导数利器——导数比大小十三种题型(精简版)

2023年11月21日发(作者：丰田卡罗拉2018款报价)

【典例分析】

1

(2022·全国·高三专题练习)已知a,b,c∈

??

A.b<c<aB.c<b<aC.a<c<bD.a<b<c

答案A

导数技巧：比大小

xlnx型对数函数基础构造1：

1ln5ln3ln2

,+∞=-5lna，=-3lnb，=-2lnc，则()

，且

eac

b

解析

【分析】构造函数f(x)=xlnx，根据单调性即可确定a,b,c的大小.

11

【详解】设函数f(x)=xlnx，f

???

(x)=1+lnx，当x∈,+∞,f(x)>0，此时f(x)单调递增，当x∈0,,f(x)<0，此时

????

ee

ln5ln3ln2111111

f(x)单调递减，由题=-5lna，=-3lnb，=-2lnc，得alna=ln,blnb=ln,clnc=ln=

ac553322

b

1111111111111

ln<<<ln>ln>ln,+∞

，因为，所以，则alna>clnc>blnb，且a,b,c∈，所以a>c

??

44543e554433e

>b.

故选：A.

【变式演练】

1.(2022·全国·高三专题练习)已知a=8

1098

，b=9，c=10，则a，b，c的大小关系为()

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

答案D

解析

【分析】构造函数fx=18-xlnx，x≥8，求其单调性，从而判断a，b，c的大小关系.

????

【详解】构造fx=18-xlnx，x≥8，

????

18

fx=-lnx+-1，

?

??

x

189555

fx=-lnx+-1在8,+∞时为减函数，且f8=-ln8+-1=-ln8<-lne=-2<0，

??2

?????

?

x4444

18

所以f

?

????????

x=-lnx+-1<0在8,+∞恒成立，故fx=18-xlnx在8,+∞上单调递减，

??

x

所以f8>f9>f10，即10ln8>9ln9>8ln10，所以8，即a>b>c.

??????

1098

>9>10

故选：D

2.(2022·四川宜宾·二模(文))已知a=10

10119

，b=9，c=11，则a,b,c的大小关系为()

A.c<a<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<b<a

答案A

解析【分析】先构造函数f(x)=20-xlnxx≥9，求导确定函数单调性，即可判断a,b,c的大小.

????

120

【详解】令f(x)=20-xlnxx≥9，则f

????

?

(x)=-lnx+20-x?=-lnx+-1，

??

xx

20

显然当x≥9时，f

??

(x)是减函数且f(9)=-ln9+-1<0，故f(x)是减函数，

9

f(9)>f(10)>f(11)，即11ln9>10ln10>9ln11,ln9>ln10>ln11

11109

，

可得9，即c<a<b.

11109

>10>11

故选：A.

3.(2022·安徽·淮南第一中学一模(理))设a=15ln13，b=14ln14，c=13ln15，则()

A.a>c>bB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c

答案D

1

解析

【分析】构造函数fx=14+xln14-x，利用函数fx的导数讨论函数fx的单调性.

??????????

【详解】令fx=14+xln14-x，x∈-1，1，

??????

??

14+x13

则f

?

????

x=ln14-x-<ln15-<0，

14-x15

所以fx=14+xln14-x在-1，1上单调递增，

??????

??

所以f-1<f0<f1，即13ln15<14ln14<15ln13，

??????

所以，a>b>c故选：D

【题型二】

对数函数基础构造2：型

lnx

x

【典例分析】

有以下结论：①a2(2022·全国·模拟预测)已知1<a<b<e，

baaab

<b>e<e<e

；②b；③a；④a，则其中正确的

eee

个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案C

lnx

，x∈1,e，利用导函数得到其单调性，从而比较出①，②，在①的基础上得到④的正误，

??

x

根据gx=a的单调性及④得到③的正误..

??

x

lnx1-lnxlnx

【详解】设fx=，x∈1,e，则f在x∈1,e上单调递

??????

?

??????

x=>0在x∈1,e上恒成立，所以fx=

2

xx

x

增，

lnalnb

因为1<a<b<e，所以，即blna<alnb，因为y=lnx单调递增，所以a，①正确；

<<b

ba

a

b

ab

lnblne1ab

<=<e

，即alnb<，因为y=lnx单调递增，所以b，②错误；

a

e

eee

b

解析【分析】构造fx=

??

因为a，所以a，④正确；因为gx=a单调递增，1<a<b<e

babx

<b<e

e

??

所以a，所以a，③正确.

aba

<a<e

e

故选：C

ab

ab

ababab

【变式演练】

1.(2022·全国·高三专题练习)a=,b=,c=

A.a<c<bC.a<b<cD.b<a<cB.c<a<b

答案

A

lnxelnx

2

解析【分析】构造函数f(x)=

，应用导数研究其单调性，进而比较a=f，b=f(e)，c=f(3)的大小，若t=

??

x3x

2(x-1)

1

有两个解x，则1<x，t∈0,，构造g(x)=lnx-

1212

,x<e<x(x>1)，利用导数确定g(x)>0，进而得到

??

ex+1

lnx-lnx

21

2

>

，即可判断a、c的大小，即可知正确选项.

x-xx+x

2121

2

e

ln

lnxe3lneln3

2

【详解】令f(x)=，则a=f，b=f(e)=，c=f(3)=，

??

=

2

x3e3

e

3

1-lnxe

2

?

而f且x>0，即0<x<e时f(x)单调增，x>e时f(x)单调减，又1<

(x)=<e<3，∴b>c，b>a.

3

x

2

lnx-lnxlnxx

2112

lnx1

若t=有两个解x，则1<x，t∈0,，即t=，x，

121212

,x<e<x+x=

??

xex-xt

21

2(x-1)(x-1)

2

?

令g(x)=lnx-

(x>1)，则g(x)=>0，即g(x)在(1,+∞)上递增，

x+1

x(x+1)

2

2(x-1)

xlnx-lnx

212

22t

∴g(x)>g(1)=0，即在(1,+∞)上，lnx>>x>e

，若x=即，故t>，有x

12

2

x+1xx-xx+xlnxx

1212112

2

3(2-ln3)

1ln3

，则a，b，c的大小顺序为()

2

e3

e

ee

22

，故f

??

<f(x)=f(3)，∴当x=3时，e>x>

121

33

综上：b>c>a.故选：A

2.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知a=4ln5,b=5ln4,c=5lnπ

ππ4

，则a,b,c的大小关系是()

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.c<b<a

答案B

lnx

利用导数判断fx在e,+∞上的单调性，即可得a,b,c的大小关系.x≥e，

??????

x

1

?x-lnx

lnxx1-lnx

【详解】令fx=，

??

可得fx==x≥e，

?

????

xxx

lnx

当x≥e时，f在e,+∞上单调递减，所以fπ>f4>f5，

?

????

x≤0恒成立，所以fx=

????????

x

lnπln4ln5

即，可得4lnπ>πln4，5ln4>4ln5，所以lnπ，5πln4>4πln5，

>>>ln4

4π

π45

所以5lnπ，5ln4，即c>b，b>a.所以a<b<c.故选：B.

4πππ

>5ln4>4ln5

解析【分析】令fx=

??

3.(2022·全国·高三专题练习(理))设a=2020

202220212020

，b=2021，c=2022，则()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

答案

A

ln2020

lna2021lnx

2

解析【分析】由于

=利用导数判断其为减函数，从而可比较出x≥e，

，所以构造函数fx=

??

??

ln2021x+1

lnb

2022

f2020>f2021>0，进而可比较出a,b的大小，同理可比较出b,c的大小，即可得答案

????

ln2020

lna2022ln20202021lnxx+1-xlnx

2?

【详解】∵，构造函数fx=，

==fx=x≥e，

??

????

2021ln2021ln2021x+1

lnb

xx+1

??

2

2022

?

令gx=x+1-xlnx，则g

??

??

x=-lnx<0，

∴gx在e,+∞上单减，∴gx≤ge=1-e<0，故fx<0，

?????????

?

222?

∴fx在e,+∞上单减，∴f2020>f2021>0，∴=>1∴lna>lnb.∴a>b，

???????

?

2

同理可得lnb>lnc，b>c，故a>b>c，故选：A

f2020

??

lna

lnb

f2021

??

【题型三】

指数函数基础构造

【典例分析】

b，c，满足e设正实数a，

b，c的大小关系为=blnb=ce=2，则a，()

2ac

3

D.b<a<cA.a<b<cB.a<c<bC.c<a<b

答案

B

解析【分析】

通过构造函数f(x)=xe，得b,c的大小关系，再

xc

(x>0)，利用导数判断函数的单调性，并判断c的范围，通过变形得b=e

直接解方程求a的范围，最后三个数比较大小.

【详解】

1e

,1,e(x>0)，x>0时，fx=x+1e>0恒成立，f(x)在(0,+∞)单调递增，x∈

??

时，f(x)∈，设f(x)=xe

??

22

e1ln21

而，blnb=lnb?e，故lnb=c，即b=e，所以a<c<b．故

<2，所以c∈,1=ce∈(e,e)，而a=<

??

lnbcc

2222

选：B

x?x

????

【变式演练】

3

1.已知a,b,c∈R.满足==-<0.则a，b，c的大小关系为().

