2024年4月5日发(作者：尼桑途乐新款)
文章编号
:1000
2
0887
(
2009
)
03
2
0291
2
10
Ζ 应用数学和力学编委会
, ISSN 1000
2
0887
Ξ
一维
Euler
方程的特征有限体积格式
郭
彦
,
刘儒勋
(
中国科学技术大学 数学系
,
合肥
230026
)
(
周哲玮推荐
)
摘要
:
提出了一种用于求解一维标量方程和无粘
Euler
方程组的高阶有限体积格式 1 其中时间
离散采用
Simpson
数值积分公式从而实现时间上的高阶 1 利用特征线理论得到网格节点在各个时
间层沿着特征线的位置
,
而积分公式中的节点值通过三阶和五阶的中心加权本质无震荡重构得到 1
最后
,
给出了几个数值算例验证此方法的高精度和收敛性以及捕获激波的能力 1
关 键 词
:
双曲方程
;
有限体积方法
;
特征理论
; WENO
重构
; Runge
2
Kutta
方法
中图分类号
: O241. 8 ;O352
文献标识码
: A
引
言
当今求解流体动力学问题需要一些高精度的计算方法 1 最近几年已经提出很多高阶格式
求解守恒型双曲方程组
,
这些格式一般都是基于高阶重构数值流通量来构造高阶格式
,
而通过
这种方法构造的高阶格式在光滑区域能够达到很高精度
,
但是在出现间断区域就会出现明显
1 22
的数值震荡 1 高阶无震荡格式中具有代表性的格式是本质无震荡格式
(
ENO
)
,
加权本质无
震荡格式
(
WENO
)
3
和中心加权本质无震荡格式
(
CWENO
)
4 25
1 还有其它高阶格式如最近所
6 7 8 9
提出的
RKDG
有限元格式
,
激波捕获差分格式紧
,
紧致格式
,
分段有理方法
(
PRM
)
和
CIP/ MM FVM
格式
10
1 其中
,CIP/ MM FVM
格式是通过对一维
Euler
守恒律方程运用特征
线理 论
,
并沿着特征曲线求解
Riemann
不变量的半
Lagrange
数值解 1 该格式主要利用节点值
,
单元 平均值和一阶导数值构建
3
次多项式
,
从而利用特征线理论所求出的节点位置代入所求
的三 阶多项式就可以得到各个变量在节点的值 1 从格式分析及其数值结果中可以看到该格式
具有 三阶精度 1
本文对
Euler
守恒律方程组提出一种新的高阶有限体积格式 1 采用对时间积分进行
Simp
2
son
积分公式离散得到时间上的高精度 1 我们运用
CWENO
重构
4 25
得到的多项式和由特征方
程求得的节点位置得到有限体积格式中的各时间层沿特征线的变量的节点值 1 这种处理结合
特征线方法的高分辨率性质 、
CWENO
格式的高精度和本质无震荡性质 1 最后给出一些经典的
数值算例验证该格式的数值精度和格式的性质 1
本文如下安排各节内容
:
第
1
节中
,
对一维的标量方程和欧拉方程组分别构造所提的格
式
;
第
2
节将该格式应用于一些经典算例
,
从算例中可以看出格式的高精度收敛性及其捕获激
Ξ
收稿日期
: 2008
2
07
2
04 ;
修订日期
: 2009
2
02
2
12
基金项目
:
国家自然科学基金资助项目
(10771134)
作者简介
:
郭彦
(1982
—
) ,
男
,
安徽人
,
博士
(
联系人
. E
2
mail : gysx @mail . ustc . edu. cn) .
