2024年3月29日发(作者：豪华越野车)
３８ 基于模态应变能法功能梯度Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁和Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型对损伤识别的影响分析 ２０１７年２月
基于模态应变能法功能梯度Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁和
Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型对损伤识别的影响分析
岳世燕Ｉ＇２，杨真真 ，谢
３．许昌学院土木工程学院，许昌
峰 ，黄立新 ４
（１．广西大学土木建筑工程学院，南宁 ５３０００４；２．成都理工大学工程技术学院，乐山 ６４１０００；
４６１０００；４．广西大学工程防灾与结构安全教育部重点实验室。南宁 ５３０００４）
摘要：随着功能梯度梁的跨高比从小（厚梁）变到大（薄梁），梁的变形受到剪切变形的影响就会从大变到小。为了准确
分析功能梯度梁的变形，跨高比小的厚梁采用Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型。而跨高比大的薄梁采用Ｅｕｌｅｒ－Ｂｅｍｏｕｌｌｉ粱模型。采用这两种
粱模型进行功能梯度梁自由振动的有限元计算，分析单元刚度矩阵、质量矩阵和模态阵型等存在的差异。通过数值算例，研究
了这两种梁模型的差异对模态应变能法的损伤识别指标的影响。对于厚粱．Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型的损伤指标优于Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ
粱模型；对于很薄的梁（例如，ｌ／ｈ＝２５时的薄梁），Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ粱模型的损伤指标优于Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型。
关键词：功能梯度材料；Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模型；Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型；模态应变能；损伤识别
中图分类号：ＴＢ３３２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００３—０９９９（２０１７）０２—００３８一ｏ６
１ 引 言
功能梯度材料（Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙ Ｇｒａｄｅｄ Ｍａｔｅｒｉａｌｓ，简
称“ＦＧＭ”）的材料性能沿某一方向梯度连续变化，
横向剪切变形影响的Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模型分析。而
跨高比较小的梁（厚梁），剪切变形将引起梁的附加
挠度，应该采用考虑剪切变形影响的Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁
模型研究。对于功能梯度梁。这两种梁模型的梁单
是一种非均匀的新型复合材料。功能梯度材料内部
不存在明显的界面，具有独特的梯度特性。这种材
料在航空航天、汽车、化工和医疗等工程领域呈现广
阔的应用前景。因此。功能梯度材料性能的研究引
起了国内外研究人员的关注［１ ］。在工程应用中，功
元刚度矩阵和模态阵型存在差异，因此需要研究它
们的差异对损伤识别的影响。本文通过比较两种梁
模型的位移场假设及其梁单元的构造方式。分析两
种梁模型的差异对损伤识别指标的影响。数值算例
表明，为了得到良好的损伤指标，中厚梁需要采用
Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型．而薄梁适宜采用Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ
梁模型。
能梯度梁是非常重要的构件。工程结构安全分析
中，功能梯度梁损伤识别的研究自然地成为一个非
常重要的研究课题。基于模态应变能的损伤识别方
法是有效的损伤识别方法之一，国内外研究人员的
研究［９－１６］表明该方法具有灵敏度高、稳定性好和抗
噪音能力良好等优点。Ｓｈｉ等 Ｉｏ，ｌｉ Ｊ提出了损伤前后
模态应变能变化率的概念。研究各向同性梁式结构
２功能梯度梁的材料性能
如图１所示，功能梯度梁长、宽、高分别为ｚ、ｂ、
ｈ。建立如图１所示坐标系，其中以０为坐标原点，
梁长方向为戈轴，梁高方向为 轴。假定其材料属
性（弹性模量Ｅ、密度ｐ以及剪切模量Ｇ）沿着梁横
的损伤识别问题。基于Ｓｈｉ等提出的概念，杨真真［１５］
研究了功能梯度Ｅｕｌｅｒ—Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁的损伤识别问题。
截面高度（ｚ轴方向）呈幂指函数变化［】 ，其表达
式为：
１ ｋ
在模态应变能变化率法中。损伤识别指标涉及单元
刚度矩阵和模态阵型。因此功能梯度梁单元刚度矩
阵和模态阵型的准确度会影响损伤识别的指标。跨
高比是度量梁厚薄的一个指标。跨高比较大的梁
（薄梁），剪切变形对其影响比较小，适宜采用忽略
Ｐ（ｚ）＝Ｐ ＋（Ｐｕ—Ｐ ）（÷＋÷）
