2024年3月31日发(作者：上海大众汽车途观价格)
第
24
卷第
4
期
2006
年
12
月
徐州师范大学学报
(
自然科学版
)
ouNormalUniv.
(
NaturalScienceEdition
)
Vol.24,No.4
Dec.,2006
关于欧式缺口期权定价模型的研究
张 艳
1
,
孙 彤
2
(
1.
中国矿业大学理学院
,
江苏徐州
221008;2.
复旦大学经济学院
,
上海
200433
)
摘要
:
讨论缺口期权的定价模型
,
利用风险中性估值原理给出欧式缺口期权的定价公式
,
并说明了欧式缺口看涨和
看跌期权之间不存在平价关系
.
关键词
:
风险中性估值
;
缺口期权
;
期权定价
中图分类号
:F830.9
文献标识码
:A
文章编号
:1007
2
6573
(
2006
)
04
2
0044
2
04
在
20
世纪
70
年代中期
,
美国金融市场上出现了一种新的金融工具———期权
.30
多年来
,
作为一种
防范金融风险或投机的有效手段
,
期权理论得到迅猛发展
.
按其赋予的权利不同
,
期权可分为买权
,
即看
涨期权
(
calloptions
)
;
卖权
,
即看跌期权
(
putoptions
)
.
按其执行时间不同
,
可分欧式期权和美式期权
.
除了标准欧式和美式看涨看跌期权外
,
还有很多不同的复杂的新型期权
,
缺口期权就是其中的一种
.
本
文将探讨欧式缺口期权的定价问题
.
仅以股票作为缺口期权的标的资产进行研究
,
至于以股指、外汇、期
货等为标的的期权可直接推广
.
1
预备知识
假设我们所研究的市场满足条件
:
无税收和交易费用
,
所有证券都是高度可分的
,
对卖空没有限制
,
随时可以按无风险利率贷入或贷出资金
,
股票在期权的有效期内不支付红利
,
市场不存在套利机会
,
交
易时间内的股价
S
是随机微分方程
[
1
,
2
]
(
1
)
d
S
t
=
μ
S
t
d
t+
σ
S
t
d
Z
t
的解
,
其中
μ
是股价的期望收益率
,
σ
是股票价格的波动率
,{Z
t
}
t
≥
0
是带流概率空间
(
Ω
,F,{
F
t
}
t
≥
0
,P
)
上
的标准布朗运动
(
standardBrownianmotion
)
.
对
ln
S
t
应用
Ito
公式
[
2
]
可得
2
σ
(
2
)
dln
S
t
=
μ
-
d
t+
σ
d
Z
t
,
2
2
σ
2
(
T-t
)
,
σ
(
T-t
)
.
(
3
)
ln
S
T
～
N
ln
S+
μ
-
2
设
r
为无风险利率
,
根据风险中性定价原理
,
可用无风险利率
r
代入
(
3
)
式中的
μ
,
即
2
σ
2
(
T-t
)
,
σ
(
T-t
)
,
(
4
)
ln
S
T
～
N
ln
S+r-
2
于是欧式衍生证券的价格等于其在到期日损益的数学期望按无风险利率
r
折现的现值
[
3
,
4
]
,
即
-r
(
T-t
)
(
5
)
V
(
S,t
)
=
e
E[V
(
S
T
,T
)
],
其中
T
为欧式衍生证券的到期日
,S
T
是股票在
T
时刻的价格
,V
(
S
T
,T
)
为欧式衍生证券在到期日的损
益
.
2
欧式缺口期权
(
gapoption
)
的定价公式
缺口期权与标准期权的区别在于
:
在到期日计算期权价值时
,
前者不是用标的资产价格
S
T
与执行
价格
X
进行比较
,
而是与另一个常数
G
(
以下称
G
为缺口
)
作比较
.
以看涨期权为例
,
对于标准期权
,
其
收稿日期
:2006
2
07
2
08
作者简介
:
张艳
(
1977-
)
,
女
,
安徽萧县人
,
讲师
,
硕士
,
主要从事金融数学的研究
.