A.c>a>bB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c

答案

A

解析【分析】

322

bac

lnalnc

lnb

根据指数函数值域可确定c>1，a,b∈0,1；构造函数fx=

????

232

abb

利用可知b<a，由此可得结果.

=<

lna

lnblnb

【详解】

∵3>0，2>0，2>0，∴lnb<0，lna<0，lnc>0，

bac

∴0<b<1，0<a<1，c>1；

232

abb

bb

∵3>2>0，lnb<0，∴=<

，

lna

lnblnb

2

x

利用导数可知fx在0,1上单调递减，0<x<1，

??????

lnx

21

x

xx

2ln2?lnx-2ln2?lnx-

??

x

2xx

令fx=，

??

则fx==0<x<1，

?

????

22

lnx

????

lnxlnx

1

当0<x<1时，lnx<0，-

<0，∴fx<0，∴fx在0,1上单调递减，

?

??????

x

22

ab

∵<

，即fa<fb，∴b<a，∴c>a>b.故选：A.

????

lna

lnb

2.已知a+2=2,b+3=2，则blga与algb的大小关系是()

ab

A.blga<algbC.blga>algbD.不确定B.blga=algb

答案

C

解析【分析】

令fx=x+2，结合题意可知0<b<a<1，进而有a，再利用对数函数的单调性和运算性质即

??

xxbba

,gx=x+3>b>b

??

可求解

【详解】

令fx=x+2，则当x>0时，gx>fx，当x<0时，gx<fx；

??????????

xx

,gx=x+3

??

由a+2

ab

=2,b+3=2，得fa=2,gb=2考虑到fa=gb=2得0<b<a<1，

????????

∴a>b>b

bba

由a，得lga

baba

>b>lgb，即blga>algb故选：C

????

3.已知实数a=eee

A.a<b<cD.b<a<cB.b<c<aC.c<b<a

答案A

解析【分析】

由已知实数的形式构造函数f(x)=，即有a=f(2),b=f(3),c=f(7)，利用导数研究f(x)的单调性，再比较对应

函数值的大小即可.

【详解】

由题意，令f(x)=，则a=f(2),b=f(3),c=f(7)，

x-1

1x-

x+1

e

x

x

1x-

x+1

e

x

x

1

348

237

2

6

(e为自然对数的底数)则a，，b=，c=，b，c的大小关系为()

237

e

x

而f，所以x>0时f

(x)=(x)>0，即f(x)在(0,+∞)上单调递增，

3

??

x

∴f(2)<f(3)<f(7)，即a<b<c，

故选：A

【题型四】

“取对数”法

4

【典例分析】

已知a=2(2023·全国·高三专题练习）

ln7ln6ln5

，b=3，c=4，则()

4

A.b<c<aB.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b

答案

B

解析【分析】对a，b，c取对数，探求它们的结构特征，构造函数fx=lnx?ln9-x(2≤x≤4)，借助导数判断单调性

????

即可作答.

【详解】对a，b，c取对数得：lna=ln2?ln7，lnb=ln3?ln6，lnc=ln4?ln5，

ln9-x9-xln9-x-xlnx

??????

lnx

令fx=lnx?ln9-x(2≤x≤4)，f，

????

?

??

x=-=

x9-x

x9-x

??

令g(x)=xlnx,x>1，g

?

(x)=lnx+1>0，即g(x)=xlnx在(1,+∞)上单调递增，

由2≤x≤4得，9-x≥5>x>1，于是得9-xln9-x>xlnx，又x9-x>0，

??????

因此，f

?

??????????

x>0，即fx在2,4上单调递增，从而得f2<f3<f4，

??

即ln2ln7<ln3ln6<ln4ln5，lna<lnb<lnc，所以a<b<c.

故选：B

【变式演练】

1.(2021·全国·高三专题练习)已知实数a,b,c∈0,e，且3=a=b=c

??

a3b4c5

，4，5，则()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

答案A

ln3lnaln4lnbln5lnclnx

===.设函数fx=

，，，求导，分析导函

??

3a45cx

b

数的正负，得出所令函数的单调性，由此可得选项．

ln3lnaln4lnbln5lnc

【详解】由3，4，5得aln3=3lna，bln4=4lnb，cln5=5lnc，因此，，

a3b4c5

=a=b=c===.

3a45c

b

lnx

设函数fx=，则f3=fa，f4=fb，f5=fc，

??????????????

x

1-lnx

fx=x=0，得x=e，所以fx在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，

??

??????????

，令f

2

x

所以f3>f4>f5，即fa>fb>fc，又a,b,c∈0,e，

??????????????

解析【分析】将已知的等式两边取对数可得

所以a>b>c，故选：A.

2.(2022·全国·高三专题练习)已知a=3.9,b=3.9,c=3.8,d=3.8

3.93.83.93.8

，则a,b,c,d的大小关系为()

A.d<c<b<aB.d<b<c<aC.b<d<c<aD.b<c<d<a

答案

B

lnx

，利用导数判断函数的单调性，可得f3.9<f(3.8)，从而可得3.9，再由y=

??

3.83.9

<3.8

x

x

3.8

在0,+∞上单调递增，即可得出选项.

??

lnx1-lnx

【详解】构造函数fx=，则f，

??

?

??

x=

x

x

2

lnx

当x∈e,+∞时，f在x∈e,+∞上单调递减，

????

?

????

x<0，故fx=

x

ln3.9ln3.8

所以f3.9<f(3.8)，所以，3.8ln3.9<3.9ln3.8所以ln3.9，3.9，

??

<<ln3.8<3.8

3.83.93.83.9

3.93.8

3.83.83.83.93.9

因为y=x在0,+∞上单调递增，所以3.8，同理3.8，

??

<3.9<3.9

解析【分析】构造函数fx=

??

所以3.8，故选：B

3.83.83.93.9

<3.9<3.8<3.9

3.已知5<8<83，b=log5，c=log8，找出这三个数大小关系

5445

，13，设a=log

5813

答案

a<b<c

解析

【分析】

把a,b,c用换底公式变形，已知不等关系及5，8也取对数后，可把a,b,c与中间值比较大小，从而得出结论．

3434

>3<5

【详解】

5

lg3lg5lg8

，b=，c=，由已知a=

lg5lg8lg13

lg5

4

又5，则5lg5<4lg8，∴b=，

54

<8<

lg85

lg8

4

13<8>

45

，则4lg13<5lg8，c=，

lg135

lg3

3

又5，∴3lg5>4lg3，a=，

34

=125>81=3<

lg54

lg5

3

而8，∴3lg8<4lg5，b=，

34

=512<625=5>

lg84

综上有a<b<c．故答案为：a<b<c．

【题型五】

指数切线构造：e

x

-x+1

??

【典例分析】

5

(2022·江西·南昌市八一中学三模(理))设a=

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

答案

A

解析【分析】观察式子的结构，进而设x=1.01，然后构造函数，随即通过求解函数的单调性得到答案.

1

【详解】设x=1.01，所以a=1-

,b=lnx,c=e-1，

x-1

x

设fx=e

??

x?x

-x+1x>1，则fx=e-1>0，所以fx在(1，+∞)单调递增，

????????

所以fx>f1=e

????

2xxx-1

-2>0?e-x+1>0?e>x+1?①，所以e>x?②，

??

111

由①，x>lnx+1?x-1>lnx?

??

-1>lnx?-1>-lnx?lnx>1-?③，

-1

xxx

由②，x-1>lnx?④，

由②④，e

x-1

-1>x-1>lnx，则c>b，

由③，b>a，所以c>b>a.

故选：A.

【提分秘籍】

基本规律

指数和对数切线放缩法基础图

1

，b=ln1.01，c=e

0.01

-1，则()

101

【变式演练】

6

1.(2022·河南·模拟预测(理))已知a=1.2,b=,c=e

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

答案

C

11

0.2

，则()

9

解析【分析】构造函数f(x)=e

x-xx

-x-1x>0，g(x)=(x+1)e-(1-x)e(0<x<1)，利用导数研究函数的单调性，

??

1+x

得出fx，gx的单调性，得出e

????

x2x

>x+1(x>0)，令x=0.2，可得出a<c，再由得出的e<(0<x<1)，令x=

1-x

0.1，得出c<b，从而得出结果．

【详解】解：先证e

xx?x

>x+1(x>0)，令f(x)=e-x-1x>0，则f(x)=e-1>0，

??

可知fx在0,+∞上单调递增，所以fx>f0=0，即e

????????

x

>x+1(x>0)，

令x=0.2，则e

0.2

>1.2，所以a<c；

1+x

再证e，

2x-xx

<(0<x<1)即证(x+1)e>(1-x)e

1-x

令g(x)=(x+1)e

-xx?x-x

-(1-x)e(0<x<1)，则gx=xe-e>0，

????

1+x

所以gx在0,1上单调递增，所以gx>g0=0，即e

????????

2x

<(0<x<1)，

1-x

11

令x=0.1，则e，所以c<b，从而a<c<b．

0.2

<

9

故选：C.

2.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知a=e+1，c=1.1，则()

0.05

，b=

A.a>b>cD.a>c>bB.c>b>aC.b>a>c

答案D

解析

【分析】利用导数可求得e

x

>x+1，lnx≤x-1；分别代入x=0.1和x=1.1，整理可得a,b,c的大小关系.

