2023年12月18日发(作者：铃声多多下载)

汽车销售服务问题

摘要

本文针对题目中所指的4S店汽车销售服务的2个问题，分别建立了相应的数学模型即灰色预测模型与多目标规划模型。对未来汽车销售量进行预测，调整预定计划，给出了新车销售计划并选择了3家“分销，售后服务店”选址方案。

对于问题一：可分2个阶段求解。第一阶段（新车上市前：即4—6月）：根据08,09,10年每年中平均每月各类汽车的销售量，建立GM（1,1）模型。先采用累加生成的方法生成数据，然后根据灰色理论构造数据矩阵和数据向量,再利用Matlab软件求解可预测出11年平均每月各类汽车的销售量。然后依据前几年不同月份汽车销售量占全年销售量的平均百分比，可预测出11年4-6月各类型汽车的销售量。第二阶段（新车上市即7-12月）：在第一阶段中建立的灰色预测模型的基础上，可预测出7-12月各类型汽车的原销售量。分析历年销售数据后发现每种车型的销售都会经历2个时期，可称之为车型销售不稳定期和稳定期。这2个时期车型销售的变化可为新车上市的销售量变化提供定性的参考标准，同时我们借鉴了08年4月份C1，C2车上市后主要是对相邻价位的A车有冲击影响、对价位相差较大车型的销售影响不大的事实依据，可推出新车型（8.5~10.5万）上市后主要对C1，C2车（9~14万）销售量有冲击影响。按照影响比例即可求出C1，C2和新车7~12月的销售量。由于第4家4S店10月份开业必定会影响到10月份以后的销售量，我们借鉴C3区4S店开业时对其他4S店的事实依据，来求出10月以后本店的销售量，并合理的调整了各车型的预定计划。同时为保证一年1200辆车的销售目标，制定了一个新车的销售计划（具体答案详见论文模型的建立与求解处）。

对于问题二：我们采用了双目标模型求解。即：投资成本最小和买车及保养收益最大作为目标函数，辐射影响其它4S店经营、利于新车上市推广、不影响本店周边经营和三家服务店互不影响经营作为约束条件。

投资成本=门面价格+地价+首期装修及设备投资；

保养收益=卖车收益+保养营业收益；

保养营业收益=保养营业总收入-员工总工资。

目标函数的确立我们采用线性加权求和法，将双目标函数合并成总目标函数：max[???xioij(fej?vj?skpk?cj)????xioij(zij?yijqi?wj)]

i?1j?1k?1i?1j?12736273为了辐射影响其它4S店经营，我们认为服务店尽可能开设在其它4S店周围； 为了更有利于新车上市推广，服务店尽可能开设在离市中心近的地方；为了不影响本店周边经营，服务店尽可能远离本店；为了使服务店间互不影响，则服务店间距离应尽可能大等。在这些约束条件下，最后用Lingo软件求出了满足所有约束条件的最优解：x3?1,x13?1,x26?1,o3,3?1,o13,1?1,o26,1?1。从而制定出了一套“分销，售后服务店”的选址方案（选址图详见正文）。

关键词： 灰色预测模型 双目标规划模型 线性加权求和法 0-1变量 评价标准 Matlab软件 Lingo软件 最优解

1

一、问题重述

2010年某品牌汽车占某市市场份额7.8%，为实现2012年占市场10%的目标，该公司研发了5款新车并将在该市设立第4个4S店。已知某4S店2010年的销售额占该品牌的35.67%。新车预计在7月1日销售，新店预计10月份开业。

问题一：面对新车上市，请用数学模型分析该车型对该市车市的冲击,预测2011年该店销售预计结果，合理调整2011年下半年每月每种车型订车计划（每月4S店都要向厂方订购下个月的预计销售车），以保证全年1200辆的销售任务，并制定新车销售计划。