第
4
期张 艳等
:
关于欧式缺口期权定价模型的研究
45
到期日的价值为
c
T
=max
(
S
T
-
X,
0
)
,
对于欧式缺口看涨期权
,
其到期日的价值为
max
(
S
T
-G,
0
)
,S
T
>X,
c
GT
=
0
,S
T
≤
X,
(
6
)
其中
G
为缺口
,
可见
c
GT
也是一随机变量
.
利用风险中性估值原理
,
期权当前价格
c
G
应是
(
6
)
式在风险中
性条件概率下的数学期望以无风险利率进行贴现的结果
,
即
-r
(
T-t
)
c
G
=
e
E[c
GT
].
定理
1
欧式缺口看涨期权在
t
时刻的价格为
c
G
(
S,t
)
=
-r
SN
(
d
1
)
-G
e
(
T-t
)
(
7
)
X
≥
G,
X N ( d 2 ) , S ln X -r ( T-t ) SN ( d ′ N ( d ′ 1 ) -G e 2 ) , ( 8 ) ) 为标准正态分布的累计概率分布函数 ,d 1 = 其中 N ( ? S ln G 2 σ ( T-t ) +r+ 2 ,d 2 =d 1 - σ T-t σ T-t,d ′ 1 = 2 σ ( T-t ) +r+ 2 ,d ′ T-t. 2 =d ′ 1 - σ σ T-t 证 当 X ≥ G 时 , ( 7 ) 式可以写成以下形式 c G = e -r ( T-t ) E[S T -G|S T >X]. 先求期望值 , 令 Y =ln S T , 则 2 σ 2 ( T-t ) , σ ( T-t ) ,Y ～ N ln S+r- 2 ( 9 ) 即 Y 的概率密度函数为 f ( y ) = 1 y- πσ T-t 2 exp 2 σ ( T-t ) ln S+r- 2 2 σ ( T-t ) 2 2 . ( 10 ) 利用随机变量函数的数学期望及正态分布概率的计算公式 [ 5 ] , 有 E[S T -G|S T >X]=E[ e Y -G| e Y -X> 0 ]= = + ∞ + ∞ ∫ y e -X> 0 ( e y -G ) f ( y ) d y ∫ ln X + ∞ ( e y -G ) f ( y ) d y=I 1 -I 2 , y- T-t 2 σ ( T-t ) ln S+r- 2 2 σ ( T-t ) 2 2 2 I 1 = ∫ e f ( y ) d y= ∫ y e y ln X ln X πσ 2 1 exp y- d y =S e r ( T-t ) y - ∫ ln X + ∞ πσ 2 T-t exp - 2 σ ( T-t ) ln S+r+ 2 2 σ ( T-t ) 2 d y. 令 z = 2 σ ( T - t ) ln S + r + 2 σ T - t , 于是 I 1 =S e I 2 r ( T-t ) ∫ = ∫ -d 1 + ∞ 1 - e π 2 z 2 2 d z=S e r ( T-t ) ( 1 -N ( -d 1 )) =S e r ( T-t ) N ( d 1 ) , f ( y ) d y=GP ( Y> ln X ) , e y -X> 0 Gf ( y ) d y=G ∫ e y -X> 0 由 ( 9 ) 得 I 2 =GP ( Y> ln X ) =G ( 1 -P ( Y ≤ ln X )) =G ( 1 -N ( -d 2 )) =GN ( d 2 ) . 所以 , 当 X ≥ G 时 , 欧式缺口看涨期权的价格为 c G = e -r ( T-t ) ( I 1 -I 2 ) =SN ( d 1 ) -G e -r ( T-t ) N ( d 2 ) . ( 11 ) ( 12 ) 类似地 , 当 X < G 时 , 有 c G = e -r ( T-t ) E[ max ( S T -G, 0 |S T >X ) ]= e -r ( T-t ) E[S T -G|S T >G]. 该模型和标准欧式看涨期权的定价问题完全一致 , 只是把 Black 2 Scholes 公式中的敲定价 X 换为现在 46 徐州师范大学学报 ( 自然科学版 ) 第 24 卷 的缺口参数 G. 