二
（１）
其中：Ｐ Ｐ。．分别代表梁顶部和底部的材料性质；ｋ
是非负的功能梯度变化指数；ｈ代表梁高。
收稿日期：２０１６－０９．２８
基金项目：国家自然科学基金（１１２６２００２）
作者简介：岳世燕（１９９１．），女，硕士，助教，主要从事工程结构与力学等方面的研究。
通讯作者：黄立新（１９６４．），男，博士，教授，博导，主要从事复合材料结构与力学等方面的研究，ｇｘｕｈｕａｎｇｌｉｘｉｎ＠１６３．ｃｏｒｎ。
２０１７年第２期 玻璃钢／复合材料 ３９
图１功能梯度梁
Ｆｉｇ．１ Ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙ ｇｒａｄｅｄ ｂｅａｍ
３模态应变能变化率法的损伤识别指标
应用模态应变能变化率法［１ ，单元损伤前后
的模态应变能变化率可以写成：
△ ＝÷｛
二
｝ 【Ｋ（Ｅ（ｚ））】 ｛ ｝
．
１
Ｈ
（２）
、
一
÷ ） ［Ｋ（Ｅ（ｚ））】， ）
式中： 表示第ｉ个单元损伤前的模态阵型； 表
示第ｉ个单元损伤后的模态阵型；【Ｋ（Ｅ（ｚ））】 表
示第＿『个单元的单元刚度矩阵；△ 表示单元模态应
变能变化率。由式（２）可知，单元模态应变能变化
率仅与模态阵型和单元刚度矩阵有关。
定义结构的损伤识别指标为：
＝
÷毫 ㈤
式中： ，表示第．『个单元的损伤指标，可以通过 ｆ来
判断出损伤单元位置，这里仅考虑前三阶模态阵型，
可以忽略高阶模态阵型的影响；Ｉ．ｔＡｕ￣和ｔｒａｙ，分别表示
△ 均值和标准方差，其中：
Ａ
Ａ
一
＝
÷∑Ａ…Ｕ＃ （Ｌ４ ）
Ｏ＇ＡＵ
ｉ
（５）
４ Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模型和Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁
模型的差异对损伤识别指标影响的分析
基于Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模型和Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模
型。本文功能梯度梁自由振动的模态阵型采用有限
元方法计算。如表１所示，两种梁模型的位移场假
设不同。引起有限元单元刚度矩阵和质量矩阵的差
异。在有限元计算中，Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁单元（２节
点６自由度）采用平截面假定，忽略剪切变形的影
响；而Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁单元则考虑剪切变形的影响。
采用挠度和截面转动各自独立插值的ｃ０型单元（２
节点６自由度）。采用不同类型的梁单元，计算得出
功能梯度梁的模态阵型也存在差异。
由式（２）至式（５）可知，基于模态应变能变化率
法的损伤识别。其损伤指标与单元刚度矩阵和模态
阵型有关。Ｅｕｌｅｒ－Ｂｅｍｏｕｌｌｉ梁模型和Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁
模型的差异以及由此引起的有限元计算结果的差
异。将会对损伤识别指标产生影响。
表１功能梯度Ｅｕｌｅｒ－Ｂｅｍｏｕｌｌｉ粱和
Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ粱位移场假设
Ｔａｂｌｅ １ Ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｆｉｅｌｄ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ ｏｆ ＦＧ
Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ ｂｅａｍ ａｎｄ Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ ｂｅａｍ
Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ粱模型位移场Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型位移场
“（ ，＝，ｔ）＝ｕ。（ ，ｔ）一＝！竺！；
ｕ（ｘ，Ｙ，ｚ，ｔ）＝Ｕｏ（ｘ，Ｉ）一砷０（ ，１）
ｗ（ｘ。ｙ， ，ｔ）＝ｔ‘’ｏ（ ，Ｉ）
ｗ（ｘ，ｊ，ｔ） ０（ ，ｔ）
咖（ ，，，，：，１）＝ｑ＇ｏ（ ，１）
注：ｕ０（ ，ｔ）和 ｏ（ ，ｔ）表示粱中面任意一点的轴向位移和横向
位移；咖ｏ（ ，ｔ）表示梁中面的转角位移。
５算例分析
■■■，●●●●●●●●，ｌｒ●Ｊ，●－ｔ
图２所示为功能梯度两端固定梁，其顶部材料
为氧化铝，底部材料为铝，材料性能参数［１ Ｂ］见表２。
梁的长度Ｚ和宽度ｂ分别为２ ｍ和０．１ ｍ。梁结构
划分为ｌ０个单元，１１个节点，３３个自由度。分别采
用基于Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模型和Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型
的有限元计算格式，分析功能梯度两端固定梁的自
由振动。通过改变功能梯度梁的跨高比／／ｈ，分析两
种梁模型对损伤识别指标的影响。
，
图２功能梯度两端固定梁的有限元模型
