5 5 8 4 3 4 0 5 9 3 5 7 1 1 1 3
33223334243233334336 2 7 8 7 4 7 8 3 0 6 6 4 4 0 5 1 5 4
233422222 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
改造
前
改造
后
合计
(2)若某台设备出现故障，则立即停工并申报维修，根据长期生产经验，每台设备停工n2天的总损失额记为y（单位：元）满足y?100n?2000n?1500?n?1,2,3,4?，现有两种
维修方案（一天完成维修）可供选择：
方案一：加急维修单，维修人员会在设备出现故障的当天上门维修，维修费用为4000元；
方案二：常规维修单，维修人员会在设备出现故障当天或者之后3天中的任意一天上门维修，维修费用为1000元．
现统计该工厂最近100份常规维修单，获得每台设备在第n?n?1,2,3,4?天得到维修的数据如下：
n
1 2 3 4
频数 10 30 40 20
将频率视为概率，若某台设备出现故障，以该设备维修所需费用与停工总损失额的和的期望值为决策依据，应选择哪种维修方案？
n?ad?bc?K?，
?a?b??c?d??a?c??b?d?22P?K2?k?
0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)表格见解析，有99%的把握
(2)方案一 【分析】（1）根据已知表中的数据填写2?2列联表，然后利用n?ad?bc?K?求出K2，再利用临界值表判断即可，
?a?b??c?d??a?c??b?d?22（2）根据题意分别计算出n?1,2,3,4时，设备的总损失额，设选择方案一、方案二的设备维修所需费用与设备停工总损失额分别为X、Y元，则E?X??3600?4000，Y的可能取值有：4600，6900，9400，12100，求出相应的概率，可得随机变量Y的分布列，求出E?Y?，然后比较可得结论.
【详解】(1)2?2列联表为：
设备连续正常运行天数超过
30天
改造前设备台5
数
改造后设备台15
数
合计
易知K2?20 20 40
5 20
15 20
30天 计
设备连续正常运行天数未超过合40??5?5?15?15?20?20?20?202?10?6.635
所以有99%的把握认为技术改造前与技术改造后的连续正常运行时间有差异．
(2)当n?1时，设备的总损失额为y?3600元；
当n?2时，设备的总损失额为y?5900元；
当n?3时，设备的总损失额为y?8400元；
当n?4时，设备的总损失额为y?11100元；
设选择方案一、方案二的设备维修所需费用与设备停工总损失额分别为X、Y元，
选择方案一，则E?X??3600?4000?7600元，
选择方案二，则Y的可能取值有：4600，6900，9400，12100，
所以，P?Y?4600??1234，P?Y?6900??，P?Y?9400??，P?Y?12100??，
10101010所以，随机变量Y的分布列如下表所示： Y
4600 6900 9400 12100
P
110
310
410
210
所以，E?Y??4600?1342?6900??9400??12100??8710元，
10101010所以，E?X??E?Y?，故选方案一.
21．已知数列?an?，?bn?的各项都是正数，Sn是数列?an?的前n项和，满足22Sn??1?n2?Sn?n2?0；数列?bn?满足b1?a1，b3?a3?1，bnbn?2?bn?1?n?N*?
(1)求数列?an?和?bn?的通项公式；
??6n?7?bn,n为奇数?c?aa(2)记n?nn?2
，数列?cn?的前2n项和为T2n，若不等式?logb,n为偶数2n?1?4n?T2n对一切n?N*恒成立，求?的取值范围．
??1???4n?1nn?1【答案】(1)an?2n?1，bn?2
(2)?1???5
【分析】（1）先根据条件算出Sn
，再算出an
和bn
；
（2）对于?cn?
采用分组求和的方法，推出T2n
的解析式，再根据条件，计算不等式4n?T2n
，确定?
的范围.
??1???4n?1n2222【详解】(1)依题意，根据Sn??1?n?Sn?n?0，得Sn?n???Sn?1??0，
2又an?0，Sn?0，得Sn?n；
当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2??n?1??2n?1；当n?1时，a1?S1?1适合上式，
所以数列?an?的通项公式an?2n?1，所以b1?a1?1，b3?a3?1?4，
2又因为bnbn?2?bn?1?n?N*?，所以数列?bn?为等比数列，
2n?122所以b3?b1q?q?4，解得q=2或q??2（舍去），所以bn?2；
(2)由题意可知，Sn?n2，bn?1?2n； ??6n?7?2n?1??6n?7?bn,n为奇数,n为奇数,??
