青海省西宁市大通县第一中学2024学年5月份高三第二次联考数学试题卷_百

2023年11月19日发(作者：长城m2仿吉姆尼)

青海省西宁市大通县第一中学2024学年5月份高三第二次联考数学试题卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数在时取得极值，则（）

f(x)?x?ax?3x?9

32

x??3

a?

A B C D

．．．．

24

35

2．已知，，若，则实数的值是（ ）

AB?2，?1AC?1,

????

?

cos?BAC?

10

10

?

A-1 B7 C1 D17

．．．．或

1?tan

?

3．已知，则（）

sin?2cos?1,?(,)

????

3

?

2

2

?

1?tan

?

2

A B C D2

．．．．

?

1

2

?2

1

2

?

4．已知幂函数的图象过点，且，，，则，，的大小关系为（）

f(x)?x

?

(3,5)

a?

??

??

1

??

e

b?

3

?

c?log

1

?

4

a

b

c

A B C D

．．．．

c?a?bc?b?a

a?c?b

a?b?c

?

x?y0

5．已知满足，则的取值范围为（）

x,y

?

?

x?y0

y?3

?

?

x1

x?2

A B C D

．．．．

??

??

3

??

2

,4

(1,2]

(??,0][2,??)

(??,1)?[2,??)

6．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（）

f(x)?lnx?ax?b(1,a?b)

y?3x?2

a?b?

A2 B3 C-2 D-3

．．．．

7．已知向量，则是的（）

a?(m,1),b?(3,m?2)

m?3

a//b

A B

．充分不必要条件．必要不充分条件

C D

．既不充分也不必要条件．充要条件

8．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于

R

fx

??

fx?f?x

????

(0,??)

fax?2?f?1

????

x?1,2

??

恒成立，则的取值范围是

a

????

31

A B C D

．．．．

????

?,?1?1,?

????

22

??

1

??

?,0

??

2

??

0,1

9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（）

A B C D

．．．．

3

3

6

3

3

23

3

10．从装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取次，设摸得白球数为，

35

m

X

已知，则

E(X)?3D(X)?(

)

A B C D

．．．．

8

5

642

555

11．已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（）

p:|x?1|?2

q:x?a?p

?q

a

A B C D

．．．．

a?1

a??3

a??1

a?1

x

2

2222

12．已知实数，满足，则的最小值等于（）

xy

?y?1

2

x?y?2?x?y?6x?7

2

A B C D

．．．．

62?562?79?62

6?3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点（，），则（﹣）的值是．

αxPsinπα

12_____

14．直线（，）过圆：的圆心，则的最小值是

mx?ny?2?0

m?0

n?0

C

x?y?2x?2y?1?0

22

24

?

______.

mn

?

x?y?10,

?

15．已知实数，满足约束条件则的最大值为．

x

y

?

3x?y?30,

z?2x?y

________

?

y0,

?

16．对定义在上的函数，如果同时满足以下两个条件：

[0,1]

f(x)

（）对任意的总有；

1

x?[0,1]

f(x)0

（）当，，时，总有成立

2.

x0x0x?x1

1212

fx?xfx?fx

??????

1212

x

则称函数称为函数若是定义在上函数，则实数的取值范围为

f(x)

GGa

.________.

h(x)?a?2?1

[0,1]

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知等差数列的前项和为，且，．

求数列的通项公式；

求数列的前项和．

n

n

18．（12分）如图，已知四边形的直角梯形，，，，，为线段

ABCD

ADAD

∥

BC

AD?DCDC?BC?2

AD?4

G

的中点，平面，，为线段上一点（不与端点重合）．

PG?

ABCDPG?2

MM

AP

（）若，

1

AM?MP

（ⅰ）求证：平面；

PC

∥

BMG

（ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

PAD

BMD

（）否存在实数满足，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，确定的值，

2

?

AM?AP

?

PB

BMG

若不存在，请说明理由．

19．（12分）如图，在等腰梯形中，两腰，底边，，，是的三等

1

ABFF

12

AF?BF?2

21

AB?6

FF?4

12

D

C

AB

分点，是的中点分别沿，将四边形和折起，使，重合于点，得到如图所示

E

FFBCEFADEF

12

.2

CE

DEF

12

FF

12

的几何体在图中，，分别为，的中点

.2.