问题二：为弥补第四家4S店对本店造成的影响，本店计划在城市建设3个“分销、售后服务店”，按要求设计选址方案。选址需满足以下要求

1、使得投资成本最小。

2、辐射及影响其他4S店经营。

3、使得买车及保养营业收益最大。

4、利于新车上市推广。

5、不影响本店周边经营。

二、问题的分析

问题一：现在国家大力推广低排量汽车的使用，加以政策的扶持，我们可以知道新车型上市后不会面临无法销售的情况。我们可以结合往年的销售数据，运用灰色预测模型来预测各车型未来的销售量。通过观察数据我们发现每种车型的销售量都有两个明显的时期，即稳定期与不稳定期。且所经历的时间区间大致上相同。在预计新车销售时可以借鉴。同时，由于第4家4S店10月份开业必将对10月后的销售产生影响，特别是对同价位车型的影响，再次可以借鉴C1C2型车上市时对市场的影响，所以在预计得到的数据上还要进行优化。同时可据此调整预定车的计划，并按照满足年销量1200的要求来制定新车销售计划。

问题二：由题意可知在选址过程中有2点要求：

1、满足要求的可行解为图中区域所给的离散点。

2、所求解应满足如下五个条件a、使得投资成本最小；b、辐射及影响其他4S店经营；c、使得买车及保养营业收益最大；d、利于新车上市推广；e、不影响本店周边经营.

所以我们建立了双目标规划模型，将其中重要的2条作为目标函数，另外的则作约束条件。通过对决策变量的求解，来确定“分销，售后服务店”的选址。我们知道将“分销，售后服务部”设立在其他4S店附近能最大限度的取得收益，本店附近不应设立“分销，售后服务店”以防止本店销售额的降低。同时，3家“分销，售后服务店”应该尽量分散且靠近市中心。

2

三、基本假设

1、假设A、B、C1、C2、D

五种系列车型的销售各自独立。

2、不考虑政府对汽车市场的干预和国际汽车市场对中国市场的冲击。

2、3家“分销，售后服务店”不在2011年开业。

3、在线上的圈，只要有三分之一以上面积覆盖在偏低档区则按低档区算。

4、其他4S点没有类似开“分销，售后服务店”的计划。

5、当服务店距离4s店较大时，对4s点的销售影响可视为零。

6、维修保养店所招员工的数量与店的面积成正相关。

四、符号说明

Xi(0)-------------------------------------------表示时间序列

?---------------------------------------------表示发展灰数

?---------------------------------------------表示内生控制灰数。

U------------------------------------------表示待估参数向量

Xi(1)(t?1)-----------------------------------表示i款汽车在未来第t年销售量的月平均值

Mi-------------------------------------------表示2011年i款汽车年销售总量

mi-------------------------------------------表示2011年1,2,3月份i款汽车的销售总量

Ni-------------------------------------------表示2011年4月后i款汽车销售总量

（0,1）变量xi=1表示此地作为选址：xi-------------------------------------------表示xi=0表示此地不作为选址

（0，1）变量，oij=1oij-------------------------------------------表示第i小区所选房型的表示选择该类房型，oij=0表示未选择

zi--------------------------------------------表示第i小区的门面价格

yij-------------------------------------------表示第i小区的j类所租房型的面积

3

wj------------------------------------------表示j类所租房型的首期装修及设备投资

售货服务店的每月aj------------------------------------------表示j类所租房型的分销、卖车收益

bj-------------------------------------------表示j类所租房型的分销、售货服务店的每月保养营业收益

cj-------------------------------------------表示j房型员工工资

dj-------------------------------------------表示保养营业总钱数

ej-------------------------------------------表示j房型平均每月店买车台数

vj-------------------------------------------表示j房型平均每月维修保养台数

pk------------------------------------------表示k接待类型的维修营业额

sk-------------------------------------------表示k接待类型所占比例

f-------------------------------------------表示卖出一台汽车的盈利

?-------------------------------------------表示保养营业收益权重系数

?-------------------------------------------表示投资成本权重系数

五、模型的建立及求解

5.1模型一：

（1）、由题可知C1和C2两类车是从2008年开始出售，而且从该年表中数据的变化程度可推断出这两类车的出售量是从该年九月份开始处于稳定状态的，所以可根据08,09,10年，每年中平均每月各类汽车的销售量。数据如下：

