数学模型汽车刹车距离(完成稿)为爱车一族提供科学依据

2023年12月7日发(作者：卡宴汽车标志)

摘要??????????????????????? 2

关键词?????????????????????? 2

问题提出????????????????????? 3

问题分析????????????????????? 3

符号说明????????????????????? 4

模型假设????????????????????? 4

模型建立与求解?????????????????? 5

模型检验????????????????????? 19

结果分析????????????????????? 22

模型应用????????????????????? 22

模型优缺点及改进????????????????? 25

建模体会????????????????????? 26

参考文献????????????????????? 26

摘要

本文从汽车的刹车距离的两个方面：反应距离与制动距离入手研究十类大众化的汽车在公路的刹车情况，进而对这十类汽车的车主提出安全驾驶建议。

在模型的建立过程中，本文主要从影响汽车刹车距离的两个主要因素：司机的反应时间、汽车的车速入手。对于影响刹车距离的其他因素如：路面类型和状况、天气状况、驾驶员的操作技巧和身体状况等都视为相同的状态。

在对于刹车过程的具体分析，主要分成两个阶段：第一阶段称为“反应阶段”即匀速直线运动阶段，利用公式d′=t?v求得；第二阶段称为“制动阶段”即匀减速直线运动阶段,利用功能原理及牛顿第二定律得出：Fd″=Mv?/2；进而得出刹车的距离公式d=t?v+kv?。

再者从所收集得来的数据中运用最小二乘法拟合数据，得出k值，代入公式d=t?v+kv?得出刹车的速度与距离关系式。进而给驾驶者提出安全驾驶建议。

关键词：反应距离制动距离功能原理牛顿第二定律最小二乘法

2 问题提出

如今已进入汽车时代，怎么保持在公路上安全刹车已经成为越来越重要的问题，那么应该怎么样规范才能使人们在安全的条件下驾驶汽车。请研究你所常见的十种汽车的刹车距离，进一步对各种车型的车主提出建议。

问题分析

问题要求建立刹车距离与车速之间的数量关系，一方面，车速是刹车距离的主要影响因素，车速越快，刹车距离越长；另一方面，还有其它很多因素会影响刹车距离，包括车型、车重、刹车系统的机械状况、轮胎类型和状况、路面类型和状况、天气状况、驾驶员的操作技术和身体状况等。为了建立不同车型下刹车距离与车速之间的函数关系可以从以下分析入手：

首先，我们仔细分析刹车的过程，发现刹车经历两个阶段：

在第一阶段，司机意识到危险，做出刹车决定，并踩下刹车踏板使刹车系统开始起作用，汽车在反应时间段行驶的距离为“反应距离”；

在第二阶段，从刹车踏板被踩下、刹车系统开始起作用，到汽车完全停住，汽车在制动过程“行驶”（轮胎滑动摩擦地面）的距离为“制动距离”

进而可得出：刹车距离=反应距离+制动距离

下面对各阶段具体分析：

反应距离阶段：

根据常识，可以假设汽车在反应时间内车速没有改变，也就是说在此瞬间汽车做匀速直线运动，反应时间取决于驾驶员状况和汽车制动系统的灵敏性,与汽车的型号没有关系，而在不同年龄段的司机状况（包括反应、警觉性、视力等）有一定差别，因此在这研究中可以考虑分年龄段研究反应距离；正常情况下，汽车制动系统的灵敏性都非常好，与驾驶员状况相比，可以忽略。

制动距离阶段：

在制动过程，汽车的轮胎产生滚动摩擦，车速从v迅速减慢，直到车速变为0，汽车完全停止。用物理的语言来陈述，那就是：汽车制动力使汽车做减速运 3 动，汽车制动力做功导致汽车动能的损失。

在制动过程中，按照汽车的刹车系统及结构设计，不同车型在在相同条件下的紧急刹车的加速度是有一定区别的，也就是说，最大制动力受到汽车设计，车重，刹车系统性能的影响，所以认为不同车型的刹车情况是不同的。

换言之，需要对不同型号的汽车测试其在不同车速下的刹车距离（当然要尽量保持道路、天气、驾驶员、载重等条件一样），然后利用测试数据拟合出模型

d=t?v+kv?中的系数k 值，那么所得到不同车型下的刹车距离与车速之间的二次函数经验公式，对于所有在相同的道路、天气和驾驶员等条件下，既没有超载，也没有故障的汽车都是有参考作用的。