M

NCD

EF

10

?

5

（）证明：平面

1.

MN?

ABCD

（）求直线与平面所成角的正弦值

2.

CN

ABF

20．（12分）已知函数，设为的导数，．

fx?esinbxfxfx

0

????

nn?1

????

n?N

*

ax

（）求，；

1

fxfx

12

????

（）猜想的表达式，并证明你的结论．

2

fx

n

??

21．（12分）设函数

fx?x?1?x?aa?R

????

.

（）当时，求不等式的解集；

1

a?4

fx5

（）若对恒成立，求的取值范围

2.

fx?4

??

x?R

a

22．（10分）已知函数

f(x)?ln?ax?x(a?0)

1

2

.

2x

（）讨论函数的极值点的个数；

1()

fx

f(x)?f(x)

12

3

??ln2

. 2()

（）若有两个极值点证明

fx

x,x,

12

x?x4

12

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、

D

【解析】

对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果

x??3

f?3?0

?

??

.

【详解】

因为，所以，

fx?x?ax?3x?9fx?3x?2ax?3

????

?

322

又函数在时取得极值，

fx?x?ax?3x?9

??

x??3

32

所以，解得

f?3?27?6a?3?0

?

??

a?5

.

故选

D

【点睛】

本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型

.

2、

C

【解析】

根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值

?

.

【详解】

由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得

cos?BAC???

∴解得.

?

?1

故选：

C.

【点睛】

AB?AC2?10

ABAC

?

5?1?

?

2

.

10

本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题

.

3、

B

【解析】

结合求得的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值

sin?cos?1

22

??

sin,cos

??

.

【详解】

?

sin?2cos?1

??

334

?

??

?(,)sin??,cos??

??

.

由，以及，解得

?

22

sin?cos?1

??

255

?

sin

?

?????

?????

22222

???

2

coscos?sin1?2cossin

cossin?sincos?sin

1?tan

1?tan

?

?

2

?

2

1?

1?

cos

1?

22222

?

2

??

??

cos?sin

??

22

??

????

????

22

cos?sincos?sin

????

2222

????

2

3

1?sin

?

5

??2??

.

4

cos

?

?

5

故选：

B

【点睛】

本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题

.

4、

A

【解析】

根据题意求得参数，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断

?

.

【详解】

依题意，得，故，

3?5

?

?

?log5?(1,2)

3

??

1

故，，，

0?a??1

??

??

e

则

c?a?b

.

故选：

A.

【点睛】

log5

3

b?log5?1

3

3

c?log?0

log5

3

1

4

本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题

.

5、

C

【解析】

设，则的几何意义为点到点的斜率，利用数形结合即可得到结论

k?

y?3

k

(x,y)

(2,3)

.

x?2

【详解】

解：设，则的几何意义为点到点的斜率，

k?

y?3

k

P(x,y)

D(2,3)

x?2

作出不等式组对应的平面区域如图：

由图可知当过点的直线平行于轴时，此时成立；

D

x

k??0

y?3

x?2

k?

y?3

取所有负值都成立；

x?2

?

x?1

y?3y?31?3

?A(1,1)

，此时；取正值中的最小值，当过点时，

k???2k?

?

x?2x?21?2

?

x?y?0

A

故的取值范围为；

y?3

(??,0][2,??)

x?2

故选：

C

.

【点睛】

本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对

于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在．

6、

B

【解析】

根据求出再根据也在直线上，求出的值，即得解

f(1)?3(1,a?b)

?

a?2,

y?3x?2

b.

【详解】

因为，所以

f(x)??a

?

1

f(1)?3

?

x

所以，

1?a?3,a?2

又也在直线上，

(1,a?b)

y?3x?2

所以，

a?b?1

解得

a?2,b??1,

所以

a?b?3

.

故选：

B

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平

.

