2023河北高考数学真题及参考答案

2023年12月20日发(作者：奔驰e260敞篷)

2023年河北数学真题及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M???2，?1，0，1，2?，N?xx?x?6?0，则M∩N?（2??）?1，0，1?A.??2，2.已知z?B.?0,1,2?）C.??2?D.?2?1?i，则z?z?（2?.0A.?iD.1??????3.已知向量a??1,1?，b??1,?1?.若a??b?a??b，则（????）A.????14.设函数f?x??2x?x?a?B.?????1C.???1D.???-1）在区间?0,1?单调递减，则a的取值范围是（?2?A.???，B.??2,0?C.?0,2????D.?2，x2x2225.设椭圆C1：2?y?1?a?1?，C2：?y?1的离心率分别e1,e2.若e2?3e1，则4aa?（A.233）B.222C.3D.6）6.过点?0，?2?与圆x?y?4x?1?0相切的两条直线的夹角为?，则sin??（A.1B.154C.104D.64?Sn??为等差数列，则（?n?）7.记Sn为数列?an?的前n项和，设甲：?an?为等差数列；乙：?A.甲是乙的充分条件但不是必要条件C.甲是乙的充要条件8.已知sin??????B.甲是乙的必要条件但不是充分条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件）A.7911，cos?sin??，则cos?2??2???（36117B.D.?C.?9991

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据x1,x2,?x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（）A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,?x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,?x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,?x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,?x6的极差10.噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp?20?lg源的声压级：p，其中常数p0?p0?0?是听觉下线的阈值，p是实际声压.下表为不同声p0声源燃油汽车混合动力汽车电动汽车与声源的距离/m101010声压级/dB60~9050~6040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3，则（）A.p1?p2B.p2?10p32C.p3?100p02D.p1?100p2）11.已知函数f?x?的定义域为R，f?xy??yf?x??xf?y?，则（A.f?0??0C.f?x?是偶函数B.f?1??0D.x?0为f?x?的极小值点12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体2

三、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选修方案共有14.在正四棱台ABCD?A1B1C1D1中，AB?2，A1B1?1，AA1?为.种（用数字作答）.2，则该棱台的体积15.已知函数f?x??cos?x?1???0?在区间?0,2??有且仅有3个零点，则?的取值范围是.x2y216.已知双曲线C：2?2?1?a?0，b?0?的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上.ab点B在y轴上，F1A?F1B，F2A??2F2B，则C的离心率为3.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在?ABC中，A?B?3C，2sin?A?C??sinB.（1）求sinA；（2）设AB?5，求AB边上的高.18.如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB?2，AA1?4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上，AA2?1，BB2?DD2?2，CC2?3.（1）证明：B2C2∥A2D2；（2）点P在棱BB1上，当二面角P?A2C2?D2为150°时，求B2P.19.已知函数f?x??ae?a?x.x??（1）讨论f?x?的单调性；（2）证明：当a?0时，f?x??2lna?3.23

n2?n?bn?20.设等差数列?an?的公差为d，且d?1，令bn?，记Sn,Tn分别为数列?an?，an的前n项和.（1）若3a2?2a1?a3，S3?T3?21，求?an?的通项公式；（2）若?bn?为等差数列，且S99?T99?99，求d.21.甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的任选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；i?1,2,?,n，（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P?Xi?1??1?P?Xi?0??qi，则E??Xi??i?1qi，记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，i?1n?n求E?Y?.22.在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点?0，?的距离，记动点P的轨迹为W.（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33.??1?2?4

参考答案一、选择题1C2A3D4D5A6B7C8B1.解：N????，?2???3，???，∴M?N??2?1?i1??i，∴z?z??i2?2i2??22??3.解：∵a??b?a??b，∴a??????a?b???b?2?1?????0，2.解：z???????∴???-14.解：由复合函数的单调性可知y?x?x?a?在区间?0,1?单调递减，∴范围是?2，???.a?1，∴a的取值25.解：由题意得：e1?22323a2?1a2?11，e2?，得.?，解得a?23aa256.解：易得?x?2??y?5，故圆心B?2,0?，R?记A?0，?2?，设切点为M,N，则AB?22，BM?5，可得AM?3sin??15?AM3?5，cos?∴sin??2sincos?sin?MBA??2242AB22222n?n?1?d，27.解：甲：∵?an?为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn?na1?∴SnSn?1ddSd?S??a1?d?n?a1?，n?1?n?，故?n?为等差数列，则甲是乙n222n?1n2?n?的充分条件；反之，?Sn?1SnnSn?1??n?1?Snnan?1?Sn?Sn?为等差数列，即为常数，????n?1nn?n?1?n?n?1??n?nan?1?Sn?t，故Sn?nan?1?t?n?n?1?，n?n?1?设为t，即故Sn?1??n?1?an?t?n?n?1?，n?2，5