08~10年平均每月各类型汽车的销售量

车类型（辆）

年份 A C1 C2 D

O8年 11.75 31.25 35.5 26.75

09年 4.25 26.25 19.58 17.83

10年 2.5 27.83 24.25 25.83

4

（2）、根据08,09,10年，每年中平均每月各类汽车的销售量，建立GM（1,1）模型可预测出11年平均每月各类汽车的销售量，继而又可以求出11年的销售总量。即：设数列Xi(0)有n个观察值，Xi(0)=?Xi(0)(1),Xi(0)(2)……Xi(0)(n)?，通过累）加即X（n）=?X（0，可得新序列Xi(1)=?Xi(1)(1),Xi(1)(2)……Xi(1)(n)?，则GM（k）(1)ik?1n（1,1）模型相应的微分方程可由下式表示。其中?为发展灰数，?为内生控制灰数。

dXi(1)??Xi(1)?u

dt构造数据矩阵B和数据向量Y，根据灰色伦理，该数据矩阵B可表示为：

1)(1)???Xi(（2）+Xi（）1?/2?1)(1)???Xi(（3）+Xi（2）?/2?.?

B??.??.?(1)(1)?X（n）+X（n-1）???/2ii??1??1?.??

.?.????1（?1)???TT?设U为待估参数向量，可以通过最小二乘拟合得到U?????BBBYn。

???u?求微分方程可得预测模型为：

u??atu?(1)(0)X(t+1)=X(1)-

i?i?e?

????因为Xi(1)?Xi(0)，所以Xi(1)(t?1)就是i款汽车在未来第t年汽车销售量的月平均值。

设2011年各类车型年销售总量为Mi，则Mi=12*Xi(1)(4)

2011年预测结果，如下：

型号 月均值 年总量

A 0.67 8

C1 34.33 412

C2 26.08 313

D 32.08 385

(3)、灰色预测模型的检验

预测就是借助于对过去的探讨来推测未来，灰色预测通过对原始数据的处理

5

和灰色模型的建立，对系统的未来状态做出定量预测。然而模型的选择不是唯一的，必须经过检验才能判定其是否合理、合格。

我们采用残差检验：令残差为??k?，计算??k??计算??k?<0.2，可认为达到一般要求。

（4）、设mi为2011年1,2,3月份i款汽车的销售总量，则4到12 月分的销售总量为：

Ni?Mi?mi

又根据前几年销售数据可求出4月到12月各月销售占4月到12月份总销售量的平均比值，如下：

月份 A C1 C2 D

4月 0.38 0.0979 0.1062 0.0853

5月 0.14 0.1039 0.1111 0.099

6月 0.15 0.0475 0.0641 0.1229

7月 0.04 0.0712 0.0726 0.0956

8月 0.06 0.0682 0.0769 0.1331

9月 0.09 0.0979 0.1068 0.1263

10月 0.03 0.1128 0.0835 0.1160

11月 0.05 0.1513 0.1453 0.0956

12月 0.06 0.2493 0.2350 0.1263

则可求出2011年4月到12月各款车每月销售量，为：

月份 A C1 C2 D

4月 2 33 24 25

5月 1 35 26 29

6月 1 16 15 36

7月 0 24 17 28

8月 0 23 18 39

9月 0 33 25 37

10月 0 38 20 34

11月 0 51 34 28

12月 0 84 55 37

(5)、因新车上市后，对该市车市有一定的冲击，主要是对价位相似车的冲击。也就是说这五款车型上市后会对C1、C2车有一定的冲击。利用08年4月份上市的C1、C2车对价位相近的A车的影响，可用来表现新车上市对销售市场的冲击。由历年销售数据可知，新车上市后各类汽车的销售量都会先有一段不稳定

6

x?0??k??x?k?k?1,2,?n;??经?0?x?k??0??