7、

A

【解析】

向量，，，则，即，或者，判断出即可．

a?b?（m，1）（3，m?2）

a//b

3?m（m?2）

m?2m?3?0

2

m?3

-1

【详解】

解：向量，，

a?（m，1）

b?（3,m?2）

，即，，则

m?2m?3?0

2

（m?2）3?m

a//b

m?3

或者，

-1

所以是或者的充分不必要条件，

m?3m?3

m??1

故选：．

A

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题

.

8、

A

【解析】

根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分

??

??,0

?1?ax?2?1

离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果

??a???

【详解】

1

313

?

.

xxx

x

fx?f?x

????

?fx

??

为定义在上的偶函数，图象关于轴对称

R

y

又在上是增函数在上是减函数

fx

??

??

0,?

?

?fx

??

??

??,0

fax?2?f?1?ax?2?1

????

，即

?1?ax?2?1

?1?ax?2?1

对于恒成立在上恒成立

x?1,2

??

???a??

??

1,2

???a??1

3

??

3

，即的取值范围为：

a

??

?,?1

2

??

2

31

xx

本题正确选项：

A

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单

调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题

.

9、

C

【解析】

由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．

【详解】

由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，

1

其底面面积，高，

S??1?(1?1)?1

h?3

2

13

故体积，

V?Sh?

33

故选：．

C

【点睛】

本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

10、

B

【解析】

由题意知，，知，由此能求出．，由

X~B(5,X~B(5,))

【详解】

由题意知，，

X~B(5,)

33

3

?3EX?5?

D(X)

m?3

m?35

3

m?3

3

?3?EX?5?

，解得，

m?2

m?3

3

?X~B(5,)

，

5

336

?D(X)?5??(1?)?

．

555

故选：．

B

【点睛】

本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．

11、

D

【解析】

“

?p

是的充分不必要条件等价于是的充分不必要条件，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子

?q

”“”

qq

pp

集

.

【详解】

由题意知：可化简为，，

p:|x?1|?2

{x|x??3或x?1}

q:x?a

所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以

q

p

a?1

.

【点睛】

利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解

?p

?q

.

12、

D

【解析】

设，，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．

x?2cos

?

y?sin

?

【详解】

x

因为实数，满足，

x

y

?y1

2

2

设，，

x?2cos

2

?

y?sin

?

?|x?y?2|?|x?y?6x?7|?|2cos?sin?2|?|2cos?sin?62cos?7|?|?sin|?

222222222

??????

|cos?62cos?8|

2

??

，

cos?62cos?8?(cos?32)?10?0

22

???

恒成立，

?|x?y?2|?|x?y?6x?7|?sin?cos?62cos?8?9?62cos9?62

222222

????

，

故则的最小值等于

|x?y?2|?|x?y?6x?7|

2222

9?62

.

故选：．

D

【点睛】

本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、

25

5

【解析】

计算，再利用诱导公式计算得到答案

sinα

??

【详解】

由题意可得＝，＝，，∴，∴（﹣）＝．

xyrsinαsinπαsinα

12

?5

y25

.

r5

???

y2525

r55

故答案为：．

【点睛】

25

5

本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力

.

14、；

3?22

【解析】

求出圆心坐标，代入直线方程得的关系，再由基本不等式求得题中最小值．

m,n

【详解】

圆：的标准方程为，圆心为，

C

x?y?2x?2y?1?0

22

(x?1)?(y?1)?3

C(1,1)

由题意，即，

m?n?2?0

m?n?2

∴

22

2mn

24122mn2mn

?

，即，当且仅当

??(?)(m?n)?3???3?2??3?22

nm

mnmnnmnm

m?2(2?1),n?2(2?2)

时等号成立，

故答案为：．

3?22

【点睛】

本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，的代换法求最小值，目的是凑

“1”

配出基本不等式中所需的定值．

“”

15、

1

【解析】

作出约束条件表示的可行域，转化目标函数为，当目标函数经过点时，直线的截距最大，

z?2x?y

y??2x?z(2,3)

取得最大值，即得解

.