【详解】令fx=e

??

x?xx

-x-1x>0，则fx=e-1>0，∴fx在0,+∞上单调递增，∴fx>f0=0，即e>x+

????????????

11-x

1，∴e>1.1，∴e>1.1，即a>c；令gx=lnx-x+1，则gx=-1=

0.10.05?

????

，

xx

∴当x∈0,1时，gx>0；当x∈1,+∞时，gx<0；

????????

??

∴gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，∴gx≤g1=0，

??????????

∴lnx≤x-1(当且仅当x=1时取等号)，∴lnx≤x-1，

lnxln1.1

即

+1≤x(当且仅当x=1时取等号)，∴+1<1.1，即b<c；

22

综上所述：a>c>b.故选：D.

99

-

100

1101

3.(2022·全国·高三专题练习)已知a=,b=e,c=ln

，则a，b，c的大小关系为()

101100

ln1.1

2

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

答案

B

99

-

100

9911

+1=>=-x-1，利用导数得到e>x+1x≠0，从而得到b=e>-

100100101

a，设gx=lnx-x+1，利用导数得到lnx<x-1x≠1，从而得到b>c和c>a，即可得到答案.

????

解析

【解析】首先设fx=e

??

??

xx

【详解】设fx=e

??

x?x?

-x-1，fx=e-1，令fx=0，解得x=0.

????

x∈-∞,0，fx<0，fx为减函数，x∈0,+∞，fx>0，fx为增函数.

????????????

??

所以fx≥f0=0，即e

????

xx

-x-1≥0，当且仅当x=0时取等号.所以e>x+1x≠0.

??

-

99

991111-x

故b=e，令g

100

>-+1=>=a，即b>a.设gx=lnx-x+1，gx=-1=x=0，解得x

??????

??

100100101xx

=1.

x∈0,1，gx>0，gx为增函数，x∈1,+∞，gx<0，gx为减函数.

????????????

??

所以gx≤g1=0，即lnx-x+1≤0，当且仅当x=1时取等号.所以lnx<x-1x≠1.

??????

10110111

所以c=ln，又因为b>，所以b>c.

<-1=

100100100100

7

又因为-lnx>-x+1x≠1，所以c=ln

??

即c>a，综上b>c>a.故选：B

1011001001

=-ln>-+1==a，

100101101101

【题型六】

对数切线构造

【典例分析】

6(2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测)已知a>

A.<<B.<<C.<<D.<<

lnalnblnclnalnclnblnclnblnalnblnalnc

acacacac

bcabbcababbcbcab

c-

1

a-

1

b-

1

111

且2a=e，b>且3b=e，c>且4c=e，则()

234

234

答案A

解析

【分析】对已知的等式进行变形，转化成结构一致，从而构造函数，确定构造的函数的性质，得到a、b、c的大小，再

根据选项构造函数，借助函数的单调性比较大小即可.

【详解】由已知条件，对于2a=e，两边同取对数，则有ln2+lna=a-，即a-lna=，

同理：b-lnb=；c-lnc=构造函数fx=x-lnx，

1

a-

2

1111

-ln-ln

??

3344

111x-1

则fa=f，fb=f，fc=f

??????

??????

.对其求导得：fx=x>0

?

????

234x

∴当0<x<1时，fx<0，fx单调递减；

?

????

1111

+ln2=-ln

2222

当x>1时，f

?

????

x>0，fx单调递增；

111

又∵a>，b>，c>

∴1<a<b<c再构造函数gx=xlnx，对其求导得：gx=lnx+1x>0

??????

?

234

11

∴当0<x<x<0，gx单调递减；当x>x>0，gx单调递增；

时，g时，g

??

????????

ee

lnalnblnc

∴ga<gb<gc即：alna<blnb<clnc又∵abc>0∴<<.故选：A.

??????

ac

bcab

【提分秘籍】

基本规律

指数和对数放缩法基础图

【变式演练】

1.(2022·山西运城·高三期末(理))已知a,b,c∈0,+∞，且e-e=a+-e=b+-e=c+

??

abc

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

答案C

解析【分析】构造函数fx=e

??

x

-x，利用导函数可得函数的单调性，又fa=f-

??

????

8

11

，fb=f-，fc=

????

23

1

-

235

--

11

111

，e，e，则

235

()

f-

??

【详解】由题可得e，e，e

abc

-a=e-b=e+-c=e+.+

--

11

111

352

235

令fx=e

??

x?x?

-x，则fx=e-1，令fx=0，得x=0，

????

1

-

1

，a,b,c>0，即得.

5

∴x∈0,+∞时，fx>0，fx在0,+∞上单调递增，x∈-∞,0时，fx<0，fx在-∞,0上单调递减，

????????????????

??

111

，fb=f-，fc=f-a,b,c>0，，又fa=f-

??????

??????

352

111111

由-，可知f-即fa>fb>fc，

<-<->f->f-

??????

??????

235235

∴c<b<a.

故选：C.

2.(2021·四川·双流中学高三阶段练习(理))已知a-4=ln≠0,b-5=ln≠0,c-6=ln≠0，则()

A.c<b<aC.a<b<cD.a<c<bB.b<c<a

答案A

解析

【分析】根据给定条件构造函数f(x)=x-lnx(x>0)，探讨函数的单调性，借助单调性进行推理即可得解.

1x-1

【详解】令函数f(x)=x-lnx(x>0)，则f，则有f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

?

(x)=1-=

xx

且x趋近于0和趋近于正无穷大时，f(x)值都趋近于正无穷大，

a

由a-4=ln

≠0得，a-lna=4-ln4，即f(a)=f(4)，且a≠4，

4

显然0<a<1，若a≥1，而f(x)在(1,+∞)上单调递增，由f(a)=f(4)必有a=4与a≠4矛盾，因此得0<a<1，

b

同理，由b-5=ln

≠0得f(b)=f(5)，且b≠5，并且有0<b<1，

5

c

由c-6=ln

≠0得f(c)=f(6)，且c≠6，并且有0<c<1，

6

显然有f(4)<f(5)<f(6)，于是得f(a)<f(b)<f(c)，又f(x)在(0,1)上单调递减，

所以c<b<a.故选：A

3.(2022·全国·高三专题练习)已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a=3-,b=2-,c=e-ln2，则

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

答案A

解析

【分析】首先设fx=x-

??

>2-ln2，再设函数gx=-lnx，利用导数判断单调性，得g2>0，再比较b,c的大小，即可得到结果.

????

x

，利用导数判断函数的单调性，比较a,b的大小，设利用导数判断e

x

≥x+1，放缩c

e

32

ee

2-1

abc

456

()

x

e

x11

?

【详解】设fx=x-，f，

??

??

x=-

ee

2x

9

ee

22

时，f时，f当0≤x<

??

????

x>0，函数单调递增，当x>x<0，函数单调递减，

44

e

2

a=f3,b=f2，<2<3时，f3<f2，即a<b，

????????

4

设y=e

x?x??

-x-1，y=e-1，y<0，函数单调递减，y>0，函数单调递增，所以当x=0时，函数-∞,0时，0,+∞时，

???

?

取得最小值，f0=0，即e

??

x

≥x+1恒成立，

>2，

x11

令gx=，x∈0,e时，g

????

-lnx，gx=-x<0，gx单调递减，x∈e,+∞时，gx>0，gx单调递增，

???

????????????

eex

x=e时，函数取得最小值ge=0，即g2>0，

????

22

得：

>ln2，那么2-<2-ln2，

ee

2

即e，即b<c，

2-1

-ln2>2-ln2>2-

e

综上可知a<b<c故选：A

即e

2-1

【题型七】

反比例构造型

:

lnx<

2(x-1)

x+1

【典例分析】

b=1.4-1，c=2ln1.1，则-27，()

7(2022·江苏·金陵中学二模)设a=e

1.1

A.a<b<cD.c<a<bB.a<c<bC.b<a<c

答案A

解析

【分析】利用幂函数和指数函数的性质判断的范围，a利用基本不等式判断b的范围，构造新函数并利用导数讨论

函数的单调性求出c的范围，进而得出结果.

【详解】由e，

331.11.5

<28，得e<28，即e<27，所以e<e=e

22

1.4

+1.2

1.2

所以e

1.11.1

<27，则e-27<0，即a<0；由1.4-1=×1.2-1<-1<0.184，即b<0.184；设f(x)

1.4

1.2

2

2(x-1)(x-1)

2

14

?

=lnx-(x>0)，则f(x)=-=≥0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，

x+1x

(x+1)x(x+1)

22

2(x-1)2(x-1)

所以当x∈(1,+∞)时f(x)>0，即lnx>，当x∈(0,1)时f(x)<0，即lnx<，

x+1x+1

21.1-1

??

又1.1>1，则ln1.1>

≈0.095，所以c=2ln1.1>0.19，即c>0.19，

1.1+1

综上，a<b<c.故选：A

33

【变式演练】

1.(2022·全国·高三专题练习)若a=e

0.2

，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

答案

B

解析

【分析】构造函数fx=e

??

x0.21.2

-x-1x>0，利用导数可得a=e>1.2>b，进而可得e>3.2，可得a>c，再利

??

2x-1

??

，可得ln3.2>1.1，即得.用函数gx=lnx-

x+1

【详解】令fx=e

??

x?x

-x-1x>0，则fx=e-1>0，

????

