2023年12月24日发(作者：郑州日产帅客二手车)
第二章 决策分析
2.1 某公司面对五种自然状态、四种行动方案的收益情况如下表：
收
益
状态
值
N1 N2 N3 N4 N5
方案
S1 25 30 20 24 27
S2 17 14 31 21 25
S3 22 21 23 15 27
S4 29 21 26 27 24
假定不知道各种自然状态出现的概率，分别用以下五种方法选择最优行动方案：
1、最大最小准则
2、最大最大准则
3、等可能性准则
4、乐观系数准则（分别取?=0.6、0.7、0.8、0.9）
5、后悔值准则
解：
1、 用最大最小准则决策S4为最优方案；
2、 用最大最大准则决策S2为最优方案；
3、 用等可能性准则决策S4为最优方案；
4、 乐观系数准则决策
(1) ?=0.6，S1为最优方案；
(2) ?=0.7，S1为最优方案；
(3) ?=0.8，S1为最优方案；
(4) ?=0.9，S2为最优方案；
可见，随着乐观系数的改变，其决策的最优方案也会随时改变。
5、 用后悔值准则决策S4为最优方案。
2.2 在习题1中，若各种自然状态发生的概率分别为P（N1）=0.1、P（N2）=0.3、P（N3）=0.4、P（N4）=0.2、P（N5）=0.1。请用期望值准则进行决策。
解：期望值准则决策S1为最优方案。
3.3 市场上销售一种打印有生产日期的保鲜鸡蛋，由于确保鸡蛋是新鲜的，所以要比一般鸡蛋贵些。商场以35元一箱买进，以50元一箱卖出，按规定要求印有日期的鸡蛋在一周内必须售出，若一周内没有售出就按每箱10元处理给指定的奶牛场。商场与养鸡场的协议是只要商场能售出多少，养鸡场就供应多少，但只有11箱、12箱、15箱、18箱和20箱五种可执行的计划，每周一进货。
1、编制商场保鲜鸡蛋进货问题的收益表。
2、分别用最大最小准则、最大最大准则、等可能性准则、乐观系数准则（?=0.8）和后悔值准则进行决策 。
3、根据商场多年销售这种鸡蛋的报表统计，得到平均每周销售完11箱、12箱、15箱、18箱和20箱这种鸡蛋的概率分别为：0.1、0.2、0.3、0.3、0.1。请用期望值准则进行决策。
解：
第一种做法：以每周可购进的规格做为售出状态
1、收益表
收
益
状态
N1
值
(20箱)
N2
(18箱)
N3
(15箱)
N4
(12箱)
N5
(11箱)
方案
S1(20箱)
S2(18箱)
S3(15箱)
S4(12箱)
S5(11箱)
165
2、用各准则模型求解
（1） 最大最小准则得S5为最优方案；
（2） 最大最大准则得S1为最优方案；
（3） 等可能性准则得S4为最优方案；
300
270
225
180
220
270
225
180
165
100
150
225
180
165
-20
30
105
180
165
-60
-10
65
140
165
（4） 乐观系数（?=0.8）准则得S1为最优方案；
（5） 后悔值准则得S3为最优方案。
3、用期望值准则得S3为最优方案。
另一求解方法：以所有可能售出做为不同的状态
1、收益表：
2、
（1） 最大最小准则得进11箱为最优方案；
（2） 最大最大准则得进20箱为最优方案；
（3） 等可能性准则得进11箱为最优方案；
（4） 乐观系数准则得进20箱为最优方案；
（5） 后悔值准则进15箱为最优方案；
3、用期望值准则得进15箱为最优方案。
3.4 某工厂加工的机器零件以150个为一批，经验表明每一批零件中的不合格品的概率P不是0.05就是0.25，而且在各批量中P为0.05的概率为0.8。对于产品质量的检验有两种方式：一种是在组装前对每个零件都进行检验，每个需检验费10元，如发现不合格的立即更换；另一种是事先不对每个零件检验，而是等组装后再检验，如发现不合格就返工，费用是每件100元。
1、编制出机器零件检验计划的收益表。
2、用期望值准则进行决策，以确定应采用哪种检验方式。
3、求出该问题的全情报价值。
解：
1、收益表：
单位：元
收
益
值
方案
状态
N1
(0.05)
0.8
N2
(0.25)
0.2
S1(全检)
S2(不全检)
2、 单位：元
收
益
值
方案
状态
1500
750
1500
3750
N1
(0.05)
0.8
N2
(0.25)
0.2
E(Si)
S1(全检)
S2(不全检)
3、全情报收益：0.8*750+0.2*1500=900元
全情报价值：1350-900=450元
1500
750
1500
3750
1500
1350(min)
3.5 某建筑公司正在考虑是否承包一项工程。合同规定，若工程能按期完工，公司可得利润5万元；若工期拖延，公司将亏损1万元，而工程能否按时完工主要取决于天气的好坏。根据以往的经验，该公司认为天气好的可能性是0.2。为了更准确地估计气象情况，公司可以从气象咨询部门购买气象资料，但要付出0.4万元的咨询费。咨询部门提供的资料显示，该部门预报天气好的准确性0.7。预报天气坏的准确性是0.8。试问这项气象资料是否值得购买？先用计算机求解模型求解，再用决策树方法验证其结果。
解：
收益表：
单位：元
条件概率表：
I1
I2
收
益
值
方案
状态
N1
(天气好)
0.2
N2
(天气不好)
0.8
S1(承包工程)
S2(不承包工程)
N1
5
0
-1
0
N2
0.2
0.8
0.7
0.3
期望收益值：0.2万元，样本情报总收益：0.54万元，样本情报价值0.34万元。若用0.4万元购买情报不值得。
3.6 有如下决策树，括号中显示了事件节点的概率，末端的收益显示在右边。
（0.5）
（0.5）
0
10
（0.4）
（0.5）
30
（0.5）
-10
-5
（0.3）
40
（0.7）
-10
（0.6）
10
1、分析这个决策树，做出最优策略。
2、使用Treeplan构建并求解相同的决策树。
解：
1、从右往左，第一级决策都应选第二个分支，期望值分别为15和5；第一级决策应选第一个分支，期望值为12.5。
2、treeplan决策树如下图：
3.7 某工厂考虑是否近期扩大生产规模的问题。由于可能出现的市场需求情况不同，预期也不一样。已知市场需求为好（N1）、 中（N2）、差（N3）的概率及不同方案时的预期利润如下表：
收
益
状态
N1 N2 N3
值
方案
P（N1）=0.2 P（N2）=0.5 P（N3）=0.3
100
80
80
60
-20
20
S1(近期扩大)
S2(暂不扩大)
对于该厂，获得100万元的效用值U（100）=10，损失20万元的效用值U（10）=0，对该厂领导进行了一系列询问，其询问的结果大体如下：
1、若该厂领导认为：“以90%的概率得100万元和以10%的概率损失20万元”与“稳获80万元”二者对他来说没有差别。
2、若该厂领导认为：“以80%的概率得100万元和以20%的概率损失20万元”与“稳获60万元”二者对他来说没有差别。
3、若该厂领导认为：“以25%的概率得100万元和以75%的概率损失20万元”与“稳获20万元”二者对他来说没有差别。
请分别根据这三种情况预期盈利的效用值按期望值准则进行决策。
解：决策结果：
按期望值准则：S1为最优方案，
效用值准则：S2为最优方案。
第三章 线性规划及图解法
3.1 根据下面决策变量xl、 x2的约束条件，各画一张图显示满足这个约束的非负解。再将这些约束条件综合在一张图上，表示出在外在约束（函数约束）和简单约束（非负约束）下的可行域。
xl- x2≤2
-3xl+6 x2≥3
4xl-3 x2≥1
解：
3.2 有下面决策变量xl、x2构成的目标函数：
max Z=2xl+3 x2
1、在一张图上分别画出Z =6、Z =12、Z =18时相应的目标函数直线。
2、写出这三条直线方程的斜截式形式，比较三条直线的斜率以及在x2轴上的截距。
解：
1、
2?2、三个斜截式中斜率相同，都是 ，在
2轴上的截距分别为2、4、6。
3.3 将下列线性规划问题划为标准形式
1、 max Z=3xl+2 x2+4 x3-8 x4
S.T. xl+2 x2+5 x3+6 x4≥8
-2xl+5 x2+3 x3-5 x4≤2
2xl+4 x2+4 x3-5 x4=18
xl、x2、x3
≥0
x4无约束
解： max Z=3xl+2 x2+4 x3-8 x5+8x6+0x7+0x8
S.T. xl+2 x2+5 x3+6 x5-6x6-x7=8
-2xl+5 x2+3 x3-5 x5+5x6+x8=2
2xl+4 x2+4 x3-5 x5+5x6=18
xl、x2、x3、x4、x5
、x6、x7
、x8
≥0
2、 min f=5xl-2 x2+4 x3-3 x4
3S.T. -xl+2 x2- x3+4 x4=-2
-xl+3 x2+ x3+ x4≤14
2xl- x2+3 x3- x4≥2
xl
符号不限，x2≤0，x3
、x4≥0
解： max f=5x1-5x2 +2 x3+4 x4-3 x5+0x6+0x7
S.T. x1-x2 +2 x3+ x4-4 x5=2
-x1+x2 -3 x3+ x4+ x5+x6=14
2xl-2x2+ x3+3 x4- x5-x7=2
x1、x2、x3、x4
、x5、x6
、x7≥0
3.4 用图解法求解下列线性规划问题
1、max Z=xl+2 x2
S.T. 3xl+5 x2≤15
6xl+2 x2≤12
xl
、 x2≥0
解： 最优解为（0，3），最优值：6。
2、max Z=2xl+2 x2
S.T. xl- x2≥-1
-0.5xl+ x2≤2
xl
、 x2≥0
解： 本问题有无界解。
3、max Z=4xl+8x2
S.T. 2xl+2 x2≤10
-xl+ x2≥8
xl
、 x2≥0
解： 本问题无可行解，即无解。
4、 max Z=3xl+9x2
S.T. xl+3x2≤22
-xl+ x2≤4
x2≤6
2xl-5 x2≤0
xl
、 x2≥0
解：最优解：（与 xl+3x2=22相重合，所以有无穷多解），最优值：66。
5、max Z=3xl-2x2
S.T. xl+ x2≤1
2xl+2 x2≥4
xl
、 x2≥0
解：本问题没有可行域，所以无解。
6、max Z=xl+x2
S.T. 2xl+ x2≤20
xl+ x2≥10
x1≥5
xl
、 x2≥0
解：最优解：（5，10） 最优值：15。
3.5 对于如下线性规划问题
max Z=xl+x2
S.T. 4xl+3 x2≤12
2xl+3 x2≤6
x2≤2
xl
、 x2≥0
1、 用图解法求解。
2、 写出此线性规划问题的标准形式。
3、 求出此线性规划问题各约束条件的松弛量和对偶价格。
解：1、 最优解：（3，0） ，最优值：3
2、本问题的标准形式：
max Z=xl+x2+0S1+0S2+0S3
S.T. 4xl+3 x2+S1=12
2xl+3 x2+S2=6
x2+S3=2
xl
、x2≥0 ，Sl
、S2≥0
松弛量 对偶价格
3、 4xl+3 x2≤12 0 0.1667
2xl+3 x2≤6 0 0.1667
x2≤2 2 0
3.6 对于如下线性规划问题
min Z=40xl+50x2
S.T. 2xl+3 x2≥30
xl+ x2≥12
2xl+ x2≥20
xl
、x2≥0
1、 用图解法求解。
2、 写出此线性规划问题的标准形式。
3、 求出此线性规划问题各约束条件的剩余量和对偶价格。
解：1、 最优解：（7.5，5），最优值：550
2、 本模型的标准形式：
min Z=40xl+50x2+0S1+0S2+0S3
S.T. 2xl+3 x2-S1≥30
xl+ x2-S2≥12
2xl+ x2-S3≥20
xl
、x2≥0
3、 松弛量 对偶价格
2xl+3 x2≥30 0 -15
xl+ x2≥12 0.5 0
2xl+ x2≥20 0 -5
3.7 某工厂要生产两种新产品：门和窗。经测算，每生产一扇门需要在车间1加工1 小时、在车间3加工3 小时；每生产一扇窗需要在车间2 和车间3加工2小时。而车间1每周可用于生产这两种新产品的时间为4小时、车间2为12 小时、车间3为18小时。又知每生产一扇门需要钢材5公斤，每生产一扇窗需要钢材3公斤，该厂现可为这批新产品提供钢材45公斤。每扇门的利润为300元，每扇窗的利润为500元。而且根据市场调查得到的这两种新产品的市场需求状况可以确定，按当前的定价可确保所有新产品都能销售出去。问该工厂如何安排这两种新产品的生产计划，能使总利润为最大？
1、建立本问题的线性规划数学模型。
2、用图解法求解。
3、若门的利润不变，求出窗的利润在什么区间变化可使该计划不变。
4、若窗的利润不变，求出门的利润在什么区间变化可使该计划不变。
5、若门的利润由当前的每扇300元涨到每扇500元，窗的利润不变，求出新的最优解和最优值。
6、若窗的利润由当前的每扇500元降到每扇300元，门的利润不变，求出新的最优解和最优值。
7、若门的利润由当前的每扇300元涨到每扇650元，窗的利润由当前的每扇500元降到每扇150元，求出新的最优解和最优值。
8、若门的利润由当前的每扇300元降到每扇200元，窗的利润由当前的每扇500元涨到每扇550元，求出新的最优解和最优值。
解：
1、线性规划数学模型：
max z=300xl+500 x2
S.T. xl≤4
2x2≤12
3x1+2x2≤18
5x1+3x2≤45
xl、 x2≥0
2、 最优解（2，6），最优值：3600元。
3、0≤c1≤750
4、200≤c2≤∞
5、最优解不变，最优值：4000元。
6、最优解不变，最优值：2400元。
7、最优解为（4，3），最优值为：3050元。
8、最优解为（2，6），最优值为：3700元。
3.8 某工厂生产甲、乙两种产品，分别经过A、B、C三种设备加工。已知生产单位产品所需要的台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润情况如下表：
A
B
C
单位产品利润（元）
甲
1
10
4
10
乙
1
4
2
6
设备能力（台时）
120
640
260
1、建立线性规划数学模型，用以制定该厂获得利润最大的生产计划。
2、用图解法求解该数学模型。
3、在本模型中，哪些约束条件起到了作用。
4、三个约束条件的松弛量和对偶价格分别是多少，都代表什么含义？
5、产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？
6、产品甲的利润由现在的10元/件再增加3元，产品乙由现在的6元再减少3元，原最优计划是否需要改变？
