2024年3月29日发(作者：2014款奇骏配置参数)
第七章 平行线的证明
1 为什么要证明
典型例题
题型一 实验验证结论
例1 观察，再验证.
(1)图1①中黑色的边是直的还是弯曲的？
(2)图1②中两条线段a与b，哪一条更长？
① ②
图1
分析：先观察得出结论，再实验验证.
解：对于(1)题，直接观察图1①可能得出结论：黑色的边是弯曲的.但实际上，黑色的边
是直的.
对于(2)题，直接观察图1②可能得出结论：线段b比线段a短.但实际上，这两条线段同样
长.
点拨：要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格的
证明或实验验证.
例2 在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n
2
-6n的值都是负数.于是小明猜想：当n
为任意正整数时，n
2
-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.
分析：因为n
2
-6n＝n(n-6)，所以只要n≥6，该式子的值都表示非负数，所以猜想不正确.
解：(方法1：利用反例证明)不正确.理由：例如当n＝7时，n
2
-6n＝7>0.
(方法2)不正确.理由：n
2
-6n＝n(n-6)，当n≥6时，n
2
-6n≥0.
特别提示：通过此题可说明一点：学生在解答问题时不能太片面，而要全面考虑问题.
题型二 推理的应用
1.图形中的推理
例3 如图2所示，一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿
中间对折5次，用剪刀沿5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成 段.
图2
解析：用列表法(例图中绳子长度为示意图).
例图
…
1
3
2
1
+1
2
5
2
2
+1
3
9
2
3
+1
…
…
…
n
2
n
+1
2
n
+1
对折次数(n)
段数
用n表示段数
答案：33
点拨：从简单、特殊的情况入手，运用比较、归纳的方法，探究内在的规律.
2.数学式子中的推理
例4 观察下列关于自然数的等式：
①1×7+2×9＝5
2
；
②2×8+2×10＝6
2
；
③3×9+2×11＝7
2
；
1
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第4个等式；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性.
解题关键：观察等式左右两边的数字变化情况，找出每个式子与序号之间的关系.
解：(1)根据题意得，第4个等式为4×10+2×12＝8
2
.
(2)猜想的第n个等式为n(n+6)+2(n+8)＝(n+4)
2
.
验证：左边＝n(n+6)+2(n+8)＝n
2
+6n+2n+16＝n
2
+8n+4
2
＝(n+4)
2
＝右边，所以n(n+6)+2(n+8)
＝(n+4)
2
.
3.假设论证
例5 甲、乙、丙、丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色.在问到他们各自车的颜
色时，甲说：“乙的车不是白色的.”乙说：“丙的车是红色的.”丙说：“丁的车不是蓝色的.”丁
说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话.”如果丁说的是
实话，那么以下说法正确的是( )
A.甲的车是白色的，乙的车是银色的 B.乙的车是蓝色的，丙的车是红色的
C.丙的车是白色的，丁的车是蓝色的 D.丁的车是银色的，甲的车是红色的
解析：∵ 丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实
话.”如果丁说的是实话，假设乙的车是红色的，∴ 乙说的是实话，∴ 丙的车也是红色的，
和只有一个人的车是红色的矛盾.假设丙的车是红色的，∴ 丙说的是实话，而乙说“丙的车
是红色的”，∴ 乙说的是实话，∴ 有两人说的是实话，与只有一个人说的是实话矛盾，∴ 只
有甲的车是红色的.∴ 甲说的是实话，丙说的不是实话.∵ 丙说：“丁的车不是蓝色的”，
∴ 丁的车是蓝色的，∴ 乙和丙的车一个是白色的，一个是银色的.∵ 甲说：“乙的车不是白
色”，且甲说的是实话，∴ 丙的车是白色的，乙的车是银色的.综上，甲的车是红色的，乙的
车是银色的，丙的车是白色的，丁的车是蓝色的.