当 X < G 时 , 基于不支付红利的欧式缺口看涨期权的定价公式为 - c G =SN ( d ′ 1 ) -G e r ( T-t ) N ( d ′ 2 ) . S T S T ≥ X. ( 13 ) 对欧式缺口看跌期权 , 其到期日的价值为 p GT = max ( G-S T , 0 ) , 0 , ( 14 ) 类似前面的分析可得到下面的定价公式 . 定理 2 欧式缺口看跌期权的定价公式 p G ( S,t ) = -r ( T-t ) -SN ( -d ′ N ( -d ′ 1 ) +G e 2 ) ,X ≥ G, X ( -d 1 ) +G e -r ( T-t ) N ( -d 2 ) , ( 15 ) 其中 d i ,d ′ i ( i =1 , 2 ) 和定理 1 中的相同 . 由 ( 8 ) 和 ( 15 ) 式可得如下结论 : 结论 1 无论缺口 G 和敲定价 X 大小关系如何 , 看涨和看跌期权的价格不具有平价关系 . 事实上 , 当 X ≥ G 时 , 假定欧式缺口期权有类似于标准期权的平价公式 , 则 c G +G e -r ( T-t ) =p G +S, r ( T-t ) 代入相应的定价公式得 -r ( T-t ) - S ( N ( d 1 ) +N ( -d ′ =G e 1 )) +G e ( N ( d 2 ) +N ( -d ′ 2 )) +S , 该式成立的充要条件为 N ( d 1 ) +N ( -d ′ 1 ) = 1 , N ( d 2 ) +N ( -d ′ 2 ) = 1 , 即 d 1 = d ′ 1 ,d 2 = d ′ 2 , 此与欧式缺口期权的定价公式矛盾 . 同理 , 当 X < G 时 , 平价公式也不成立 . 3 举例 例 有一个基于无红利支付股票的期权 , 股票价格为 30 ＄ , 执行价格为 29 ＄ , 无风险年利率为 5% , 年波动率为 25% , 有效期为 4 个月 . 若 i ) 缺口 G =28 ＄ , ii ) 缺口 G =30 ＄时 , 求 : 1 ) 若为欧式看涨期权 , 计算其价格 ; 2 ) 若为欧式看跌期权 , 计算其价格 ; 3 ) 若为欧式缺口看涨期权 , 计算其价格 ; 4 ) 若为欧式缺口看跌期权 , 计算其价格 . 1 , 代入 d 1 ,d 2 的表达式计算得 d 1 =0 . 4225 ,d 2 3 =28 . 52 , 所以 , N ( d 2 ) =2 . 4778 . 解 已知 S =30 ,X =29 ,r =0 . 05 , σ =025 ,T - t = = d 1 - σ T - t =0 . 2782 , e - r ( T - t ) =0 . 9835 X e - r ( T - t ) r ( T - t ) r ( T - t ) 1 ) 欧式看涨期权价格为 :c = SN ( d 1 ) - X e - 2 ) 欧式看跌期权价格为 :p = X e - 0 . 5906 . N ( - d 2 ) - SN ( - d 1 ) =0 . 9985 . T - t =i ) 缺口 G =28 时 , 满足 X ≥ G, 代入 d ′ 1 ,d ′ 2 的表达式计算得 :d ′ 1 =0 . 7349 ,d ′ 2 = d ′ 1 - σ 3 ) 欧式缺口看涨期权价格为 :c G = SN ( d 1 ) - G e - 4 ) 欧式缺口看跌期权价格为 :p G = G e - r ( T - t ) r ( T - t ) N ( d 2 ) =3 . 1855> c, N ( - d ′ 2 ) - SN ( - d ′ 1 ) =0 . 6633< p. T - t =0 . 0434 . r ( T - t ) ii ) 当缺口 G =30 时 ,X < G, 计算得 :d ′ 1 =0 . 1877 ,d ′ 2 = d ′ 1 - σ - 3 ) 欧式缺口看涨期权价格为 :c G = SN ( d ′ 1 ) - G e N ( d ′ 2 ) =1 . 9179< c. 4 ) 欧式缺口看跌期权价格为 :p G = G e - r ( T - t ) N ( - d 2 ) - SN ( - d 1 ) =1 . 4968> p. 