Ｆｉｇ．２ Ａ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ＦＧＭ ｂｅａｍ
ｗｉｔｌｌ ｃｌｍａｐｅｄ－ｃｌｍａｐｅｄ ｓｕｐｐｏｒｔ
表２功能梯度两端固定梁的材料性能参数
Ｔａｂｌｅ ２ Ｍａｔｅｒｉａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ＦＧＭ ｂｅａｍ ｗｉｔｌＩ
ｃｌａｍｐｅｄ－ｃｌａｍｐｅｄ ｓｕｐｐｏｒｔ
Ｅｕｌｅｒ－Ｂｅｍｏｕｌｌｉ梁 ３８０ ７０ ３９６０ ２７０２ 一
Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁 ３８０ ７０ ３９６０ ２７０２ ０．８３３
注： 为Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁理论引入的剪切修正因子。
基于模态应变能法功能梯度Ｅｕｌｅｒ－Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁和Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ粱模型对损伤识别的影响分析 ２０１７年２月
５．１不同梁模型的模态阵型差异
跨高比假设为ｌ／ｈ：５，功能梯度指数ｋ：１，损伤
甚ｇ０羔ｄｓ！÷０
程度为１０％。通过有限元软件ＡＢＡＱＵＳ平台二次
２ ●Ｏ Ｏ
＿８Ｅ莹一 一０
、
七
－４－ＥＢ－ｕ
＿８日８２
开发得到功能梯度材料两种梁单元子程序，建立两
端固支梁的有限元模型进行自由振动分析。计算得
到每个节点的轴向位移Ｍ、横向位移Ｗ和转角位移
并提取前三阶阵型比较损伤前和损伤后的模态阵
型对比，其结果如图３和图４所示。
，
Ｄ ５ Ｄ ５ Ｄ ５ Ｄ Ｄ
４ ３ ２●０
＼一一’一
。
、．
．
ｌ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ ｌ１
Ｅｌｅｍｅｎｔ ｎｕｍｂｅｒ
、 蓍－＊－ＥＢ－ｕ
（ｎ）第１阶阵型
（ａ）Ｔｈｅ ｆｉｓｔｒ ｏｒｄｅｒ ｍｏｄｅ
＼一一一’／ 、
。。
，
、
ｌ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ ｌ１
Ｅｌｅｍｅｎｔ ｎｕｍｂｅｒ
（ａ）第１阶阵型
昔Ｉ —ｄＳ一０
（ａ）Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｍｏｄｅ
甚ｏｇ。２一
２ ●Ｏ Ｏ
Ｄ ５ Ｄ Ｄ ５ Ｄ ５ Ｄ
４ ３ ２●
一
●－ＥＢ． ， 、
蛩Ｔ—． ．＿一．一－Ｅ１Ｂ －０ ／ ．一！ ?—一 ．
０／’ 、、
、
、， 、．
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｉ１
Ｅｌｅｍｅｎｔ ｎｕｍｂｅｒ
（ｂ）第２阶阵型
（ｂ）Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｍｏｄｅ
，
≤ 、
、、
、
’ ０．．
，
， Ｔ
一●．ＥＢ．
Ｉ－“
、 ，—● ＴＩ．ｗ
．，．ＥＢ．ｗ
、
、
／ ＋ＴＩ．０
、
一
※一ＥＢ．０
ｌ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ ｌ１
Ｅｌｅｍｅｎｔ ｎｕｍｂｅｒ
（ｃ）第３阶阵型
（ｃ）Ｔｈｅｔｈｉｒｄ ｏｒｄｅｒｍｏｄｅ
图３损伤前Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ（ＥＢ）梁和
Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ（ＴＩ）梁模态阵型
Ｆｉｇ．３ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｍｏｄｅ ｏｆ Ｅｕｌｅｒ－Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ（ＥＢ）ｂｅａｍ
ａｎｄ Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ（ＴＩ）ｂｅａｍ ｂｅｆｏｒｅ ｄａｍａｇｅ
、 、
，
、
＼
，
，
．
一
曼
ｌｏ
誊ＩⅡｕ等Ｉｄ∞ｌｏ
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ ｌｌ
屯
Ｅｌｅｍｅｎｔ ｎｕｍｂｅｒ
（ｂ）第２阶阵型
（ｂ）Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｍｏｄｅ
２＿０
１．５
、
一
ｌＤ
一
Ｏ．５
，
０．０
二、一 、
９Ｓ
＼ ，．．ｒ ．＋ＴＩ－Ｈ
、 ， 一●一ＥＢ．”
—
Ｉ＿０
＼ ／—? ＴＩ．ｗ
一ｖ—ＥＢ．ｗ
１．５
、
、， ＋ＴＩ．０
、
＿２－０
．
＊．ＥＢ．０
ｌ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ｌＵ Ｉｊ
Ｅｌｅｍｅｎｔ ｎｕｍｂｅｒ
（ｃ）第３阶阵型
（ｃ）Ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｏｒｄｅｒ ｍｏｄｅ
图４损伤后Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ（ＥＢ）梁和
Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ（ＴＩ）梁模态阵型
