2020年山东省淄博市中考数学试卷(解析版)

2023年11月21日发(作者：本田汽车价格大全)

参照秘密级管理★启用前试卷类型：A

淄博市2020年初中学业水平考试

数学试题

卡一并交回。

注意事项：

本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页，满分120分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题

1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定

位置，并核对条形码．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其他答案标号。

3．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内如需改

动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改，不允许使用计算器．

4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记。

5．评分以答题卡上的答案为依据，不按以上要求作答的答案无效。

选择题共48分

的.

一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

1

．

若实数a的相反数是﹣2，则a等于

A．2B．﹣2C．D．0

1

2

2

．

下列图形中，不是轴对称图形的是

A．B．C．D．

3

．

李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在

上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中

位数和众数分别是

A．4，5B．5，4C．5，5D．5，6

4

．

如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于

A．30°

B．35°

C．40°

D．45°

初中学业水平考试数学试题第页（共8页）

1

5．

下列运算正确的是

A．a+aB．a

235235

＝a?a＝a

C．aD．（a

325235

÷a＝a）＝a

6．

已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是

A．B．C．D．

7．

如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是

A．AC＝DE

B．∠BAD＝∠CAE

C．AB＝AE

D．∠ABC＝∠AED

8

．

化简+的结果是

A．a+bB．a﹣bC．D．

，（，），（，）为顶点的△，其两个锐角对应的如图，在直角坐标系中，以坐标原点（，）

A04B30RtAOBO00

9．

外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为

A．36

B．48

C．49

D．64

10．

如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，

∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是

A．2π+2

B．3π

C．

D．+2

11．

如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y

随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，

则△ABC的面积是

A．12

B．24

初中学业水平考试数学试题第页（共8页）

2

C．36

D．48

12．

如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB

＝c，则下列关系式中成立的是

A．a+b

222

＝5c

B．a+b

222

＝4c

C．a+b

222

＝3c

D．a+b

222

＝2c

非选择题共72分

13．计算：+＝．

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。请直接填写最后结果。

14．如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为．

15．已知关于x的一元二次方程x

2

﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．

16．如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰

好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝cm．

17．某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经

各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1

个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是

个．

初中学业水平考试数学试题第页（共8页）

3

三、解答题：本大题共7个小题，共52分。解答要写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.

18.（本小题满分5分）

解方程组：

19.（本小题满分5分）

已知：如图，E是?ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．

求证：△ABC≌△DCE．

20.（本小题满分8分）

某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；

E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘

初中学业水平考试数学试题第页（共8页）

4

制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有人；

1

（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；

（3）最关注话题扇形统计图中的a＝，话题D所在扇形的圆心角是度；

（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？

21.（本小题满分8分）

如图，在直角坐标系中，直线＝与双曲线＝（）分别相交于第二、四象限内的（，），（，

yax+byk≠0Am4B6

12

两点，与轴相交于点．已知＝，）∠＝．

xCOC3ntanACO

（1）求y

12

，y对应的函数表达式；

（2）求△AOB的面积；

（）直接写出当＜时，不等式＞的解集．

3x0ax+b

22.（本小题满分8分）

如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了

增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，

BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：

2

3

（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？

（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加

25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？

初中学业水平考试数学试题第页（共8页）

5

23.（本小题满分9分）

如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O

的半径为R，AF＝h．

（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；

（2）求证：AB?AC＝2R?h；

（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．

24.（本小题满分9分）

如图，在直角坐标系中，四边形是平行四边形，经过（﹣，），，三点的抛物线＝

OABCA20BCyax

2

+bx+a

＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（）已知是抛物线上的点，使得△的面积是的面积的，求点的坐标；

2RADR?OABCR

（

（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．

初中学业水平考试数学试题第页（共8页）

6

初中学业水平考试数学试题第页（共8页）

7

参考答案和解析

一、选择题

题号123456789101112

答案ADCCBDBBACDA

1．【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．即可求出a的值．

【解答】解：∵2的相反数是﹣2，∴a＝2．故选：A．

【点评】本题考查了实数的性质、相反数，解决本题的关键是掌握相反数的概念．

2．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3．【分析】根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可．