符号说明

符号单位名称

m/s 车速

说明

刹车过程的速度变化值

m/s?

s?/m

刹车距离从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶距离

反应距离

制动距离

反应时间

加速度

制动力

汽车质量

比例系数

从司机决定刹车到踩下踏板汽车行驶距离

从司机踩下刹车踏板到车完全停住汽车行驶距离

从司机决定刹车到踩下刹车踏板的时间

汽车制动过程的加速度

汽车制动过程的制动力

汽车的净重

k=1/(2a)

d′

d″

t′

模型假设：

（1）、假设道路、天气和驾驶员等条件相同，汽车没有超载，也没有故障；

（2）、假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向；

（3）、假设汽车在反应阶段做匀速直线运动；

（4）、假设汽车在制动过程做匀减速直线运动，加速度a只与车型有关，同车型时为常数，制动力所做的功只等于汽车动能的损失；

（5）、假设刹车距离等于反应距离加上制动距离

4 模型建立：

根据假设（2）、（3），汽车在反应阶段做匀速直线运动，立即得到反应距离：

d′=t?v （1.1.1）

根据牛顿第二定律和假设（4），汽车在制动过程做匀减速直线运动，加速度a是常数，有 F=ma；再根据功能原理，汽车制动力所做的功等于汽车动能的损失：Fd″=Mv?/2；所以d″=v?/2a

令，k=1/(2a)，就得到制动距离：

d″=kv? （1.1.2）

最后，根据假设（5），及（1.1.1）—（1.1.2）式，刹车距离为

d=t?v+kv? （1.1.3）

（1.1.3）式就是汽车刹车距离的数学模型

模型的求解过程：

反应时间t′的数据，摘选自华北科技学院学报：

反应时间测试操作：将测试者分为老中青三组,每组20名。青年组年龄为20～30岁,中年组年龄为35～45岁,老年组年龄为51～60岁。测试者均在正常情况的驾驶：

反应时间(s)

以下研究的数据是汽车的制动距离，结合最小二乘法进行拟合。利用公式：S=∑（kv?-d″）?进行求解：

解答时先对S求导可得：S′=∑2k（v?）?-2d″v?

令S′=0 ，可求得k值：

青年组

1.278

中年组

1.218

老年组

1.371

5 8?k?i?1822vidi???i?12(vi2)2………..（1）

选取汽车之家（/）提供10种不同型号汽车在公路的制动距离实测数据进行模型建立。

型号一：2010款，捷豹XFR v8机械增压版

图表数据转化可得表：（1-10-1）

车速100 90 80 70 60 50 40 30

（km/h)

制动距离41.92 34.42 27.32 21.12 15.42 10.42 6.92 3.92

d″(m)

将表格（1-10-1）的数据利用Office excel进行计算，得到表（2-10-1）

表（2-10-1）

制动距离距离d″(m)

41.92

34.42

27.32

21.12

15.42

10.42

6.92

3.92

车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

771.605

625.000

493.827

378.086

277.778

192.901

123.457

69.444

2d″v?

64691.358

43025.000

26982.716

15970.370

8566.667

4020.062

1708.642

544.444

2?v2?2

1190748.362

781250.000

487730.529

285898.682

154320.988

74421.773

30483.158

9645.062 对表（2-10-1）五列与六列数据进行求和

8?i?1822vidi??=165509.259

?i?12(vi)=3014498.552

22将上面两组数据代入（1）式可得

k=0.055

可得出此类车的刹车模型：

青年组

刹车模型

d=1.278?v+0.055v?

中年组

d=1.218?v+0.055v?

老年组

d=1.371?v+0.055v?

型号二：2010款，上海大众-途观2.0TSI旗舰导航版

图表数据转化可得表：（1-10-2）

车速100 90 80 70 60 50 40 30

（km/h)

制动距离42.2 36.8 29.2 26.95 17.8 13.3 9.2 6.5

d″(m)

将表格（1-10-2）的数据，利用Office excel进行计算，得到表（2-10-2）

7 表（2-10-2）

制动距离距离d″(m)

42.2

36.8

29.2

26.95

17.8

13.3

9.2

6.5

8车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

771.605

625.000

493.827

378.086

277.778

192.901

123.457

69.444

2d″v?

65123.457

46000.000

28839.506

20378.858

9888.889

5131.173

2271.605

902.778

2（v?）?