Ｆｉｇ．４ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｍｏｄｅ ｏｆ Ｅｕｌｅｒ—Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ（ＥＢ）ｂｅａｍ
ａｎｄ Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ（ａ３）ｂｅａｍ ａｆｔｅｒ ｄａｍａｇｅ
由图３和图４可以看出误差绝对值：转角位移０
＞横向位移 ＞轴向位移 ｏ 随着阵型阶数增加，其
误差绝对值明显增大且在转角位移处相对误差最
大。结合有限元计算数据可知：结构未损伤时，前三
阶阵型最大误差绝对值分别为３６．５９％、１１４２％和
７２２７．９％；结构损伤１０％时，前三阶阵型最大误差绝
对值分别为６１．１８％、１２８５．１０％和６００３．４５％。由于跨
Ｏ
２０１７年第２期 玻璃钢／复合材料 ４１
高比ｌ／ｈ＝５已经属于厚梁，有较大的剪切变形。与
Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型不同。Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模型忽略
了剪切变形，因此采用两种不同梁理论的有限元模
型得到的模态阵型存在较大的差异，而且随着阶数
增大有增加的趋势。会给模态应变能方法的识别损
伤指标带来差异。
５．２不同梁模型对损伤的识别指标影响
功能梯度指数ｋ＝５，跨高比ｌ／ｈ分别取４、５、８、
１Ｏ、１５、２０和２５，假设第三单元损伤，表现为刚度发
生不同程度的减少，即第三单元刚度分别减少２％、
６％、１０％、１５％。基于两种模型进行损伤识别，计算
第三单元的损伤指标值。Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模型和
Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型对损伤指标的影响如图５至图８
所示。
ｌⅡ饕吾ｐＪ善善Ｊｏ髻。嚣鲁甚Ｑ
图５两种模型对损伤指标的影响
（第三单元刚度减少２％）
Ｆｉｇ．５ Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆｔｗｏ ｍｏｄｅｌｓ ｏｎ ｄａｍａｇｅ ｉｎｄｅｘ
（ｓｔｉｆｎｅｓｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔ ３ ｒｅｄｕｃｅｄ ｂｙ ２％）
图６两种模型对损伤指标的影响
（第三单元刚度减少６％）
Ｆｉｇ．６ Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｔｗｏ ｍｏｄｅｌｓ ｏｎ ｄａｍａｇｅ ｉｎｄｅｘ
（ｓｔｉｆｎｅｓｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔ ３ ｒｅｄｕｃｅｄ ｂｙ ６％）
图７两种模型对损伤指标的影响
（第三单元刚度减少１０％）
Ｆｉｇ．７ Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｔｗｏ ｍｏｄｅｌｓ ｏｎ ｄａｍａｇｅ ｉｎｄｅｘ
（ｓｔｉｆｎｅｓｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔ ３ ｒｅｄｕｃｅｄ ｂｙ １０％）
图８两种模型对损伤指标的影响
（第三单元刚度减少１５％）
Ｆｉｇ．８ Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｔｗｏ ｍｏｄｅｌｓ ｏｎ ｄａｍａｇｅ ｉｎｄｅｘ
（ｓｔｉｆｎｅｓｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔ ３ ｒｅｄｕｃｅｄ ｂｙ １５％）
比较图５至图８可以发现，当跨高比较小时（ｆ／
＜１０），Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模型的损伤指标在不同损
伤程度下均出现一定的波动。在各种损伤程度工况
下，随着跨高比增加，功能梯度Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型
损伤单元的识别指标 整体呈下降的趋势；而功能
梯度Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｎｒｏｕｌｌｉ梁模型损伤单元的识别指标
整体呈上升的趋势。
在跨高比ｌ／ｈ由小（１／ｈ＝４）到大（１／ｈ＝２０）的变
化过程中，梁从厚变薄。剪切变形的影响则由大变
小，直至可以忽略。在跨高比ｌ／ｈ比较小时（厚梁），
考虑剪切变形影响的Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型的损伤指
标优于不考虑剪切变形影响的Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模
型；从厚梁变到薄梁，两种模型的损伤指标差异逐步
变小，并在ｌ／ｈ：２０时接近相等。这种现象是由于跨
４２ 基于模态应变能法功能梯度Ｅｕｌｅｒ－Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ粱和Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型对损伤识剐的影响分析