【详解】

作出约束条件表示的可行域

是以为顶点的三角形及其内部，

A(2,3),B(?1,0),C(1,0),

转化目标函数为

z?2x?y

y??2x?z

当目标函数经过点时，直线的截距最大

(2,3)

此时取得最大值．

z?2?2?3?7

1

故答案为：

1

【点睛】

本题考查了线性规划问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于基础题

.

16、

??

1

【解析】

由不等式恒成立问题采用分离变量最值法：对任意的恒成立，解得，又

a??2?12?1

在，恒成立，即，所以，从而可得

x?0,x?0

12

x?x?1

12

【详解】

x

因为是定义在上函数，

h(x)?a?2?1

[0,1]

G

1a?1

x?[0,1]

????

xx

12

a?1

x

2a

a?1

?0

a?1

a?1

.

a

所以对任意的总有，

x?[0,1]h(x)?0

则对任意的恒成立，

a?

1

x?[0,1]

x

2

解得，

a?1

当时，

a?1

又因为，，时，

x0x0x?x1

1212

总有成立，

hx?xhx?hx

??????

1212

1211

即

hx?x?hx?hx?a?2?a?2?a?2?1

??????

1212

??

??

x?xxx

?a2?12?1?1?a?0

????

xx

12

恒成立，

即恒成立，

a?1

?2?12?1

????

xx

12

a

又此时的最小值为，

2?12?1

12

0

即恒成立，

????

xx

a?1

?0

a

又因为

a?1

解得

a?1

.

故答案为：

??

1

【点睛】

本题是一道函数新定义题目，考查了不等式恒成立求参数的取值范围，考查了学生分析理解能力，属于中档题

.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（）；（）

12.

【解析】

先设出数列的公差为，结合题中条件，求出首项和公差，即可得出结果．

d

利用裂项相消法求出数列的和．

【详解】

解：设公差为的等差数列的前项和为，

且，．

则有：，

dn

解得：，，

所以：

由于：，

所以：，

则：，

则：，

．

【点睛】

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和

转化能力，属于基础题型．

18、（）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）（）存在，

12

【解析】

（）（）连接交于点，连接，，依题意易证四边形为平行四边形，从而有，

1i

AC

BGOABCG

OM

CG

AO?OC

1

11

?

?

3

11

MOPC

，由此能证明

PC

∥平面

BMG

（）推导出，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解；

ii

BG?GD

G

O?xyz

（）设，求出平面的法向量，利用向量法求解

2.

AM?AP?(0,2,2)?(0,2,2),?(0,1)

?????

BMG

【详解】

（）（ⅰ）证明：连接交于点，连接，，

1

AC

BGO

OM

CG

因为为线段的中点，

G

AD

AD?4

所以

AG?AD?2

1

,

2

因为，所以

DC?BC?2

AG?BC

因为

AD

∥

BC

所以四边形为平行四边形．

ABCG

所以

AO?OC

又因为，

PM?MA

所以

MOPC

又因为平面，平面，

MO?PC?

BMGBMG

所以平面．

PC

BMG

（ⅱ）解：如图，在平行四边形中

BCDG

因为，，

BGCD

CD?GD

所以

BG?GD

以为原点建立空间直角坐标系

G

O?xyz

则，，，

G(0,0,0)D(0,2,0)

P(0,0,2)

A(0,?2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),M(0,?1,1)

所以，，，

PB?(2,0,?2)GB?(2,0,0)GM?(0,?1,1)

BD?(?2,2,0),BM=(?2,?1,1)

平面的法向量为

PAD

n?(1,0,0)

设平面的法向量为，

BMD

m?(x,y,z)

?

m?BD?0

?

?2x?2z?0

则，即，取，得，

?

?

x?1

m?(1,1,3)

?2x?y?z?0

m?BM?0

?

?

设平面和平面所成的锐二面角为，则

PAD

BMD

?

cos???

?

m?n

m?n

111

11

11

所以锐二面角的余弦值为

11

11

（）设

2

AM?AP?(0,2,2)?(0,2,2),?(0,1)

?????

所以，，

M(0,2?2,2)

??

BM?(?2,2?2,2),BG?(?2,0,0)

??

设平面的法向量为，则

BMG

p?(a,b,c)

?

p?BG??2a?0

，取，得，

b?