1190748.362

781250.000

487730.529

285898.682

154320.988

74421.773

30483.158

9645.062

对表（2-10-2）五列与六列数据进行求和

?i?182vidi??=178536.265

2?i?12(vi)22=3014498.552

将上面两组数据代入（1）式可得

0.059

可得出此类车的刹车模型：

青年组

刹车模型

d=1.278?v+0.059v?

中年组

d=1.218?v+0.059v?

老年组

d=1.371?v+0.059v?

型号三：2010款，沃尔沃C30 2.0智雅版

8 图表数据转化可得表：（1-10-3）

车速100 90 80 70 60 50 40 30

（km/h)

制动距离38.2 32.6 25.8 20.1 15 11 7.3 4.7

d″(m)

将表格（1-10-3）的数据，利用Office excel进行计算，得到表（2-10-3）

表（2-10-3）

制动距离距离d″(m)

38.2

32.6

25.8

20.1

、15

7.3

4.7

8车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

771.605

625.000

493.827

378.086

277.778

192.901

123.457

69.444

2d″v?

58950.617

40750.000

25481.481

15199.074

8333.333

4243.827

1802.469

652.778

2（v?）?

1190748.362

781250.000

487730.529

285898.682

154320.988

74421.773

30483.158

9645.062

对表（2-10-3）五列与六列数据进行求和

?i?182vidi??=155413.580

2?i?12(vi)22=3014498.552

将上面两组数据代入（1）式可得

k= 0.052

可得出此类车的刹车模型：

青年组

刹车模型

d=1.278?v+0.052v?

中年组

d=1.218?v+0.052v?

老年组

d=1.371?v+0.052v? 型号四：2010款，现代ix35 2.4领舰版

图表数据转化可得表：（1-10-4）

车速100 90 80 70 60 50 40 30

（km/h)

制动距离40.8 34.4 27 21 15.75 11.05 7.05 4.1

d″(m)

将表格（1-10-4）的数据，利用Office excel进行计算，得到表（2-10-4）

表（2-10-4）

制动距离距离d″(m)

40.8

34.4

15.75

11.05

7.05

4.1

8车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

771.605

625.000

493.827

378.086

277.778

192.901

123.457

69.444

2d″v?

62962.963

43000.000

26666.667

15879.630

8750.000

4263.117

1740.741

569.444

2（v?）?

1190748.362

781250.000

487730.529

285898.682

154320.988

74421.773

30483.158

9645.062

对表（2-10-4）五列与六列数据进行求和

?i?12vidi??=163832.562

28?i?12(vi)=3014498.552

22 将上面两组数据代入（1）式可得

k= 0.054

可得出此类车的刹车模型：

青年组

刹车模型

d=1.278?v+0.054v?

中年组

d=1.218?v+0.054v?

老年组

d=1.371?v+0.054v?

型号五：2010款奥迪A3 Sportback 1.8T 豪华型

图表数据转化可得表：（1-10-5）

车速100 90 80 70 60 50 40 30

（km/h)

制动距离40.55 33.05 26.05 20.15 14.8 9.85 6.35 3.95

d″(m)

将表格（1-10-5）的数据，利用Office excel进行计算，得到表（2-10-5）

表（2-10-5）

制动距离距离d″(m)

40.55

33.05

26.05

20.15

14.8

9.85

6.35

3.95

车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

771.605

625.000

493.827

378.086

277.778

192.901

123.457

69.444

2d″v?

62577.160

41312.500

25728.395

15236.883

8222.222

3800.154

1567.901

548.611

2（v?）?

1190748.362

781250.000

487730.529

285898.682

154320.988

74421.773

30483.158

9645.062 对表（2-10-5）五列与六列数据进行求和

8?i?182vidi??= 158993.827

2?i?12(vi)22= 3014498.552

将上面两组数据代入（1）式可得

k= 0.053

可得出此类车的刹车模型：

青年组

刹车模型

d=1.278?v+0.053v?

中年组

d=1.218?v+0.053v?

老年组

d=1.371?v+0.053v?

型号六：奔驰E300L，真正的商务车标杆

图表数据转化可得表：（1-10-6）

车速100 90 80 70 60 50 40 30

（km/h)

制动距离36.9 30.6 24.8 18.9 14.1 10.1 6.9 4.2

d″(m)

将表格（1-10-6）的数据，利用Office excel进行计算，得到表（2-10-6）

12 表（2-10-6）

制动距离距离d″(m)

36.9

30.6

24.8

18.9

14.1

10.1

6.9

4.2

车速（km/h) 车速v(m/s)

100

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

771.605

625.000

493.827

378.086

277.778

192.901

123.457

69.444

2d″v?