??

∴fx在0,+∞上单调递增，

????

∴a=e>0.2+1=1.2>1.2=b，

0.2

a=e>1.2=lne

0.21.2

，c=ln3.2，

∵e=e>2.7≈387.4,3.2≈335.5，

??????

1.26

565

∴e>3.2，故a>c，

1.2

10

2

2x-12x+1-2xx-1

??????

1

?

设gx=lnx-，则g

??

??

x=-=≥0，

22

x+1x

xx+1x+1

????

所以函数在0,+∞上单调递增，

??

2x-1

??

，由g1=0，所以x>1时，gx>0，即lnx>

x+1

22-121.6-1

????

55

∴ln3.2=ln2+ln1.6>+=1>1=1.1，

2+11.6+13950

又1<1.2<1.21,1<b=1.2<1.1，∴c>1.1>b，故a>c>b.

????

故选：B.

2.(2022·江西·模拟预测(理))设a=

A.a<c<bC.a<b<cD.b<a<cB.c<a<b

答案A

解析【分析】根据a、b、c的结构，构造函数fx=

??

案.

2

e

ln

4(2-ln4)

41lneln4lnx

【详解】因为a=，b=，c=构造函数fx=，

==

??

22

ee4x

ee

4

1-lnxe

2

则f，a=fb=f(e)，c=f4，f(x)在(0,e)上递增，在(e,+∞)上递减.则有b=f(e)最大，即a<b，，

?

??

x=

??

??

4

x

2

lnx1

c<b.若t=<e<x,t∈0,=tx,lnx=tx,所以lnx-lnx=tx-tx,lnx+

有两个解，则1<x，所以lnx

12112212121

??

xe

lnx-lnx

21

lnx=tx+tx,即t=,lnxx=tx+x,

2121212

????

x-x

21

2

2x-1x-1

????

?

令gx=lnx-

??

则gx=>0，故gx在1,+∞上单增,所以gx>g1=0，x>1，

????????????

x+1

xx+1

??

x

2

2-1

??

2x-1

??

xxxlnx-lnx

22121

2

即在1,+∞上，lnx>，则有ln，即

??

.若x=>>.

x+1xxxx-xx+x

1122121

+1

x

1

2tee

22

2

故t>，所以x

12211

x>e.当x=4时，有<x<e，故f<fx=f4

??

????

44

lnxx

??

12

4(2-ln4)

1ln4

，b=，c=，则a，b，c的大小顺序为()

2

e4

e

lnx

，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，得到正确答

x

所以a<c.综上所述：a<c<b.

故选：A

【题型八】

“零点”构造法

【典例分析】

b=e(2022·广东广州·高三开学考试)设a=ln1.1，

0.1

-1，c=tan0.1，d=

8

A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.a<b<d<cD.a<c<d<b

答案

B

解析【分析】观察4个数易得均与0.1有关，故考虑ax=lnx+1，bx=e

??????

x

-1，cx=tanx，dx=x在x=

????

4

π

0.4

，则()

π

0.1时的大小关系，故利用作差法，分别构造相减的函数判断单调性以及与0的大小关系即可.

4

【详解】设ax=lnx+1，bx=e

??????

x

-1，cx=tanx，dx=x，易得a0=b0=c0=d0.

????????????

π

4444

设y=dx-bx=，故y=dx-bx在-∞,ln上单调递增.

????????

x-e+1，则令y=-e=0有x=ln

x?x

??

ππππ

44525243444

10101055510

①因为

??????????????

>==>=>e，即>e，故10ln>1，即ln>0.1，故d0.1-

??

π3.2416162πππ

11

b0.1>d0-b0=0，即d>b.

??????

1ecosx-1

x2

②设y=bx-cx=e，设fx=e

??????

-1-tanx，则y=e-=cosx-1，则fx=

x2?x?x

??

22

cosxcosx

ecosx-2sinx=e-sinx-2sinx+1.

x2x2

????

设gx=x-sinx，则g

??

?

????????

x=1-cosx≥0，故gx=x-sinx为增函数，故gx≥g0=0，即x≥sinx.

故f

?x2x?x2

????????????

x≥e-x-2x+1=e-x+1+2，当x∈0,0.1时fx>0，fx=ecosx-1为增函数，故fx≥

??

2

??

ecos0-1=0，故当x∈0,0.1时y=bx-cx为增函数，故b0.1-c0.1>b0-c0=0，故b>c.

02

??

????????????

③设y=cx-ax=tanx-lnx+1，y，易得当x∈0,0.1时y

????????

??

=-=>0，故c0.1-

a0.1>c0-a0=0，即c>a.

??????

综上d>b>c>a

故选：B

11x+sinx

2

??

22

x+1

cosxx+1cosx

??

【变式演练】

1

-

2

1

1.(2020·北海市北海中学高三)已知x=ln=e=lnx

1233

，x，x满足e，则下列各选项正确的是

-x

2

3

A.x<x<xB.x<x<xC.x<x<xD.x<x<x

132123213312

答案B

解析【详解】因为函数y=lnx在0,+∞上单调递增，所以x

??

1

=ln<ln1=0；

0<x=e===<1；因为x=lnx-lnx=0的实数根，所以x

23333

=-lnx的零点，函数f(x)在定义域内是减函数，因为f1=-1<0，所以函数有唯一零点，即x

????

1

-

2

11e1

e

1

2

满足e，即x是方程是函数fx

-x

ee

e

3

1

2

x

??

??

111

xe

??

，fe=

??

eee

∈1,e.所以x<x<x.

??

123

3

“跨界”构造：切、弦、指、对构造

【典例分析】

其中e=2.71828?为自然-1,b=ln1.2,c=tan0.2，

9

(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知a=e

0.2

对数的底数，则()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

答案

B

解析【分析】观察a=e

0.2

-1,b=ln1.2,c=tan0.2，发现都含有0.2，把0.2换成x，自变量在(0,1)或其子集范围内构造

函数，利用导数证明其单调性，比较a,b,c的大小.

cosxe-cosx-sinxπ

x

x

【详解】令f(x)=e，0<x<，

-1-tanx=

cosx4

令g(x)=cosxe

x?xx

-cosx-sinx，g(x)=(-sinx+cosx)e+sinx-cosx=(e-1)?(cosx-sinx)，

π

当0<x<时，g

?

(x)>0，g(x)单调递增，

4

又g(0)=1-1=0，所以g(x)>0，又cosx>0，

π

所以f(x)>0，在0,成立，所以f(0.2)>0即a>c，

??

4

1-xπ

令h(x)=ln(x+1)-x，h，h(x)在x∈0,为减函数，所以h(x)<h(0)=0，即ln(x+1)<x，

?

(x)=-1=

??

x+1x+12

1π

令m(x)=x-tanx，m，m(x)在x∈0,为减函数，所以m(x)<m(0)=0，即x<tanx，

?

(x)=1-

??

2

2

cosx

π

所以ln(x+1)<x<tanx，x∈0,成立，

??

2

令x=0.2，则上式变为ln(0.2+1)<0.2<tan0.2，所以b<0.2<c

所以b<c，

所以b<c<a.

12

故答案为：B.

【提分秘籍】

基本规律

比较难，需要结合数据寻找合适的构造函数。

【变式演练】

1.(2022·全国·高三专题练习)设a=e-1，b=2e-1，c=sin0.01+tan0.01，则()

0.020.01

??

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

答案A

解析【详解】因为a-b=e

0.020.010.01

-2e+1=e-1>0，所以a>b．

??

2

12sinx

??xx?x

设f(x)=2e，令g(x)=f．

??

-1-sinx-tanx，则f(x)=2e-cosx-(x)，则g(x)=2e+sinx-

cosxcosx

23

2sin

π

π2sinx683π

当x∈0,时，2e时，f

????

x???

>2，sinx>0，<=<2，所以g(x)>0，所以当x∈0,(x)>f(0)=

3

696π

cosx

cos

3

6

0，

π

所以fx在x∈0,上单调递

??

??

6

2.(2022·四川·广安二中模拟预测(理))已知0<x<y<π，且esinx=esiny，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一

yx

定成立的是()

A.cosx+cosy<0B.cosx+cosy>0C.cosx>sinyD.sinx>siny

答案B

解析【分析】构造fx=

??

构造差函数，得到x>

sinx

，0<x<π，求导研究其单调性，判断出D选项，利用同角三角函数关系得到AB选项，

e

x

π

-y，从而判断出C选项.

2

sinxsinxcosx-sinx

【详解】构造fx=，0<x<π，则fx=，

????

xxx

>0恒成立，则fx=

?

??

eee

πcosx-sinx

当0<x<时，cosx>sinx，f

?

??

x=>0，

4

e

x

πcosx-sinx

当

<x<π时，cosx<sinx，fx=<0

?

??

4

e

x

sinxπππ

所以fx=在0,单调递增，在单调递减，因为0<x<y<π，所以0<x<，

??

x

????

,π<y<π，0<e<e

xy

444

e

siny

sinx

又

xy

=>0，所以0<sinx<siny，D错误，

ee

π

22

因为0<x<

<y<π，所以cosx=1-sinx>0，cosy=1-siny，

??

4

所以cosx>cosy，所以cosx+cosy>0，A错误，B正确.