【解答】解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数是5，将这组数据

从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5．

故选：C．

【点评】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解答的前提，掌握计算方

法是解决问题的关键．

4．【分析】由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB＝40°，再根据平

行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°．

【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，

又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，

∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．

故选：C．

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数是解答本题的关键．

5．【分析】A．根据合并同类项的定义即可判断；

B．根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断；

C．根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断；

D．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断．

【解答】解：A．a，所以A选项错误；B．a＝a，所以B选项正确；

235235

+a≠a?a

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8

C．a

32236

÷a

＝a，所以C选项错误；D．（a）＝a，所以D选项错误；

故选：B．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，解决本题的关键是综合掌握

以上知识．

6．【分析】根据计算器求锐角的方法即可得结论．

【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，

∴按下的第一个键是2ndF．

故选：D．

【点评】本题考查了计算器﹣三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器．

7．【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵△ABC≌△ADE，

∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，

故选：B．

【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．

8．【分析】跟据同分母分式相加减的运算法则计算．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．

【解答】解：原式＝＝＝＝a﹣b．

故选：B．

【点评】本题主要考查了分式的加减，熟记运算法则是解答本题的关键．

9．【分析】过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，根据

角平分线的性质得PE＝PC＝PD，设P（t，t），利用面积的和差得到

＝t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入y＝中求出k的值．

k

x

1111

×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4

2222

【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，

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9

∵A（0，4），B（3，0），

∴OA＝4，OB＝3，

∴AB＝＝5，

∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，

∴PE＝PC，PD＝PC，

∴PE＝PC＝PD，

设P（t，t），则PC＝t，

∵S

△△△△矩形

PAEPABPBDOABPEOD

+S+S+S＝S，

∴×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，

解得t＝6，∴P（6，6），

把P（6，6）代入y＝得k＝6×6＝36．

故选：A．

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平

分线的性质和三角形面积公式．

【分析】利用弧长公式计算即可．．

10

【解答】解：如图，

点O的运动路径的长＝的长+O

故选：C．

12

O

+的长＝++＝，

【点评】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常

考题型．

11．【分析】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），

即可求解．

【解答】解：由图知，＝＝，当⊥时，的值最小，即△中，边上的高为（即此时

2ABBC10BPACyABCBC8

BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48，

故选：D．

【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是

深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．

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10

【分析】设＝，＝，根据三角形重心的性质得＝，＝＝，利用勾股定理得到．

EFxDFyAF2yBF2EF2x4x+4y12

222

＝，

c

4x+y+4y

222222

＝b，x＝a，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．

【解答】解：设＝，＝，

EFxDFy

∵，分别是，边上的中线，

ADBEBCAC

∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，

∴＝＝，＝＝，

AF2DF2yBF2EF2x

∵⊥，∴∠＝∠＝∠＝，

ADBEAFBAFEBFD90°

在Rt△AFB中，4x＝c，①

222

+4y

在Rt△AEF中，4x＝b，②

222

+y

在Rt△BFD中，x＝a，③

222

+4y

②+③得5x＝（a），④（a），∴4x＝

22222222

+5y+b+b+4y

①﹣④得c﹣（a）＝0，即a＝5c．

222222

故选：A．

【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定

理．

二、填空题

题号1314151617

答案21

m

＜

5210

+b+b

13．【分析】分别根据立方根的定义与算术平方根的定义解答即可．

【解答】解：＝﹣＝．

故答案为：2

【点评】本题考查了立方根与算术平方根，记熟立方根与二次根式的性质是解答本题的关键．

14．【分析】利用平移的性质得到BE＝CF，再用EC＝2BE＝2得到BE的长，从而得到CF的长．

【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．

∴BE＝CF，

∵EC＝2BE＝2，∴BE＝1，∴CF＝1．

故答案为1．

【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图

形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连

接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．

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11

+2+42

15．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b

2

﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范

围．

【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m

∴△＝b﹣4ac＝（﹣1）﹣4×1×2m＞0，解得m＜，

22

故答案为m＜．

【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0?方程有两个不相等的实数根；②△＝0?