7、设备B的台时数怎么变化时，原最优计划必须改变，为什么？
8、设备A的台时数再增加50，设备B的台时数再减少50，原三个约束条件的对偶价格是否发生改变，为什么？
解：
1、 建立数学模型
max z=10 xl+6 x2
S.T. xl+x2≤120
10x1+2x2≤640
4x1+2x2≤260
xl、 x2≥0
2、 最优解：（10，110），最优值：760
3、第一、第三个约束起到了约束作用。
4、 松弛量 对偶价格
xl+x2≤120 0 2
10x1+2x2≤640 320 0
4x1+2x2≤260 0 2
松弛量表示按最优方案安排生产时，该项资源还剩余的量；对偶价格表示每增加一个单位的资源，对总利润的增加值。
5、不变。
6、发生改变。
7、发生改变。
8、发生改变。
3.9 某公司欲制造的两种产品Ⅰ和Ⅱ的利润分别为500元/个和400元/个。生产这两种产品都需要四个工序（分别在四个车间内完成）。公司各个车间的加工能力和制造单位产品所需的加工工时如下表：
车间 产品Ⅰ 产品Ⅱ 车间每天可用加工工时
1
2
3
4
2
0
2
1.2
0
3
2
1.5
300
540
440
300
1、建立线性规划数学模型，用以制定该厂获得利润最大的生产计划。
2、用图解法求解该数学模型。
3、在本模型中，哪些约束条件起到了作用。
4、四个约束条件的松弛量和对偶价格分别是多少，都代表什么含意？
5、产品Ⅱ的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？
6、产品Ⅰ的利润由现在的500元/个再减少50元，产品Ⅱ由现在的400元再增加50元，原最优计划是否需要改变？
7、用车间1和车间3的松弛量和对偶价格分析保持这两个对偶价格不变时，两车间的可用加工能力应该控制在什么范围之内。
8、四个车间的可用加工工时都再增加一倍，其相应的对偶价格是否发生改变？为什么？
解：模型：
max z =500x1
+400x2
2x1
≤300
3x2
≤540
2x1
+2x2
≤440
1.2x1
+1.5 x2
≤300
x1,x2
≥0
(1) x1=150 x2
=70 即目标函数最优值是103000；
(2) 2，4 有剩余，分别是330，15。均为松弛变量；
(3) 50， 0 ，200， 0 额外利润250；
(4) 在(0,500)变化，最优解不变；
(5) 在400 到正无穷变化，最优解不变；
(6)
不变。
第四章 线性规划问题的计算机求解
4.1 有以下线性规划数学问题：
max Z=2xl+3 x2
S.T. xl+ x2≤10
2xl+ x2≥4
xl+3 x2≤24
2xl+ x2≤16
xl
、 x2≥0
1、 用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。
2、 本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？
3、 四个约束条件中，哪些约束条件起到了作用？各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？
4、 目标函数中各变量系数在什么范围内变化时，最优解不变？
5、 确定各给定条件中的常数项的上限和下限。
解：
1、
2、最优解：（3，7），最优值：27
3、第一、第三个约束条件起到了约束作用。
松弛量/剩余量 对偶价格
xl+ x2≤10 0 1.5
2xl+ x2≥4 9 0
xl+3 x2≤24 0 0.5
2xl+ x2≤16 13 0
4、目标函数中各变量系数 1≤ C1≤3
2≤ C1≤6
5、常数项 8≤ b1≤9.2
无限≤ b2≤13
18≤ b3≤30
13≤ b4≤无限
4.2 有以下线性规划数学问题：
min f=8xl+3 x2
S.T. 500xl+100 x2≤1200000
5xl+4 x2≥60000
100xl≥300000
xl
、 x2≥0
1、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。
2、本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？
3、各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？分别解释其含义。
4、目标函数中各变量系数在什么范围内变化时，最优解不变？
5、确定各给定条件中的常数项的上限和下限。
解：
本问题无解。
4.3 有以下线性规划数学问题：
max Z=xl+2 x2+3 x3- x4
S.T. xl+2 x2+3 x3≤15
2xl+ x2+5 x3≤20
xl+2 x2+ x3+ x4≤10
xl
、 x2、 x3、 x4≥0
1、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。
2、本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？
3、分别解释“递减成本”栏中各数据的含义。
4、各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？分别解释其含义。
5、C2再增加2，同时C3再减少2，其最优解是否会变化？为什么？
6、b1再增加3，同时b2再减少3，其对偶价格是否会变化？为什么？
解：
1、
2、最优解：（0，2.143，3.571，0），最优值：15
3、递减成本栏中的数据的绝对值，分别表示四个变量在目标函数中系数的相差值。
4、 松弛量 对偶价格
xl+2 x2+3 x3≤15 0 1
2xl+ x2+5 x3≤20 0 0
xl+2 x2+ x3+ x4≤10 2.143 0
5、最优解必将发生变化。
6、对偶价格必将发生变化。
4.4 有以下线性规划数学问题：
min f=-2xl- x2+3 x3-4 x4
S.T. xl+2 x2+4 x3- x4≤6
2xl+3 x2- x3+ x4≤18
xl+ x2+ x3≤4
xl
、 x2、 x3、 x4≥0
1、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。
2、本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？
3、分别解释“递减成本”栏中各数据的含义。
4、各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？分别解释其含义。
5、C1再减少5，同时C3再增加5，其最优解是否会变化？为什么？
6、b1再减少5，同时b3再增加5，其对偶价格是否会变化？为什么？
解：
1、
2、最优解：（0，0，4，22），最优值：-76。
3、递减成本栏中的数据的绝对值，分别表示四个变量在目标函数中系数的相差值。
4、 松弛量 对偶价格
xl+2 x2+4 x3- x4≤6 12 0
2xl+3 x2- x3+ x4≤18 0 4
xl+ x2+ x3≤4 0 1
5、最优解必将发生改变。
6、对偶价格必将发生改变。
4.5 某公司根据订单安排生产。已知半年内对某产品的需求量、单位生产费用和单位存储费用如下表：
月份
1 2 3 4 5 6
需求量（件）
50 40 50 45 55 30
单位生产费用（元/件）
825 775 850 850 775 825
单位存储费用（元/件）
40 30 35 20 40 40
又知公司每月的生产能力为100件，每月仓库的容量为50件。问：如何确定产品未来半年内每月最佳生产量和存储量才能使总的费用为最少？
若设未来6个月每月的生产量分别为 xl、 x2、 x3、 x4、 x5、 x6
每月的存储量分别为 x7、 x8、 x9、 x10、 x11、 x12
可得线性规划数学模型：
min f=825xl+775 x2+850 x3+850 x4+775 x5+825 x6+40x7+30 x8+35 x9+20 x10+40 x11+40 x12
S.T. xl- x7=50
x2+ x7- x8=40
x3+ x8- x9=50
x4+ x9- x10=45
x5+ x10- x11=55
x6+ x11- x12=30
xl≤100
x2≤100
x3≤100
x4≤100
x5≤100
x6≤100
x7≤50
x8≤50
x9≤50
x10≤50
x11≤50
x12≤50
xi
≥0 (i=1,2,.......12)
1、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。
2、本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？
3、分别解释“递减成本”栏中各数据的含义
4、各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？其中一些约束条件的对偶价格为负，其意义是什么？。
5、后12个约束条件中，大部分约束条件的对偶价格为0是什么意思？不为0的又具有什么含义？
6、为什么目标函数中有些变量系数的取值范围为无上限？
解：
1、
2、本问题的最优解：（50，90，0，45，85，0，0，50，0，0，30，0）
最优值：217825
3、递减成本栏中的数据的绝对值，分别表示四个变量在目标函数中系数的相差值。
4、 约束 松弛量 对偶价格
xl- x7=50 0 -825
x2+ x7- x8=40 0 -775
x3+ x8- x9=50 0 -815
x4+ x9- x10=45 0 -850
x5+ x10- x11=55 0 -775
x6+ x11- x12=30 0 -815
xl≤100 50 0
x2≤100 10 0
x3≤100 100 0
x4≤100 55 0
x5≤100 15 0
x6≤100 100 0
x7≤50 50 0
x8≤50 0 45
x9≤50 50 0
x10≤50 50 0
x11≤50 20 0
x12≤50 50 0
5、后12个约束条件中，大部分约束条件的对偶价格为0是因为这些约束中，其松弛量都不为0，也就是说在前6个约束中，生产量没有达到最大量（最大生产能力）的要求，再扩大生产能力不会对最优目标产生影响；后6个约束中，说明仓库没有放满，再扩建立仓库也不会改变总的存储存用。
6、目标函数中有些变量系数的取值范围为无上限一般表示其解为0 ，而不为的相关值是应减少的数，所以对于增加的值，无论多大都不会影响相应的解。
第五章 线性规划在管理中的应用
5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表：
机器设备类型 每周可用机器台时数
铣床
车床
磨床
每生产一件各种新产品需要的机器台时数如下表：
500
350
150
机器设备类型 新产品Ⅰ 新产品Ⅱ 新产品Ⅲ
铣床
车床
磨床
8
4
4
3
6
0
3 0 1
三种新产品的单位利润分别为0.5元、0.2元、0.25元。目标是要确定每种新产品的产量，使得公司的利润最大化。
1、判别问题的线性规划数学模型类型。
2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。
3、建立该问题的线性规划数学模型。
4、用线性规划求解模型进行求解。
5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。
6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。
解：
1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。
2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：
0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
决策的限制条件：
8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件
4x1+ 3x2 ≤350 车床限制条件
3x1 + x3≤150 磨床限制条件
即总绩效测试（目标函数）为：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
3、本问题的线性规划数学模型
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500
4x1+ 3x2 ≤350
3x1 + x3≤150
x1≥0、x2≥0、x3≥0
4、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。
5、灵敏度分析
目标函数最优值为 : 30
变量 最优解 相差值
x1 50 0
x2 25 0
x3 0 .083
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 0 .05
2 75 0
3 0 .033
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 .4 .5 无上限
x2 .1 .2 .25
x3 无下限 .25 .333
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 400 500 600
2 275 350 无上限
3 37.5 150 187.5
（1） 最优生产方案：
新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。最大利润值为30元。
（2）x3 的相差值是0.083意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润0.25元/件，提高到0.333元/件。
（3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时；
三个对偶价格0.05，0，0.033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。
（4）目标函数系数范围