291
292
郭
彦
刘 儒 勋
波的能力 1 最后对本文做简短的总结 1
1
数 值 方 法
1 . 1
标量守恒方程
本节考虑如下标量守恒方程
:
u
t
+ f
(
u
)
x
= 0 ,
(
1
)
其中
,
u
(
x ,
0
)
= u
0
(
x
)
1
为近似求解方程
(1) ,
分别离散空间和时间并取步长
h
=
Δ
x
和
Δ
t
,
记空间网格节点为
x
i
= i
×
h , i = 0 ,
1
u
≈
?
h
n
i
, N ,
时间层为
t
n +
1
= t
n
+
Δ
t ,
同时记
I
i
= x
i -
1
/
2
, x
i +
1
/
2
]
为空间剖分单元
,
, N
为变量在时间
t
处的单元平均值
,
记
u
i
≈
u
(
x
i
, t
)
, i =
n n n
∫
x
x
i +
1
/
2
i - 1/ 2
n
u
(
x , t
)
d x , i = 1 ,
0 ,
, N
为节点值 1 对方程
(
1
)
在单元片
I
i
×
[ t
n
, t
n +
1
]
上积分可以得到如下公式
:
+
1
?
u
n
i
1
n
=
?
u
i
-
h
u
(
x
∫
[ f
(
t
n
t
n +
1
i +
1
/
2
, t
) )
- f
(
u
(
x
i -
1
/
2
, t
) )
]
d
t
1
(
2
)
由各变量在时间
t
n
层处的单元平均值通过该方程求得在时间
t
n +
1
处的值 1 为得到方程
(
2
)
的
全离散形式
,
下面就要对时间积分进行离散 1
1 . 1 . 1
时间积分
本文利用
Simp son
积分公式对方程
(
2
)
进行时间离散实现时间上的高精度
?
u
n
i
+
1
^ ^
d
t
n n
=
?
u -
( (
β
) ) ( (
N [ f u x, t + d t- f u x, t +
β
l i +
1
/
2
l i -
1
/
2
l
d t
)
)
,
d
x
l = 1
3
n
i
6
(
3
)
其中
, N =
(
1/ 6 , 2/ 3 , 1/ 6
)
T
为权
,
β
=
(
0 , 1/ 2 , 1
)
T
为积分节点 1
u
为所求变量的节点值 1
1. 1 . 2
网格点位置
^
类似
CIP/ MM FVM
线的位移
:
10
,
我们运用半
Lagrange
方法求解如下特征方程
,
从而得到节点沿特征
d x
′
( )
= f u
1
d t
(
4
)
求解该方程有很多方法 1 本文分别采用四阶
Runge
2
Kutta
方法和中点方法求解该特征方程 1
四阶
Runge
2
Kutta
方法求解单元边界点沿特征线在时间
t
n +
1
处的位置 `
x
j +
1
/
2
可以表示为
4
n
x
n +
1
= x + d t
k = 1
6
b
k
g
k
,
( )
(
5
)
其中
, b = ( 1/ 6 , 2/ 6 , 2/ 6 , 1/ 6) , g
( k)
是
Runge
2
Kutta
通量逼近 1
g
g
(
1
)
= -
f
′
( u ( t
n
, x
n
) ) ,
= - f
(
u
(
t +
d
t /
2
, x +
d
t /
(
2
g
′
n n (
1
)
(
2
)
) ) )
,
g
= -
f
′
(
u
(
t
n
+ d t/ 2 , x
n
+ d t/
(
2 g
(
2
)
) ) )
,
()
′
n n (
3
)
g
4
= -
f
(
u
(
t + d t , x + d t g
) )
1
(
3
)
类似得到单元边界点在时间
t
n +
1
/
2
处沿特征线方向位于时间
t
n
处位置 `
x
j +
1
/
2
4
x
n +
1
/
2
= x + d t
n
k = 1
6
B
k
g
(
k
)
,
(
6
)
其中
,
B =
(
5
/
24
,
4
/
24
,
4
/
24
, -
1
/
24
)
1
为运算简单
,
我们也可以采用中点格式来计算时间
t
n +
1
/
2
和
t
n +
1
处的网格点 `
x
j +
1
/
2
沿特征
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格式,时间,特征,方程,方法,求解,数值,高精度
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