ｏｓｉｐｔｅ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２０１５，１２０：９０－９７．
２０１７年２月
高比ｌ／ｈ比较大的薄梁可以忽略剪切变形影响，与
Ｅｕｌｅｒ—Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模型的假设吻合。对于薄梁，Ｔｉｍ．
ｏｓｈｅｎｋｏ梁单元存在剪切闭锁（Ｓｈｅａｒ Ｌｏｃｋｉｎｇ）现象。
［４］曹志远．功能梯度复合材料圆柱壳基本理论及长壳固有振动解
［Ｊ］．玻璃钢／复合材料，２００６（４）：３－６．
［５］曹志远．功能梯度壳体力学的一般理论［Ｊ］．玻璃钢／复合材料，
２ｏｏｓ（２）：７－１１．
尽管可以采用某种计算方案解决剪切闭锁问题，但
是在损伤指标的影响图（图５至图８）中发现，在１／ｈ
＝２５时，Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｎｏｒｕｌｌｉ梁模型的损伤指标优于Ｔｉ．
ｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型。这说明对于可以忽略剪切变形影
响的功能梯度梁，应该尽量采用Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁
模型。
［６］仲政，吴林志，陈伟球．功能梯度材料与结构的若干力学问题研
究进展［Ｊ］．力学进展，２０１０，４０（５）：５２８．５４０．
［７］黄立新，姚祺，张晓磊，等．基于分层法的功能梯度材料有限元
分析［Ｊ］．玻璃钢／复合材料，２０１３（２）：４３４８．
［８］黄立新，杨真真，张晓磊，等．基于ＡＢＡＱＵＳ的功能梯度材料等
参梯度有限元分析［Ｊ］．玻璃钢／复合材料，２０１４（２）：３３．３９．
［９］Ｃｏｍｗｅｌｌ ＰＪ，Ｄｏｅｂｌｉｎｇ ＳＷ，Ｆａｒｒａｒ ＣＲ．Ａｐｐｌｉｃａｉｔｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｒａｉｎ ｅｌｌ－
６结论
ｅｒｇｙ ｄａｍａｇｅ ｄｅｔｃｔｅｉｏｎ ｍｅｈｔｄ ｏｔｏ ｐｌａｔｅ?ｌｉｋｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ
Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，１９９９，２２４（２）：３５９－３７４．
基于模态应变能法。本文研究Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁
模型和Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型对功能梯度梁损伤识别
指标的影响。通过两种模型不同的位移场假设和不
［１０］Ｓｈｉ ＺＹ，Ｌａｗ ｓＳ，Ｚｈａｎｇ ＬＭ．Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｄａｍａｇｅ ｌｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ
ｍｏｄａｌ ｓｔｒａｉｎ ｅｎｅｒｇｙ ｃｈｎｇａｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ｎｄ Ｖｉａｂｒａｔｉｏｎ，
１９９８，２１８（５）：８２５－８４４．
同的梁单元构造方式，分析了功能梯度梁自由振动
的模态阵型、刚度矩阵和质量矩阵的差异。以及这些
差异对损伤识别指标产生的不同影响。
［１１］Ｓｈｉ ＺＹ，Ｌａｗ ｓｓ，Ｚｈａｎｇ ＬＭ．Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｄａｍａｇｅ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎｆｒｏｍｍｏ－
ｄａｌ ｓｔｒａｉｎ ｅｎｅｒｇｙ ｃｈａｎｇｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｉｒｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，
２０００，１２６（１２）：１２１６－１２２３．
功能梯度梁损伤识别的数值算例表明：
（１）对于中厚梁，Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型的损伤指标
优于Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模型，适合采用Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁
模型的理论：
［１２］ｕ ＹＹ．Ｈｙｐｏｒ ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ｏｆ ｓｔｒａｉｎ－ｂａｓｅｄ ｉｎｄｉｃａｔｏｒｓ ｆｏｒ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ
ｄａｍａｇｅ ｉｄｅｎｔｉｉｆｃａｔｉｏｎ：Ａ ｒｅｖｉｅｗ［Ｊ］．Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ
Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０１０，２４：６５３?６６４．
［１３］Ａｌｖａｎｄｉａ Ａ，Ｃｒｅｍｏｎａ Ｃ．Ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ?ｂａｓｅｄ ｄａｌｎａｇｅ ｉ－
ｄｅｎｔｉｉｆｃａｔｉｕ ｏｔｃｈｎｉｅｑｕｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ｎｄ ａＶｉｂｒａｔｉｏｎ，２００６，
２９２：１７９?２０２．
（２）从厚梁变到薄梁，两种模型的损伤指标差
异逐步变小，并趋于一致；
［１４］黄立新，杨真真，赵文举．基于模态应变能变化率法的Ｅｕｌｅｒ．
Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ功能梯度梁的损伤识别［Ｊ］．玻璃钒／复合材料，２０１５
（８）：ｌ４?ｌ７．
（３）对于薄梁（例如，ｌ／ｈ＝２５时的薄梁），Ｅｕｌｅｒ－
Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模型的损伤指标优于Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模
型，应尽量采用Ｅｕｌｅｒ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模型的理论。
参考文献
［１］Ｂｉｒｍａｎ Ｖ，Ｂｙｒｄ ＬＷ．Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙ Ｇｒａｄｅｄ
［１５］杨真真．Ｅｕｌｅｒ－Ｂｅｍｏｕｉｌｉ功能梯度梁结构损伤识别的模态应变
能法［Ｄ］．南宁：广西大学硕士学位论文，２０１４．
［１６］黄立新，岳世燕，胡中明，等．功能梯度经典梁损伤识别模态应
变能变化率法的抗噪音性能研究［Ｊ］．玻璃钢／复合材料，２０１６
（２）：３５－３９．
Ｍａｔｅｉｒａｌｓ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈｎｉａｃｓ Ｒｅｖｉｅｗｓ，２００７，
６０：１９５－２１６．
［１７］Ａｌｓｈｏｒｂａｇｙ ＡＥ，Ｅｌｔａｈｅｒ ＭＡ，Ｍａｈｍｏｕｄ ＦＦ．Ｆｒｅｅ ｖｉｂｒａｉｔｏｎ ｃｈａｒａｃ—
ｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙ ｇｒａｄｅｄ ｂｅａｍ ｂｙ ｉｆｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．
Ａｐｐｆｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ，２０１１，３５：４１２－４２５．
［２］ＪｈａＤＫ，ＴａｒｕｎＫａｎｔ，ＳｉｎｇｈＲＫ．Ａ ｅｆｉｉｔｃＭｒｅｖｉｅｗ ｏｆｒｅｃｅｎｔｒｅｓｅａｒｃｈ
ｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙ ｇｒａｄｅｄ ｐｈｔｅｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２０１３，９６：
８３３．８４９．
［１８］Ｓｉｍｓｅｋ Ｍ．Ｆｕｎｄａｍｅｎｔｌａ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙ
ｂｅａｍｓ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｂｅａｍ ｔｈｅｏｉｒｓ［Ｊ］．Ｎｕｃｌｅｅａｒ
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｄｅｓｉｇｎ，２０１０，２４０（４）：６９７?７０５．
［３］Ｌｉｅｗ ＫＭ，Ｌｅｉ ＺＸ，Ｚｈａｎｇ ＬＷ．Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙ
ｇｒａｄｅｄ ｃａｒｂｏｎ ｎａｎｏｔｕｂｅ ｅｒｉｎｆｏｍｏｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ：Ａ ｒｅｖｉｅｗ［Ｊ］．Ｃｏｍ—
２０１７年第２期 玻璃钢／复合材料 ４３
ＡＮＡＬＹＳＩＳ ＯＮ ＴＨＥ ＥＦＦＥＣＴ ＯＦ ＥＵＬＥＲ－ＢＥＲＮＯＵＬＬＩ ＢＥＡＭ ＭＯＤＥＬ ＡＮＤ ＴＩＭＯＳＨＥＮＫ０
ＢＥＡＭ ＭｏＤＥＬ ｏＮ ＤＡＭＡＧＥ ＩＤＥＮＴＥＦＩＣＡＴｌＯＮ ＢＡＳＥＤ ｏＮ ＭｏＤＡＬ ＳＴＲＡＩＮ ＥＮＥＲＧＹ Ⅱ ＴＨｏＤ
ＹＵＥ Ｓｈｉ．ｙａｎ ，ＹＡＮＧ Ｚｈｅｎ．ｚｈｅｎ ，ⅪＥ Ｆｅｎｇ ，ＨＵＡＮＧ Ｌｉ．ｘｉｎ ’
（１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｇｕａｎｇｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｎｉｎｇ ５３０００４，Ｃｈｉｎａ；
２． ｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ＆Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｃｈｅｎｇｄｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｅｓｈａｎ ６１４０００，Ｃｈｉｎａ；