??

πππcosx-sinxsinx-cosx

令gx=fx-f，则g

????

??????

-x=0，gx=fx+f-x=+=

???

????

π

-x

x

242

e

e

2

x

??

sinx-cosxe-e

??

2

π

-x

π

-xx>0恒成立，所以gx=fx-f

??

在0,π上单调递增，当0<x<π时，g

??

2

πππ

当x∈0,时，gx=fx-f，因为fx=fy，

??????

????????

-x<0，即fx<f-x

??

422

πππππ

所以fy<f。因为0<x<，因为fx在在单调递减，

????

????

-x<y<π，所以-x>,π

24244

ππ

所以y>

-x，即x>-y

22

?

??????

13

e

2

π

因为φx=cosx在0,π上单调递减，

????

π

所以cosx<cos

??

-y=siny，C错误

2

故选：B

3.(2022·吉林一中高三阶段练习(理))设a=+cosln

A.a<b<cC.b<c<aD.b<a<cB.a<c<b

答案D

1151

2

6

解析【分析】由于a=lne

=lne+cos,y=

，b=lnsin，c=ln，所以只要比较x=e

????

5

0.020.02

10010050

6

11151

2

5

sin+cos=1+sin=1+sin0.02,z=-(1+sinx)(x>

的大小即可，然后分别构造函数f(x)=e

x

????

1001005050

1.2

x

0)，g(x)=(1+x)-e

，判断出其单调性，利用其单调性比较大小即可

1

50

111651

，b=2lnsin，c=，则a，b，c的大小关系正确的是

??

50100100550

()

1151

2

6

【详解】因为a=lne，b=lnsin，c=ln，

=lne+cos

????

5

10010050

11151

2

6

0.02

所以只要比较x=e的大小即可，

,y=sin+cos=1+sin=1+sin0.02,z==(1+0.02)

????

5

1.2

1001005050

令f(x)=e

x?x

-(1+sinx)(x>0)，则f(x)=e-cosx>0，所以f(x)在(0,+∞)上递增，

1

50

0.02

所以f(x)>f(0)，所以e

x

>1+sinx，

所以e

0.02

>1+sin0.02，即x>y>1，

令g(x)=(1+x)，则g，g

1.20.2-0.8

-e(x)=1.2(1+x)-e(x)=0.24(1+x)-e

x?x?x

因为g

??

(x)在(0.+∞)上为减函数，且g(0)=0.24-1<0，

所以当x>0时，g

?

(x)<0，

所以g

?

(x)在(0.+∞)上为减函数，

因为g，

??0.20.21.20.2

(0)=1.2-1>0，g(0.2)=1.2×1.2-e=1.2-e

要比较1.2与e的大小，只要比较ln1.2

1.20.21.20.2

=1.2ln1.2与lne=0.2的大小，

令h(x)=(1+x)ln(1+x)-x(x>0)，则h

?

(x)=ln(1+x)+1-1=ln(1+x)>0，

所以h(x)在上递增，所以h(x)>h(0)=0，

所以当x∈(0,+∞)时，(1+x)ln(1+x)>x，所以1.2ln1.2>0.2，

所以1.2，所以g

1.20.2?0.20.21.20.2

>e(0.2)=1.2×1.2-e=1.2-e>0，

所以当x∈(0,0.2)时，g

?

(x)>0，

所以g(x)在(0,0.2)上递增，

所以g(x)>g(0)=0，所以(1+x)，

1.2

>e

x

所以(1+0.02)，所以z>x，所以z>x>y，

1.2

>e

0.02

所以c>a>b，故选：D

【题型十】

“同构”构造：差、商、积同构

【典例分析】

b=2ln(2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测)已知a=2ln3-4，

10

大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

答案

C

解析

【分析】观察a,b,c的结构，进而变形为a=2ln3-3×4-3-1，b=2ln

7

-×4-3-1，c=2ln4-

2

4×4-3-1，然后通过构造函数，利用导数得出函数的单调性，最后比较出大小.

7

2

7

-11-1，c=4ln2-13-1，则a，b，c的

2

14

【详解】由题意，a=2ln3-4×3-3-1，b=2ln

7

×4-3-1，c=2ln4-4×3-3-1，-

2

224x-3-x-x+4x-3

2

?

构造函数fx=2lnx-4x-3-1x≥3，则f

????

??

x=-=2?=2?=

x

4x-3x4x-3

x4x-34x-3+x

??

-x-1x-3

????

2?≤0，

x4x-34x-3+x

??

7

所以函数fx在[3,+∞)上单调递减，所以f3>f

????

??

>f4，即a>b>c.

??

2

故选：C.

()1.(2023·全国·高三专题练习)已知a=e-1，b=sin0.1，c=ln1.1，则

D.c<b<aA.a<b<cB.b<c<aC.c<a<b

7

2

【变式演练】

0.1

答案D

解析【分析】构造函数fx=e

??

x

-1-sinx以及函数gx=lnx+1-sinx，分别利用导数研究其单调性，进而根据

????

单调性比较函数值的大小.

【详解】令fx=e

??

x?x

-1-sinx，∴fx=e-cosx，

??

当x>0时，e

xx?

>1，∴e-cosx>0，∴fx>0，fx单调递增，

????

∴f0.1>f0，即e-1-sin0.1>0，∴e-1>sin0.1，即a>b，

????

0.10.1

令gx=lnx+1-sinx，

????

1-x+1cosx

??

11-xcosx-cosx

-cosx==∴gx=

，

x+1x+1x+1

令hx=1-xcosx-cosx，∴h

??

?

????

x=x+1sinx-cosx

?

??

令φx=x+1sinx-cosx，∴φ

????

?

????

x=2sinx+x+1cosx，

π

当0<x<时，φ

??

????

x>0，∴hx单调递增，

6

π+61-3

??

ππππ

∴hx<h=+1sin-cos=<0

??

??

????

666612

∴hx在x∈0,0.1上单调递减，∴hx<h0=0，

????????

∴gx<0，∴gx在x∈0,0.1上单调递减，

?

??????

∴g0.1<g0=0，即ln1.1-sin0.1<0，∴c<b

????

综上：c<b<a.故选：D.

2.(2022·山东枣庄·高三期末)已知a=tan1+π-,b=tan0.1,c=

??

A.b<c<aB.c<a<bC.a<c<bD.a<b<c

答案D

解析【分析】利用诱导公式及正切函数性质比较a，b；构造函数f(x)=

b，c判断作答.

【详解】因0<1-，且y=tanx在0,上单调递增，则tan1+π-

b，

4π41π

x-tanx,x∈0,x=-

????

，可得f，而y=cosx在0,上递减，令f(x)=

?

??

2

π12π12

cosx

1+cos

π

πππ62+3

当x∈0,时，1>cosx>cos，

??

>0，则1>cosx>cos==

22

12121224

4144π

即f上单调递增，

?

????

x=->->0，则fx在0,

??

2

ππ12

2+3

cosx

π4π0.4

当x∈0,时，fx>f(0)=0，即，则c=

????

??

x>tanx，又0.1∈0,>tan0.1=b，

12π12π

所以a<b<c.故选：D

3ππ33

<0.1<=tan1-<tan0.1，即a<

??????

π22ππ

4π

x-tanx,0<x<

，借助函数单调性比较

π12

30.4

，则( )．

ππ

15

3.(2022·重庆·三模)已知a=

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c

答案B

0.30.9

，b=，c=sin0.1，则a，b，c的大小关系正确的是()

2

π

π

解析【分析】作差法比较出a>b，构造函数，利用函数单调性比较出c>a，从而得出c>a>b.

0.30.90.3π-0.90.3×3-0.9

【详解】a-b=

-=>=0，所以a-b>0，故a>b，又fx=πsinx-3x，则fx=

222

????

?

π

πππ

ππ3ππ

πcosx-3在x∈0,0=π-3>0，f=-3<0，所以存在x∈0,x=0，

??????

上单调递减，又f，使得f

???

????

00

6626

ππ

且在x∈0,x时，f

??????????

0000

时，fx>0，在x∈x,x<0，即fx=πsinx-3x在x∈0,x上单调递增，在x∈x,

??

????

66

π6+2π

单调递减，且f，又因为f0=0，所以当x∈0,x

?

??

=π-3>0，所以x>时，fx=πsinx-3x>0，

00

??

????

12412

1π110.3

其中因为，所以，即c>a>b.

<∈0,x，所以f=πsin0.1-0.3>0，故sin0.1>

??

0

??

10121010π

故选：B

【题型十一】

泰勒逼近

【典例分析】

11(2022·全国·高考真题(理))已知a=

A.c>b>aC.a>b>cD.a>c>bB.b>a>c

答案A

解析

【分析】可利用泰勒逼近估算来进行比大小

xsinx

2

【详解】解：根据题意，设f(x)=1-，g(x)=cosx，h(x)=则得

2x

111

a=f,b=g,c=h,所以对这三个函数在x=0处进行四阶泰勒展开，得：

??????

444

四阶四阶

xxxsinxxx

22424

44

f(x)=1-1-++σ(x)，h(x)==1-++σ(x)

，g(x)=cosx=

2x

4!3!5!

2！

111

当x=1/4时。a=f

??????