表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元不变。
6、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500
4x1+ 3x2 ≤350
3x1 + x3≤150
x3≥18
x1≥0、x2≥0、x3≥0
这是一个混合型的线性规划问题。
代入求解模板得结果如下：
最优解（44，10，18），最优值：28.5元。
灵敏度报告：
目标函数最优值为 : 28.5
变量 最优解 相差值
x1 44 0
x2 10 0
x3 18 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 0 .05
2 144 0
3 0 .033
4 0 -.083
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 .4 .5 无上限
x2 .1 .2 .25
x3 无下限 .25 .333
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 460 500 692
2 206 350 无上限
3 18 150 165
4 0 18 30
（1） 最优生产方案：
新产品Ⅰ生产44件、新产品Ⅱ生产10件、新产品Ⅲ生产18件。最大利润值为28.5元。
（2）因为最优解的三个变量都不为0，所以三个相关值都为0。
（3）四个约束的松弛/剩余变量0，144，0，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，新产品Ⅲ的产量也刚好达到最低限制18件，而车床的可用工时还剩余144个工时；
四个对偶价格0.05，0，0.033，-0.083表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额，第四个对偶价格-0.083表明新产品Ⅲ的产量最低限再多规定一件，总的利润将减少0.083元。
（4）目标函数系数范围
表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铣床的可用条件在18到165工时之间、新产品Ⅲ产量限制在30件以内。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元，-.083元不变。
5.2 某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进行切割以完成以下订货任务：32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是一样的。问应如何切割可使所用的原铜板为最少？
解：本问题是一个套材下料问题，用穷举法找到所有可能切割的方式并建立数学模型：
min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
S.T. 3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6≥75
x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9≥50
x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10 ≥110
xi≥0 （i=1，2…..10）
用Excel线性规划求解模型板求解：
最优解：（18.33 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：63.3333
因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。即其结果为：
即最优解：（19 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：64
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 63.333
变量 最优解 相差值
x1 18.333 0
x2 0 .056
x3 0 .111
x4 0 .111
x5 20 0
x6 0 .167
x7 0 .167
x8 25 0
x9 0 .056
x10 0 .111
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 0 -.333
2 0 -.278
3 0 -.222
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 .75 1 1.071
x2 .944 1 无上限
x3 .889 1 无上限
x4 .889 1 无上限
x5 .833 1 1.083
x6 .833 1 无上限
x7 .833 1 无上限
x8 .444 1 1.111
x9 .944 1 无上限
x10 .889 1 无上限
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 20 75 无上限
2 0 50 110
3 50 110 275
这是一个统计型的线性规划问题，所以分析价值系数的取值范围和相差都没有意义。
松弛/剩余变量都为0，表示最优方案已达到三种规格薄铜板数量的最低限。
三个约束条件的对偶价格-.333、-.278、-.222分别表示三种规格薄铜板数量的最低限再增加一个，将增加原铜板.333cm、.278cm、.222cm。这个数字实际跟薄铜板长度规格相一致。
常数项数范围表示三种规格薄铜板数量的最低限在这些范围内，每增一个限额所原原铜板.333cm、.278cm、.222cm不变。这里需要特别指出的是，第一种规格的薄铜板32cm宽，已使三块组合就能比较恰当地用完原铜板，所以这种规格的薄铜板无论增加多少，都不改变用原铜板的比例。
5.3 某医院对医生工作的安排为4小时一个工作班次，每人要连续工作二个班次。各班次需要医生人数如下表：
班次
1
2
3
4
5
6
时间
0:00-4:00
4:00-8:00
8:00-12:00
12:00-16:00
16:00-20:00
20:00-24:00
人数
4
7
9
12
8
6
其中，第6班报到的医生要连续上班到第二天的第1班。问在各班开始时应该分别有几位医生报到。若参加1、2、6班的医生需要支付夜班津贴，为了使支付总的夜班津贴为最少，应如何安排各班开始时医生的报到人数。
解：第一步：不考虑夜班津贴。
线性规划数学模型为：
min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6
S.T. x6+x1≥4
x1+x2≥7
x2+x3≥9
x3+x4≥12
x4+x5≥8
x5+x6≥6
xi≥0（i=1，2，3，4，5，6）
用Excel线性规划求解模板求解得：
第一班安排7人，第三班安排10人，第四班安排2人，第五班安排6人，第二、第六班不安排人。总人数为25人。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 25
变量 最优解 相差值
x1 7 0
x2 0 0
x3 10 0
x4 2 0
x5 6 0
x6 0 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 3 .0
2 0 -1
3 1 .0
4 0 --1
5 0 . 0
6 0 --1
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 0 .1 1
x2 1 1 无上限.
x3 0 . 1 1
x4 1 . 1 2
x5 0 1 1
x6 1 1 无上限
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 无下限 4 7
2 4 7 无上限
3 无下限 9 10
4 11 12 无上限
5 6 8 9
6 5 6 8
这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。
班次 时间 所需人数 本段安排人数 上段安排人数 本段实际人数 多余人数
1
2
3
4
5
6
0:00-4:00
4:00-8:00
8:00-12:00
12:00-16:00
16:00-20:00
20:00-24:00
合计
4
7
9
12
8
6
46
7
0
10
2
6
0
25
0
7
0
10
2
6
7
7
10
12
8
6
50
3
0
1
0
0
0
4
松弛/剩余变量一栏就是上表的“多余人数”一列是各时间段安排所剩余的人数。
“对偶价格”一栏。
第一个常数项由4增加到5，因为还剩下2人，所以不会改变最优值；
第二个常数项由7增加到8，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人最优值解也必须增加1，因为是求最小化问题，所以对偶价格为－1；
第三个常数项由9增加到10，刚好将原来剩余的人用上，所以不会改变最优值；
第四个、第六个常数项与第二个常数项一样；
第五个常数项由2增加到3，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人，但下个班就可以再少安排一个人，所以不会改变最优值；
本题的这种情况是每一个变量都会影响到两个时段的结果，所以在进行灵敏度分析时也必定要考虑这个因素，这里第一个时段是特殊情况（有资源剩余），其余的时段分析时相邻两个是相互影响的。因此，第2时段为-1，第3时段为0，后面的依次相反。若第2时段为0，则第3时段就为-1。
第二步：考虑夜班津贴。
线性规划数学模型为：
min f=x1+x2+x3+x5+x6
S.T. x6+x1≥4
x1+x2≥7
x2+x3≥9
x3+x4≥12
x4+x5≥8
x5+x6≥6
xi≥0（i=1，2，3，4，5，6）
用Excel线性规划求解模板求解得：
即：总人数还是25人，但每班安排人数有所调整：
第一班不安排人，第二班安排7人，第三班安排2人，第四班安排10人，第五班安排0人，第六班安排6人。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 15
变量 最优解 相差值
x1 0 1
x2 7 0
x3 2 0
x4 10 0
x5 0 0
x6 6 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 2 0
2 0 0
3 0 -1
4 0 0
5 2 0
6 0 -1
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 0 1 无上限
x2 1 1 2
x3 0 1 1
x4 0 0 1
x5 1 1 无上限
x6 0 1 1
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 无下限 4 6
2 5 7 9
3 7 9 11
4 10 12 无上限
5 无下限 8 10
6 4 6 无上限
这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。
班次 时间 所需人数 本段安排人数 上段安排人数 本段实际人数 多余人数
1
2
3
4
5
6
0:00-4:00
4:00-8:00
8:00-12:00
12:00-16:00
16:00-20:00
20:00-24:00
合计
4
7
9
12
8
6
0
7
2
10
0
6
25
6
0
7
2
10
0
6
7
9
12
10
6
50
2
0
0
0
2
0
4 46
“对偶价格”一栏。
第一个常数项由4增加到5，因为还剩下2人，所以不会改变最优值；
第二个常数项由7增加到8，由于上段时间已增一个人，这个人本班还上班，所以本也不需要增加人。
第三个常数项由9增加到10，前面安排的人都已下班，本班刚好只朋9人，若需求再增加一人，就需要新安排一人所以对偶价格-1；
第四个、第五个、第六个常数项与前三个常数项一样；
5.4 某塑料厂要用四种化学配料生产一种塑料产品，这四种配料分别由A、B、C三种化学原料配制，三种化学原料的配方及原料价格如下表：
配料
1 2 3 4
价格（元/公斤）
11
13
12
含原料A（%）
30 40 20 15
含原料B（%）
20 30 60 40
含原料C（%）
40 25 15 30
要配制的塑料产品中，要求含有20%的原料A，不少于30%的材料B和不少于20%的原料C。由于技术原因，配料1的用量不能超过30%，配料2的用量不能少于40%。第一次配制的塑料产品不能少于5公斤。请设计一套配料方案，使总的成本为最低。
解：线性规划数学模型：
min f =10.7x1+11.3x2+11.8x3+9.45x4
S.T. 0.1x1+0.2x2 -0.05x4=0
-0.1x1
+0.3x3+0.1x4≥0
0.2x1+0.05x2-0.05x3+0.1x4≥0
0.7x1-0.3x2-0.3x3-0.3x4≥0
-0.4x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4≤0
x1+x2+x3+x4≥5
xi≥0（i=1，2，3，4，）
将模型代入到线性规划求解模板，得结果：
用配料1，1.5公斤；用配料2，0.1公斤；用配料3，0公斤；用配料4，3.4公斤； 花费总的最低成本49.31元。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 49.31
变量 最优解 相差值
x1 1.5 0
x2 .1 0
x3 0 1.98
x4 3.4 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 0 -7.4
2 .19 0
3 .645 0
4 0 -.14
5 1.9 0
6 0 -9.862
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 10.56 10.7 无上限
x2 -481.8 11.3 11.533
x3 9.82 11.8 无上限
x4 -5.053 9.45 9.8