两式相减有：an?nan?1?an?n?1??2tn，即an?1?an?2t，对n?1也成立，故?an?为等差数列，∴甲是乙的必要条件综上，甲是乙的充要条件.8.解：∵sin??????sin?cos??cos?sin??11，cos?sin??，361112则sin?cos??，故sin??????sin?cos??cos?sin????.23631?2?cos?2??2???1?2sin2??????1?2????.9?3?2二、选择题9BD10ACD11ABC12ABD10.解：∵L1?L2?20?lgp1ppp?20?lg2?20?lg1?0，∴1?1，即p1?p2∴Ap0p0p2p21ppp1正确；L2?L3?20?lg2?10，即lg2?，∴2?102，∴B错误；p3p3p32∵L3?20?lgp3p?40，∴3?102?100，∴C正确；p0p0p1pp?90?50?40，∴lg1?2，∴1?100，∴D正确.p2p2p2L1?L2?20?lg11.解：选项A，令x?y?0，则f?0??0?f?0??0?f?0??0，故A正确；选项B，令x?y?1，则f?1??1?f?1??1?f?1?，则f?1??0故B正确；选项C，令x?y??1，则f?1????1??f??1????1??f??1?，则f?1??0，22再令y??1，则f??x????1??f?x??xf??1?，即f??x??f?x?，故C正确；22选项D，对式子两边同时除以xy22?x2y2?0，得到：?f?xy?f?y?f?x??2?2，故22xyyx?x2lnx,x?0f?x?可设2?lnx?x?0?，故可以得到f?x???，故D错误.x?0,x?06

12.解：选项A，球直径为0.99?1，故球体可以放入正方体容器内，故A正确；选项B，连接正方体的面对角线，可以得到一个正四面体，其棱长为2?1.4，故B正确；选项C，底面直径0.01m，可以忽略不计，但高为1.8?长，故C不正确；选项D，底面直径为1.2?三、填空题13.64；14.3，3为正方体的体对角线的3，高为0.01m的圆柱体，其高度可以忽略不计，故D正确.76；615.2???3；1116.35513.解：当从这8门课中选修2门课时，共有C4C4?16；当从这8门课中选修3门课时，共有C4C4?C4C4?48；综上共有64种.14.解：如图，将正四棱台ABCD?A1B1C1D1补成正四棱锥，则AO?12212，SA?22，OO1?6，2故V?11676S1?S2?S1S2h?22?12?22?12??.3326????15.解：令f?x??cos?x?1?0得cos?x?1，又x??0,2??，则?x??0,2???，∴4??2???6?，即2???3.F2A2216.解：由F2A??F2B得?，设F2A??2x，F2B?3x.由对称性可得3F2B3F1B?3x，由定义可得，F1A?2x?2a，AB?5x，设?F1AF2??，则sin??3x342x?2a，解得x?a，∴AF1?2x?2a，?，∴cos???5x555x16a2?4a2?4c24AF2?2a，在?AF1F2中，由余弦定理可得cos???，516a2即5c?9a可得e?四、解答题2235.57

17.解：（1）由题意得A?B?3C，∴，A?B?C?4C??，∴C?∴B???A?C?3??A，4???4∵2sin?A?C??sinB，∴2sin?A????3???sin???A?，4??4?即2??2?222??sinA?cosAcosA?sinA，整理得：sinA?3cosA?2?222??22又∵sinA?cosA?1，A??0，??∴sinA?0，∴cosA?0解得sinA?31010，cosA?1010255（2）∵sinB?sin?A?C??sinAcosC?cosAsinC?由正弦定理可知bcb5，即，解得b?210??sinBsinC310210211bcsinA?ch，∴h?bsinA?622设AB边上的高为h，∵S?18.解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立空间直角坐标系则B2?0,2,2?，C2?0,0,3?，A2?2，2,1?，D2?2,0,2?（1）∵B2C2??0，?2,1?，A2D2??0，?2，1?（2）设P?0,2,t?，其中2?t?4∴PA2??2，0，1?t?，PC2??0，?2,3?t?，D2C2???2,0,1?，D2A2??0,2，?1?.∴B2C2?A2D2，∴B2C2∥A2D2???m?PA2?0设平面PA2C2的一个法向量为m??x,y,z?，则???m?PC2?0即??2x??1?t?z?0?，令z?2，则m??t?1,3?t,2?.??2y??3?t?z?0???n?D2A2?0设平面D2A2C2的一个法向量为n??x?,y?,z??，则???n?D2C2?08