?

p?(0,,1?)

??

?

p?BM?(2?2)b?2c?0

??

?

因为直线与平面所成的角的正弦值为，

PB

BMG

10

5

PB?p

所以

PB?p

1

3

??

2(1?)10

?

8??(1?)

??

22

5

解得

?

?

所以存在满足，使得直线与平面所成的角的正弦值为

?

?

1

10

.

AM?AP

?

PB

BMG

3

5

【点睛】

此题二查线面平行的证明，考查锐二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断与求法，考

查空间中线线，线面，面面的位置关系等知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

.

19、（）证明见解析（）

1 2

【解析】

(1) (2)

先证，再证，由可得平面，从而推出平面；建立空

CN?EF

DN?EFEF∥BCCDN

BC⊥

MN?

ABCD

间直角坐标系，求出平面的法向量与，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解

ABF

CN

.

【详解】

（）证明：连接，，由图知，四边形为菱形，且，

11

CF

DN

BCEF

?CEF?60?

所以是正三角形，从而

?CEF

CN?EF

.

同理可证，，

DN?EF

所以平面

EF?

CDN

.

2

3

又，所以平面，

EF∥BCCDN

BC⊥

因为平面，

BC?

ABCD

所以平面平面

CDN?

ABCD

.

易知，且为的中点，所以，

CN?DNCDMN?CD

M

所以平面

MN?

ABCD

.

（）解：由（）可知，，且四边形为正方形设的中点为，

21.

CN?3

MN?2

ABCD

AB

G

以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

M

MG

MC

MN

x

y

z

M?xyz

则，，，，，

A2,?1,0B2,1,0C0,1,0

??

????

N0,0,2

F1,0,2

所以，，

AB?0,2,0

??

AF??1,1,2CN?0,?1,2

.

设平面的法向量为，

ABF

n?x,y,z

??

??

??

????

?

2y?0,

?

n?AB?0,

?

由得

?

?

??

?x?y?2z?0,

n?AF?0,

?

取

n?2,0,1

??

.

设直线与平面所成的角为，

CN

ABF

?

所以，

sin???

?

CN?n

CNn

22

3

3?3

所以直线与平面所成角的正弦值为

CN

ABF

2

.

3

【点睛】

本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基

础题

.

22ax

20、；

??

1

fx?a?besinbx?

????

??

22ax

2

?

,

fx?a?besinbx?2

2

????

??

?

1

1

??

2

fx?a?besinbx?n

n

????

??

22ax

n

2

?

，证明见解析

【解析】

??

1fx

对函数进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式对函数再进行求导并通过三角恒

0

??

,,

fxfx

11

????

等变换进行转化求得的表达式

fx

2

??

;

????

21

根据中，的表达式进行归纳猜想再利用数学归纳法证明即可

fxfx

12

????

,.

【详解】

（）

1

fx?fx?aesinbx?becosbx

10

????????

?axax

??

ab

?a?besinbx?cosbx

22ax

??

????

?a?besinbx?

22ax

??

?

2222

a?ba?b

??

，其中，

sin?cos?

?

ba

a?ba?b

2222

?

axax?22

fx?fx?a?baesinbx??becosbx?

21

????????

??

??

??

?a?beasinbx??bcosbx?

22ax

??

??

????

??

[

?a?besinbx?2

??

?

，其中，

sin?cos?

?

22ax

??

ba

a?ba?b

2222

?

（）猜想，

2

fx?a?besinbx?n

????

n

22ax

??

n

2

*

?

n?N

下面用数学归纳法证明：

①当

n?1

时，成立，

fx?a?bsinbx?

????

1

22

??

1

2

?

②假设

n?k

时，猜想成立

即

fx?a?besinbx?k

????

k

22ax

??

k

2

?

当时，

n?k?1

fx?fx

k?1k

????

?

?a?baesinbx?k?becosbx?k

?a?besinbx?k?cosbx?k

??

22axax

k

2

??

??

????

??

??

22ax

k?1

2

??

ab

??

????

??

2222

a?ba?b

??

?a?besinbx?kk?1

??

22ax

k?1

2

??