３．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｕｃｈａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｕｃｈａｎｇ ４６１０００，Ｃｈｉｎａ；
４． ｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｄｉｓａｓｔｅｒ Ｐｒｅｖｅｎｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｌａ Ｓａｆｅｔｙ ｏｆ ｔｈｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｍｉｎｉｓｔｒｙ．
Ｇｕａｎｇｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｎｉｎｇ ５３０ｏ０４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｓｐａｎ—ｄｅｐｔｈ ｒａｔｉｏ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙ ｇｒａｄｅｄ（ＦＧ）ｂｅａｍ ｆｒｏｍ ｓｍａｌｌ（ｔｈｉｃｋ ｂｅａｍ）ｔｏ
ｌａｒｇｅ（ｔｈｉｎ ｂｅａｍ），ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｓｈｅａｒ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｂｅａｍ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｄｅｃｒｅａｓｅ．Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｅ ｄｅ—
ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｂｅａｍ ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ，Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ ｂｅａｍ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｕｓｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｈｉｃｋ ｂｅａｍ ｗｉｔｈ ｓｍａｌｌ ｓｐａｎ－ｄｅｐｔｈ ｒａｔｉｏ
ｎａｄ Ｅｕｌｅｒ—Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ ｂｅａｍ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｕｓｅｄ ｏｆｒ ｈｔｉｎ ｂｅａｍ ｌｒａｇｅ ｓｐａｎ—ｄｅｐｔｈ ｒａｔｉｏ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｆｒｅｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓ ｃａｌｅｕ—
ｌａｔｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｔｗｏ ｂｅａｍ ｍｏｄｅｌｓ ｂｙ ａ ｉｆｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ（ＦＥＭ）ｔｏ ｆｕｒｔｈｅｒ ｎａａｌｙｓｉｓ ｏｎ ｔｈｅ ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ
ｅｌｅｍｅｎｔ ｓｔｉｆｎｅｓｓ ｍａｔｉｒｘ，ｍａｓｓ ｍａｔｉｒｘ ａｎｄ ｍｏｄａｌ ｍｏｄｅ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｔｏ ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｔｈｏｓｅ
ｄｉｆｅｒｅｎｃｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｄａｍａｇｅ ｉｄｅｎｔｉｉｆｃａｔｉｏｎ ｉｎｄｅｘ． ｅ ｄａｍａｇｅ ｉｎｄｉｃｅｓ ｏｆ Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ ｂｅａｍ ｍｏｄｅｌ ａｒｅ ｂｅｔｔｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｏｓｅ
ｏｆ Ｅｕｌｅｒ—Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ ｂｅａｍ ｍｏｄｅｌ ｉｎ ｔｈｉｃｋ ｂｅａｍ，ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｄａｍａｇｅ ｉｎｄｉｃｅｓ ｏｆ Ｅｕｌｅｒ—Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ ｂｅａｍ ｍｏｄｅｌ ａｒｅ ｂｅｔｔｅｒ