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 -.025 0 .475
2 无下限 0 .19
3 无下限 0 .645
4 -1.5 0 .167
5 -1.9 0 无上限
6 0 5 无上限
本问题的相差值栏，x3的相差值为1.98，表示目前配料3的成本11.8太高，无法选用，若该配料的成本再降低1.98元就可以选取用。
松弛/剩余变量栏：前五个给条件都表示的是配料或原料的配比关系。松弛/剩余变量为0 关系表示已完全按要求配比，不为0 的表示没有达到配比要求。第五个约束是总产品的产量最低限，松弛/剩余变量为0 表示已达到产量要求。
关五个约束的对偶价格表示配料或者说原料不匹配时，对总费用的影响。不为0的对偶价格表示配比每差一个单位都会使总费用的增加量。第五个对偶价格是每增加一公斤的产品，需要增加的费用值。
在学数项取值范围栏：前五个约束在常数项在这个范围内，保持上述的对偶价格，而此时的上限都不高，说明这个最优方案中的匹配关系失衡并不严重，若比例失衡将会导致费用的增加比例更大。对五个对偶价格实际上说明了该产品的绝对成本，在这个方案下，生产多少的产品都是这个成本构成。
5.5 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品，产品Ⅰ需经过A、B两种机器加工，产品Ⅱ需经过A、C两种机器加工，产品Ⅲ需经过B、C两种机器加工，产品Ⅳ需经过A、B两种机器加工。有关数据见下表所示：
产品 机器生产率（件/小时） 原料成本（元/件） 产品价格（元/件）
A
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
10
20
20
B
20
10
10
150
120
C
10
15
225
70
16
25
12
18
65
80
50
70
机器成本（元/小时）
200
每周可用机时数
150
请为该厂制定一个最优生产计划。
解：线性规划数学模型：
max Z=21.5 x1+22.5 x2+8 x3+27 x4
S.T. 2x1+x2+x4≤3000
x1+2x3+2x4≤2400
3x2+2x3≤2100
xi≥0（i=1，2,......4）
用Excel线性规划求解模板求解得：
最优生产方案：产品Ⅰ生产733.3件；
产品Ⅱ生产700件；
产品Ⅲ不安排生产；
产品Ⅳ生产833.3件。
可获得的最高利润：54016.7元。
灵敏度分析报告：
即：目标函数最优值为 : 54016.6505
变量 最优解 相差值
------- -------- --------
x1 733.333 0
x2 700 0
x3 0 25.111
x4 833.333 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
------- ------------- --------
1 0 5.333
2 0 10.833
3 0 5.722
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
------- -------- -------- --------
x1 13.5 21.5 44.1
x2 5.333 22.5 无上限
x3 无下限 8 33.111
x4 10.857 27 43
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
------- -------- -------- --------
1 1900 3000 5500
2 1150 2400 4600
3 0 2100 5400
此模型的最优解中，四个变量有三个变量不为0，即需要安排生产，另一个为0 的变量表示产品Ⅲ由于成本高或价格低，使所获的利润太低，不值得生产。从相差值栏可见，该产品的单位利润需要再增加25.111元才值得生产。
松弛/剩余变量栏中三个数据都为0，表示该决策中所提供三种设备的机时都已全部利用，没有剩余；从对偶价格栏还可以看到三种设备的机时虽然都已用尽，但此时对三种设备增加机时，则设备B所带来的总利润为最多。因此设备B是瓶径。从约束条件的取值范围也可以看到这一点，因为设备B的机时取值范围最小，因此该设备是关键。
5.6 某企业生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，市场两种产品的需求量为：产品Ⅰ在1-4月份每月需1万件，5-9月份每月需3万件，10-12月份每月需10万件；产品Ⅱ在3-9月份每月需1.5万件，其他月份每月需5万件。该企业生产这两种产品的成本为：产品Ⅰ在1-5月份生产时每件5元，6-12月份生产时每件4.5元；产品Ⅱ在1-5月份生产时每件8元，6-12月份生产时每件7元；该企业每月生产两种产品的能力总和不超过12万件。产品Ⅰ容积为每件0.2立方米，产品Ⅱ容积为每件0.4立方米。该企业仓库容积为1.5万立方米。要求：
1、问该企业应如何安排生产，使总的生产加工储存费用为最少，建立线性规划数学模型并求解，若无解请说明原因。
2、若该企业的仓库容积不足时，可从外厂租借。若占用本企业的仓库每月每立方米需1万元的储存费，而租用外厂仓库时其储存费用为每月每立方米1.5万元，试问在满足市场需求情况下，该企业又应如何安排生产，使总的生产加储存费用为最少。
解：
1、这是一个72个变量、60个约束条件的线性规划问题，若不考虑外厂租借仓库，则无法求解（无解），只有考虑外厂租借仓库才能解决本问题。分析及解决过程和结果可见下表：
月份 1 2
10
5
3
10
5
4
10
5
5
30
5
6
30
4.5
7
30
4.5
8
30
4.5
9
30
4.5
10
100
4.5
11
100
4.5
12
100
4.5
仓容 外存
销售量（千件） 10
成本（元、件） 5
产
品 产量（件） x1=10 x2=10 x3=10 x4=10 x5=30 x6=30 x7=30 x8=45 x9=105 x10=70 x11=70 x12=70
Ⅰ
总容积（千m3） 0.2x1 0.2x2 0.2x3 0.2x4 0.2x5 0.2x6 0.2x7 0.2x8 0.2x9 0.2x10 0.2x11 0.2x12
库存数 x25=0 x26=0 x27=0 x28=0 x29=0 x30=0 x31=0 x32=15 x33=90 x34=60 x35=30 x36=0
50
8
15
8
15
8
15
8
15
7
15
7
15
7
15
7
50
7
50
7
50
7
15000（m3）
1元/m3
容量
不限
1.5元/m3
销售量（千件） 50
产 成本（元、件） 8
品 产量（件） x13=50 x14=50 x15=15 x16=15 x17=15 x18=15 x19=15 x20=15 x21=15 x22=50 x23=50 x24=50
Ⅱ 总容积（千m3） 0.4x13 0.4x14 0.4x15 0.4x16 0.4x17 0.4x18 0.4x19 0.4x20 0.4x21 0.4x22 0.4x23 0.4x24
库存数
仓
容
3x37=0 x38=0 x39=0 x40=0 x41=0 x42=0 x43=0 x44=0 x45=0 x46=0 x47=0 x48=0
本厂（千m） x49=0 x50=0 x51=0 x52=0 x53=0 x54=0 x55=0 x56=3 x57=15 x58=12 x59=6 x60=0
外借（千m3） x61=0 x62=0 x63=0 x64=0 x65=0 x66=0 x67=0 x68=0 x69=3 x70=0 x71=0 x72=0
产
品
总和
（千件） 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120
总的生产加储存最少费用为4910500元
外借的库房，在9月份用了3千平方米的容量。
本问题灵敏度详细分析太麻烦，从略。
5.7 某快餐店坐落在一个远离市区的旅游点中，平时游客不多，而在除冬季外每个双休日游客都比较多。该快餐店有两名正式职工，正式职工每天工作8小时，且每个时间段都至少要有一个正式职工在上班，其余工作由临时工来承担，临时工每班工作4小时。在双休日每天上午10时开始营业到下午10时关门。根据游客就餐情况，在双休日每个营业时间段所需职工数（包括正式工和临时工）如下表：
时间段
10:00-11:00
11:00-12:00
12:00-13:00
13:00-14:00
14:00-15:00
15:00-16:00
16:00-17:00
17:00-18:00
18:00-19:00
19:00-20:00
20:00-21:00
所需职工数
9
10
10
9
3
3
3
6
12
12
7
21:00-22:00 7
已知一名正式职工10点开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时；另一名正式职工13点开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时。临时工每小时的工资为4元。
1、在满足对职工需求的条件下，如何安排临时工的班次，使得使用临时工的成本为最小？
2、这时付给临时工的工资总额为多少？一共需要安排多少个班次的临时工？请用剩余量来说明如果安排一些每班工作3小时的临时工班次，可使得总成本更小。
3、如果临时工每班工作时间可以是3小时，也可以是4小时，那么应如何安排临时工的班次，使得使用临时工的总成本为最小？这样比第1问的结果能节省多少费用？这时要安排多少临时工的班次？
解：1、线性规划数学模型：
min f＝16x1+16x2+16x3+16x4+16x5+16x6+16x7+16x8+16x9+12x10+8x11+4x12
s．t． x1 ≥8
x1＋x2
≥9
x1＋x2＋x3
≥9
x1＋x2＋x3＋x4 ≥7
x2＋x3＋x4＋x5 ≥2
x3＋x4＋x5＋x6 ≥ 1
x4＋x5＋x6＋x7 ≥ 1
x5＋x6＋x7＋x8 ≥ 5
x6＋x7＋x8＋x9 ≥10
x7＋x8＋x9＋x10 ≥ 11
x8＋x9＋x10＋x11 ≥ 6
x9＋x10＋x11＋x12 ≥ 6
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12≥ 0
将该模型代入到线性规划求解模板得结果：
其解为：x1＝8，x2＝1，x3＝1，x4＝0，x5＝0，x6＝0，x7＝1，x8＝4，x9＝5，x10＝1，x11＝0，x12＝0 最优值为332。
在满足对职工需求的条件下，
在10 时新安排临时工8个 ；
11 时新安排临时工1个；
12 时新安排临时工1个；
16 时新安排临时工1个；
17 时新安排临时工4个；
18 时新安排临时工5个；
19 时新安排临时工1个。
全天共安排21个临时工，其中18时以前安排的20人是连续上四小时班，19时安排的一人上3小时班。可使临时工的总成本最小为332元。
如下表所示：
时间段
10:00-11:00
11:00-12:00
12:00-13:00
13:00-14:00
14:00-15:00
15:00-16:00
16:00-17:00
17:00-18:00
18:00-19:00
19:00-20:00
20:00-21:00
21:00-22:00
合计
所需临时工 安排上班人数 实际上班人数 剩余人数
8
9
9
7
2
1
1
5
10
11
6
6
75
8
1
1
0
0
0
1
4
5
1
0
0
21
8
9
10
10
2
1
1
5
10
11
10
6
83
8-8=0
9-9=0
10-9=1
10-7=3
2-2=0
1-1=0
1-1=0
5-5=0
10-10=0
11-11=0
10-6=4
6-6=0
8
灵敏度分析报告：
2、这时付给临时工的工资总额为332 元，一共需要安排83个临时工的班次。
根据剩余变量的数字分析可知，可以让10 时安排的8 个人中留3人工作3 小时，就可以将13-14时多余的3个工时省下来；同时17 时安排的4个人工作3 小时，也可将20时的4个工时省下来使得总成本更小。这时只有12-13时间段剩余1人，其它时间段都没有剩余的人员，所以总的班次只用76个，总费用将是76×4=304元。
3、设在10：00-11：00 这段时间内有x1 个班是3 小时，x2个班是4 小时；
设在11：00-12：00 这段时间内有x3个班是3 小时，x4个班是4 小时；
其他时段也类似。得线性规划数学模型：
min z =12x1+12x3+12x5+12x7+12x9+12x11+12x13+12x15+12x17+12x19+8x21+4x23 +
16x2+16x4+16x6+16x8+16x10+16x12+16x14+16x16+16x18+12x20+8x22+4x24
S．T x1＋x2 ≥ 8
x1＋x2
＋x3＋x4 ≥ 9
x1＋x2＋x3
＋x4＋x5＋x6 ≥ 9
x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8 ≥7
x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10 ≥ 2
x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12 ≥ 1
x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14 ≥ 1
x10＋x11＋x12＋x13＋x14＋x15＋x16 ≥ 5
x12＋x13＋x14＋x15＋x16＋x17＋x18 ≥ 10
x14＋x15＋x16＋x17＋x18＋x19＋x20 ≥11
x16＋x17＋x18＋x19＋x20＋x21＋x22
≥6
x18＋x19＋x20＋x21＋x22＋x23＋x24
≥ 6
xi ≥0 i=1,2,…,24
将该模型代入到线性规划求解模板得结果：
其解为：在满足对职工需求的条件下，
10 时安排8 个临时工，其中3个3小时的，5个4小时的；
11 时新安排1个4小时的临时工；
13 时新安排1个3小时的临时工；
16 时新安排1个4小时的临时工；
17 时新安排4个3小时的临时工；
18 时新安排5个4小时的临时工；
19 时新安排1个3小时临时工。