期，然后再进入稳定期。根据题中给出数据和查得相关文献可知新车上市后一般在第三个月开始处于稳定状态。即九月份，汽车出售量开始处于稳定状态。

（1）当处于不稳定状态时，据08年新车上市初期，可求A车每月比上一个月销售量减少的百分比，以此值作为预测11年C1，C2不稳定期销售量的依据。由题目求得前二个月销售量减少的百分比分别为0.2462,0.6842。又新车从2011年7月份开始出售。

所以2011年7,8月份C1，C2的销售量为

月份 7 8

C1 18 7

C2 12 5

对于新车销量的预测,在不稳定期，C1、C2车的市场被新上市的车所争夺，由相关文献我们可认为C1、C2车比预测少卖的那部分车，就是新上市能卖的车辆数。

则2011年7,8月份新车的销售量为

月份 7 8

新款车（辆） 11 29

（2）当处于稳定状态时，由往年销售数据，可推知新车上市稳定后，下一年各型号车每个月份比上一年同月份销售的百分比不变，故可求得9，10,11,12月份的减少的百分比为

月份 9 10 11 12

减少的百分比 0.6111 0.7 0.5833 0.8571

所以2011年9，10,11,12月份C1，C2的销售量为

月份 9 10 11 12

C1 6 6 22 8

C2 18 5 17 6

（3）新车上市稳定后，由2008年C1，C2车型，每月的销售增长率几乎不变，可求得2011年9，10,11,12月份新款车的销售量。

由数据可求得这四个月增长率依次为0.7619，0.2382,0.2708和0.7031。

所以2011,9，10,11,12月份新款车的销售量为

月份 9 10 11 12

新款车（辆） 51 62 78 132

（6）、最后可得到2011年4月到12月每月每种车型预计结果如下表：

月份 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A 2 1 1 0 0 0 0 0 0

D 25 29 36 28 39 37 34 28 37

C1 33 35 16 18 7 6 6 22 8

C2 24 26 15 12 5 18 5 17 6

新款车 11 29 51 62 78 132

(7)、由题中C2店2006年2月开业，本店2007年9月开业，C3开业为2008年7月开业，2007-2010年三家4S店销售所占该品牌的市场份额百分比：

店名 2007 2008 2009 2010

本店 6.5 36.3 32.12 35.67

C2区店 93.5 50.2 39.54 31.22

7

C3区店 13.5 28.34 33.11

可知2010年3家店的销售所占该品牌的市场份额百分比开始趋于稳定，现我们认为未新开店时2011年各店的销售百分比与2010年的几乎一样。

由前面对2011年本店各月各种车型所卖数量的预测值，可以求得2011年本店所买出的总车数为：1187辆。所以可求的2011年车总卖出量约为3328辆。

因2010年市场开始处于稳定，则我们可借鉴2007年本店对C2店的冲击影响，可以估计出2011年新开的店对其它3家店的影响，则新店销售比例大约为：4.5%。则2011年本店销售比例将下降，变成：33.5%。所以新店开设后，本店卖出车的实际值为：3328*33.5%=1137辆。

虽受新店影响，减少了买车数量，但为了使2011年卖车数量达到1200辆，本店开设了3家分销售货服务店，以加大销售数量。因新车市场需求量比较大，更容易被卖出，现加大新车的宣传和知名度，即3家销售货服务店全部用来分销新车。则可得到2011年下半年每月每种车型订车计划如下：

月份 7月 8月 9月 10月 11月 12月

车型（辆）

A 0 0 0 0 0 0

D 28 39 37 39 23 32

C1 18 7 6 0 17 0

C2 12 5 18 0 12 0

新车 21 39 61 73 89 143

新车销售计划为：

月份 7月 8月 9月 10月 11月 12月

车型（辆）

新车 21 39 61 73 89 143

5.2模型二：

由于第四家4S店的开张，势必对本店造成一定的冲击。为了弥补第四家该品牌4S店对本店销售及售后的影响，本店计划建立三家“分销、售后服务店”。而对于三家“分销、售后服务店”的选址方案，主要基于以下几个原则：

