2023年12月18日发(作者：别克君威2016款)
7.2 离散型随机变量及其分布列(精讲)
思维导图
常见考法
考点一 随机变量的辨析
【例1】(2021·全国·高二课时练习)一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为( )
A．所取球的个数 B．其中含红球的个数
C．所取白球与红球的总数 D．袋中球的总数
【一隅三反】
1．(2021·全国·高二课时练习)将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )
A．两次掷得的点数 B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数 D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差
2．(2021·全国·高二课时练习)一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( )
A．取到的球的个数
C．至少取到1个红球
3．(2021·全国·高二专题练习)下面给出三个变量:
(1)2013年地球上发生地震的次数ξ.
(2)在一段时间间隔内某种放射性物质发生的α粒子数η.
(3)在一段时间间隔内某路口通过的宝马车的辆数X.
B．取到红球的个数
D．至少取到1个红球或1个黑球
其中是随机变量的是____.
考点二 离散型随机变量及取值
【例2-1】(2021·全国·高二课时练习)下列X是离散型随机变量的是( )
①某座大桥一天经过的车辆数X；
②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；
③一天之内的温度X；
④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分.
A．①②③④
C．①③④
【例2-2】(2021·全国·高二课时练习)抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为( )
A．第一枚为5点，第二枚为1点
B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C．第一枚为6点，第二枚为1点
D．第一枚为4点，第二枚为1点
【一隅三反】
1．(2021·全国·高二课时练习)给出下列各量：
①某机场候机室中一天的游客数量；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；
③某同学离开自己学校的距离；
④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；
⑤体积为8m3的正方体的棱长.
其中是离散型随机变量的是( )
A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④
B．①②④
D．②③④
2．(2021·全国·高二单元测试)袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是( )
A．5
B．9 C．10 D．25
3．(2021·河北·辛集中学高二期中)袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1，2，3，…，6 B．1，2，3，…，7 C．0，1，2，…，5 D．1，2，…，5
4．(2021·全国·高二课时练习)已知小王钱夹中有20元、10元、5元和1元面额的人民币各一张，他决定随机抽出两张，用来买晚餐．若用X表示所抽两张人民币的金额之和，求出随机变量X的取值范围，并分别说明这些取值所表示的随机试验结果．
考点三 分布列的性质的应用
1【例3-1】(2021·全国·高二课时练习)随机变量X所有可能取值是－2，0，3，5，且P(X＝－2)＝，P(X4＝3)＝2，P(X＝5)＝A．0
11，则P(X＝0)的值为( )
121B．
41C．
61D．
8【例3-2】(2021·全国·高二课时练习)(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则( )
X
P
－1 0 1
a b c
1A．a＝
31C．c＝
31B．b＝
32D．P(|X|＝1)＝
3
【一隅三反】
1．(2021·全国·高二课时练习)随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为( )
A．
2．(2021·全国·高二课时练习)下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是( )
A．
1
110B．1
55C．110 D．55
X
0 1 2
P
0.7 0.15 0.15
B．
X
－2 0 2 4
P
0.5 0.2 0.3 0
C．
X
1
132
123
2
3P
－
D．
X
1 2 3
P
lg 1 lg 2 lg 5
3．(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )
?1?A．?0,?
?3??11?B．??,?
?33?
C．[－3，3]
D．[0，1]
24．(2021·全国·高二单元测试)已知抛物线y?ax?bx?c?a?0?的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c???3,?2,?1,0,1,2,3?，在这些抛物线中，记随机变量??a?b，则P???1?1??( )
5A．
93B．
52C．
51D．
3
考点四 离散型随机变量的分布列
【例4】(2021·全国·高二课时练习)某品牌汽车的4S点，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如表所示．已知分9期付款的频率为0.4，该店销售一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．
付款方式
频数
分3期
20
分6期
20
分9期
a
分12期
b
(1)若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客(数量较大)中随机抽取3位顾客，求事件A“至多有1位采用分6期付款”的概率P?A?；
(2)按分层抽样方式从这100位顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量?，求?的分布列．
【一隅三反】
1．(2021·全国·高二课时练习)大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量(单位：千克)，整理如表所示．
日需求量
频数
140
5
150
10
160
8
170
8
180
7
190
7
200
5
以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．
(1)求该超市A水果日需求量n(单位：千克)的分布列；
(2)若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X(单位：元)，求X的分布列．
2．(2021·全国·高二课时练习)某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所辖的A，B，C三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种．
(1)求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；
(2)记A，B，C三个区选择的疫苗批号的中位数为X，求X的分布列．
3．(2021·全国·高二课时练习)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和，求X的分布列．
4．(2021·全国·高二课时练习)写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)某市医院明天接到120急救电话的次数X．
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X是一个随机变量．
5(2021·江苏·立人高中高二期中)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数.
(1)这3个数组成一个三位数，求这个三位数能够被5整除的概率；
(2)设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的概率分布列.
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