全天共安排21个临时工，可使临时工的总成本最小为300元。
如下表所示：
时间段
10:00-11:00
11:00-12:00
12:00-13:00
13:00-14:00
14:00-15:00
15:00-16:00
16:00-17:00
17:00-18:00
18:00-19:00
19:00-20:00
20:00-21:00
21:00-22:00
合计
所需临时工 4小时班人数 3小时班人数 实际上班人数 剩余人数
8
9
9
7
2
1
1
5
10
11
6
6
75
5
1
0
0
0
0
1
0
5
0
0
0
12
3
0
0
1
0
0
0
4
0
1
0
0
9
8
9
9
7
2
1
1
5
10
11
6
6
75
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
这样能比第一种方案节省：332-300=32 元。
灵敏度分析报告：
5.8 某咨询公司受厂商的委托对新上市的产品进行消费反映调查。被调查对象分为上班族和休闲族，而调查时间在周一至周五与双休日得到的结果大不相同。委托厂商与该公司签订的业务合同规定：
（1）必须调查3000个消费对象；
（2）周一至周五与双休日被调查的总人数相等；
（3）至少要调查1200个上班族对象；
（4）至少要调查800个休闲族对象。
调查每个对象所需费用如下表：
调查对象 周一至周五调查 双休日调查
上班族
35 40
休闲族
25 28
1、请建立该问题的线性规划数学模型，以确定在不同时间调查各种对象的人数，使得总的调查费用为最少。
2、求解该模型，并对结果进行灵敏度分析。
解：1、线性规划数学模型：
min 35x1+40x2+25x3+28x4
S.T. x1+x2+x3+x4≥3000
x1-x2+x3-x4=0
x1+x2≥1200
x3+x4≥800
x1，x2，x3，x4≥0
代入线性规划求解模板得结果：
其调查方案如下表：
调查对象 周一至周五调查 双休日调查
上班族
1200 0
休闲族
按此方案的调查费用为最少：91500元。
2、灵敏度分析报告：
即：
目标函数最优值为 : 91500
变量 最优解 相差值
x1 1200 0
x2 0 2
x3 300 0
x4 1500 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 0 -26.5
2 0 1.5
3 0 -10
4 1000 0
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
300 1500
x1 25 35 37
x2 38 40 无上限
x3 23 25 35
x4 -25 28 30
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 2400 3000 无上限
2 -600 0 3000
3 0 1200 1500
4 无下限 800 1800
5.9 西兰物业公司承担了正大食品在全市92个零售点的肉类、蛋品和蔬菜的运送业务。运送业务要求每天4点钟开始从总部发货，送完货时间必须在7：30前结束（不考虑空车返回时间）。这92个零售点每天需要运送货物0.5吨，其分布情况为：5公里以内为A区，有36个点，从总部到该区的时间为20分钟；10公里以内5公里以上的为B区，有26个点，从总部到该区的时间为40分钟；10公里以上的为C区，有30个点，从总部到该区的时间为60分钟；A区各点间运送时间5分钟；B区各点间运送时间10分钟；C区各点间运送时间20分钟；各区之间运送时间20分钟。每点卸货、验收时间为30分钟。本公司准备购买规格为2吨的运送车辆，每车购价5万元。
请用线性规划方法确定每天的运送方案，使投入的购买车辆总费用为最少。
1、 解：
本问题的目标是使投入的购买车辆总费用为最少，而实际上总的运输时间为最少时，也就确定了最少的车辆数量，本问题最少的运输时间为目标的得线性规划数学模型：
min z =155x1+170x2+170x3+175x4+185x5+185x6+190x7+200x8+180x9+190x10+200x11+210x12
S.T. 4x1+3x2+3x3+2x4+2x5+2x6+x7+x8+x9+0x10+0x11+0x12≥36
0x1+1x2+0x3+2x4+1x5+0x6+2x7+1x8+3x9+4x10+3x11+2x12≥26
0x1+0x2+1x3+0x4+1x5+2x6+ x7+2x8+0x9+0x10+ x11+2x12≥30
代入线性规划求解模板得结果：
即整理如下表：
路线
结果
A
B
1
0
4
0
2
0
3
1
3
0
3
0
4
0
2
2
5
0
2
1
6
15
2
0
7
0
1
2
8
0
1
1
9
6
1
3
10
2
0
4
11
0
0
3
12
0
0
2
C 0 0 1 0 1 2 1 2 0 0 1 2
运送时间
155 170 170 175 185 185 190 200 180 190 200 210
最少的运输时间4235小时。需要车辆23台，最小的购车费用23*5=115万元。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 4235
变量 最优解 相差值
x1 0 5
x2 0 10
x3 0 2.5
x4 0 5
x5 0 7.5
x6 15 0
x7 0 2.5
x8 0 5
x9 6 0
x10 2 0
x11 0 2.5
x12 0 5
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 0 -37.5
2 0 -47.5
3 0 -55
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 150 155 无上限
x2 160 170 无上限
x3 167.5 170 无上限
x4 170 175 无上限
x5 177.5 185 无上限
x6 75 185 190
x7 187.5 190 无上限
x8 195 200 无上限
x9 177.5 180 181.25
x10 188.333 190 191.667
x11 197.5 200 无上限
x12 205 210 无上限
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 30 36 38.667
2 18 26 无上限
3 27.333 30 36
这里从对偶价格可见，A区每增加一个点，需要增加投入37.5分钟；B区每增加一个点，需要增加投入47.5分钟；C区每增加一个点，需要增加投入55分钟。这完全符合实际。
若直接用购车数量最少做为目标可将线性规划数学模型改为：
min z =x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12
S.T. 4x1+3x2+3x3+2x4+2x5+2x6+x7+x8+x9+0x10+0x11+0x12≥36
0x1+1x2+0x3+2x4+1x5+0x6+2x7+1x8+3x9+4x10+3x11+2x12≥26
0x1+0x2+1x3+0x4+1x5+2x6+ x7+2x8+0x9+0x10+ x11+2x12≥30
代入线性规划求解模板得结果：
路线
结果
A
B
1
1.5
4
0
2
0
3
1
3
0
3
0
4
0
2
2
5
0
2
1
6
15
2
0
7
0
1
2
8
0
1
1
9
6.5
1
3
10
0
0
4
11
0
0
3
12
0
0
2
C 0 0 1 0 1 2 1 2 0 0 1 2
运送时间
155 170 170 175 185 185 190 200 180 190 200 210
即需要车辆23台，最小的购车费用23*5=115万元。
但车辆台数为非整数，这是不合理的，但要去尾取整或四舍五入也都肯定不合理。所以对这类问题这种方法还是有局限性。好则线性规划有专门处理这类问题的方法------整数规划。若用整数规划得以下结果：
路线
结果
A
B
1
2
4
0
2
0
3
1
3
0
3
0
4
0
2
2
5
0
2
1
6
14
2
0
7
0
1
2
8
0
1
1
9
0
1
3
10
6
0
4
11
0
0
3
12
1
0
2
C 0 0 1 0 1 2 1 2 0 0 1 2
运送时间
155 170 170 175 185 185 190 200 180 190 200 210
即需要车辆23台，最小的购车费用23*5=115万元。
5.10 某公司生产A、B、C、D四种规格的电子产品，这四种产品可以分别在五个不同的生产车间单独制造，这五个车间单独制造一件产品所需要时间、各车间可提供的总可制造时间及每件产品的利润如下表：
产品型号
A
B
C
所需时间（分钟）
车间1 车间2 车间3 车间4 车间5
5
8
-
6
3
6
-
18000
4
-
2
3
16000
2
3
4
3
4
-
单件利润（元）
20
18
24
30
D 5
可提供的总时间
20000
4 2
14000 15000
该公司销售人员提供信息：
（1） 产品A的销售数量不会超过1500件；
（2） 产品B的销售数量在500-900件之间；
（3） 产品C销售数量不会超过6000件；
（4） 产品D至少能销售800件，在此基础，生产多少能销售多少。
请制定一个生产方案，使得该公司的总利润为最大。
解：线性规划数学模型：
Max Z= 20x1+18x2+24x3+30x4
5x1+8x2+5x4≤20000
6x1+3x2+6x3≤18000
4x1+2x3+3x4≤16000
2x1+3x2+4x3+4x4≤14000
3x1+4x2+2x4≤15000
x1≤1500
x2≤900
x2≥500
x3≤6000
x4≥800
x1、x2、x3、x4 ≥0
用求解模型板求得结果：
即：安排产品A、B、C、D的产量分别为1050、900、1500、800件，使得最多的利润为97200元。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 97200
变量 最优解 相差值
x1 1050 0
x2 900 0
x3 1500 0
x4 800 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 3550 0
2 0 2.667
3 6400 0
4 0 2
5 6650 0
6 450 0
7 0 4
8 400 0
9 4500 0
10 0 22
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 12 20 24
x2 14 18 无上限
x3 20 24 28
x4 8 30 无上限
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 16450 20000 无上限
2 14850 18000 19350
3 9600 16000 无上限
4 13100 14000 16100
5 8350 15000 无上限
6 1050 1500 无上限
7 500 900 1238.095
8 无下限 500 900
9 1500 6000 无上限
10 275 800 1025
第六章 整数规划
6.1 用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。
1、 max z=3x1+2x2
S.T. 2x1+3x2≤12
2x1+x2≤9
x1、x2≥0
解：
2、 min f=10x1+9x2
S.T. 5x1+3x2≥45
x1 ≥8
x2 ≤10
x1、x2≥0
6.2 求解下列整数规划问题
1、 min f=4x1+3x2+2x3
S.T. 2x1-5x2+3x3≤4
4x1+x2+3x3≥3
x2+x3≥1
x1、x2、x3=0或1
解：最优解（0，0，1），最优值：2
2、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3
S.T. -4x1+x2+x3+x4≥2
-2x1+4x2+2x2+4x2≥4
x1+x2-x2+x2≥3
x1、x2、x3、x3=0或1
解： 此模型没有可行解。
3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4
S.T. 5x1+3x2+3x3+x4≤30
2x1+5x2-x2+3x2≤20
-x1+3x2+5x2+3x2≤40
3x1-x2+3x2+5x2≤25
x1、x2、x3、x3=正整数
解：最优解（0，3，4，3），最优值：47
4、 min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+
5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19
约束条件 x1 + x2+x3≤30
x4+ x5＋ x6-10 x16≤0
x7+ x8＋ x9-20 x17≤0
x10+ x11＋ x12-30 x18≤0
x13+ x14＋ x15-40 x19≤0
x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30
x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20
x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20
xi为非负数（i=1,2…..8）
xi为非负整数（i=9,10…..15）
xi为为0－1变量（i=16,17…..19）
解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），
最优值：860
6.3 一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表：
店名
费用(万元)
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14
1.2 1.5 1.7 2.1 3.3 1.2 2.8 2.5 1.9 3.0 2.4 2.4 2.1 1.6