答案：C
4.推理论证
例6 某球赛小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛(每两队赛一场)，胜一场得3分，
平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、
三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是 ( )
A.甲 B.甲与丁 C.丙 D.丙与丁
解析：∵ 甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个
连续奇数，∴ 甲得分为7分，2胜1平，乙得分为5分，1胜2平，丙得分为3分，1胜0平，丁得
分为1分，0胜1平.∵ 甲、乙都没有输球，∴ 甲一定与乙平.∵ 丙得3分，1胜0平，乙得5分，
1胜2平，∴ 与乙打平的球队是甲与丁.
答案：B
拓展资源
哥德巴赫猜想
两百多年前，彼得堡科学院院士哥德巴赫曾研究过“将一个数表示成几个素数的和”的问
题，他取了很多数做试验，想把它们分解成几个素数的和，结果得到一个断语：“总可将任
何一个数分解成不超过三个素数之和.”但是哥德巴赫不能证明这个问题，甚至连如何证明的
方法也没有，于是他写信给另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉，他在1742年6月7日
的信中写道：“我想冒险发表下列假定‘大于5的任何数都是三个素数的和’.”这就是后来举世
闻名的哥德巴赫猜想.同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说：“我认为‘每一个偶数都
是两个素数之和’，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的.”
这两个数学家的通信内容传播出来之后，人们就称这个猜想为哥德巴赫猜想或者哥德巴
赫-欧拉猜想.
完整地说，哥德巴赫猜想是：大于1的任何数都是三个素数的和.
后来，人们把它归纳为：
命题A：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和；
命题B：每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和.
2
人们在研究命题A的过程中，开始引进了“殆素数”的概念.所谓“殆素数”就是素数因子(包
括相同的和不同的)的个数不超过某一固定常数的自然数.
我们知道，除1以外，任何一个正整数，一定能表示成若干素数的乘积，其中每一个素
数，都叫做这个正整数的素因子.相同的素因子要重复计算，它有多少素因子是一个确定的
数.
例如，从25~30这六个数中，
25＝5×5 有2个素因子，
26＝2×13 有2个素因子，
27＝3×3×3 有3个素因子，
28＝2×2×7 有3个素因子，
29是素数 有1个素因子，
30＝2×3×5 有3个素因子.
于是可说25，26，29是素因子不超过2的殆素数，27，28，30是素因子不超过3的殆素数.
用殆素数的新概念，可以提出命题D来接近命题A.
命题D：每一个充分大的偶数，都是素因子的个数不超过m与n的两个殆素数之和.这个命
题简化为“m+n”.
这样，哥德巴赫猜想的最后证明的方向就更明朗化了：如果能证明，凡是比某一个正整
数大的任何偶数，都能表示成一个素数加上两个素数相乘，或者表示成一个素数加上一个素
数，就算证明了“1+2”.当然如果能证明“1+1”就基本上证明了命题A，也就基本解决了哥德巴
赫猜想了.
1920年，挪威数学家布朗证明了“9+9”.
1924年，德国数学家拉代马哈证明了“7+7”.
1932年，英国数学家埃斯特曼证明了“6+6”.
1938年，苏联数学家布赫雪托布证明了“5+5”.
1938年，中国数学家华罗庚证明了几乎全体偶数都能表示成两个素数之和，即几乎所有
偶数“1+1”成立.
1940年，苏联数学家布赫雪托布证明了“4+4”.
1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”，其中c是一个很大的自然数.
1956年，中国数学家王元证明了“3+4”，稍后证明了“3+3”和“2+3”.
1956年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了“3+3”.
1957年，中国数学家王元又证明了“2+3”.
1962年，中国年轻数学家潘承桐证明了“1+5”，这是证明了相加的两个数中，有一个肯
定是素数的成果，而另一个殆素数的因子小到不超过5.
1962年，苏联数学家巴尔巴恩也证明了”1+5”.
1963年，中国数学家王元、潘承桐及苏联数学家巴尔巴恩分别证明了“1+4”.
1965年，维诺格拉多夫、布赫雪托布证明了“1+3”.
1965年，意大利数学家朋比尼也证明了“1+3”.
1966年，中国数学家陈景润宣布证明了“1+2”.
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