<b=g<c=h,所以a<b<c

444

c>b>a，故选：A

【提分秘籍】

基本规律

几个常用的泰勒展开

3111

,b=cos,c=4sin

，则()

3244

xxx

23n

e=1+x+++...++ο(x)

nx

2!3!n!

xxx

352m-1

m-1

sinx=x-++...+(-1)+ο(x)

2m

3!5!

(2m-1)!

2m24

xxx

m

cosx=1-++...+(-1)+ο(x)

2m+1

2!4!

(2m)!

n23

xxx

n-1

ln(1+x)=x-++...+(-1)+ο(x)

n

23n

α(α-1)α(α-1)...(α-n+1)

2nn

(1+x)=1+αx+x+...+x+ο(x)

α

2!n!

1

=1+x+x+...+x+ο(x)

2nn

1-x

【变式演练】

16

1.(2022·全国·高考真题)设a=0.1e,b=

0.1

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

答案

C

1

，c=-ln0.9，则()

9

解析【分析】利用泰勒展开来数值逼近比大小

g(x)=，b=g(0.1),泰勒展开g(x)=10[1+x+x设b=，

101

2222

+σ(x)]=10+10x+10x+σ(x)

设

91-x

xx

22

+σ(x)=x++σ(x)

22

设c=-ln0.9，h(x)=-ln(1-x),c=h(0.1),泰勒展开得h(x)=--x-

?

?

?

22

当x=0.1时，显然b=g(0.1)>a=f(0.1)>c=h(0.1),∴b>a>c

2.(2021·全国·高考真题(理))设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1．则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

答案B

解析【分析】利用泰勒展开来数值逼近比大小

【详解】因为1.012>1.02，所以b<a，只比较a与c的大小关系。

设f(x)=2ln(1+x)，a=f(0.01)，g(x)=1+4x-1，b=g(0.01)，所以在x=0处展开泰勒

2

f(x)=2x-+σ(x)=2x-x+σ(x),

??

x

222

?

?

??

2!

11

-1(4x)

2

??

g(x)=1+(4x)++σ(x)-1=2x-2x+σ(x)

122

222

2

2!

f(x)>g(x),∴f(0.01)>g(0.01),a>c

23

xx

2220.1x

??

a=0.1e+σ(x)=x+x++σ(x)

对应f(x)=xe，a=f(0.1).泰勒展开f(x)=x1+x+

?

?

??

2

2!

【题型十二】

帕德逼近

【典例分析】

12(2022·全国·高考真题)设a=0.1e

0.1

,b=

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

答案C

解析

【分析】利用帕德逼近来近似计算.

00.1+6*0.1+12

2

【详解】a=0.1e

0.1

=0.1=0.1105

0.1-6*0.1+12

2

3*0.9-31

2

c=-ln0.9=-≈0.1.53..b==0.1111所以c<a<b

2

9

0.9-4*0.9+1

1

，c=-ln0.9，则()

9

【提分秘籍】

基本规律

帕德逼近：

x+6x+12

2

e≈,(-2≤x≤2)

2

x-6x+12

3x+6x

2

ln(1+x)≈,(-1<x<1)

2

x+6x+6

3x-3

2

ln(x)≈,(0<x<2)

2

x+4x+1

1111

1+x≈1+x-x,-≤x≤

2

??

2822

x

【变式演练】

17

1.已知a=e-27,b=41.1-4,c=2ln1.1,则

1.3

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

答案D

解析【分析】利用帕德逼近来近似计算.

【详解】

2

1.3+6*1.3+12

-27≈3.6486-27<0a=e-27=

2

1.3-6*1.3+12

b=41.1-4=4(1+0.1-1)≈41+*0.1-*0.1-1=0.195

??

11

2

22

2

*1.1-330.63

c=2ln1.1≈2=2*≈0.1906

2

6.61

1.1+4*1.1+1

∴a<c<b

1.3

2.设a=-1，则()

1

，b=ln1.01，c=e

0.01

1.01

B.b<c<aC.b<a<cD.c<a<bA.a<b<c

答案B

解析【分析】帕德逼近近似计算.

1

【详解】设x=1.01，所以a=1-

,b=lnx,c=e-1，

x-1

x

a=≈0.9900

1

1.01

2

3*1.01-3

b=ln1.01≈≈0.00995

2

1.01+4*1.01+1

2

c=e-1≈-1=-1≈0.01005

0.01

0.01+6*0.01+1212.06.1

2

11.9401

0.01-6*0.01+12

∴b<c<a

3.(2021·全国·高考真题(理))设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1．则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

答案B

解析

【分析】利用帕德逼近可计算

【详解】

3*1.01-3

2

≈0.01990a=2ln1.01≈2

1.01+4*1.01+1

2

3*1.02-30.1204

2

b=ln1.02≈2=≈0.01967

2

6.1204

1.02+4*1.02+1

c=1.04-1=1+0.04-1≈1+*0.04-*0.04-1=0.0198

11

2

28

∴b<c<a

综合

【典例分析】

13

(2023·全国·高三专题练习)已知a=e

A.a<b<cB.b<c<aD.c<a<bC.b<a<c

答案

B

解析【分析】需要做差，构造函数，判断所构造的函数的符号即可.

【详解】解析：因为a=e

0.10

>e=1，b=0.1<0.1=1所以a>b；

????

e0

222

又c=构造fx=e，则a-c=f0.1

=-

????

x

2

2

2.1-20.1

x+2x+2

2+0.1-20.1

??

2x

??

??

x-2x+2e-2

2

2

x

因为fx=e，x-1

????

-=+1≥1>0，

2

2

x-2x+2

??

x-1+1

18

0.1

，b=0.1，c=，则()

??

e

2

2.1-20.1

由于函数fx的分母为正数，此时只需要判断分子x

??

??

??

2x

-2x+2e-2的符号，

设g(x)=(x

2x?2x

-2x+2)e-2,g(x)=xe≥0,

则gx在R上递增，g(0.1)>g(0)=0，即当x>0时，fx的分子总是正数，

????

∴fx>0x∈0,+∞，a-c=f0.1>0，即a>c，应用排除法，

????????

故选：B.

【变式演练】

1.(2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试)已知a=log

7

5

837

，b=，c=log，则a,b,c的大小关系为()

6

575

5

8ln

5

D.a<b<cA.b<c<aB.b<a<cC.a<c<b

答案B

解析【分析】设fx=lnx-1-

??

??

单调性，由单调性得f

??

8

>f1=0，g6>g7，由此可得a,b,c的大小关系.

??????

5

ln1-ln

857

853875

【详解】由题意知：a=log，b=，c=log；

7

===

6

777655

5

5

ln8lnlnln

5555

111x-1

设fx=lnx-1-，则f，

??

??

?

??

x=-=

22

xx

xx

当x>1时，f

?

??????

x>0，∴fx在1,+∞上单调递增，

ln1-

85

885758

∴f>f1=0，即ln>1->0，∴>

??

??

，又ln，即b<a；

558577

lnln

55

lnx-ln5

-

lnx+1-ln5

??

lnx+1-ln5xlnx-x+1lnx+1-ln5

??????

x+1x

设gx=；

??

则gx==x>1，

?

????

22

lnx-ln5

xx+1lnx-ln5lnx-ln5

??????

令hx=xlnxx>1，则h

????

??

????????

x=lnx+1，∴当x>1时，hx>0，∴hx在1,+∞上单调递增，

∴当x>1时，xlnx<x+1lnx+1，∴gx<0，∴gx在1,+∞上单调递减，∴g6>g7，

??????????????

?

lnln

78

ln7-ln5ln8-ln555

即，∴，即a<c；综上所述：b<a<c.故选：B.

>>

ln6-ln5ln7-ln567

lnln

55

2.设c=3，a=log4，则a，b，c的大小关系为()

3

，b=log

45

4

B.b>a>cC.a>b>cD.c>b>aA.b>c>a

lnx+1-ln5

??

1

，gx=

利用导数可求得fx和gx在1,+∞上的x>1，

????????

??

xlnx-ln5

答案C

解析

【分析】

对于a，b的比较，构造函数，通过研究函数的单调性来进行比较，对于a，c或b，c的比较通过作差法来进行比较

【详解】

4b-4c=4log3-3=log81-log64>0，故b>c；4a-4c=4log4-3=log256-log125>0，故a>c；

444555

ln3ln4

b=log3=4=

45

，a=log

ln4ln5

lnx+1

??

1lnx

+lnx+1-xln1+

??

??

x+1lnx+1-xlnx

????

lnxxx+1x

?

令fx=，(x>0)，则f

??

??

x===

lnx+1lnx+1xx+1lnx+1xx+1lnx+1

????????????

222

11lnx

因为x>0，所以1+在x>0上单调递增，

>1，ln1+>0，lnx+1>0，故fx>0恒成立，fx=

??

??????

?

xx

lnx+1

??

所以f4>f3，故a>b综上：a>b>c故选：C

????

3.设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1．则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

19

答案B

【解析】

解析【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01

换成x,分别构造函数fx=2ln1+x-1+4x+1,gx=ln1+2x-1+4x+1，利用导数分析其在0的右侧包

????????

括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.

【详解】a=2ln1.01=ln1.01

22

=ln1+0.01=ln1+2×0.01+0.01>ln1.02=b,

????

2

所以b<a;

下面比较c与a,b的大小关系.