方程有两个相等的实数根；③△＜0?方程没有实数根．

16．【分析】连接AC，FC，求出AC，利用三角形的中位线定理解决问题即可．

【解答】解：连接AC，FC．

由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，

∴FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC，

∵AN＝FN，∴MN＝AC，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，

∴AC＝＝＝10（cm），∴MN＝AC＝5（cm），

故答案为5．

【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，

构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．

17．【分析】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数

最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．

【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，

快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，

还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．

根据题意，完成下表：

服务驿站序号在第x服务驿站启程时快递货车货包总数

1n﹣1

2（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）

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12

32（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）

43（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）

54（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）

……

n0

由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x

22

+29x＝﹣（x﹣14.5）+210.25，

当x＝14或15时，y取得最大值210．

答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．

故答案为：210．

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的最值在＝﹣

x

时取得．

三、解答题：

18.（本题满分5分）

解：，

①②，得：＝，解得＝，

+5x10x2

把x＝2代入①，得：6+y＝8，解得y＝4，

所以原方程组的解为．

【分析】利用加减消元法解答即可．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

19.（本题满分5分）

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠B＝∠DCE，

在△ABC和△DCE中，

∴△ABC≌△DCE（SAS）．

【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠B＝∠DCE，由SAS即可得出结论．本

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13

题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；

【点评】熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．

20.（本题满分8分）

解：（1）200（2）如图（3）25，36

（4）10000×30%＝3000（人），

答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．

【解析】

（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），

（2）选C的有：200×15%＝30（人），选A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），

（3）a%＝50÷200×100%＝25%，话题D所在扇形的圆心角是：360°×＝36°，

（4）10000×30%＝3000（人），

答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．

【分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数；（2）根据（1）中的结果和统计

图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据，可以

得到a和话题D所在扇形的圆心角的度数；（4）根据题意和统计图中的数据，可以计算出计该小区居民中最关注

的话题是“民法典”的人数大约有多少．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想

解答．

21.（本题满分8分）

解：（）设直线＝与轴交于点，

1yax+byD

1

在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．

∴＝，即点（，），

OD2D02

把点（，），（，）代入直线＝得，

D02C03yax+b

1

b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，

初中学业水平考试数学试题第页（共8页）

14

∴直线的关系式为y＝﹣x+2；

1

x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，把A（m，4），B（6，n）代入y＝﹣

1

∴（﹣，），（，﹣），

A34B62

∴＝﹣＝﹣，

k3×412

∴反比例函数的关系式为y＝﹣，因此y＝﹣x+2，y＝﹣；

212

（2）由S＝S＝×3×4+×3×2＝9．

△△△

AOBAOCBOC

+S

的解集为x＜﹣3．（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞

【分析】（1）根据OC＝3，tan∠ACO＝，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函

数的关系式；

（）由＝，进行计算即可；

2SS

△△△

AOBAOCBOC

+S

（3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．

【点评】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是

解决问题的关键．

22.（本题满分8分）

解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，

在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝，BC＝1000千米，

∴CD＝BC?sin30°＝100×＝50（千米），＝50（千米），BD＝BC?cos30°＝100×

CD

BC

（千米），＝50在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝

∴＝（千米），

AB50+50

+10050+5050+50AC+BCAB5050≈35

﹣（）＝∴﹣＝﹣．（千米）

答：从地到景区旅游可以少走千米；

AB35

（2）设施工队原计划每天修建x千米，

依题意有，﹣＝50，

解得x＝0.14，经检验x＝0.14是原分式方程的解．

答：施工队原计划每天修建0.14千米．

【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，

在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游

可以少走多少千米；

（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可求出结果，最后检

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验并作答．

【点评】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三

角形的问题，解决的方法就是作高线．同时考查了分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的

一般步骤，即①根据题意找出等量关系，②列出方程，③解出分式方程，④检验，⑤作答．注意：分式方程的解必

须检验．

23.9

（本题满分分）

解：（）证明：如图，连接，

11OD

∵平分∠，∴∠＝∠，∴＝，

ADBACBADCAD

又∵是半径，∴⊥，

ODODBC

∵∥，∴⊥，∴是⊙的切线；

MNBCODMNMNO

（2）证明：如图2，连接AO并延长交⊙O于H，

∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，

又∵∠AHB＝∠ACF，

∴△ACF∽△AHB，

∴，

ACAF

?

AHAB

延长线于P，连（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC

∴AB?AC＝AF?AH＝2R?h；

接CD，

∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，

∴∠＝∠＝，∴＝，∴＝，

BADCADαBDCD

∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，

∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，

∵DQ＝DP，AD＝AD，

∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP，

∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，

∵cos∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2cosα．

AQAQABAC

?

2

AQ

AQ

ADAD

cos

?

cos

?

＝，由垂径定理可得OD⊥BC，可证【分析】（1）连接OD，由角平分线的性质可得∠BAD＝∠CAD，可得

OD⊥MN，可得结论；（2）连接AO并延长交⊙O于H，通过证明△ACF∽△AHB，可得

ACAF

，可得结论；

?

AHAB

（3）由“HL”可证Rt△DQB≌Rt△DPC，Rt△DQA≌Rt△DPA，可得BQ＝CP，AQ＝AP，可得AB+AC＝2AQ，由

锐角三角函数可得AD＝，即可求解．

AQ

cos

?

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【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判

定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键．

24.（本题满分9分）

解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，

将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，

联立①②并解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x

2

+x+③；

（2）由抛物线的表达式得，点M（1，3）、点D（4，0）；

∵△ADR的面积是?OABC的面积的，

∴×AD×|y＝±④，

RRR

|＝×OA×OB，则×2×，解得：y×6×|y|＝

联立④③并解得，或

故点的坐标为（，）或（﹣，）或（，﹣）或（﹣，﹣）；

R1+4141+414

（3）作△PEQ的外接圆R，

∵∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，

则△PRE为等腰直角三角形，

当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，

点M、D的坐标分别为（1，4）、（4，0），

则ME＝4，ED＝4﹣1＝3，则MD＝5，

过点R作RH⊥ME于点H，

设点（，），则＝＝＝，则圆的半径为，，则点（，）

P12mPHHEHRmRmR1+mm

S

△△△△

MEDMRDMREDRER

＝S，即×EM?ED＝×MD×RQ+×ED?y

+S+S+×ME?RH，

∴×4×3＝×5×m+×4×m+﹣168）．×3×m，解得m＝60﹣84，故点P（1，120

【分析】（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝

4a﹣2b+，则×AD×|y②，联立①②即可求解；（2）△ADR的面积是?OABC的面积的

＝×2×，即可求解；

RR

|＝×OA×OB，则×6×|y|

（）∠＝，故∠＝，则△为等腰直角三角形，当直线上存在唯一的点，则⊥，即

3PQE45°PRE90°PREMDQRQMD

可求解．

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【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算等，综合性强，难

度较大．

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