??

?

n

22ax

2

?

当时，猜想成立

n?k?1

由①②对成立

fx?a?besinbx?n

????

n

??

*

?

n?N

【点睛】

本题考查导数及其应用、三角恒等变换、归纳与猜想和数学归纳法考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力熟练掌

;;

握用数学归纳法进行证明的步骤是求解本题的关键属于中档题

;.

21、（）或；（）或

12.

{x|x?0

x?5}

a??3

a?5

【解析】

试题分析：（）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（）根据绝对值三角不等式得

12

fx

??

最小值，再解含绝对值不等式可得的取值范围

a

.

试题解析：（）等价于或或，

1

x?1?x?4?5

???

???

x?11?x?4x?4

???

?2x?5?53?52x?5?5

解得：或故不等式的解集为或

x?0x?5

..

fx?5

??

{x|x?0x?5}

（）因为：

2

fx?x?1?x?a?x?1?x?a?a?1

??????

所以，由题意得：，解得或

fx?a?1a?1?4

??

min

a??3a?5

.

点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是

运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函

数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．

22、（）见解析（）见解析

12

【解析】

（）求得函数的定义域和导函数对分成，三种情况进行分类讨论，判断出

1

fxfx

????

fx

的极值点个数

.

（）由（）知，结合韦达定理求得的关系式，由此化简的表达式为，

21

a?(0,)2aln??2a

x,x

12

\'

a

a?0,a?,0?a?

??

11

88

1a1

822

f(x)?f(x)

12

x?x

12

f(x)?f(x)

12

3

a13

??ln2

成立通过构造函数法，结合导数证得，由此证得

.

2aln??2a??ln2

x?x4

12

224

【详解】

（）函数的定义域为

1

f(x)?ln?ax?x??ln2x?ax?x

?

1

22

x?(0,??)

2x

1?2ax?x?1

2

得，

f(x)???2ax?1?,x?(0,??)

xx

（）当时；，

i

a?0

f(x)?

?

?

x?1

x

x?(1,??)f(x)?0,

时，，因为时，

f(x)?0

?

x?(0,1)

所以是函数的一个极小值点；

x?1

f(x)

（）若时，

ii

a?0

若，即时，，

??1?8a?0

a?

1

?

f(x)?0

8

f(x)f(x)

在是减函数，无极值点

(0,??)

.

若，即时，

??1?8a?0

0?a?

1

8

11

f(x)?2ax?x?1?0

?2

有两根，

x,x,x?x??0,xx??0

121212

2a2a

?x?0,x?00?x?x

1212

不妨设

当和时，，

x?(0,x)

1

x?(x,??)

2

f(x)?0

?

当时，，

x?(x,x)

12

f(x)?0

?

?x,x

12

是函数的两个极值点，

f(x)

综上所述时，仅有一个极值点；

a?0

f(x)

a?0?a?

11

88

时，无极值点；时，有两个极值点．

f(x)f(x)

（）由（）知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，且是方程的两

21

a?(0,)

1

8

f(x)

xx,x

112

x

2

根，

?x?x?,xx?

1212

11

2a2a

，则

所以

f(x)?f(x)

12

x?x2x2x

?(ln?ax?x?ln?ax?x)?(2a)

11

22

1122

1212

?[?(ln2x(x?ln2x)?a?x)?(x?x)]?2a

22

121212

?[?ln(4x?a(xx)?x)?(x?x)]?2a

22

121212

?[?ln?a(?)?]?2a

2111

a4aa2a

2

?(ln??1?)?2a?2aln??2a

a11a1

24a2a22

设，则，又，即，

g(a)?2aln??2ag(a)?2ln?4a?(0,)0??

a1a1a1

?

2228216

所以

g(a)?2ln?4?2ln?4??4ln4?4?0

?

a1

216

所以是上的单调减函数，

g(a)

(0,)

1

13

8

g(a)?g()??ln2

84

2ax?x?1?0

2

?f(x)

有两个极值点，则

x,x

12

【点睛】

f(x)?f(x)

12

3

??ln2

x?x4

12

本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与

转化的数学思想方法，属于中档题

.