记fx=2ln1+x-1+4x+1,则f0=0,f，

??????

?

??

x=-=

由于1+4x-1+x

??

2

=2x-x=x2-x

2

??

所以当0<x<2时，1+4x-1+x

??

2

>0,即1+4x>1+x,fx>0,

????

?

所以fx在0,2上单调递增，

??

??

所以f0.01>f0=0,即2ln1.01>1.04-1,即a>c;

????

令gx=ln1+2x-1+4x+1,则g0=0,g

??????

?

??

x=-=,

22

1+2x

21+4x-1-2x

??

1+4x

??

1+x1+4x

22

1+x

21+4x-1-x

??

1+4x

??

1+x1+4x

由于1+4x-1+2x，在x>0时,1+4x-1+2x

????

22

=-4x<0,

2

所以g

?

????????

x<0,即函数gx在[0,+∞)上单调递减，所以g0.01<g0=0,即ln1.02<1.04-1,即b<c;

综上，b<c<a,

故选：B.

20

真题再现

1.(2022·天津·高考真题)已知a=2

0.7

，b=，c=log，则()

??

A.a>c>bC.a>b>cD.c>a>bB.b>c>a

答案

C

解析【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.

11

0.7

【详解】因为2，故a>b>c.

0.7

>>0=log1>log

??

22

33

故答案为：C.

2.(2021·天津·高考真题)设a=log0.3,b=log0.4,c=0.4

2

1

0.3

，则a，b，c的大小关系为()

2

11

0.7

2

33

D.a<c<bA.a<b<cB.c<a<bC.b<c<a

答案D

解析【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出a,b,c的范围即可求解.

【详解】∵log

22

0.3<log1=0，∴a<0，

5

∵log0.4=-log0.4=log>log2=1，∴b>1，

1

222

2

2

∵0<0.4<0.4=1，∴0<c<1，

0.30

∴a<c<b.

故选：D.

3.(2021·全国·高考真题)已知a=log2，b=log3，c=

58

A.c<b<aC.a<c<bD.a<b<cB.b<a<c

答案C

解析【分析】对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.

1

【详解】a=log

5588

2<log5==log22<log3=b，即a<c<b.

2

故选：C.

4.(2016·全国·高考真题(理))已知a=2

353

，b=4，c=25，则

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

答案A

解析【详解】因为a=2

33553

=16=16

，b=4，c=25，

因为幂函数y=x在R上单调递增，所以a<c，

3

因为指数函数y=16在R上单调递增，所以b<a，

x

即b<a<c.

故选：A.

5.(2020·全国·高考真题(理))已知5<8<83，b=log5，c=log8，则()

5445

，13．设a=log

5813

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

答案A

解析

【分析】由题意可得a、b、c∈0,1，利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小关系，由b=log

??

8

5，得8=5，结

b

44

合5可得出b<，由c=log，可得出c>，综合可得出a、b、c的大小关系.

54c45

<88，得13=8，结合13<8

13

55

log3lg3lg8lg3+lg8lg3+lg8lg24

5

2

22

a1

【详解】由题意可知a、b、c∈0,1，

??

==?<?==∴a<1，

2

??

????

2lg5lg25log5lg5lg52

8

b

??

lg5

21

1

41211

421

1

，则下列判断正确的是()

2

<b；

由b=log，得8，∴5b<4，可得b<；

8

5，得8=5，由5<8<8

b545b4

4

5

4

.8，得13=8，由13<8<13

5

由c=log，得13，∴5c>4，可得c>

13

c4545c

综上所述，a<b<c.

故选：A.

6.(2021·全国·高考真题(理))设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1．则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

答案B

解析

【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01

换成x,分别构造函数fx=2ln1+x-1+4x+1,gx=ln1+2x-1+4x+1，利用导数分析其在0的右侧包

????????

括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.

【详解】a=2ln1.01=ln1.01

22

=ln1+0.01=ln1+2×0.01+0.01>ln1.02=b,

????

2

所以b<a;

下面比较c与a,b的大小关系.

记fx=2ln1+x-1+4x+1,则f0=0,f，

??????

?

??

x=-=

由于1+4x-1+x

??

2

=2x-x=x2-x

2

??

所以当0<x<2时，1+4x-1+x

??

2

>0,即1+4x>1+x,fx>0,

????

?

所以fx在0,2上单调递增，

??

??

所以f0.01>f0=0,即2ln1.01>1.04-1,即a>c;

????

令gx=ln1+2x-1+4x+1,则g0=0,g

??????

?

??

x=-=,

22

1+2x

21+4x-1-2x

??

1+4x

??

1+2x1+4x

22

1+x

21+4x-1-x

??

1+4x

??

1+x1+4x

由于1+4x-1+2x，在x>0时,1+4x-1+2x

????

22

=-4x<0,

2

所以g

?

????????

x<0,即函数gx在[0,+∞)上单调递减，所以g0.01<g0=0,即ln1.02<1.04-1,即b<c;

综上，b<c<a,

故选：B.

7.(2022·全国·高考真题(理))已知a=,b=cos,c=4sin

A.c>b>aC.a>b>cD.a>c>bB.b>a>c

答案A

c11

=4tanx-1,x∈(0,+∞)，利用导数可

结合三角函数的性质可得c>b；构造函数f(x)=cosx+

2

42

b

得b>a，即可得解.

c1π11c

【详解】因为

=4tan,因为当x∈0,,sinx<x<tanx.所以tan>,即>1,所以c>b；

??

4244

bb

1

设f(x)=cosx+

x-1,x∈(0,+∞)，

2

2

f(x)=-sinx+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，

?

1131

则f

??

>f(0)=0,所以cos->0，

4432

所以b>a,所以c>b>a，故选：A

解析【分析】由

8.(2022·全国·高考真题)设a=0.1e,b=

0.1

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

答案

C

解析

【分析】构造函数f(x)=ln(1+x)-x，导数判断其单调性，由此确定a,b,c的大小.

1

，c=-ln0.9，则()

9

3111

，则()

3244

22

1x

【详解】设f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)，因为f，

?

(x)=-1=-

1+x1+x

当x∈(-1,0)时，f

??

(x)>0，当x∈(0,+∞)时f(x)<0，

所以函数f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以f

??

1101110

99999

<f(0)=0，所以ln-<0，故>ln=-ln0.9，即b>c，

所以f-，所以，

??

10101010109

191911

<f(0)=0，所以ln+<0，故<ee<

-

1010

11

故a<b，

(0<x<1)，则g(x)=+ln(1-x)x+1e+=,

2x

设g(x)=xe

x?x

??

x-1x-1

1

??

x-1e+1

令h(x)=e

x2?x2

(x-1)+1，h(x)=e(x+2x-1)，

当0<x<2-1时，h

?x2

(x)<0，函数h(x)=e(x-1)+1单调递减，

当2-1<x<1时，h

?x2

(x)>0，函数h(x)=e(x-1)+1单调递增，

又h(0)=0，

所以当0<x<2-1时，h(x)<0，

所以当0<x<2-1时，g

?x

(x)>0，函数g(x)=xe+ln(1-x)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e

0.1

>-ln0.9，所以a>c

故选：C.

23

巩固练习

1.设a=

e2e2

，b=，c=，则a，b，c的大小关系为()

231+ln2

B.c>a>bC.a>c>bD.a>b>cA.b>a>c

答案

C

解析【分析】

xee2

设f(x)=

(x>1)，a==f(e)，b==f(e)，c==f2，结合函数f(x)的单调性，即

??

1+lnx1+lne1+ln2

1+lne

可求解．

【详解】

xlnx

解：设fx=

??

(x>1)，则fx=所以fx在1,+∞上单调递增，>0，

?

??????

2

1+lnx

??

1+lnx

因为e>2>e，所以fe>f2>fe，

??????

ee2

=fe，b==fe，c==f2，

??????

1+lne1+ln2

1+lne

所以a>c>b．故选：C.

由条件得a=

3

9

2.(2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习)已知a,b∈(0,3)，且4lna=aln4,lnb=bln3,c=e(其中e是自然对数的

2

2

底数)，则()

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

答案C

解析

【分析】观察已知条件，可化为

的大小.

【详解】4lna=aln4?，，令fx=，则f(a)=f(4)=f

lnaln4lnbln9lnx

==

，，故可构造函数fx=，根据函数值大小比较自变量

??

a49x

b

lnaln42ln2ln29lnb2ln3ln9lnx

===lnb=bln3?==

??

a442299x

b

1-lnx

(2)，f(b)=f(9)，fx=x>0,fx单调递增；

??

??????

，当x∈0,e时，f

??

2

x

当x∈e,+∞时，f

??

?

??????

x<0,fx单调递减.∵4，9∈e,+∞，∴f(a)=f(4)>f(b)=f(9)，

又a∈(0,3)，∴a=2，∴f(2)>f(b)，又b∈(0,3)，∴2>b，即2=a>b；

∵c=e>a=4，∴c>a；综上：c>a>b.故选：C.

232

3.已知a=2020

202220212020

，b=2021，c=2022，则a，b，c的大小关系为()

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.a<b<c

答案

C

解析【分析】

ln2020

lna2021lnxlna

由，设f(x)=

=(x≥e)，求出导函数得出单调性，从而可得f(2020)>f(2021)>0，即>1，得出

2

ln2021x+1

lnblnb

2022

a,b大小，同理可得b,c大小，得出答案.

ln2020

(x+1)-xlnx

lna2022ln20202021lnx

【详解】∵，构造函数f(x)=，

==(x≥e)，f(x)=

2?