ｔｈａｎ ｔｈｏｓｅ ｏｆ Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ ｂｅａｍ ｍｏｄｅｌ ｉｎ ｔｈｉｎ ｂｅａｍ（ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ ｌ／ｈ＝２５）．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙ ｇｒａｄｅｄ ｍａｔｅｒｉｌａ；Ｅｕｌｅｒ－Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ ｂｅａｍ ｍｏｄｅｌ；Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ ｂｅａｍ ｍｏｄｅｌ；ｍｏｄａｌ ｓｔｒａｉｎ
ｅｎｅｒｙｇ；ｄａｍａｇｅ ｉｄｅｎｔｉｉｆｃａｔｉｏｎ
（上接第７ｌ页）
ＩＮＦＬＵＥＮＣＥ ＯＦ ＱＵＡＲＴＺ ＦＩＢＥＲ Ｓ ＤＥＷＡＸＩＮＧ ＯＮ ＴＨＥ ＱＵＡＲＴＺ／ＣＹＡＮＡＴＥ
ＥＳＴＥＲ ＣＯＭ ｏＳＩ．】 Ｓ ＰＲｏＰＥＲＴＩＥＳ
ＳＨＩ Ｐｅｉ—ｌｕｏ ，ＷＡＮＧ Ｆｅｉ ，ＰＡＮＧ Ｊｉｎ．ｃｈｅｎｇ ，ＬＩＮＧ Ｈｕｉ
（１．Ａｅｒｏｓｐａｃｅ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｍａｔｅｒｉｌａｓ ａｎｄ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００７６，Ｃｈｉｎａ；
２．Ｎａｖｙ Ｓｔａｔｉｏｎｅｄ ｉｎ Ｎａｎｊｉｎｇ Ａｅｒａ ｏｆ Ｍｉｌｉｔａｒｙ Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｖｅ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｄｅｖｉｃｅ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１００１２，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔａｒｃｔ：Ｄｅｗａｘｉｎｇ ｏｆ ｑｕａｒｔｚ ｆｉｂｅｒ ｗｅａｖｅ ｗａｓ ｄｏｎｅ ｂｙ ｓｕｒｆａｃｅ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ａｔ ｈｉ ｇｈ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ，ａｎｄ ｑｕａｒｔｚ／ｅｙａ－
ｎａｔｅ ｅｓｔｅｒ ｐｒｅｐｒｅｇｓ ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ ｗｅｒｅ ｐｒｏｄｕｃｅｄ．Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｐｒｅｐｒｅｇｓ ａｎｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ，ｗｉｔｈ ａｎｄ
ｗｉｈｔｏｕｔ ｄｅｗａｘｉｎｇ，ｗｅｒｅ ｃｏｍｐａｒｅｄ．Ｉｔ Ｗａｓ ｆｏｕｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｐｒｅｐｒｅｇｓ ｗａｓ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｂｙ ｄｅｗａｘｉｎｇ，ｔｈｅ
ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ ｄｉｅｌｅｃｔｒｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｒｅｍａｉｎｅｄ ｈｔｅ ｓａｌＴｌｅ，ａｎｄ ｔｈｅ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｗｅｒｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｓｉｇｎｉｉｆｃａｎｔｌｙ ｗｉｔｈ
ｌｆｅｘｕｒｌａ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｉｎｃｒｅａｓｅｄ ｂｙ ３ｌ％ａｎｄ ｉｎｔｅｒｌｍａｉｎａｒ ｓｈｅａｒ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｉｎｃｒｅａｓｅｄ ｂｙ １６％．Ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ａｄｈｅｓｉｏｎ ｏｆ
ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ ｗａｓ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｂｙ ｄｅｗａｘｉｎｇ ｏｆ ｑｕａｒｔｚ ｆｉｂｅｒｓ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｅｗａｘｉｎｇ；ｑｕａｒｔｚ ｆｉｂｅｒ；ｃｙａｎａｔｅ ｅｓｔｅｒ；ｄｉｅｌｅｃｔｒｉｃ；ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ
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