56944.444

38250.000

24493.827

14291.667

7833.333

3896.605

1703.704

583.333

2（v?）?

1190748.362

781250.000

487730.529

285898.682

154320.988

74421.773

30483.158

9645.062

对表（2-10-6）五列与六列数据进行求和

8?i?18i?12vidi??= 147996.914

22i?2(v)2= 3014498.552

将上面两组数据代入（1）式可得

k= 0.049

可得出此类车的刹车模型：

青年组

刹车模型

d=1.278?v+0.049v?

中年组

d=1.218?v+0.049v?

老年组

d=1.371?v+0.049v? 型号七：年轻人的第一辆车！测试海马王子1.0L

图表数据转化可得表：（1-10-7）

车速100 90 80 70 60 50 40 30

（km/h)

制动距离50.42 43.32 33.42 26.52 19.72 14.67 9.67 6.12

d″(m)

将表格（1-10-7）的数据，利用Office excel进行计算，得到表（2-10-7）

表（2-10-7）

制动距离距离d″(m)

50.42

43.32

33.42

26.52

19.72

14.67

9.67

6.12

车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

771.605

625.000

493.827

378.086

277.778

192.901

123.457

69.444

2d″v?

77808.642

54150.000

33007.407

20053.704

10955.556

5659.722

2387.654

850.000

2（v?）?

1190748.362

781250.000

487730.529

285898.682

154320.988

74421.773

30483.158

9645.062

对表（2-10-7）五列与六列数据进行求和

8?i?122vidi??= 204872.685

14 8?i?12(vi)= 3014498.552

22将上面两组数据代入（1）式可得

k= 0.068

可得出此类车的刹车模型：

青年组

刹车模型

d=1.278?v+0.068v?

中年组

d=1.218?v+0.068v?

老年组

d=1.371?v+0.068v?

型号八：瑞虎 2010款改款 1.6S MT豪华型

图表数据转化可得表：（1-10-8）

车速100 90 80 70 60 50 40 30

（km/h)

制动距离43.16 35.16 27.26 21.01 15.31 10.41 6.41 3.46

d″(m)

将表格（1-10-8）的数据，利用Office excel进行计算，得到表（2-10-8）

15 表（2-10-8）

制动距离距离d″(m)

43.16

35.16

27.26

21.01

15.31

10.41

6.41

3.46

8车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

771.605

625.000

493.827

378.086

277.778

192.901

123.457

69.444

2d″v?

66604.938

43950.000

26923.457

15887.191

8505.556

4016.204

1582.716

480.556

2（v?）?

1190748.362

781250.000

487730.529

285898.682

154320.988

74421.773

30483.158

9645.062

对表（2-10-8）五列与六列数据进行求和

?i?12vidi??= 167950.617

28?i?12(vi)22= 3014498.552

将上面两组数据代入（1）式可得

0.056

可得出此类车的刹车模型：

青年组

刹车模型

d=1.278?v+0.056v?

型号九：行政商务新选择宝马535Li

中年组

d=1.218?v+0.056v?

老年组

d=1.371?v+0.056v?

16 图表数据转化可得表：（1-10-9）

车速100 90 80 70 60 50 40 30

（km/h)

制动距离41.3 33.3 27.3 19.3 14.05 9.9 6.3 3.9

d″(m)

将表格（1-10-9）的数据，利用Office excel进行计算，得到表（2-10-9）

表（2-10-9）

制动距离距离d″(m)

41.3

33.3

27.3

19.3

14.05

9.9

6.3

3.9

车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

771.605

625.000

493.827

378.086

277.778

192.901

123.457

69.444

2d″v?

63734.568

41625.000

26962.963

14594.136

7805.556

3819.444

1555.556

541.667

2（v?）?

1190748.362

781250.000

487730.529

285898.682

154320.988

74421.773

30483.158

9645.062

对表（2-10-9）五列与六列数据进行求和

8?i?182vidi??= 160638.889

2?i?12(vi)22= 3014498.552

将上面两组数据代入（1）式可得

0.053

可得出此类车的刹车模型：

青年组

刹车模型

d=1.278?v+0.053v?

中年组

d=1.218?v+0.053v?