1、使得投资成本最小。

2、辐射及影响其他4S店经营

3、使得买车及保养营业收益最大。

4、利于新车上市推广。

5、不影响本店周边经营。

由此我们可建立双目标模型求解，即：条件1,3为目标，2,4,5为约束条件。

1、目标函数

因题目中有27小区供我们选择，现分3块大区域再以顺时针方向，等级由低到高为这27小区进行编号。这里我们认为：在线上的区域，只要有三分之一

8

以上面积覆盖在偏低档区就按低档区算。固有

x1

黄色圆圈

黄色圆圈

黄色圆圈

黄色圆圈

红色圆圈

黄色圆圈

黄色圆圈

黄色圆圈

黄色圆圈

黄色圆圈

黄色圆圈

红色圆圈

红色圆圈

红色圆圈

黄色圆圈

黄色圆圈

黄色圆圈

黄色圆圈

黄色圆圈

黄色圆圈

黄色圆圈

低档小区

中档小区

中档小区

中档小区

中档小区

中档小区

中档小区

中档小区

低档小区

低档小区

中档小区

中档小区

中档小区

中档小区

中档小区

中档小区

低档小区

中档小区

低档小区

中档小区

中档小区

x2

C1

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

C2

区域

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

C3

x18

x19

x20

x21

9

又因为高档小区地价为每平米15000元以上，中档小区地价为每平米8000元以上，低档小区地价为每平米3000元以上。现我们取地价的最小值进行计算。即：

小区档次 高档小区 中档小区 低档小区

地价（元/平米） 15000 8000 3000

而本店所租房型可选择只有三种，即：800、600、400平米。

房型

oi2

oi3

oi1

面积（平米）

对应租金如下：

区域

800

大小

600 400

高档小区门面中档小区门面低档小区门面房 房 房

C1区 800平米 14000元 8000元 6000元

600平米 12000元 6400元 5000元

400平米 7000元 4300元 3500元

C2区 800平米 16000元 12000元 10000元

600平米 14000元 8700元 7600元

400平米 8000元 6400元 5500元

C3区 800平米 21000元 15000元 12000元

600平米 18000元 9500元 8000元

400平米 10000元 7800元 6500元

因所租房型不同，接待能力也不同，其相应能力如下：

大小 平均每月店买车台平均每月维修保养首期装修及设备投数ej

800平米

600平米

400平米

20

15

10

台数vj

50

35

20

资wj

150000元

100000元

80000元

现用xi所选小区的0-1变量，xi=1表示选择该小区作分销、售后服务店，xi=0表示未选择。用oij表示第i小区所选房型的0-1变量，oij=1表示选择该类房型，用yij表示第i小区的j类所租房型的面积。用zij表示第i小区oij=0表示未选择。j类房型的门面价格。用qi表示第i小区的地价。用wj表示j类所租房型的首期装修及设备投资。要使投资成本最小，第一个目标函数可表示为：

min??xioij(zij?yijqi?wj)

i?1j?1273设aj表示j类所租房型的分销、售货服务店的每月卖车收益，bj表示j类所租房型的分销、售货服务店的每月保养营业收益。则第二个目标函数可表示为：

10

max??xioij(aj?bj)

i?1j?1273由相关汽车维修公司的数据，2万平米的地所用员工大约500人，79000平米的地所用员工约100人。于是我们考虑800平米的服务店招16人，600平米招12人，400平米招8人。根据题目数据，我们认为800平米的店招接待员8人即为题中的8人，而维修员8人为机电一个组和板喷一个组。据表可算得接待员的总共工资为：47700元，维修员的工资用相应组的平均值计算，则总工资为：8104元。则总工资为：55804元。由此可推断600平米员工总工资为：41853元，