公司办公会决定选择原则如下：
（1）B5、B3和B7只能选择一个。
（2）选择了B1或B14就不能选B6。
（3）B2、B6、B1、B12，最多只能选两个。
（4）B5、B7、B10、B8，最少要选两个。
问应选择哪几个点，使总的建店费用为最低？
解：数学模型：
min f＝1.2 x1+1.5 x2+1.7 x3+2.1 x4+3.3 x5+1.2 x6+2.8 x7+2.5 x8+1.9 x9+3 x10+2.4 x11+2.4 x12+2.1 x13+1.6 x14
S.T. x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14=8
x3+ x5-2 x7=2
x1+ x6=1
x6+ x14=1
x1+x2+x6+x12≤2
x5+x7+x8+x10≥2
xi≥0且xi 为0－1变量，i＝1，2，3，?，14。
最优解：（1，1，1，1，1，0，0，0，1，0，0，0，1，1）最优值：15.4。
即：B1，B2，B3，B4,B5,B9,B13,B14选中，建店的最低费用15.4万元。
6.4有四个工人（甲、乙、丙、丁），要分别指派他们完成四项不同的工作（A、B、C、D），请按以下要求求解指派问题。
1、每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何分配工作，才能使总的消耗时间为最少？
每人完成各项工作的所需时间 小时
是
否
分
工人 配
工作
工作A 工作B 工作C 工作D
甲
乙
丙
丁
18
-
19
12
16
20
18
15
-
16
17
20
19
20
21
-
2、每人做各项工作所创的利润如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的创利为最多？
所
创
利
工人 益
工作
工作A 工作B 工作C 工作D
甲
乙
丙
丁
解：1、消耗时间为最少问题
4
7
3
7
5
5
4
6
7
6
3
8
9
8
5
8
线性规划数学模型：
min f= 18x1+16x2+19x3+20x4+16x5+20x6+19x7+18x8+17x9+21x10+12x11+15x12+20x13
S.T. x1+x2+x3
=1
x4+x5+x6=1
x7+x8+x9+x10=1
x11+x12+x13=1
x1+x7+x11
=1
x2+x4+x8
+x12
=1
x5+x9+x13
=1
x3+x6+x10
=1
xi≥0且xi 为0－1变量，i＝1，2，3，?，13。
最优解：（0，1，0，0，1，0，0，0，0，1，1，0，0，），最优值：65。
即：给甲分配工作B，给乙分配工作C，给丙分配工作D，给丁分配工作A，所用最少的时间为65小时。
2、总的创利为最多问题
线性规划数学模型：
max Z = 41+52+73+94+75+5x6+6x7+8x8+3x9+4x10+3x11+5x12+7x13+6x14+8x15+8x16
S.T. x1+x2+x3
+x4
=1
x5+x6+x7+x8=1
x9+x10+x11+x12=1
x13+x14+x15+x16=1
x1+x5+x9
+x13
=1
x2+x6+x10+x14=1
x3+x7+x11+x15=1
x4+x8+x12+x16=1
xi≥0且xi 为0－1变量，i＝1，2，3，?，16
最优解：（0，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0,1,0），最优值：28。
即：给甲分配工作D，给乙分配工作A，给丙分配工作B，给丁分配工作C，所创最多的利润为28元。
6.5 某企业在A1地已有一个工厂，其产品的生产能力为3万箱，为了扩大生产，打算在A2，A3，A4，A5地中再选择几个地方建厂。已知在A2地建厂的固定成本为17.5万元，在A3地建厂的固定成本为30万元，在A4地建厂的固定成本为37.5万元，在A5地建厂的固定成本为50万元，另外，五个产地建成后的产量、销地的销量以及产地到销地的单位运价（万元/万箱）如下表所示。
运 销地
输
价
产地 格
B1 B2 B3
固定成本
（万元）
0
17.5
30
37.5
50
产量（万箱）
A1
A2
A3
A4
A5
销量（箱）
8
5
4
9
10
3
4
2
3
7
4
2
3
3
4
5
2
2
3
1
2
3
4
（1）问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成本和总的运输费用之和最小；
（2）如果由于政策要求必须在A2，A3地建一个厂，应在哪几个地方建厂？
解 （1）
整数规划数学模型：
min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x40+7 x11+
5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+17.5 x16+30x17+37.5 x18 +50 x19
S.T. x1 + x2+x3≤3
x4+ x5＋ x6- x16≤0
x7+ x8＋ x9-2x17≤0
x10+ x11＋ x12-3x18≤0
x13+ x14＋ x15-4x19≤0
x1 + x4+ x7+x10+ x13＝3
x2 + x5+ x8+x11+ x14＝2
x3 + x6+ x9+x12+ x15＝2
xi为非负整数(i=1,2…..15)
xi为0－1变量(i=16,17…..19)
最优解：（3，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，2，2，0，0，0，1）
最优值：86。
即：安排A1地到B1地3万箱，A5地到B2，B3地各2万箱，选中A5地。
(2) 我们只要在以上模型上加上一个约束条件：x16+ x17=1，就得到了问题（2）的数学模型：
min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x40+7 x11+
5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+17.5 x16+30x17+37.5 x18 +50 x19
S.T. x1 + x2+x3≤3
x4+ x5＋ x6- x16≤0
x7+ x8＋ x9-2x17≤0
x10+ x11＋ x12-3x18≤0
x13+ x14＋ x15-4x19≤0
x1 + x4+ x7+x10+ x13＝3
x2 + x5+ x8+x11+ x14＝2
x3 + x6+ x9+x12+ x15＝2
x16+ x17=1
xi为非负整数(i=1,2…..15)
xi为0－1变量(i=16,17…..19)
最优解：（0，1，2，0，1，0，0，0，0，3，0，0，0，0，0，1，0，1，0）
最优值：94。
即：安排A1地到B2地1万箱，B3地2万箱
A2地到B2地1万箱
A4地到B1地3万箱
A4地到B1地3万箱
选中A2，A4两地。
6.6某航空公司经营兰州、北京、广州三个城市之间的航线，其中兰州—北京飞行时间为2小时；北京—广州飞行时间为3小时；广州—兰州飞行时间为3小时；这些航线每天班机起飞与到达时间如下表：
航班号
1011
1012
1013
2011
2012
1021
1022
1023
2021
2022
3011
3012
3013
3014
3021
3022
3023
3024
设飞机在机场停留期间的费用与停留时间的平方成正比，又每架飞机从降落到再起飞至少需要2小时的时间准备。确定一个使总的停留费用损失为最小的方案。
解：现在有两本题需注意的两个问题
1、三个城市间的飞行，航班的安排分别是在三个城市中完成的；
起飞城市
兰州
兰州
兰州
兰州
兰州
北京
北京
北京
广州
广州
北京
北京
北京
北京
广州
广州
广州
广州
起飞时间
6:00
12:00
18:00
7:00
9:00
7:00
10:00
17:00
14:00
17:00
5:00
9:00
13:00
18:00
6:00
10:00
14:00
18:00
到达城市
北京
北京
北京
广州
广州
兰州
兰州
兰州
兰州
兰州
广州
广州
广州
广州
北京
北京
北京
北京
到达时间
8:00
14:00
20:00
10:00
12:00
9:00
12:00
19:00
17:00
20:00
8:00
12:00
16:00
22:00
9:00
13:00
17:00
21:00
2、到站的航班必须2小时后才能起飞。
这是一个指派问题，
（1）城市 兰州
效益表：
起到达
1011 2011 2012 1012 1013 起飞
飞
2021
441
484 536 9
1022
306 361 441 536
2021
169 196 256 361
1023
121 144 196 289
1023
100
121 169 256
到达
1 1 1 1
81
36
625
1
1
1
529 1
484 1
1
指派结果：
起到达
1011 2011 2012 1012 1013 起飞
飞
2021
-
1022
-
2021
1
1023
-
1023
-
到达
1
用的最少时间为527 a。
-
-
-
1
-
1
-
-
-
-
1
1
1
-
-
-
-
1
-
1
-
-
-
1
1
1
1
1
1
（2）城市 北京
效益表：
起到达
3011 1021 3012 1022 3013 1023 3014 起飞
飞
1011
441 529 625
3021
400 484 576
3022
256 324 400
1012
225 289 361
3023
144 196 256
1013
81
3024
64
到达
1
指派结果：
起到达
3011 1021 3012 1022 3013 1023 3014 起飞
飞
1011
-
3021
-
3022
-
1012
-
3023
1
1013
-
-
-
-
-
-
1
-
-
-
-
-
-
1
-
-
-
-
-
-
1
-
-
-
-
-
-
-
1
-
-
-
-
1
-
-
-
1
1
1
1
1
1
121 169
100 144
1 1
4 25
625 16
441 576
400 576
289 400
196 289
169 256
1 1
81
64
16
16
576
441
400
1
100
81
25
81
529
484
441
1
1
1
1
1
1
1
1
3024
- - 1 - -
- - 1
到达
1
用的最少时间为476 a。
（3）城市 广州
收益表：
1 1 1 1 1 1
起到达
3021 3022 2021 3023 2022 3024 起飞
飞
3011
484 4 36
2011
324 576 16
2012
324 576 4
3012
324 576 4
3013
196 324 484
3014
64 144 256
到达
1
指派结果：
起到达
3021 3022 2021 3023 2022 3024 起飞
飞
3011
-
2011
-
2012
-
3012
-
3013
-
3014
1
到达
1
用的最少时间为117 a。
6.7 某地区有两个镇，它们每周分别产生700吨和1200吨固体废物。现拟用三种方式（焚烧、填海、掩埋）分别在三个场地对这些废物进行处理。两城镇至各处理场所的运输费用、应处理量、各处理场的处理能力及每个场所的处理废物的固定成本和可变成本如下表：
城镇1
焚烧 填海 掩埋 应处理量（吨）
7.5 5 15 700
1200
1
-
-
-
-
-
1
-
-
-
1
-
-
1
-
1
-
-
-
-
1
-
-
1
-
-
-
1
-
-
-
-
1
-
1
1
1
1
1
1
1
1
1
36
16
4
4
484
256
1
81
49
25
25
625
361
1
100 1
64
36
36
4
400
1
1
1
1
1
1
运费（元/吨）
城镇2 5 7.5 12.5
固定成本（元/周） 38500 1150 1920
变动成本（元/周）
处理能力（吨/周）
解：
12
1000
16 6
500 1300
试求使两城镇处理固体废物总的费用最小的方案。
混合整数规划问题数学模型：
min f=19.5x1+21x2+21x3+17x4+23.5x5+18.5x6+3850y1+1150y2+1920y3
S.T. x1+x2+x3=700
x4+x5+x6=1200
x1+x4-1000y1≤0
x2+x5-500y2≤0
x3+x6-1300y3≤0
xi (i=1,2….6) y1、y2、y3=0—1
结果：
焚烧 填海 掩埋 应处理量（吨）
600
700
1
6
700
1200
城镇1
100 0
运费（元/吨）
城镇2
0 500
固定成本（元/周）
变动成本（元/周）
处理能力（吨/周）
即两城镇处理固体废物的方案
城镇1焚烧100吨，掩埋600吨
城镇2填海500吨，掩埋700吨
总的最小费用：46170元。
1
12
1
16
3850 1150 1920
1000 500 1300
6.8 某建设公司有四个正在建设的项目，按目前所配给的人力、设备和材料，这四个项目将分别可以在15、20、18和25周内完成，管理部门希望提前完工，决定追加35000元资金分配给这四个项目，并规定追加资金只能以5000元为单位进行分配。对于各个项目，资金追加后的工期变化情况如下表：
项目完工时间
追加资金（千元）
项目1 项目2 项目3 项目4
0
5
10
15
20
25
30
15
12
10
8
7
6
5
20
16
13
11
9
8
7
7
18
15
12
10
9
8
7
6
25
21
18
16
14
12
11
10 35 4
试求能使总的完工时间最短的资金分配方案。
解：
本问题的0-1整数规划数学型：
min
f
= 15x1+20x2+18x3+25x4+12x5+16x6+15x7+21x8+10x9+13x10+12x11
+18x12+8x13+11x14+10x15+16x16+7x17+9x18+9x19+14x20+6x21
+8x22+8x23+12x24+5x25+7x26+7x27+11x28+4x29+7x30+6x31+10x32
S.T. x1+x5+x9+x13+x17+x21+x25+x29=1