2021ln2021ln2021x+1

lnb

x(x+1)

2

2022

令g(x)=(x+1)-xlnx，则g

?222

(x)=-lnx<0，∴g(x)在[e,+∞)上单减，∴g(x)≤g(e)=1-e<0，

ln2020

f(2020)

lna2021

故f

?2

(x)<0，所以f(x)在[e,+∞)上单减，∴f(2020)>f(2021)>0?==>1?lna>lnb?a>

ln2021

lnb

f(2021)

2022

b，

24

同理可得lnb>lnc?b>c，故a>b>c，故选：C.

4.设a=log3，b=log4，c=2

45

-0.01

，则a,b,c的大小关系为()

A.b<a<cC.a<c<bD.b<c<aB.a<b<c

答案B

解析【分析】

根据指数和对数运算的转换可确定log

45

3<0.8<log4；设fx=2-x-1x<0，利用导数可确定当x<0时，2>x

????

xx

+1，由此得到2>0.99>log4，进而得到结果.

-0.01

5

【详解】

∵4=1048576，5=390625，5=1953125，4=65536，3=59049，

1089810

∴4<54<log5=0.9；

109

，即4<5，∴log

1010

55

4>5=54>log5=0.8；

108

，即4>5，∴log

1055

55

4>3=43<log4=0.8；∴log4>log3，即a<b.

，即3<4，∴log

4454

810

844

1055

844

99

设fx=2

??

x?x

-x-1x<0，则fx=2ln2-1，

????

当x<0时，2

xx?

∈0,1，又ln2∈0,1，∴2ln2∈0,1，∴fx<0，

????????

∴fx在-∞,0上单调递减，∴fx>f0=0，即当x<0时，2>x+1，

????????

x

∴2>-0.01+1=0.99>0.9，∴log4<2

-0.01-0.01

5

，即b<c.

综上所述：a<b<c.

故选：B.

5.(2021·山西吕梁·高三阶段练习(理))已知a=10e,b=10.1，则()

0.1

A.a>b+1B.b-1<a<bC.b<a<b+1D.a<b-1

答案C

解析

【分析】根据给定条件构造函数g(x)=e

xx2

-x-1,x>0和函数f(x)=e-x-x-1x∈0,

????

数即可推理判断作答.

【详解】令g(x)=e

x?x

-x-1,x>0，则g(x)=e-1>0，即g(x)在(0,+∞)上单调递增，g(x)>g(0)=0，

因此，g(0.1)=e

0.10.10.1

-1.1>0，即e>1.1，于是得以a=10e>10×1.1=11>b，

1

设f(x)=e，则f

x2?xx?x

-x-x-1x∈0,(x)=e-2x-1，令h(x)=e-2x-1，则h(x)=e-2<0，

????

2

11

从而有h(x)在0,上单调递减，即f上单调递减，

????

?

(x)=h(x)<h(0)=0，则f(x)在0,

22

x

e1

于是得f(x)<f(0)=0，即有

<x++1，取x=0.1，则10e<11.1，即a<b+1，

0.1

xx

综上，b<a<b+1.

故选：C

6.(2022·全国·高三专题练习)已知a-4=ln<0，b-3=ln<0，c-2=ln<0，则()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.a<c<b

答案

C

解析【解析】构造函数f(x)=x-lnx，利用导数判断其单调性，由已知可得f(a)=f(4)，0<a<1，

f(b)=f(3)，0<b<1；f(c)=f(2)，0<c<1，进而利用单调性可得答案.

1x-1

【详解】令f(x)=x-lnx，f

??

(x)=1-==0，x=10<x<1时，f(x)<0，则f(x)在(0,1)上递减，

xx

a

x>1时，f(x)>0，则f(x)在(1,+∞)上递增，由a-4=ln<0可得0<a<4，

?

4

a

a-4=ln

化为a-lna=4-ln4∴f(a)=f(4)，则0<a<1，同理f(b)=f(3)，0<b<1；f(c)=f(2)，0<c<1，

4

因为4>3>2>1，所以f4>f3>f2，可得fa>fb>fc，

????????????

abc

432

1

，再求导，借助导

2

25

因为f(x)在(0,1)上递减，，∴a<b<c，故选：C．

44343

7.已知a=sin,b=sin,c=cos

，则a,b,c的大小关系为()

53434

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

答案

A

解析【分析】

3ππ31-x3

根据sin比较b，c的大小关系，构造函数fx=b的大小关比较a，

<sin=cos<cos?sinx,x∈,1

??

?

?

?

44444x

?

系，即可得解.

1π3ππ31-x3

【详解】，所以b<c，构造函数fx=，

=sin<sin<sin=cos<cos?sinx,x∈,1

??

?

?

?

264444x4

?

-sinx+x-xcosx

??

2

11-x311

?

fx=-?sinx+?cosx=>

??

22

，sinx>sin，所以-sinx<-，

x422

xx

333

x∈,1≤cosx<cosx<0，

??

，必有0<x-x，cosx<1，所以x-x所以-sinx+x-x

222

????

41616

2

-sinx+x-xcosx

??

11-x1-x3

?

即f单调递减，

?

????

x=-?sinx+?cosx=<0所以fx=?sinx,x∈,1

22

?

?

4xx

?

xx

431413443

所以f即sin，所以a<b<c故选：A

????

<f,sin<sin<sin

544534534

8.?x∈0,1，记a=

??

A.a>c>bB.b>c>aC.b>a>cD.a>b>c

答案C

解析

【分析】

sinx

，其中x∈0,1，利用函数fx的单调性可得出a、b的大小关系，推导出x>sinx>0对任意的x构造函数fx=

??????

x

∈0,1恒成立，利用不等式的基本性质可判断a、c的大小关系，综合可得出a、b、c的大小关系.

??

【详解】

sinxxcosx-sinx

，其中x∈0,1，则f，构造函数fx=

????

?

??

x=

x

x

2

令gx=xcosx-sinx，其中x∈0,1，则g

????

?

??

x=-xsinx<0，

所以，函数gx=xcosx-sinx在0,1上单调递减，则gx<g0=0，

????????

所以，f

?

????????

x<0对任意的x∈0,1恒成立，所以，函数fx在0,1为减函数，

因为0<x<1，则0<x

22

<x<1，则fx>fx，即b>a，

????

构造函数hx=x-sinx，其中x∈0,1，则h

????

?

??

x=1-cosx>0，

所以，函数hx=x-sinx在0,1上单调递增，则hx>h0=0，即x>sinx>0，

????????

sinxsinxsinx

2

所以，0<

<1，则0<<<1，所以，a>c.

??

xxx

综上所述，b>a>c.故选：C.

9.(2022·浙江·高三专题练习)设a=ln1.01,b=1.01-1.01,c=0.01，则()

A.a<b<cC.b<a<cD.b<c<aB.a<c<b

答案A

解析

【分析】令fx=lnx,gx=x

????

22

-x,hx=x-1，比较f1.01,g1.01,h1.01的大小即可得答案.

????????

26

1

2

sinxsinxsinx

2

2

，b=，c=则a、b、c的大小关系为，()

??

xx

x

2

【详解】解：令fx=lnx,gx=x

????

22

-x,hx=x-1，现比较f1.01,g1.01,h1.01的大小，

????????

设Fx=fx-gx=lnx-(x

??????

22

-x)=lnx-x+x，则F1=0，

??

??

x-1(2x+1)

1

-2x+1=-<0，所以Fx在x∈(1,+∞)上单调递减，x=

????

xx

于是当x>1时，Fx<F1=0，

????

当x>1时，F

?

故当x>1时，fx<gx，从而f1.01<g1.01，即a<b.

????????

设Hx=gx-hx=(x

??????

22

-x)-x-1=1-x,H1=0，

????

当x>1时，Hx<0，

??

故当x>1时，gx<hx，从而g1.01<h1.01，即b<c.

????????

综上，a<b<c.故选：A.

10.(安徽省池州市东至二中2020-2021学年3月月考)已知a=1+

????

a，b，c的大小关系是()

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

答案A

解析

【分析】

lnx+1

??

111

，lnb=πln1+，lnc=由题意得lna=eln1+

ln1+3，然后构造函数fx=x>0并利用导数

??????

????

πe3x

研究其单调性，最后利用其单调性即可比较大小.

【详解】

对a，b，c两边都取自然对数得

111

lna=eln1+ln1+3，

????

，lnb=πln1+，lnc=

??

eπ3

x

-lnx+1

??

lnx+1

??

x+1x

令fx=，设gx=

????

得f\'x=-lnx+1，x>0，

??????

2

xx+1

x

x

得g\'x=-

??

∴gx在0,+∞递减，∴gx<g0=0，<0，

????????

2

??

x+1

∴f\'x<0，∴fx在0,+∞递减，

??????

1111

又lna=f，lnb=f，lnc=f3，∴f3<f，

????????

????

<f

eπeπ

∴c<a<b.故选A.

11

eπ

eπ

1

3

，c=4，其中e是自然对数的底数，则，b=1+

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