老年组

d=1.371?v+0.053v? 型号十：一汽-大众CC 2.0T，科技点缀感动

图表数据转化可得表：（1-10-10）

车速100 90 80 70 60 50 40 30

（km/h)

制动距离40.32 33.82 26.3 20.32 15.32 10.32 6.82 3.82

d″(m)

将表格（1-10-10）的数据，利用Office excel进行计算，得到表（2-10-10）

表（2-10-10）

制动距离距离d″(m)

40.32

33.82

26.3

20.32

15.32

10.32

6.82

3.82

8车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

771.605

625.000

493.827

378.086

277.778

192.901

123.457

69.444

2d″v?

62222.222

42275.000

25975.309

15365.432

8511.111

3981.481

1683.951

530.556

2（v?）?

1190748.362

781250.000

487730.529

285898.682

154320.988

74421.773

30483.158

9645.062

对表（2-10-10）五列与六列数据进行求和

?i?12vidi??= 160545.062

28?i?12(vi)22= 3014498.552

将上面两组数据代入（1）式可得

k= 0.053

可得出此类车的刹车模型：

青年组

刹车模型

d=1.278?v+0.053v?

中年组

d=1.218?v+0.053v?

老年组

d=1.371?v+0.053v? 模型的检验

检验过程：将制动过程的速度数值代入制动距离公式d″=kv?，进而对比其与实际制动距离的差值，确立模型的合理性。

型号一：2010款，捷豹XFR v8机械增压版

车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

K值

0.055

实际制动距离距离d″(m)

41.92

34.42

27.32

21.12

15.42

10.42

6.92

3.92

计算制动距离KV?(m)

42.365

34.315

27.113

20.759

15.251

10.591

6.778

3.813

制动时间（s）

3.050

2.745

2.440

2.135

1.830

1.525

1.220

0.915

型号二：2010款，上海大众-途观2.0TSI旗舰导航版

车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

K值

0.059

实际制动距离距离d″(m)

42.2

36.8

29.2

26.95

17.8

13.3

9.2

6.5

计算制动距离KV?(m)

45.699

37.016

29.247

22.393

16.452

11.425

7.312

4.113

制动时间（s）

3.290

2.961

2.632

2.303

1.974

1.645

1.316

0.987

型号三：2010款，沃尔沃C30 2.0智雅版

车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

K值

0.052

实际制动距离计算制动距离KV?d″(m)

38.2

32.6

25.8

20.1

7.3

4.7

(m)

39.780

32.222

25.459

19.492

14.321

9.945

6.365

3.580

制动时间（s）

2.864

2.578

2.291

2.005

1.719

1.432

1.146

0.859

19 型号四：2010款，现代ix35 2.4领舰版

车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

K值

0.054

实际制动距离d″(m)

40.8

34.4

15.75

11.05

7.05

4.1

计算制动距离KV?(m)

41.935

33.968

26.839

20.548

15.097

10.484

6.710

3.774

制动时间（s）

3.019

2.717

2.415

2.114

1.812

1.510

1.208

0.906

型号五：2010款奥迪A3 Sportback 1.8T 豪华型

车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

K值

0.053

实际制动距离d″(m)

40.55

33.05

26.05

20.15

14.8

9.85

6.35

3.95

计算制动距离KV?(m)

40.697

32.964

26.046

19.941

14.651

10.174

6.511

3.663

制动时间（s）

2.930

2.637

2.344

2.051

1.758

1.465

1.172

0.879

型号六：奔驰E300L，真正的商务车标杆

车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

K值

0.049

实际制动距离d″(m)

36.9

30.6

24.8

18.9

14.1

10.1

6.9

4.2

计算制动距离KV?(m)

37.882

30.684

24.244

18.562

13.638

9.470

6.061

3.409

制动时间（s）

2.728

2.455

2.182

1.909

1.637

1.364

1.091

0.818

20 型号七：年轻人的第一辆车！测试海马王子1.0L

实际制动距车速（km/h) 车速v(m/s)

100

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

K值

0.068

离d″(m)

50.42

43.32

33.42

26.52

19.72

14.67

9.67

6.12

计算制动距离KV?(m)

52.440

42.476

33.561

25.696

18.878

13.110

8.390

4.720

制动时间（s）

3.776

3.398

3.021

2.643

2.265

1.888

1.510

1.133

型号八：瑞虎 2010款改款 1.6S MT豪华型

车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

K值

0.056

实际制动距离d″(m)