x2+x6+x10+x14+x18+x22+x26+x30=1
x3+x7+x11+x15+x19+x23+x27+x31=1
x4+x8+x12+x16+x20+x24+x28+x32=1
0x1+1x5+2x9+3x13+4x17+5x21+6x25+7x29+
0x2+1x6+2x10+3x14+4x18+5x22+6x26+7x30+
0x3+1x7+2x11+3x15+4x19+5x23+6x27+7x31+
0x4+1x8+2x12+3x16+4x20+5x24+6x28+7x32≤7
xi≥0 (i=32)
用模板求解结果见《第六章习题》
求得最小时间为55周，比不追加投资节省了（15+20+18+25）-55=23周。
6.9 某公司要生产2000件某种产品，这种产品可利用设备A、B、C中的任意一种来加工，但若要使用这三种设备中的任意一种，都需要垫付相应的生产准备费（若不用该设备就不用垫付）。生产该产品的单位耗电量、成本及各设备的生产准备费如下表：
设备
A
B
耗电量 生产成本 生产能力 生产准备费
（度/件） （元/件） （件） （元）
0.5
1.8
7
2
800
1200
100
200
300 C 1.0 5 1400
如果总的用电量限制在2500度，请制定一个成本最低的生产方案。
解：
本问题的混合整数规划数学模型：
min f=7x1+2x2+5x3+100y1+200y2+300y3
S.T. 0.5x1+1.8x2+x3≤2500
x1+x2+x3=2000
x1-800y1≤0
x2-1200y2≤0
x3-1400y3≤0
x1、x2、x3≥0
y1、y2、y3=0,1
其结果为：分别安排在设备B，C上加工625，1375件，最低费用为8625元。
第七章 运输问题
7.1 一个农民承包了6块耕地共300亩，准备播种小麦、玉米、水果和蔬菜四种农产品，各种农产品的计划播种面积、每块土地种植不同农产品的单产收益如下表：
单产收益（元/亩）
计划播种面积（亩）
地块1 地块2 地块3 地块4 地块5 地块6
小麦 500 550 630 1000 800 700 76
玉米
水果
蔬菜
地块面积（亩）
800
1000
1200
42
700
960
1040
56
600
840
980
44
950
650
860
39
900
600
880
60
930
700
780
59
88
96
40
问如何安排种植计划，可得到最大的总收益。
解：
这是一个产销平衡的运输问题。可以建立下列的运输模型：
小麦
玉米
地块1 地块2 地块3 地块4 地块5 地块6 计划播种面积（亩）
500
800
550
700
630
600
1000
950
800
900
700
930
76
88
水果
蔬菜
地块面积（亩）
1000
1200
42
960
1040
56
840
980
44
650
860
39
600
880
60
700
780
59
96
40
300
300
代入产销平衡的运输模板可得如下结果：
得种植计划方案如下表：
小麦
玉米
水果
蔬菜
地块面积（亩）
的成本情况如下表：
年度
1
2
3
4
可生产客车数量（辆） 制造成本（万元/辆）
正常上班时间 加班时间 正常上班时间 加班时间
20 30 50 55
38
15
42
24
30
23
56
60
53
61
65
58
地块1 地块2 地块3 地块4 地块5 地块6 计划播种面积（亩）
6 39 31 76
2
40
42
56
56
38
44
39
29
60
59
59
88
96
40
300
300
7.2 某客车制造厂根据合同要求从当年开始起连续四年年末交付40辆规格型号相同的大型客车。该厂在这四年内生产大型客车的能力及每辆客车根据该厂的情况，若制造出来的客车产品当年未能交货，每辆车每积压一年的存储和维护费用为4万元。在签订合同时，该厂已储存了20辆客车，同时又要求四年期未完成合同后还需要储存25辆车备用。问该厂如何安排每年的客车生产量，使得在满足上述各项要求的情况下，总的生产费用加储存维护费用为最少？
解：得运价表（产大于销的运输模型）如下：
0
1
1’
2
2’
3
3’
4
4’
合同需求量（辆）
得生产安排的方案：
第一季度正常上班生产20台，加班27台，拿出正常生产18台和加班2台，加上年前储存的20台，满足本季度的40台；
第二季度正常生产38台，不安排加班。加上第一季度储存的2台，满足本季度的40台；
第三季度正常生产15台，不安排加班。加上第一季度储存的25台，满足本季度的40台；
第四季度正常生产42台。加班生产23台。拿出正常生产的17台的加班生产的23台满足本季度的40台。剩余25台以后务用。
如下表表示：
年度1 年度2 年度3 年度4 库存 生产能力（辆 ）
4
50
55
40
8
54
59
56
61
40
12
58
63
60
65
60
65
40
16
62
67
64
69
64
69
53
58
40
20
66
71
68
74
68
74
57
62
25
20
20
30
38
24
15
30
42
23
0
1
1’
2
2’
3
3’
4
4’
合同需求量（辆）
年度1 年度2 年度3 年度4 库存 生产能力（辆 ）
20
18
2
2
40
38
40
25
15
17
25
23
40 25
20
20
30
38
24
15
30
42
23
40
7.3 某企业生产有甲、乙、丙、丁四个分厂生产同一种产品，这四个分厂的产量分别为：200吨、300吨、400吨和100吨，这些产品供应给A、B、C、D、E、F六个地区，六个地区的需求量分别为：200吨、150吨、350吨、100吨、120吨、120吨。由于工艺、技术的差别，各分厂运往各销售地区的单位运价（万元/吨）、各厂单位产品成本（万元/吨）和各销地的销售价格（万元/吨）如下表：
单位：（万元/吨）
A B C D E F 各厂成本
甲
乙
丙
丁
0.05 0.04 0.03 0.04 0.03 0.01
0.03 0.08 0.09 0.05 0.06 0.02
0.07 0.07 0.03 0.07 0.04 0.04
0.06 0.04 0.02 0.06 0.05 0.08
0.12
0.14
0.11
0.15
各地售价 0.2 0.24 0.18 0.22 0.16 0.22
1、试确定该公司获利最大的产品调运方案。
2、如果E地区至少供应100吨，试确定该公司获利最大的产品调运方案。
2、如果E地区至少供应100吨，C地区的需要必须全部得到满足，试确定该公司获利最大的产品调运方案。
解：
1、无条件运输问题的运输模型（大于产的产销不平衡运输问题）：
甲
乙
丙
丁
各地销量
得安排方案如下：
甲
乙
丙
丁
可获最大利润47.5元。
2、有条件的产销不平衡问题，加条件后就已转 化为产销平衡的运输问题
A B C D E F 各厂产量吨）
A B
50
C D E F 各厂产量吨）
200
300
400
100
A B C D E F
0.09
0.06
0.07
150
各厂产量吨）
200
300
400
100
0.03
0.08
0.02
0.06
-0.01
0.05
200 150
0.03
0.06
0.01
0.04
0.04
0.01
400 100 150
0.03
0.02
-0.05
0.03
-0.04
0.01
0.01
-0.04
-0.01
200
100
400
100
150
各地销量 200 150 400 100 150 150
甲
乙
丙
丁
各地销量
得安排方案如下：
0.03
0.08
0.03
0.06
0.01
0.09
0.03
0.03
200
300
400
100
150
0.03
0.02
-0.05
0.03
-0.04
0.06
0.02
0.06
0.04
0.04
0.01
0.07
0.02
-0.01
0.05
0.01
0.01
-0.04
-0.01
-0.01
200
150
400
100
-M
100
50
150
甲
乙
丙
丁
A B C D E F 各厂产量吨）
200
300
400
100
150
50
100
50
150
150
300
100
100
50
100
各地销量 200 150 400 100 100 50 150
可获最大利润41.5元。
3、这也是有条件的产销不平衡问题，加条件后就已转 化为产销平衡的运输问题
甲
乙
丙
丁
各地销量
得安排方案如下：
甲
乙
丙
丁
可获最大利润39.5元。
注：本问题注意的是对于求最大化的产销不平衡问题，大M就取负值。
7.4 某自行车制造公司设有两个装配厂，且在四个地区有销售公司。该公司生产和销售的相关数据如下表：
两个装配厂的有关数据
装配厂
产量（辆）
装配费用（元/辆）
四个销售公司和需求量
销售公司
从两个装配厂到四个销售公司的运价表
1 2 3 4
需求量（辆） 500 300 550 650
A
45
B
55
1100 1000
A B C D E F
A B C D E F
0.03
0.03
0.02
150
各厂产量吨）
200
300
400
100
150
0.03
0.08
0.03
0.06
0.01
0.09
0.03
0.02
-0.05
0.03
-0.04
0.06
0.02
0.06
0.04
0.04
200
150
-M
400
100
0.01
0.07
-M
100
50
-0.01
0.05
0.01
0.01
-0.04
-0.01
-0.01
50
100
50
200
100
400
100
150
各厂产量吨）
200
300
400
100
150
各地销量 200 150 400 100 100 50 150
运输单价
销售公司
1 2 3 4
装配厂A 9 4 7 18
装配厂B 2 17 15 8
各家销售公司需要的自行车应由哪个厂装配，才能保证公司获得最大利润？
解：运输问题数学模型：
运输单价（元/辆） 公司1 公司2 公司3 公司4 产量（辆）
装配厂A
装配厂B
需求量（辆）
可得结果生产安排方案如下表：
运输单价（元/辆） 公司1 公司2 公司3 公司4 产量（辆）
装配厂A
装配厂B
250
250
300
550
54
57
500
49
73
300
52
69
550
64
61
650
1100
1000
550
650
650
1100
1000
需求量（辆） 500 300
此运输问题的最小成本（最优值）: 110700元。
即按此方案安排生产，可以使总成本为最低，因此就可以得到最大的利润。
7.5某公司在三个地方有三个分厂，生产同一种产品，其产量分别为300箱、400箱和500箱。需要供应给四个地方销售，这四地的产品需求分别 为400箱、250箱、550箱和200箱。三个分厂到四个销售地的单位运价如下表：
销地
产地
1分厂
2分厂
3分厂
甲 乙 丙 丁
21 17 23 25
10 15 30 19
23 21 20 22
（1） 应如何安排运输方案，使得总的运输费用最小？
（2） 如果2分厂的产量从400箱增加到600箱，应如何安排运输方案，使得总的运输费用最小？
（3） 如果甲销地的需求量从400箱增加到500箱，其它情况都与（1）完全相同，应如何安排运输方案，使得总的运输费用最小？
解：
（1） 本问题的运输模型：
销地
产地
1分厂
2分厂
3分厂
销量
可得结果运输安排方案如下表：
销地
产地
1分厂
2分厂
3分厂
甲
21
10
23
乙
17
15
21
丙
23
30
20
丁
25
19
22
产量
300
400
500
产量
400 250 550 200
甲 乙 丙 丁
240
50
10
300
400
400
500
500
销量
最小的运输费用：19450元。
400 240 550 200
（2） 如果2分厂的产量从400箱增加到600箱，可得以下的运输模型：
销地
产地
1分厂
2分厂
3分厂
销量
可得结果运输安排方案如下表：
销地
产地
1分厂
2分厂
3分厂
销量
甲 乙 丙 丁
产量
甲
21
10
乙
17
15
丙
23
30
丁
25
19
产量
300
600
23 21 20 22 500
400 250 550 200
100
200
300
150
450
600
400
90
500
400 250 550 200
最小的运输费用：34140元。
（3）如果甲销地的需求量从400箱增加到500箱，可得以下的运输模型：
销地
产地
1分厂
2分厂
3分厂
销量
可得结果输安排方案如下表：
销地
产地
1分厂
2分厂
3分厂
销量
最小的运输费用：19300元。
7.6 甲、乙两个煤矿每年分别生产煤炭500万吨、600万吨，供应A、B、C、D四个发电厂需要，各电厂的用煤量分别为300万吨、200万吨、500万吨、100万吨。已知煤矿与电厂之间煤炭运输的单价如下表：
煤矿与发电厂间单位运价 运价单位：元/吨
甲
乙
A
150
B
200
C
180
D
240
170
甲 乙 丙
丁
产量
甲
21
10
23
乙
17
15
21
丙
23
30
20
丁
25
19
22
产量
300
400
500
500 250 550 200
50
250
400
500
300
400
500
500 250 550 200
80 210 60
（1）试确定从煤矿到每个电厂间煤炭的最优调运方案。
（2）若两煤矿之间、四个发电厂之间也可以调运煤炭，并知它们之间调运煤炭的单价如下：
煤矿间单位运价 运价单位：元/吨
甲
乙
甲
0
乙
100
0 100
发电厂间单位运价 运价单位：元/吨
A
A
0
B
60
C
40
D
80
B
C
60
40
0
50
50
0
85
50
85
0
D 80
50
试确定从煤矿到每个电厂间煤炭的最优调运方案。
下：
（3）若在煤矿与发电厂之间增加两个中转站T1、T2，并知煤矿与中转站间和中转站与发电厂间的煤炭运价如 煤矿与中转站间单位运价 运价单位：元/吨
甲
乙
T1
T2
T1
90
80
中转站间单位运价 运价单位：元/吨
T1
0
120
T2
100
105
T2
120
0
中转站间与发电厂间单位运价 运价单位：元/吨
T1
T2
A
80
95
B
85
100
C
90
85
D
88
90
试确定从煤矿到每个电厂间煤炭的最优调运方案。
解：
（1）建立运输问题数学模型如下：