通过上例 , 可得以下结论 : 结论 2 当缺口 G > X 时 , 欧式缺口看涨期权价格低于标准欧式看涨期权 , 欧式缺口看跌期权价格 高于标准欧式看跌期权 ; 当缺口 G < X 时 , 欧式缺口看涨期权价格高于标准欧式看涨期权 , 欧式缺口看 跌期权价格低于标准欧式看跌期权 ; 当 G = X 时 , 欧式缺口期权便退化为标准欧式期权 . 这和直观结果完全吻合 . 第 4 期张 艳等 : 关于欧式缺口期权定价模型的研究 47 4 推广至连续红利情况 考虑基于支付连续红利股票的欧式缺口期权 , 假设在风险中性世界中 , d S t = ( r - q ) S t d t + σ S t d Z t , 其中 q 为红利率 , 类似以上推导可得欧式缺口期权的定价公式 c G ( S,t ) = p G ( S,t ) = S e S e -q ( T-t ) -q ( T-t ) N ( d 1 ) -G e -r ( T-t ) r ( T-t ) N ( d 2 ) , N ( d ′ 2 ) , X ≥ G, X X ≥ G, X - N ( d ′ 1 ) -G e ( 16 ) ( 17 ) -S e -S e -q ( T-t ) -q ( T-t ) N ( -d ′ 1 ) +G e N ( -d 1 ) +G e -r ( T-t ) -r ( T-t ) N ( -d ′ 2 ) , N ( -d 2 ) , 其中 d 1 = S ln X S G 2 σ ( T-t ) +r-q+ 2 , d 2 =d 1 - σ T-t, σ T-t 2 σ ( T-t ) +r-q+ 2 , d ′ T-t. 2 =d ′ 1 - σ σ T-t ln d ′ 1 = 其它结论与无红利情况完全类似 . 5 进一步推广 可以证明 , 类似于推广的 Black 2 Scholes 定价公式 , 有以下结论 : T 1 θ ) d θ ( 即期权剩余有效期内平均瞬态无风险利率 ) 代替 1 ) 如果 r 为 t 的已知函数 , 可用 r ( T-t ∫ t r, 公式同样成立 . 2 ) 如果 σ 为 t 的已知函数 , 同样可用 3 ) 如果 q 为 t 的已知函数 , 同样可用 q, 公式同样成立 . 1 1 T- T-t ∫ θ ) d θ ( 即期权剩余有效期内平均瞬态红利率 ) 代替 q ( t ∫ t T t T 1 σ 2 ( θ ) d θ 来替代 σ , 公式同样成立 . 2 1 参考文献 : [1] 汪荣鑫 . 随机过程 [M]. 西安 : 西安交通大学出版社 ,1987:224-227. [2] 姜礼尚 . 期权定价的数学模型和方法 [M]. 北京 : 高等教育出版社 ,2004:56-70. [3] s,futures,andotherderivatives[M].4 版 . 北京 : 清华大学出版社 ,2001:237-242. [4] ChangDer 2 Chen,ChangEricC,aticalanalysisofpricingoflookbackperformanceoptions[J]. ApplicableAnalysis,2003,82 ( 10 ) :937. [5] 周圣武 . 概率论与数理统计 [M]. 北京 : 煤炭工业出版社 ,2004:103-113. StudyonEuropeanGapOptionPricingModel ZHANGYan,SUNTong 12 ( ofScience,ChinaUniversityofMining&Technology,Xuzhou,Jiangsu,221008,China; ofEconomics,FudanUniversity,Shanghai,200433,China ) Abstract:Thepricingmodelsofgapoptionsarestudied,andthepricingformulasoftheEuropean gapoptionsunderrisk 2 ownthatthereisnoput 2 callparityralation betweengapcalloptionandputoption. Keywords:risk 2 neutralvaluation;gapoption;optionpricing
更多推荐
期权,欧式,缺口,价格,定价,看涨,标准,看跌
发布评论