43.16

35.16

27.26

21.01

15.31

10.41

6.41

3.46

计算制动距离KV?(m)

42.989

34.821

27.513

21.065

15.476

10.747

6.878

3.869

制动时间（s）

3.095

2.786

2.476

2.167

1.857

1.548

1.238

0.929

型号九：行政商务新选择宝马535Li

车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

K值

0.053

实际制动距离d″(m)

41.3

33.3

27.3

19.3

14.05

9.9

6.3

3.9

计算制动距离KV?(m)

41.118

33.306

26.315

20.148

14.802

10.279

6.579

3.701

制动时间（s）

2.960

2.664

2.368

2.072

1.776

1.480

1.184

0.888

21 型号十：一汽-大众CC 2.0T，科技点缀感动

车速（km/h)

100

车速v(m/s)

27.778

25.000

22.222

19.444

16.667

13.889

11.111

8.333

K值

0.053

实际制动距离d″(m)

40.32

33.82

26.3

20.32

15.32

10.32

6.82

3.82

计算制动距离KV?(m)

41.094

33.286

26.300

20.136

14.794

10.273

6.575

3.698

制动时间（s）

2.959

2.663

2.367

2.071

1.775

1.479

1.184

0.888

结果分析

一、利用刹车模型的公式可以知道，当汽车的速度越快那么要使汽车完全停下来的刹车距离就越远，由于正常情况下同一年龄段的司机状况是差别不大，则同一年龄段的司机反应时间t′可被视为常数，因此由反应距离公式d′=t′v可知，反应距离d′随速度v的增大而增大，并以固定倍数增长。而由刹车距离公式d=t?v+kv?知，当速度v增大的时，汽车的刹车距离d不是以固定的倍数增大，而是随着速度v的增大呈二次函数增长。

二、从研究的数据表明，由于汽车的质量、制动力大小、性能不同，刹车系统也不同，因此拟合的k值也不同，导致其刹车距离也不同。

三、因为同一年龄段的司机反应时间是被视为常数t′的，而制动距离则是被看为匀减速的过程，可利用匀减速的速度公式v=at及比例常数k=

12k12a,知v=

t，即随着汽车速度v的增长，其刹车所需的时间就越长,且以12k倍增长。

模型的应用

对于该模型的应用可从刹车距离与刹车时间两个方面给予不同年龄段的司机不同的建议：

表（3-3-1）-（3-3-3）是十类汽车的刹车距离与速度关系表，不同年龄段的司机可运用测距仪所测与前车距离，进而参照下表驾驶。当汽车行驶速度在以下数据的某一范围内，司机就要保证自己车与前面车的距离不小于安全车距。

22 表（3-3-1）青年人

安全车距

车速

（m）（km/h）

30以下

30-40

40-50

50-60

60-70

70-80

80-90

90-100

30以下

30-40

40-50

50-60

60-70

70-80

80-90

90-100

30以下

30-40

40-50

50-60

60-70

70-80

80-90

90-100

车型

上海大众-途观2.0TSI

沃尔沃C30 2.0

捷豹XFR v8

奔驰E300L

奥迪A3 Sportback 1.8T

现代ix35 2.4

瑞虎 1.6S MT

宝马535Li

一汽大众cc 2.0T

海马王子1.0L

表（3-3-2）中年人

安全车距

车速

（m）（km/h）

车型

上海大众-途观2.0TSI

沃尔沃C30 2.0

捷豹XFR v8

奔驰E300L

奥迪A3 Sportback 1.8T

现代ix35 2.4

瑞虎 1.6S MT

宝马535Li

一汽大众cc 2.0T

海马王子1.0L

表（3-3-3）老年人

安全车距

车速

（m）（km/h）

车型

上海大众-途观2.0TSI

沃尔沃C30 2.0

捷豹XFR v8

奔驰E300L

奥迪A3 Sportback 1.8T

现代ix35 2.4

瑞虎 1.6S MT

宝马535Li

一汽大众cc 2.0T

海马王子1.0L

23 表（4-3-1）-（4-3-3）是十类汽车的刹车时间与速度关系表，不同年龄段的司机在开车时，可利用公路上的某一标志物为参考，从前车经过这一标志物开始根据下表提供的时间数据，默数自己经过这一标志物的时间不宜快于刹车时间。