直接运输的运价表 运价单位：元/吨
甲
乙
销量（吨）
甲
乙
销量（吨）
A
150
80
300
B
200
210
200
C
180
60
500
D
240
170
100
产量（吨）
500
600
即得结果： 运量单位：吨
A
200
100
B
200
00
200
C
0
500
500
D
100
0
100
产量（吨）
500
600
300
最低费用：132000元。
（2）建立运输问题数学模型如下：
煤矿间、电厂间可以转运的运价表 运价单位：元/吨
甲
乙
A
B
C
D
销量（吨）
甲
0
100
10000
10000
10000
10000
1100
乙
100
0
10000
10000
10000
10000
1100
A
150
80
0
60
40
80
1400
B
200
210
60
0
50
50
1300
C
180
60
40
50
0
85
1600
D
240
170
80
50
85
0
1200
产量（吨）
1600
1700
1100
1100
1100
1100
即得结果： 运量单位：吨
甲 乙
A B C
甲
乙
A
B
C
D
销量（吨）
1100
D
产量（吨）
1600
1700
1100
1100
1100
1100
1100
400
100
600
1100
1000
1100
1100
100
1300
100
1400
1000
1600
1100
1200
最低费用：129000元。
（4）编制运价表如下：
增加中转站后可以转运的运价表 运价单位：元/吨
甲
乙
T1
T2
A
B
C
D
销量（吨）
甲
0
100
90
100
10000
10000
10000
10000
1100
乙
100
0
80
105
10000
10000
10000
10000
1100
T1
90
80
0
120
80
85
90
88
1100
T2
100
105
120
0
95
100
85
90
1100
A
150
80
80
95
0
60
40
80
1400
B
200
210
85
100
60
0
50
50
1300
C
180
60
90
85
40
50
0
85
1600
D
240
170
88
90
80
50
85
0
1200
产量（吨）
1600
1700
1100
1100
1100
1100
1100
1100
即得结果： 运量单位：吨
甲 乙
T1 T2 A B C
甲
乙
T1
T2
A
B
C
D
销量（吨）
1100
D
产量（吨）
1600
1700
1100
1100
1100
1100
1100
1100
1100
300
1100
1100
1100
1100
200
100
1100
200
500
100
1100
1400
1100
1300
1100
1200
1600
1100
1100
最低费用：120800元。
第八章 目标规划
8.1请将下列目标规划问题数学模型的一般形式转换为各优先级的数学模型。
1、
--+-+-min P1（dl）＋P2（d2）＋P2（d2）＋P3（d3）＋P3（ d3）＋P4（d4）
约束条件：
4 xl
≤680
4x2
≤600
2 xl＋3x2－d1+
+d1-＝12
xl－x2－d2++d2-＝0
2 xl＋2x2－d3++d3-＝12
xl＋2x2－d4++d4-＝8
xl，x2，d1，d1，d2，d2，d3，d3，d4，d4≥0。
解：
这是一个四级目标规划问题：
第一级：
min dl-
S.T. 4 xl
≤680
4x2
≤600
2 xl＋3x2－d1+d1＝12
+-xl，x2，d1，d1≥0
第二级：
min d2＋ d2
S.T. 4 xl
≤680
4x2
≤600
2 xl＋3x2－d1+
+d1-＝12
xl－x2－d2+d2＝0
d1-＝第一级的最优结果
xl，x2，d1，d1，d2，d2≥0
第三级：
min d3＋ d3
S.T. 4 xl
≤680
4x2
≤600
2 xl＋3x2－d1+d1＝12
xl－x2－d2++d2-＝0
2 xl＋2x2－d3++d3-＝12
d1-＝第一级的最优结果
d2，d2＝第二级的最优结果
xl，x2，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-≥0
第四级：
min d4-
S.T. 4 xl
≤680
4x2
≤600
2 xl＋3x2－d1+d1＝12
xl－x2－d2++d2-＝0
2 xl＋2x2－d3++d3-＝12
xl＋2x2－d4++d4-＝8
d1-＝第一级的最优结果
d2+，d2-＝第二级的最优结果
d3+，d3-＝第三级的最优结果
+-+-+-+-xl，x2，d1，d1，d2，d2，d3，d3，d4，d4≥0
2、
min P1（dl-）＋P2（d2-）＋P2（d2+）＋P3（d3-）
约束条件：
12 xl＋9x2＋15x3－d1+
+d1-＝125
5xl＋3x2＋4x3－d2+
+d2-＝40
5 xl＋7x2＋8x3－d3+
+d3-＝55
+
--+-++-+-+-+-+
-+-+-+-+
-+-
xl，x2，x3，d1，d1，d2，d2，d3，d3≥0。
解：
这是一个三级目标规划问题：
第一级：
min dl-
S.T. 12 xl＋9x2＋15x3－d1+
+d1-＝125
xl，x2，x3，d1+，d1-≥0
第二级：
min d2＋d2
S.T. 12 xl＋9x2＋15x3－d1+d1＝125
5xl＋3x2＋4x3－d2+
+d2-＝40
dl-＝第一级的最优结果
xl，x2，x3，d1+，d1-，d2+，d2-≥0
第三级：
min d3-
S.T. 12 xl＋9x2＋15x3－d1+d1＝125
5xl＋3x2＋4x3－d2+
+d2-＝40
+
- 5 xl＋7x2＋8x3－d3+d3＝55
dl-＝第一级的最优结果
d2+
，d2-＝第二级的最优结果
xl，x2，x3，d1，d1，d2，d2，d3，d3≥0
8.2某企业生产A、B、C、三种不同规格的电子产品，三种产品的装配工作在同一生产线上完成，各种产品装配时消耗的工时分别为5、9和12小时，生产线每月正常台时为1500小时；三种产品销售出去后，每台可获得利润分别为450、550和700元；三种产品每月销售量预计分别为300、80和90台。
该厂经营目标如下：
P1------利润目标为每月150000元，争取超额完成。
P2------充分利用现有生产能力。
P3------可以适当加班，但加班时间不要超过100小时。
P4------产量以预计销量为标准。
试建立该问题的目标规划数学模型，并求解最合适的生产方案。
解：
本问题的目标规划数学模型：
min P1（d1-）＋P2（d2-）＋P3（d3+）＋P4（d4-＋d4+＋d5-＋d5+＋d6-＋d6+）
S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+
+d1-＝150000
5xl＋9x2＋12x3－d2+
+d2-＝1500
5xl＋9x2＋12x3－d3+
+d3-＝1600
+
- xl－d4+d4＝300
x2－d5+
+d5-＝80
+
-x3－d6+d6＝90
xi≥0 (i=1,2,3)
di+
、di-
≥0 (i=1,2,3,4,5,6)
这是一个四级目标规划问题：
第一级：最优解：（0，0，214.29）,最优值：min d1-＝0
+-+-+-+--++
-+
-+-+-
第二级：最优解：（333.33，0，0）,最优值：min d1＝0，min d2＝0
---第三级：最优解：（333.33，0，0）,最优值：min d1＝0，min d2＝0，min d3＝66.667
第四级：最优解：（333.33，0.0001，0）,
最优值：min d1-＝0，min d2-＝0，min d3-＝66.667,
min d4-＝0, min d4+＝33.33
min d5＝80, min d5＝0
-+min d4＝90, min d4＝0
即安排生产的方案：
生产产品A33.33件，产品B和产品C不生产最合适。
若再加上产品是整数的特殊要求：
第一级：得最优解：（0，0，215）
最优值：d1-＝0
第二级：得最优解：（334，0，0）
最优值：d1-＝0，d2-＝0
第三级：得最优解：（334，0，0）
最优值：d1-＝0，d2-＝0，d3-＝70
第四级：得最优解：（334，0，0）
最优值：d1＝0，d2＝0，d3＝70
min d4-＝0, min d4+＝34
min d5-＝80, min d5+＝0
min d4-＝90, min d4+＝0
8.3现有一个四个产地、三个销地的运输问题，其供需数量及单位运费如下表所示：
销地
产地
A1
A2
A3
A4
需求量
0
1
2 6 8
1----+--
2
3
`供应量
12
5
6
1
经营决策中要求所有产地的产量都必须全部运出，希望达到目标以及优先等级如下：
P1------销地B1、B2至少得到它需求量的50%。
P2------必须满足销地B3全部需求量。
P3------由于客观原因，要尽量减少A4到B2的货运量。
P4------若期望运费132元，并尽可能减少运输费用。
解：本问题的目标规划数学模型：
min P1（d1-＋d2-）＋P2（d3-）＋P3（d4+）＋P4（d5+）
S.T. xl＋x4＋x7－d1+
+d1-＝6
x2＋x5＋x8－d2+d2＝8
+
-
x3＋x6＋x9－d3+d3＝18
x11－d4+
+d4-＝0
4xl＋7x2＋5x3＋6x4＋4x5＋8x6＋3x7＋6x8＋10x9＋5x10＋4x11＋8x12 －d5+d5＝132
xi≥0 (i=1,2…..12)
di+
、di-
≥0 (i=1,2,3,4,5)
这是一个四个优先及的目标规划问题：
第一级：最优解（0，0，12，0，0，5，0，3，3，6，5，0）
最优值d1＝0，d2＝0
第二级：最优解（0，0，12，0，0，5，0，5，1，8，3，0）
最优值d1＝0，d2＝0，d3＝0
第三级：最优解（0，0，12，0，3，3，0，5，0，8，0，3）
最优值d1-＝0，d2-＝0，d3-＝0，d4+＝0
第四级：最优解（0，0，12，0，5，0，3，3，0，5，0，6）
最优值d1-＝0，d2-＝0，d3-＝9，d4+＝0，d5+＝48
即
销地
产地
A1
A2
A3
A4
需求量
1
2 6 8
`供应量
12 2
5
6
1-----+
-+
-1238.4 某公司准备投产三种产品，三种产品的单位利润、需要劳动力资源及投入成本情况如下表：
产品 利润（元/件） 需要工人（人/万件） 投入成本（元/件）
产品1
产品2
15
10
6
4
6
8
产品3
12 5 10
现在的重要工作是确定三种产品的生产计划，并且要求在计划中最好能体现完成以下三个目标：
P1--------希望总利润不低于130万元。
P2--------现有工人45名，要充分利用现有员工，但尽可能不要安排加班。
P3--------希望总投资不要超过60万元。
1、 用优先级目标规划确定满意的投产计划。
2、 若将三个目标赋予偏离目标的罚数权重为低于总利润目标为5；低于现有工人利用目标为4；超过现有工人人数目标为2；超过投资额目标为3。用加权目标规划确定满意的投产计划。
解：
分别设三种产品的产量为x、x2、x3件。
1、min P1（d1-）＋P2（d2-+d2+）＋P4（d3+）
S.T. 15xl＋10x2＋12x3－d1+
+d1-＝130
6x1＋4x2＋5x3－d2+
+d2-＝45
+
- 6x1＋8x2＋10x3－d3+d3＝60
xi≥0 (i=1,2,3)
di+
、di-
≥0 (i=1,2,3)
这是一个三个优先级的目标规划问题：
-第一级：最优解：（8.667，0，0），最优值：min d1＝0
第二级：最优解：（8.667，0，0），
最优值：min d1-＝0，min d2-＝0，min d2+＝7
第三级最优解：（7.333，2，0），
最优值：min d1＝0，min d2＝0，min d2＝7，min d3＝0
即产品1安排生产7.333件，产品2安排2件最合适。
若考虑产品应该是整数可得：
第一级：得最优解：（9，0，0），最优值：min d1-＝0
第二级：得最优解：（8，1，0），
-最优值：min d1＝0 ，min d2-＝0 ，min d2+＝7
第三级：得最优解：（8，1，0），
最优值：min d1-＝0 ，min d2-＝0 ，min d2+＝7，min d3+＝0
即产品1安排生产8件，产品1安排1件最合适。
-2、min 5d1＋4d2-+2d2+＋3d3+
S.T. 15xl＋10x2＋12x3－d1+
+d1-＝130
6x1＋4x2＋5x3－d2+d2＝45
6x1＋8x2＋10x3－d3+
+d3-＝60
xi≥0 (i=1,2,3)
di+
、di-
≥0 (i=1,2,3)
得最优解：（7.333，2，0），
最优值：min 5d1-＋4d2-+2d2+＋3d3+＝14
即产品1安排生产7.333件，产品2安排2件最合适。
8.5某公司准备从两个不同仓库向三个居民点提供某种产品。在计划其内该产品供不应求，公司决定重点保证某些居民点的需要，同时又要保证总的运费要最省。已知仓库的库存量、各居民点的需求量及仓库到各居民点的单位运费如下表：
运价单位：元/单位产品
仓库1
仓库2
需求量（单位产品）
居民点1 居民点2 居民点3 库存量（单位产品）
12
10
2500
5
12
1800
10
4
5000
3200
4500
+
---++公司要求在制定运输方案时考虑以下六个有序目标：
P1--------完全满足居民点3的需求。
P2--------至少满足所有居民点需求的75%。
P3--------使总的运费为最小。
P4--------从仓库2向居民点3的最小货运量为1200单位。
P5--------从仓库1到居民点3和从仓库2到居民点1的公路不好，希望尽可能减少运货量。
P6--------平衡居民点1和居民点2之间的供货量最满意水平。
试求满意的运输方案。
解：
这是一个运输问题，但由于库存量（3200+4500=8700单位）不能完全满足3个居民点的需求
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