即???2x??z?0，令z?2，则n??1,1,2?.?2y??z?0∵二面角P?A2C2?D2为150°，∴cosm,n?m?nmn?cos150??62t2?8t?14?3，解得：（舍去）或t?3.t?12∴B2P?119.解：（1）由题可得f??x??ae?1x①当a?0时，f??x??0，f?x?在???，???单调递减；②当a?0时，令f??x??0得x??lna∴当x????,?lna?时，f??x??0，f?x?在???,?lna?单调递减；当x???lna，???时，f??x??0，f?x?在??lna，???单调递增.（2）由（1）得当a?0时，f?x?min?f??lna??a?1?lna.2设g?a??a?1?lna??2lna?2??3?12??a?lna?，2?2则g??a??2a?21，令g??a??0可得a?a2∴当a??0,????2?2??时，g??a??0，g?a?在?0,?上单调递减；???2??2??2??2????????时，g?a??0，g?a?在?，???当a??2，?上单调递增.2????∴g?a?min?g??2?3??ln2?0，故g?a??0，∴当a?0时，f?x??2lna?.?2?2??20.解：（1）∵3a2?2a1?a3，∴3d?a3?a1?2d，即a1?d，an?nd故an?nd，n2?nn?1n?n?1?dn?n?3??∴bn?，Sn?，Tn?，and22d9

3?4d3?6??21，22d12即2d?7d?3?0，解得d?3或d?（舍），2又S3?T3?21，即故?an?的通项公式为：an?3n.（2）若?bn?为等差数列，则2b2?b1?b3，即2?222?31?23?4??，a1?da1a1?2d即a1?3a1d?2d?0，∴a1?d或a1?2d，n?n?1?dn?n?3?，Tn?.22d99?100d99?102又S99?T99?99，即??99，22d512即50d?d?51?0，∴d?或d?1（舍）.50nn?n?3?dn?n?1?当a1?2d时，an??n?1?d，bn?，故Sn?，Tn?.d22d99?102d99?100又S99?T99?99，即??99，22d512即51d?d?50?0，∴d??（舍）或d?1（舍）.5051综上所述：d?.50当a1?d时，an?nd，故Sn?21.解：（1）第二次是乙的概率为0.5?0.4?0.5?0.8?0.6.（2）第i次投篮的人是甲的概率为pi，则第i次投篮的人是甲的概率为1?pi，则pi?1?0.6pi?0.2?1?pi??0.4pi?0.2，构造等比数列pi?1???则pi?1?2?pi???，解得???1，5312?1?111??pi??，又p1?，∴p1??35?3?236i?1i?111?2?1?2?∴pi?????，则pi????36?5?6?5??1.3n?2?1???n1n5??2??n5???（3）当n?N时，E?Y??p1?p2???pn?????1?????.26318???5???31?510

5??2?当n?0时，E?Y??0，符合上式，故E?Y???1???18???5???n?n??.??31?2?22.解：（1）设P?x,y?，∵点P到x轴的距离等于点P到点?0，?的距离，∴y?1?1?x??y??，化简得y?x2?.42??22故W的方程为y?x?21.4（2）不妨设A,B,D三点在W上，且有BA?DA.设A?a,a???21?1?，由对称性不妨设k?1，?，设BA，DA的斜率分别为k，4?k2则直线BA的方程为：y?k?x?a??a?141?2y?x???422联立?，整理可得：x?kx?ka?a?0，则xA?xB?k?y?k?x?a??a2?1?4?∴AB??xA?xB?2??yA?yB?211?2a2kk?1?k2k?2a同理可得：AD?1?∴AB?CD?1?kk?2a?1?211?2ak2k??11?2??1?k2?k?2a??2a??1?kk??????kk????3?1?m?设f?m??2?1?k?k223m?2m?1??m?1?，11?m?3m??3，则f??m??2m?3?2?mmm220?上单调递增，可知f?m?在?0，?上单调递减，在?，∴f?m?在?0，1?上最小值为f???∴AB?CD?fk??1?2??1?2???1??2?27，4???3223，由于两处相等的条件不一致，∴矩形ABCD的周长为2AB?CD?33.11??