表（4-3-1）青年人

刹车时间

车速

（s）（km/h） 30以下 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100

车型

上海大众-途观2.0TSI

沃尔沃C30 2.0

捷豹XFR v8

奔驰E300L

奥迪A3 Sportback1.8T

现代ix35 2.4

瑞虎 1.6S MT

宝马535Li

一汽大众cc 2.0T

海马王子1.0L

表（4-3-2）中年人

刹车时间

车速

3 4

（s）（km/h） 30以下 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100

车型

上海大众-途观2.0TSI

沃尔沃C30 2.0

捷豹XFR v8

奔驰E300L

奥迪A3 Sportback1.8T

现代ix35 2.4

瑞虎 1.6S MT

宝马535Li

一汽大众cc 2.0T

海马王子1.0L

3 4

24 表（4-3-3）老年人

刹车时间

车速

（s）（km/h） 30以下 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100

车型

上海大众-途观2.0TSI

沃尔沃C30 2.0

捷豹XFR v8

奔驰E300L

奥迪A3 Sportback1.8T

现代ix35 2.4

瑞虎 1.6S MT

宝马535Li

一汽大众cc 2.0T

海马王子1.0L

3 4

模型的优缺点及改进

优点：模型可以给大多数公路汽车驾驶员于驾驶参考，解决大部分汽车的安全刹车距离的预测问题，可有效的利用于减少因汽车追尾事件所造成的交通事故，因此可以对模型进行推广运用。

缺点：没有全面的收集到各种天气及其他道路情况下的汽车刹车数据，对于刹车数据的取值过程存在误差，导致K值的拟合存在偏差。同时在汽车高速行驶遗漏了某些不容忽视的因素，导致模型的数据整合不具完全可信度。

改进：本文在分析反应时间t′时所提供的数据不具很强说服力且年龄段选取考虑不全，这在模型的实际运用中不是很合理，因为在不同年龄段的人的反应时间是有差别的，不同的反应时间是会影响到刹车过程中反应距离。因此在模型的改进方面可以考虑到此方面的因素，可研究各年龄段的司机的反应时间，进而结合制动时间，给予司机安全驾驶建议。

25 建模体会

2010年10月，我开始着手毕业论文工作，时至今日，论文已经完成。从刚开始的茫然，到后来的进入状态，再到对研究思路的逐渐清晰，整个写作过程是非常艰巨的。历经了几个月的奋战，我和我的小组成员一起完成的建模论文终于完稿了！回想这段日子的经历和感受，我感慨万千，因为在此过程中，我拥有了无数难忘的回忆和收获。

在与指导老师交流讨论后，我们确定了我们小组的题目------汽车刹车距离。当开题报告定下来后，我们便着手收集与论文相关资料的工作。首先是从图书馆找有关汽车安全行驶、刹车系统结构的书籍，记录下相关的资料，然后就是在“汽车之家”的网站上找到10种常见汽车的刹车距离数据。最后，通过对所得资料的分析、整合，对所得数据的拟合、运算，再进行论文的撰写。在撰写的过程中，我遇到了很多问题，但在指导老师的帮助下，我们解决了很多问题，才能顺利完稿！

这次毕业论文的撰写过程是我的一次再学习、再提高的过程。在此过程中，我充分运用了大学期间所学知识，以科学严谨的态度，不怕困难、团结协作的精神完成论文。我想这是一种意志的磨练，是对我实际能力的一次提升，也会对我的未来的学习和工作有很大的帮助。

罗老师的严谨治学态度、渊博的知识、无私奉献的精神使我们深受启迪。从导师身上，我不仅学到了扎实、宽广的专业知识，也学到了做人的道理。在此，我要向我们的导师致以最衷心的感谢和深深的敬意。

在整个过程中，我学到了新知识，增长了见识；在今后的日子里，我仍然要不断地充实自己，争取在所学领域有所作为！

参考文献

【1】姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），高等教育出版社，2003

【2】姜华平，陆春其，陈海泳，高速公路交通安全管理，人民交通出版社，2005

【3】赵长利，吴娜，张竹林，汽车概论，中国水利水电出版社，2010

【4】鲁植雄，汽车防抱死制动系统故障诊断图解，江苏科学技术出版，2003

【5】同济大学应用数学系，高等数学（第五版）下册，高等教育出版社，2002

【6】张展宏，基于模拟器的驾驶员应急状态下刹车反应时间的研究[J]，华北科技学院学报，2009,6（3）：1672 - 7169 (2009) 03 - 0027 - 04

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