，
由已知cn??anan?2可得cn???2n?1??2n?3???logb,n为偶数,n,n为偶数?2n?1?设?cn?的前2n项和中，奇数项的和为Pn，偶数项的和为Qn，
所以Pn?c1?c3?c5?L?c2n?1，Qn?c2?c4?c6?L?c2n，
6n?7?2n?1?2n?12n?1??当n为奇数时，cn?，
?2n?1??2n?3?2n?32n?1?2220??2422??2624??22n22n?2??所以Pn?c1?c3?c5?L?c2n?1?????????????L???
51951394n?14n?3????????4n204n????1，
4n?114n?1当n为偶数时，cn?n，所以Qn?c2?c4?c6?L?c2n?2?4?6?L?2n?n?2?2n?n?n2?n?1?，
4n4nn4nn1?n?n1??，
由??1???得??1???即??1??????1?n?n?1?，?T2n，4n?14n?14n?1当n为偶数时，??n2?n?1对一切偶数成立，当n?2
时，n2?n?1?5
为最小值，所以??5，
2当n为奇数时，???n2?n?1对一切奇数成立，当n?1
时??n?n?1???1
为最大值，所以此时???1，
故对一切n?N*恒成立，则?1???5．
n?1综上，an?2n?1，bn?2，?
的取值范围是?1???5.
x22．已知函数f?x???x?a?3?e，g?x??ax．
(1)设f??x?，g??x?分别为f?x?，g?x?的导函数，试讨论f??x??g??x??0根的个数；
(2)若a??4，当x??2时，kf?x??12?x?g?x??2??恒成立，求k的取值范围．
2?【答案】(1)当a?0时，h?x?有一个零点；当?1?a?0时，h?x?有两个零点；
当a??1时，h?x?有一个零点；当a??1时，h?x?无零点；
2(2)??1,e??
【分析】(1)方程的根的个数，转化为函数的零点个数，利用导数讨论单调性来解决.
(2) 恒成立问题转化为函数最值问题，讨论函数单调性，得到最值. x【详解】(1)由题意可得f??x???x?a?2?e，g?(x)=a，
xx令h?x??f??x??g??x???x?a?2?e?a，h??x???x?a?1?e，h??a?1??0，
当x?a?1时，h??x??0，h?x?为减函数；当x?a?1时，h??x??0，h?x?为增函数；
所以h?x?的最小值为h?a?1???ea?1?a，令p?a??h?a?1???ea?1?a，
显然p?a?为减函数，且p??1??0，
所以当a??1，h?a?1??0，所以h?x??0，所以h?x?无零点；
当a??1，h?a?1??0，所以h?x?有一个零点；
当a?0，h?a?1??0，因为当x?a?1时，h?x???a，故h?x?无零点，当x?a?1，h?x?有一个零点；当a?0时，h?x???x?2?e，显然有一个零点；
x当?1?a?0时，当x?a?1时，h?x?有一个零点，当x?a?1，h?x?有一个零点；故有两个零点．
综上所述，当a?0时，h?x?有一个零点；当?1?a?0时，h?x?有两个零点；
当a??1时，h?x?有一个零点；当a??1时，h?x?无零点；
1212x?x?gx?2?kex?1?x?2x?1，?x??2? (2)F?x??kf?x?????????22F??x??kex?x?2??x?2??x?2??kex?1?，由题设可得F?0??0，即k?1，
令F??x??0得x1??lnk，x2??2，
①若1?k?e2，则?2?x1?0，
当x???2,x1?时，F??x??0，当x??x1,???时，F??x??0，
即F?x?在x???2,x1?单调递减，在?x1,???单调递增，
故F?x?在x?x1取最小值F?x1?，而
111F?x1??k?x1?1?ex1?x12?2x1?1?x1?x1?1?ex1?x12?2x1?1
2e211?x1?1?x12?2x1?1??x1?x1?2??0
22所以当x??2时，F?x??0，即kf?x??12?x?g?x??2??恒成立．
2?2x?2②若k?e2，则F??x??e?x?2??e?e?， 所以当x??2时，F??x??0，∴F?x?在??2,???单调递增，
而F??2??0，∴当x??2时，F?x??0，即kf?x???2?22③若k?e2，则F??2???ke?1??e?k?e??0，
12?x?g?x??2??恒成立，
2?所以当x??2时，kf?x??12?x?g?x??2???不可能恒成立．
22?1,e综上所述，k的取值范围为???．
【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
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