400平米员工总工资为：27902元。

则可得房型所对应的员工总工资如下：

房型（平米） 800 600 400

员工总工资（元） 55804 41853 27902

令cj表示j房型员工工资。

根据题目，可得到每天接待各类型所占总类型的比例和相应营业额如下：

保养一般维修保修小型事故中型事故大型事故接待类型 k=1 k=2 k=3 车k=4 车k=5 车k=6

所占比例0.5442 0.1270 0.0173 0.1644 0.1134 0.0398

sk

维修营业额pk

现用dj表示保养营业总钱数，vj表示j房型平均每月维修保养台数，sk表示k接待类型所占比例，pk表示k接待类型的维修营业额，则有：

dj?vj?skp

kk?16600 1800 20000 5000 10000 30000

所以每月保养营业收益为：

bj?dj?c

j假设买一台汽车可以盈利f，ej表示j房型平均每月店买车台数，则每月买车收益为：

aj?fej

现采用线性加权法将这两个目标转化为一个目标。设?为保养营业收益权系数，?为投资成本权系数，且????1（综合评定为?=0.7，?=0.3）。则转化的

11

模型为：

max[???xioij(aj?bj)????xioij(zij?yijqi?wj)]

i?1j?1i?1j?1273273则总目标函数为：

max[???xioij(fej?vj?skpk?cj)????xioij(zij?yijqi?wj)]

i?1j?1k?1i?1j?127362732、约束条件

因为所开设的服务店要辐射及影响其他4S店经营，则可认为服务店应尽可能开设在其它4S店周围，根据题目中各档次区域图形位置，约束条件有：

x2?x3?x5?1???x11?

?x6?x7?x12?x13

4?x19?x20?x2?16?为了更有利于新车上市推广，服务店就应尽可能开设在离市中心近的地方，则根据题目中图形有：

x13?x14

?x2?1?3x24为了不影响本店周边经营，服务店应尽可能远离本店，则根据题目中图形有：

x5?x14?x21?x2??3x?2x224x1

?2

因为服务店只开3家，则有：

?xi?127i?3，??oij?3

i?1j?1273为了使服务店间互不影响，则服务店间距离应尽可能大。

所以有目标函数：

max[???xioij(fej?vj?skpk?cj)????xioij(zij?yijqi?wj)]

i?1j?1k?1i?1j?12736273约束条件为：

12

?x2?x3?x5?1?x?x?x?x?x?17121314?6?x19?x2??10x26?x?2144x?23?x13?x1??x?x?x?x?x?x?x?427??27273

?

x?3,o?3??ij??ii?1i?1j?1??1?i?27??1?j?3?1?k?6???i,j,k?N利用lingo软件求得最优解为：x3?1,x13?1,x26?1,o3,3?1,o13,1?1,o26,1?1

下图中黑点即表示选址处，箭头所指数据表示该店的面积。

400平方米

800平方米

800平方米

13

六、模型的优点与不足

（一）模型有以下几个优点：

1、采用灰色预测模型，通过对数据的检验预处理和预测数据的检验，使预测值更接近实际值。

2、采用线性加权求和的方法将2个甚至多个目标函数化为一个目标函数，在很大的程度上便于对答案的求解。

3、采用0—1规划模型，简化了对大量数据的处理，而又有效利用了每个数据。

4、模型在建立过程中充分考虑了题目中所列因素，并得到了实际结果。

5、本模型得出新车上市以及车市销量的基本规律，对实际有借鉴作用。建立的预测模型可以推广到其他领域，适用于有销售淡旺季的预测等。

（二）模型的不足之处：

1、 本模型未能充分考虑众多社会因素，例如交通情况，汽油价格的变动等。

2、 本模型没有准确得出不稳定期的时间。

3、 未充分考虑数据变化的长期趋势，有一定的局限性。

七、参考文献

[1]、邬学军 周凯 宋军全 《数学建模竞赛辅导教程》 浙江大学出版社 2009

[2]、韩中庚 《数学建模方法及其应用》 高等教育出版社2005.6

[3]、段峰 杨芬 《灰色预测模型的研究与应用》 常德职业技术学院 应用工程系 湖南 常德 415000

[4]、廉巍巍 杜欣慧 武晚冬 灰色等维递补预测模型在电力系统长期负荷预测中的应用[J] 科学情报开发与技术 2006,11（5）

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